El problema AP ERT (problema de reparto de adelantos en una red P ERT ) consiste en el reparto del beneficio (coste) generado por el adelanto (retraso) en el tiempo de finalizaci´on estimado de una red P ERT ; es decir, dada una red P ERT y su ejecuci´on, el problema consiste en asignar el pago a realizar o el beneficio a ingresar por cada una de las actividades de tal forma que su suma sea el beneficio (coste) generado en la red P ERT .
El problema AP ERT , se plantea como un reparto de beneficios, por lo que valores posi- tivos son pagos a las actividades y valores negativos son pagos de las actividades.
A continuaci´on, se introduce un ejemplo para la mejor compresi´on del problema.
Ejemplo 1.3 Sea una red P ERT definida por, N = {A, B, C, D}, P A = {(A, B) , (A, C), (D)}, D = (3, 6, 5, 10). Los tiempos de inicio y finalizaci´on de cada actividad, en la ejecuci´on
de la red P ERT , son b = (0, 2, 2, 0) y e = (2, 11, 9, 10) y la funci´on de beneficio es B(x) = x, donde x es el adelanto final del proyecto. El problema consistir´a en imputar un valor a las actividades de tal forma que la suma de esos valores sea -1, dado que -1 es el beneficio generado en la red. - -R A C 5 B D 6 6 3 10
Cap´ıtulo 1. Introducci´on 35 - -R A C 8 B D 6 9 2 10
Figura 1.8: Red ejecutada
Una soluci´on factible es, por ejemplo (fA, fB, fC, fD) = (+1, −2, 0, 0).
La situaci´on planteada se da en muchos problemas reales. Por ejemplo, si se desea construir una casa. Hay un constructor que subcontrata una serie de actividades a otras firmas (ci- mentaci´on, alba˜niler´ıa, fontaner´ıa . . . ). Adem´as, este constructor vende la casa por anticipado y da una fecha de entrega a los compradores con la garant´ıa de que, en caso de retraso, les pa- gar´a un alquiler durante el tiempo extra que dure la obra. En esta situaci´on, cualquier retraso en la obra supone un aumento de costes, aumento que el constructor puede imputar, si as´ı lo firma en contrato, a las firmas que hayan ocasionado el retraso en la entrega, beneficiando a las firmas que hayan evitado un retraso mayor.
Otros sectores donde se da esta situaci´on de forma directa son: Construcci´on de obras publicas adjudicadas por concurso. Transporte de productos perecederos.
Retrasos en transportes (como el caso del AVE que devolv´ıa el dinero si llegaba con un retraso superior a 10 minutos o el de las compa˜n´ıas a´ereas que deben pagar indem- nizaci´on a los pasajeros cuando el vuelo se retrasa un determinado n´umero de horas).
Cap´ıtulo 1. Introducci´on 36
1.5.1. Antecedentes del problema APERT.
En Est´evez-Fern´andez et al. (2005)[14] se introde el problema model´andolo como un juego TU, definido en funci´on de otros dos juegos TU: el primero para los casos en que todas las actividades se han retrasado y el segundo para los casos en que todas las actividades se han adelantado.
El segundo y ´ultimo trabajo, se debe a Castro et al. (2007a)[9]. En ´el, se contin´ua modelizando el problema mediante la teor´ıa de juegos, aunque con un juego TU diferente, so- bre el que se estudian sus propiedades y se compara con el juego deinido en Est´evez-Fern´andez et al. (2005)[14]. En esta memoria, se estudian tres posibles conceptos de soluci´on, indicando las diferencias en cuanto a las propiedades que existen entre ellos.
1.5.2. Modelo APERT
Los elementos necesarios para la definici´on del problema son los siguientes: Una red P ERT .
Los tiempos de inicio reales de cada una de las actividades bi ∈ <+, ∀i ∈ N . Los tiempos de finalizaci´on reales de cada una de las actividades ei∈ <+, ∀i ∈ N .
La funci´on de beneficio asociada al adelanto del proyecto B(x), donde x es el adelanto sobre el tiempo estimado de finalizaci´on. Si el proyecto se retrasa, x es negativo y
B(x) ≤ 0.
Los tiempos de inicio y fin, deben cumplir las siguientes condiciones:
El tiempo de finalizaci´on de una actividad debe ser mayor que su tiempo de comienzo,
Cap´ıtulo 1. Introducci´on 37 Una actividad no puede comenzar hasta que finalicen todas las actividades que le prece- den, bi≥ m´axj∈P reImA(i){ej}.
Una vez definidos los elementos necesarios, se pasa a definir formalmente el problema. Definici´on 1.6 Un problema AP ERT es una 4-upla (P E, b, e, B), donde:
P E es una red P ERT .
b = (b1, . . . , bn) es el vector de tiempos iniciales observados de las actividades, donde bi
es el tiempo de inicio realizado por la actividad i, i = 1, . . . , n.
e = (e1, . . . , en) es el vector de tiempos finales observados de las actividades, donde ei
es el tiempo de finalizaci´on realizado por la actividad i, i = 1, . . . , n. B :< → <, es una funci´on de beneficios no decreciente, donde B(0) = 0.
A continuaci´on, se definen algunos conceptos relativos a la realizaci´on del proyecto: La duraci´on observada para la actividad i es, d0
i = ei− bi.
La duraci´on observada de el camino π es d0π = m´axi∈πei, ∀π ∈ P A.
El tiempo de finalizaci´on observado es T0 = m´ax
π∈P Ad0π = m´axi∈Nei.
El retraso (adelanto) observado de la actividad i es ri= d0i − di, ∀i ∈ N
El vector de retrasos-adelantos observados es R = {r1, . . . , rn}.
El retraso observado de la actividad i es ri+= (ri)+= m´ax{0, ri}, ∀i ∈ N .
El vector de retrasos observados es R+= {r+
1, . . . , rn+}.
El conjunto de actividades retrasadas es N∗∗= {i ∈ N , r i > 0}.
La holgura observada de el camino π es ps0
π = T0− d0π, ∀π ∈ P A.
La holgura observada de la actividad i es as0
Cap´ıtulo 1. Introducci´on 38 Se denota por APn la clase de todos los problemas AP ERT con n actividades y AP la clase
de todos los problemas CP ERT . Un reparto factible para un problema APn es un vector
(xi)i∈N ∈ <ntal queP
i∈Nxi= B(T −T0); el conjunto de repartos factibles es F (P E, b, e, B).
Una regla de reparto es una funci´on f que asigna a cada problema (P E, b, e, B) ∈ AP un reparto factible, f (P E, b, e, B) ∈ F (P E, b, e, B).