entendido que una de las cosas que mejor conoce el profesor Mosterín es la Lógica y, por otra parte, el profesor Piscoya es un lógico. Sin embargo, el profesor Mosterín sostiene que lo que es conocido como lógica paraconsistente lleva a contradic ciones, mientras que el profesor Piscoya dice lo contrario. M i ren lo que puede pasar entre dos vecinos, dos lógicos; entonces, teniendo en cuenta la gran distancia a la que yo me encuentro de tal especialidad, se imaginarán lo fácilmente que puedo ganarme palabras duras. Creo que en todo esto existe un inevi table problema de lenguaje. Por ejemplo, en alguna ocasión alguien me dice que soy un tonto, y acepto tal cosa sin mayor
comentario; pero en otra ocasión podría reaccionar violenta mente. Es decir, las mismas cosas, los mismos conceptos, nos pueden llevar a situaciones muy diferentes, eventualmente crí ticas.
Lo mismo sucede en la matemática. Probablemente en las diferentes teorías haya escondidas algunas contradicciones, que en las condiciones ordinarias no se manifiestan hasta que al guien, ¡paf!, se encuentra con un problema en el que se mani fiesta la contradicción, y entonces se arma el revuelo. Los ma temáticos y científicos suelen caminar —como la mayor parte de la gente sensata— por calles seguras, donde no hay que temer el encuentro con algunos asaltantes. Pero la historia nos enseña que, de vez en cuando, aparecen ciertas contradicciones y el asunto se toma sumamente interesante. Por otra parte, hay que tener presente que algunas contradicciones sólo las son en apariencia; la contradicción era sólo de carácter lingüístico como cuando se plantea si el electrón es una onda o una partícula. Es decir, esto de construir y usar teorías es una verdadera aven
tura y es muy arriesgado afirmar, salvo como un deseo, que ellas no contienen contradicciones.
Como mencionó el profesor Mosterín, posiblemente haya algunas teorías muy simples que posean la virtud de no con tener contradicciones. Pero en lo que se refiere a las teorías en uso — que no suelen ser nada simples— resulta muy arriesgado, y un tanto ingenuo, creer que no contienen algunas sutiles con
tradicciones. También, como mencionó el profesor Mosterín, podría tratarse de casos condicionales: Si la teoría A no es contradictoria, entonces la teoría B tampoco es contradictoria. Sin embargo, mi impresión es que tales cosas funcionan en re giones pequeñas. En este sentido quiero mencionar un artículo publicado en 1980 (The Mathematical Intelligencer, Vol. 3, NQ 1, 1980, Sprínger) en el que se cuenta lo siguiente: dos grupos de matemáticos habían llegado independientemente a ciertos re sultados contradictorios sobre un problema (de grupos, de homotopía). Inicialmente, cada grupo supuso que lo s otros' se habían equivocado; pero luego, al contrastar sus resultados no
pudieron encontrar la falla en el trabajo rival. Y se trataba de matemáticos altamente calificados. Desgraciadamente no pude llegar a saber cómo terminó este interesante asunto. Quiero decir que, en la matemática también suelen darse estas situaciones confusas, que desgraciadamente son poco conocidas. En un caso más reciente, el matemático W iles, anunció haber resuelto la conjetura de Taniyama, de la cual se deduce la conjetura de Fermat, trabajo que presentó en un congreso. Después de va rios meses de análisis, los matemáticos especialistas en el asun to, descubrieron que la citada demostración contenía un error que meses después subsanó el mismo Wiles.
Lo que estoy diciendo es que en la matemática las cosas no siempre son transparentes ni siquiera para los especialistas mejor calificados.
Sin embargo mucha gente prefiere creer en mitos, como aquel que dice que un gran matemático, o un científico, se pone a pensar, se inspira y ya está.
Resulta que muchas afirmaciones matemáticas o científicas en general, se aceptan confiando en la autoridad de quien las dice. Esto es inevitable ya que nuestras vidas no alcanzarían para verificar directamente todas las asunciones en las que basamos nuestras acciones o convicciones; el problema surge cuando dichas afirmaciones son aceptadas acríticamente, como artículos de fe.
