referido al teorema de Godel que dice que ninguna teoría puede ser a la vez consistente, completa y axiomatizable, es cierto que,
si se formula más concretamente, hay que decir que ninguna teoría en la cual sean definibles las funciones recursivas primi tivas puede ser a la vez axiomatizable, completa y consistente. Como ha dicho con razón el profesor Piscoya, podemos cons truir teorías absolutamente simples y triviales, por ejemplo la teoría de la identidad, que dice, simplemente, que cualquier cosa es igual a sí misma, que si una primera cosa es igual a una segunda, entonces la segunda es igual a la primera, y un par de cosas más, esta teoría de la identidad es com pleta y es axiomatizable y es consistente. Gódel probó el teorema, como se puede probar ahora a través de otros muchos procedimien tos, para teorías que incluyan un poquitín de aritmética, que ni siquiera hay que exigir que sean definibles todas las funciones recu rsiv as o com p u tab les, sino so lam en te las fu n cion es recursivas primitivas, que son las especialmente más sencillas y elementales.
En cualquier sistema en que se puedan definir las funciones recursivas primitivas, es decir, en cualquier sistema en el que quepa cualquier teoría que incluya un poquitín de aritmética elemental, se aplica el teorema de incompletud de Gódel.
N aturalmente si piensan ustedes que todas las teorías científicas modernas implican un montón de matemática, y en especial el cálculo infinitesimal, obviamente el teorema de Gódel se aplica a todas. A las únicas teorías a las que no se aplicaría serían las teorías que no contuvieran absolutamente nada de aritmética.
En segundo lugar, había la cuestión de que es difícil pro bar la consistencia de una teoría, como la teoría de conjuntos, y de que se presume la consistencia de las teorías. Hay dos tipos de pruebas de consistencia, las pruebas absolutas de con sistencia donde, de un modo absoluto, se prueba que algo es consistente, y punto, y las pruebas relativas de consistencia, donde se prueba que si una determinada teoría es consistente, entonces también lo es otra teoría.
Por ejemplo, podemos probar que si la teoría de conjuntos es consistente, entonces todas las teorías de la matemática clá
sica son consistentes, es decir, podemos construir modelos para todas las teorías de la matemática dentro de la teoría de con juntos. También podemos probar que si ciertas teorías de con juntos son consistentes, otras también son consistentes. Se pue den hacer muchísimas pruebas relativas de consistencia, pero más difíciles son las pruebas absolutas de consistencia, en las que a partir de cero se prueba que, efectivamente, algo es con sistente. No se puede probar absolutamente, que nosotros sepa mos, la consistencia de ninguna teoría de conjuntos. Esperamos que nuestras teorías matemáticas sean consistentes. Pensamos que todas las teorías matemáticas que usamos son consistentes. Pero una cosa es saber que estemos completamente seguros de algo y otra cosa es que pensemos algo. Completamente seguros no estamos de casi nada.
Lo que pasa en la física o en cualquier ciencia es que los científicos enuncian conjeturas, enuncian teorías, enuncian modelos, que podrían aplicarse, y muchas de estas cosas no funcionan. La mayoría de las cosas que proponen los científi cos, en todos los campos, no funcionan y van siendo desecha das. En un momento dado de la historia, las conjeturas y mo delos que se conservan son las que hasta este momento han funcionado bien. Lo mismo ocurre en el caso de las teorías matemáticas y de la consistencia. Muchos tipos de teorías de conjuntos se han ido proponiendo y se han descubierto contra dicciones e inmediatamente se han desechado. Pero todas las teorías de la matemática clásica, incluida la teoría de conjuntos clásica, llevan muchísimos años funcionando y nadie ha sido capaz de descubrir ninguna contradicción. Si alguien descubriera alguna contradicción inmediatamente sería rico y famoso, por lo tanto hay mucha motivación para descubrir una contradic ción, pero nadie la descubre, y parece racional pensar que estas teorías son consistentes aunque, como ha dicho el profesor Piscoya, no es que lo hayamos probado o demostrado. Tene mos una seguridad moral, pero no tenemos una seguridad lógica de que estas teorías sean consistentes.
El profesor Piscoya ha aludido, finalmente, a un tema que a m í siem pre me deja un poco perplejo cuando vengo a Sudamérica, que es el tema del gusto por, sobre todo en un campo tan formal como la lógica, las lógicas llamadas paracon- sistentes.
Es discutible y se puede mirar con cierta simpatía este asunto de la lógica paraconsistente, si uno se limita a un tipo de discurso ordinario, es decir, completamente alejado de la ciencia.
Pero si es un discurso que está relacionado con la ciencia la cosa es muy distinta y muchísimo más grave, por la sencilla razón de que todas las ciencias avanzadas, actualmente, son ciencias profundamente matematizadas. Todas las teorías físi cas, económicas, lingüísticas, etc. son extensiones de ciertas teorías m atem áticas. M uchas incluyen teorías m atem áticas com plicadísim as, pero todas incluyen algún tipo de teorías matemáticas. La matemática clásica, la geometría diferencial, la teoría de juegos, la aritmética, la geometría, la topología, todo esto es totalmente incompatible con la lógica paraconsistente. Si alguien acepta la lógica paraconsistente, todo el edificio de la matemática clásica se le viene abajo y, por lo tanto, todo el edificio de la física, que se basa en la matemática clásica se viene abajo, y se queda en un mundo más o menos simpático, pero que es un mundo poco serio.
Sin embargo, me parece que, a pesar de todo lo que estoy diciendo, es conveniente explorar alternativas. Lo que estoy di ciendo puede sonar muy dogmático en el sentido de limitar las ganas de explorar nuevas posibilidades, lo cual sería muy la mentable. A mí me parece que personas como Newton da Costa y otros que están interesados en este tema, son muy admirables, y que han hecho muy bien al interesarse en esto y explorarlo. Yo les aplaudo a ellos como personas, porque creo que estas cosas hay que explorarlas siempre. Pero, de todos modos, no confundan ustedes nunca el papel que juega la cien cia estándar, que es algo sumamente serio y que está suma mente bien establecido y en lo que uno puede fijarse para
desarrollar la empresa científica y desarrollar todo tipo de ac tividades, con las exploraciones más o menos juguetonas y medio especulativas de posibilidades no estándar. A lo mejor, por ejemplo, alguien dice que además de haber una gravedad que hace que las masas se atraigan, pues también hay una antigravedad que hace que las masas no se atraigan, sino que se escapen y que hay otra fuerza distinta que elimina la fuerza anterior y cosas así. En física hay muchas cosas raras que se dicen, se exploran y muchos de los mejores físicos teóricos del mundo llevan muchos años trabajando en este tipo de cosas, y esto hay que decirlo. Si esto no se hiciera, el progreso de la ciencia se pararía. Lo que pasa es que, al mismo tiempo, no hay que olvidarse que la física es una ciencia empírica y, por lo tanto, una cosa solamente pasa a ser parte de la física estándar cuando tiene algún tipo de corroboración experimental. En el campo de la matemática y de la lógica — con todos los perdones de mis amigos— yo sostendría que una cosa solamente pasa a ser parte de la matemática seria si puede ser probada por medio de una lógica seria, una lógica que no admite contradicciones y cosas por el estilo. Lo otro es curioso, interesante y simpático pero sólo tiene una categoría deportiva.