INCLUSIÓN DE LOS EFECTOS DE CUERPOS NO RÍGIDOS

Es importante tener en cuenta que las ecuaciones dinámicas que hemos derivado no

abarcan todos los efectos que actúan sobre un manipulador, sólo incluyen aquellas fuer-

zas que surgen de mecanismos de cuerpo rígido y la fuente más importante de fuerzas que no se incluyen es la fricción. Es evidente que todos los mecanismos se ven afecta- dos por fuerzas de fricción. En los manipuladores actuales, en los que es común tener una cantidad considerable de engranajes, las fuerzas debidas a la fricción pueden ser bastante grandes; tal vez sean equivalentes al 25% del momento de torsión requerido para mover el manipulador en situaciones comunes.

Para poder hacer que las ecuaciones dinámicas reflejen la realidad del dispositi- vo físico es importante modelar (cuando menos aproximadamente) estas fuerzas de fricción. Un modelo muy simple de la fricción es la fricción viscosa, en la que el mo- mento de torsión debido a la fricción es proporcional a la velocidad del movimiento de la articulación. Por lo tanto, tenemos que

(6.110) en donde v es una constante de fricción viscosa. Otro posible modelo simple para la fricción es la fricción de Coulomb, que se utiliza ocasionalmente. La fricción de Cou- lomb es constante excepto por una dependencia de signo en la velocidad de una articu- lación, y se define así:

(6.111) en donde c es una constante de fricción de Coulomb. El valor de c se toma comúnmen-

te a cierto valor cuando θ˙ = 0, el coeficiente estático, pero a un menor valor, el coefi-

ciente dinámico, cuando θ˙ ≠ 0. El que una articulación de un manipulador específico

[ ˙ ˙] = [ ˙θ1˙θ2 ˙θ1 ˙θ3 . . . ˙θn−1˙θn]T, [ ˙θ2 1 ˙θ 2 2 . . . ˙θ 2 n]T. B_x() =  m1l12 c2 s2 − m2l1l2s2 m2l1l2s2  C_x() =
0 −m₂l₁l₂s₂ m2l1l2s2 0  . τfricción = v ˙θ, τfricción = c sgn( ˙θ),

exhiba fricción viscosa o de Coulomb es una cuestión complicada de lubricación y otros efectos. Un modelo razonable es incluir ambas, ya que las dos son muy probables:

(6.112) En muchas articulaciones de manipuladores, la fricción también muestra una de- pendencia en la posición de la articulación. Una de las causas principales de este efec- to podría ser que los engranajes no sean perfectamente redondos; su excentricidad haría que la fricción cambiara de acuerdo con la posición de la articulación. Entonces, un modelo de fricción relativamente complejo tendría la siguiente forma:

(6.113) Estos modelos de fricción se añaden a los demás términos dinámicos derivados del mo- delo de cuerpo rígido, produciendo el siguiente modelo más completo:

(6.114) Existen también otros efectos que se pasan por alto en este modelo. Por ejemplo, la suposición de vínculos de cuerpo rígido significa que no hemos incluido los efectos de flexión (que producen resonancias) en nuestras ecuaciones de movimiento. No obs- tante, estos efectos son extremadamente difíciles de modelar y están más allá del alcan- ce de este libro (vea las referencias [9 y 10].)

6.12 SIMULACIÓN DINÁMICA

Para simular el movimiento de un manipulador, debemos hacer uso de un modelo de la dinámica tal como el que acabamos de desarrollar. Dada la dinámica escrita en forma cerrada como en la ecuación (6.59), la simulación requiere resolver la ecuación dinámi- ca para la aceleración:

(6.115) Entonces podemos aplicar una de las diversas técnicas de integración numérica cono- cidas para integrar la aceleración y calcular las posiciones y velocidades futuras.

Dadas las condiciones iniciales en el movimiento del manipulador, generalmente en la forma

(6.116) integramos la ecuación (6.115) avanzando en el tiempo numéricamente, en intervalos de tamaño ∆t. Existen muchos métodos para realizar la integración numérica [11]. Aquí presentaremos el esquema de integración más simple, llamado integración de Euler.

