Cinemática de manipuladores
3.8 TRAMAS CON NOMBRES ESTÁNDAR 3.9 ¿EN DÓNDE ESTÁ LA HERRAMIENTA?
3.10 CONSIDERACIONES COMPUTACIONALES
3.1 INTRODUCCIÓN
La cinemática es la ciencia del movimiento que trata el tema sin considerar las fuerzas que lo ocasionan. Dentro de esta ciencia se estudian la posición, la velocidad, la acele- ración y todas las demás derivadas de alto orden de las variables de posición (con res- pecto al tiempo o a cualquier otra variable). En consecuencia, el estudio de la cinemática de manipuladores se refiere a todas las propiedades geométricas y basadas en el tiempo del movimiento. Las relaciones entre estos movimientos y las fuerzas y momentos de torsión que los ocasionan constituyen el problema de la dinámica, que es el tema del capítulo 6.
En este capítulo consideramos la posición y la orientación de los vínculos de los manipuladores en situaciones estáticas. En los capítulos 5 y 6 consideraremos la cinemá- tica cuando hay velocidades y aceleraciones implicadas.
Para entender la compleja geometría de un manipulador, agregaremos tramas a las diversas partes del mecanismo y luego describiremos las relaciones entre estas tra- mas. El estudio de la cinemática de manipuladores se relaciona, entre otras cosas, con la manera en que cambian las ubicaciones de estas tramas a medida que se articula el mecanismo. El tema central de este capítulo es un método para calcular la posición y la orientación del efector final del manipulador relativo a la base del mismo, como una función de las variables de las articulaciones.
3.2 DESCRIPCIÓN DE VÍNCULOS
Un manipulador puede considerarse como un conjunto de cuerpos conectados en una ca- dena mediante articulaciones. Estos cuerpos se llaman vínculos o segmentos. Las articu- laciones forman una conexión entre un par adyacente de vínculos. El término par menor se utiliza para describir la conexión entre un par de cuerpos, cuando el movimiento
relativo se caracteriza por dos superficies que se deslizan una sobre otra. La figura 3.1 muestra las seis posibles articulaciones de par menor.
Las consideraciones de diseño mecánico recomiendan que los manipuladores se construyan generalmente de articulaciones que exhiban sólo un grado de libertad. La mayoría de los manipuladores tienen articulaciones angulares o articulaciones deslizan- tes llamadas articulaciones prismáticas. En el extraño caso de que un mecanismo esté construido con una articulación que tenga n grados de libertad, puede modelarse como
n articulaciones de un grado de libertad, conectadas con n − 1 vínculos de longitud ce-
ro. Por lo tanto, y sin perder la generalidad, consideraremos sólo manipuladores que tengan articulaciones con un solo grado de libertad.
Los vínculos se numeran empezando desde la base inmóvil del brazo, a la cual po- dríamos llamar vínculo 0. El primer cuerpo móvil es el vínculo 1 y así, sucesivamente, hasta llegar al extremo libre del brazo, el cual es el vínculo n. Para poder posicionar un efector final en espacio 3D de forma general se requiere un mínimo de seis articulacio-
nes.1Los manipuladores comunes tienen cinco o seis articulaciones. Algunos robots no
son realmente tan simples como una cadena cinemática abierta; tienen una configura- ción de paralelogramo u otras estructuras cinemáticas cerradas. Consideraremos uno de esos manipuladores más adelante en este capítulo.
Un solo vínculo de un robot común tiene muchos atributos que el ingeniero me- cánico tuvo que considerar durante su diseño: el tipo de material empleado, la fuerza y
Angular Cilíndrica De tornillo Prismática Planar Esférica
FIGURA 3.1:Las seis posibles articulaciones de par menor.
1Esto tiene buen sentido intuitivo, ya que la descripción de un objeto en el espacio requiere seis pará-
rigidez del vínculo, la ubicación y el tipo de los cojinetes de articulación, la forma ex- terna, el peso y la inercia, y otros más. Sin embargo, cuando se desean obtener las ecua- ciones cinemáticas del mecanismo, un vínculo se considera solamente como un cuerpo
rígido que define la relación entre dos ejes de articulaciones adyacentes de un manipula- dor. Los ejes de articulación se definen mediante líneas en el espacio. El eje de articu-
lación i se define mediante una línea en el espacio, o la dirección de un vector, sobre el cual gira el vínculo i con respecto al vínculo i − 1. Resulta que, para los fines cinemáti- cos, un vínculo puede especificarse con dos números, los cuales definen la ubicación re- lativa de los dos ejes en el espacio.
Para cualesquiera dos ejes en el espacio 3D, existe una medida bien definida de distancia entre ellos. Esta distancia se mide a lo largo de una línea que es mutuamente perpendicular a ambos ejes. Esta línea mutuamente perpendicular siempre existe; es única excepto cuando ambos ejes son paralelos, en cuyo caso hay muchas líneas mutua-
mente perpendiculares de igual longitud. La figura 3.2 muestra el vínculo i − 1 y la lí-
nea mutuamente perpendicular sobre la cual se mide la longitud de vínculo ai−1. Otra
manera de visualizar el parámetro del vínculo ai−1es imaginar un cilindro en expansión
cuyo eje es el eje de articulación i − 1; cuando apenas toca el eje de articulación i, el ra- dio del cilindro es igual a ai−1.
El segundo parámetro necesario para definir la ubicación relativa de los dos ejes se llama la torsión del vínculo. Si imaginamos un plano cuya normal sea la línea mutua-
mente perpendicular que se acaba de construir, podemos proyectar los ejes i − 1 e i en
este plano y medir el ángulo entre ellos. Este ángulo se mide desde el eje i − 1 hasta el
eje i en sentido de la mano derecha, sobre ai−1.2Utilizaremos esta definición de la tor-
sión del vínculo i − 1, αi−1. En la figura 3.2, αi−1se indica como el ángulo entre el eje
Vínculo i ⫺ 1
ai ⫺ 1
ai ⫺ 1
Eje i ⫺ 1 Eje i
FIGURA 3.2:La función cinemática de un vínculo es mantener una relación fija entre los dos ejes de articulación que soporta. Esta relación puede describirse con dos paráme- tros: la longitud del vínculo, a, y su ángulo de torsión, α.
2En este caso, a a
i − 1 y el eje i (las líneas con tres marcas de referencia son paralelas). En el caso de ejes
perpendiculares, la torsión se mide en el plano que contiene ambos ejes pero se pierde el sentido de αi−1. En este caso especial tenemos la libertad de asignar el signo de αi−1 arbitrariamente.
Estos dos parámetros, longitud y torsión, según se definieron anteriormente, pueden usarse para definir también la relación entre dos líneas cualesquiera (en este caso ejes) en el espacio.
EJEMPLO 3.1
La figura 3.3 muestra los dibujos mecánicos de un vínculo de robot. Si este vínculo se utiliza en un robot en donde se use el cojinete “A” para la articulación de menor nu- meración, proporcione la longitud y torsión de este vínculo. Suponga que los hoyos es- tán centrados en cada cojinete.
Por inspección, la perpendicular común está justo debajo de la parte media de la barra de metal que conecta los cojinetes, por lo que la longitud del vínculo es de 7 pul- gadas. La vista lateral muestra una proyección de los cojinetes en el plano cuya normal es la perpendicular mutua. La torsión del vínculo se mide en el sentido de la mano de-
recha sobre la perpendicular común, desde el eje i − 1 hasta el eje i, por lo que en este
ejemplo puede verse claramente que es de +45 grados.