En la matemática se conocen varios casos de contradic ciones que después de mucho tiempo salieron a la luz. ¿Cuántas permanecen todavía inextricablemente escondidas? El filósofo Lakatos publicó varios libros tratando de poner al descubierto tales asuntos.
Si bien lo de la contradicción es un asunto de los lógicos profesionales, a mí me interesa el asunto por sus consecuencias.
Aparte de esto, quisiera plantearle una pregunta al Dr. Mosterín. En una parte de su exposición Ud. dijo que f[N ] = T; pero eso significaría que T debería ser infinito, ¿No podría darse el caso en el que se tomase sólo una parte de N, y no todo el conjunto?
f[N] = T no implica en absoluto que T tenga que ser un conjunto infinito, puede ser un conjunto de un solo elemento. Por ejemplo, una función computable sobre los números natu rales es la función definida para cualquier número natural x, f(x) es igual a 1. Esta es una función computable, entonces f[N] es el conjunto unitario cuyo único elemento es el uno.
Respecto a lo anterior, como a mí no me gusta la contra dicción, no quiero que queden dudas respecto a esto. Aunque es cierto que todos discutimos, aquí no hay ninguna contradic ción, yo por lo menos espero no estarme contradiciendo y tampoco nada de lo que he dicho contradice lo que ha dicho el profesor Piscoya. Piscoya ha dicho que si tenemos un sistema en el cual no hay contradicciones y le aplicamos la lógica paraconsistente, la lógica paraconsistente no produce ninguna contradicción. Eso es cierto, o sea, yo estoy de acuerdo con lo que ha dicho el profesor Piscoya. Las cosas que él ha afirmado con respecto a esto y las que yo he afirmado son compatibles, y lo que él ha afirmado es verdad: la lógica paraconsistente no lleva a contradiciones.
El problema, como él mismo ha indicado, es que es de masiado débil para la matemática. Nuestra diferencia no es una diferencia en cuestiones fácticas, es una diferencia en cuestio nes apreciativas, valorativas. A mí me parece que la lógica paraconsistente no es contradictoria. En lo que quizá discrepe mos, mirando las cosas, como decía el profesor Valqui, un poco desde fuera — aunque aprecio mucho personalmente a algunas personas que están implicadas en este asunto— a mí me parece que por ahí no se va a ninguna parte. Tampoco se va muy lejos con la matemática y la lógica intuicionista; la matemática y la lógica intuicionista son algo tremendamente importante y serio, que evita por completo las contradicciones, desde el principio. Sin embargo, tampoco ha ido a ninguna parte y casi nadie las sigue. ¿Por qué? Porque aquí hay un efecto pragmático. En la vida, si somos racionales, no solamente tratamos de alcanzar nuestras metas, sino que también tratamos de alcanzarlas al
menor costo posible. Si podemos hacer las mismas cosas de diversas maneras, y hay maneras mucho más sencillas y có m odas de hacerlas, entonces, biológicam ente, casi estam os programados para rechazar las maneras complicadas y difíciles y trabajosas de hacer las cosas.
La matemática intuicionista conduce, en aspectos prácti cos, muchas veces a los mismos resultados que la matemática clásica, y con mucha mayor seguridad. El gran problema que tiene la matemática intuicionista es que un teorema que, en matemática clásica, probamos en diez pasos, en la intuicionista lo probamos en 45 pasos, y el cálculo que en la matemática clásica dura 2 páginas, en la otra dura 45. Por esa razón, la matemática intuicionista nunca se impondrá, porque es muy incómoda. Y lo mismo ocurre con las lógicas paraconsistentes. Yo pienso que es mucho más cómodo usar la lógica clásica, y en el momento que se descubre una contradicción en la teoría, cambiar de teoría, que usar una lógica mucho más complicada paraconsistente, y en el momento que se descubre la contradic ción, seguir con la misma lógica y seguir con la misma teoría. Desde el punto de vista de las cuestiones de hecho, lo que hemos dicho Piscoya y yo es compatible y no se contradice. Nuestras posibles discrepancias son simplemente cuestiones de apreciación.
Respecto a encontrar contradicciones, claro, las contradic ciones en todos los casos son fatales, y muchas veces no se sabe cómo solucionarlas. Lo que sí crean las contradicciones en la ciencia empírica es una situación de gran desasosiego, cuando hay alguna contradicción, como en la cosmología actual.