Empezando con t= 0, calcule iterativamente

(6.117)

en donde, para cada iteración, se emplea la ecuación (6.115) para calcular ˙˙. De esta

manera, la posición, la velocidad y la aceleración del manipulador, producidas por cier- ta función de momento de torsión de entrada, pueden calcularse numéricamente.

La integración de Euler es conceptualmente simple, pero para una simulación precisa y eficiente se recomiendan otras técnicas de integración más sofisticadas [11].

τfricción = c sgn( ˙θ) + v ˙θ. τfricción = f (θ, ˙θ). τ = M() ¨ + V (, ˙) + G() + F (, ˙). ¨ = M−1_{()[τ − V (, ˙) − G() − F (, ˙)].} (0) = ₀, ˙(0) = 0, ˙(t + t) = ˙(t) + ¨(t)t, (t + t) = (t) + ˙(t)t + 1 2¨(t)t2,

La forma de seleccionar el tamaño de ∆t es una cuestión que se discute muy a menudo. Debe ser lo suficientemente pequeña para que el proceso de descomponer el tiempo continuo en estos pequeños incrementos sea una aproximación razonable y debe ser lo suficientemente grande como para no requerir una excesiva cantidad de tiempo de computadora para calcular una simulación.

6.13 CONSIDERACIONES COMPUTACIONALES

Como las ecuaciones dinámicas de movimiento para los manipuladores comunes son tan complejas, es importante considerar las cuestiones computacionales. En esta sec- ción restringiremos nuestra atención a la dinámica de espacio de articulación. En las re- ferencias [7 y 8] se habla sobre algunas cuestiones de eficiencia computacional de la dinámica cartesiana.

Una observación histórica en relación con la eficiencia

Si contamos el número de multiplicaciones y sumas para las ecuaciones (6.46) a (6.53) al tomar en cuenta el primer cómputo saliente simple y el último cómputo entrante sim- ple, obtenemos:

126n− 99 multiplicaciones,

106n− 92 sumas,

en donde n es el número de vínculos (aquí son por lo menos dos). Aunque la formulación sigue siendo algo compleja, es muy eficiente en comparación con algunas formulaciones de dinámica de manipuladores sugeridas previamente. La primera formulación de la diná- mica para un manipulador [12, 13] se hizo mediante un método Lagrangiano muy simple, cuyos cálculos requeridos resultaron ser aproximadamente [14]

32n4_{+ 86n}3_{+ 171n}2_{+ 53n − 128 multiplicaciones,}

25n4_{+ 66n}3_{+ 129n}2_{+ 42n − 96 sumas.}

Para un caso típico en el que n= 6, el esquema iterativo de Newton-Euler es apro-

ximadamente 100 veces más eficiente. Por supuesto que los dos métodos deben producir ecuaciones equivalentes, y los cálculos numéricos producirían exactamente los mismos resultados, pero la estructura de las ecuaciones es muy distinta; esto no quiere decir que no pueda crearse un método lagrangiano para producir ecuaciones eficientes. Lo que esta comparación indica es que para formular un esquema computacional para este problema hay que tener mucho cuidado en cuanto a la eficiencia. La eficiencia relativa del método que hemos presentado proviene de plantear los cálculos como iteraciones de vínculo en vínculo y, en especial, de cómo se representan las diversas cantidades [15].

Renaud [16], Liegois y otros [17] hicieron las primeras contribuciones en lo que se refiere a la formulación de las descripciones de la distribución de masa de los vínculos. Mientras estudiaban el modelado de los miembros humanos, Stepanenko y Vukobra- tovic [18] empezaron a investigar un método de “Newton-Euler” para la dinámica, en vez del método lagrangiano que era algo más convencional. Orin y otros [19] revisaron la eficiencia de este trabajo aplicándolo a las piernas de robots que caminaban. El gru- po de Orin mejoró un tanto la eficiencia al escribir las fuerzas y momentos en las tra- mas de referencia de los vínculos locales en vez de hacerlo en la trama inercial. También