En la cosmología actual, en los últimos años, tenemos unas teorías que nos dicen cómo evolucionan las estrellas. Esto nos lleva a una serie de cálculos complicados, que nos permiten medir la edad de las estrellas. En nuestra galaxia, por ejemplo, hay una especie de bolas llenas de estrellas que se llaman cú mulos globulares, y se ha calculado la edad de los cúmulos globulares y parece que es aproximadamente catorce mil mi llones de años. Por otro lado, cuando se estudia la velocidad de
recesión de las galaxias mediante el corrimiento hacia el rojo de la luz de su espectro, se puede tratar de determ inar un parámetro que se llama la constante de Hubble, y entonces la inversa de la constante de Hubble nos da el tiempo de Hubble, que sometido a ciertos cálculos muy sencillos nos da la edad del Universo. Las mediciones de la constante de Hubble que se han hecho en los últimos años nos han estado llevando a edades del Universo de unos 10 mil millones de años. Total, durante unos años hemos estado diciendo y publicando en las mejores revistas científicas del mundo que la edad de los cúmulos glo bulares es de 14 mil millones de años y la edad del Universo es de 10 mil millones de años. Todo el mundo es perfectamente consciente que los cúmulos globulares, que son una parte del universo, no pueden ser más viejos que el Universo mismo. Aquí hay una contradicción. Como todo el mundo es conscien te de que esto es una contradicción, y esta contradicción es to talmente inaceptable, nadie dice ésta es la edad del Universo y ésta es la edad de los cúmulos globulares. Nadie dice, "sí seño res, el universo tiene diez mil millones de años y estas estrellas tienen 14 mil millones de años, y ¡qué! pues no pasa nada, yo aplico una lógica paraconsistente y se acabó". Eso no lo dice nadie. Todo el mundo es dolorosamente consciente de que eso es absolutamente inadmisible.
Finalmente un comentario a lo de Wiles. Es cierto que, a veces, aceptamos algo por la autoridad del que lo dice. Hay dos situaciones distintas. Uno oye hablar de ciertas cosas y no las entiende, y entonces puede aceptarlas por autoridad, y eso está bien a nivel de cosas con las que uno no tiene que ver directamente, pero eso puede ser peligroso. Por ejemplo, yo he mirado la prueba del teorema de Fermat, ofrecida por Wiles, y la verdad es que no la he entendido en absoluto, y me parece que casi nadie la entiende. Como hay unos pocos que son muy competentes y que la entienden, y dicen que sí, que finalmente está bien, yo pienso que es probable que esto sea una prueba correcta, pero como yo mismo no la entiendo, y no puedo comprobar que es así, yo nunca escribiría un artículo ni daría una conferencia diciendo que esto es así, sino simplemente diría
"M e parece que probablemente está bien, porque estos señores tienen cierta autoridad", pero nada más. Es decir, yo solamente hablaría con una cierta contundencia de los temas que perso nalmente entiendo un poco de primera mano. No es que haya que ser escépticos a lo que dicen las autoridades de la ciencia. Cuando personas de una gran competencia en un campo que nosotros no conocemos, dicen algo y hay una cierta unanimi dad entre ellas, parece razonable y racional creérnoslo, si es algo que no nos afecta de una manera, profesional y directa.
En filosofía, lo que sí es peligroso y ocurre a veces, no en los filósofos serios, sino en los filósofos de medio pelo, es que se habla como de oídas y por autoridades y eso es peligroso. En la ciencia no existe algo así como la autoridad, en la ciencia no existe el Papa, no existe el Presidente de la República, en la ciencia no existen tribunales, en la ciencia cada uno dice lo que quiere y ya está. Lo que pasa es que luego, cuando resulta que casi todo el mundo entiende una cosa, y parece que esa cosa ya vale y ya "va a m isa", es normal que la gente que está fuera del grupo, en principio, se la crea. Pero hay que tener cuidado con esto de aceptar las cosas por argumentos de autoridad. Sólo podemos aceptar las cosas por argumentos de autoridad, cuan do son cosas que nos pillan muy lejos y nos interesan poco. Cuando los temas nos pillan cerca y nos interesan mucho, hay que olvidarse de los argumentos de autoridad y tratar de com probar las cosas por uno mismo.