Reglas en una red PERT cr´ıtica

Una menci´on especial se merecen las redes P ERT cr´ıticas (una red P ERT es cr´ıtica cuando ∀ i ∈ N∗_{, as}

i = 0). Toda red puede ser transformarla en una red P ERT cr´ıtica,

Cap´ıtulo 3. Problema APERT 148 regla que cumpla la propiedad P O en el problema SP ERT donde se reparte en cada camino la holgura del camino en la red P ERT , S = P S.

En esta subclase de problemas AP ERT , se pueden usar las reglas definidas en la secci´on anterior y presentan las mismas virtudes y defectos. No obstante, es posible encontrar una regla ´unicamente aplicable a esta clase de redes que mejora en alg´un aspecto las reglas ante- riores.

Esta regla que se denota por f3_{, pertenece al coraz´on del juego, pero a diferencia de f}1

y f2 _{si puede cumple la propiedad BSA, por lo que el investigador no debe decidir si es la}

primera o la ´ultima actividad la que puede disponer de la holgura.

Definici´on 3.4 Dado un problema AP ERT (P E, b, e, B) donde B(x) = x, bi= m´ax i∈P redIm(xi,1)

ej

y P E es una red P ERT cr´ıtica

f_i3= X

π∈P Acrit

δ_iπ |P Acrit|

(−r_i+ s_i(π)),

para todo i ∈ N∗_{, donde P A}

crit = {π ∈ P A ,

X

j∈π

d0_j = T0}, δi,π es 1, si i ∈ π y 0, en otro

caso y si(π) = wi(π)psπ tal que wi(π) ≥ 0 ∀ i ∈ N∗, ∀ π ∈ P Acrit y

X

i∈π∩N∗

wi(π) = 1,

∀ π ∈ P Acrit.

Esta regla reparte el adelanto (retraso) entre las actividades no ficticias cr´ıticas en la ejecuci´on del proyecto, repartiendo la posible holgura del camino (holgura que s´olo pod´ıa ser usada por las actividades ficticias) en funci´on de unos pesos determinados con anterioridad. Si estos pesos cumplen aditividad en el sentido de las propiedades N M S y N AS y son tal que wi(π) = wj(π), ∀ π ∈ P Acrit, si i y j son actividades sim´etricas o paralelas, entonces

la regla presenta buenas propiedades.

Proposici´on 3.14 La regla f3 aplicado sobre redes P ERT cr´ıticas cumple U IS, N M S y N AS si lo pesos son aditivos, SE si la red P ERT es independiente de actividades ficticias,

Cap´ıtulo 3. Problema APERT 149

BSA y BP A si ∀ π ∈ P A_crit, w_i(π) = w_j(π), si i y j son actividades sim´etricas o paralelas,

no cumple U P S y pertenece al coraz´on del juego de proyectos (N∗_{, v}

(P E,R)).

Demostraci´on

Con argumentos similares a los usados en la proposici´on 3.13 cumple las propiedades

U IS, N M S y N AS si lo pesos son aditivos, BSA y BP A si ∀ π ∈ P A_crit, w_i(π) =

wj(π), si i y j son actividades sim´etricas o paralelas y no cumple U P S.

Si la red P ERT es independiente de actividades ficticias, psπ = 0, ∀ π ∈ P Acrit, lo que

implica el cumplimiento de SE.

Para ver la pertenencia al coraz´on, se debe tener el cuenta que en redes P ERT cr´ıticas

v_{(P E,R)}(S) = m´ın π∈P A ( X i∈π∩S −ri+ δS,πpsπ ) .

Se puede ver que ∀ π ∈ P A_crit X i∈π∩S −r_i+ X i∈π∩S s_i(π) ≥ X i∈π∩S −r_i+ δ_S,πps_π ≥ m´ın π∈P A ( X i∈π∩S −r_i+ δ_S,πps_π ) = v(S). Entonces X π∈P Acrit δiπ |P Acrit| X i∈π∩S (−ri+ si(π)) ≥ v(S) ⇒ X i∈S f_i3 ≥ v(S).

Evidentemente, la regla f3 _{es eficiente.}

¤ Siguiendo la metodolog´ıa expresada en el cap´ıtulo dos de este trabajo, los pesos que en este trabajo se recomiendan son, w1_i(π) = P di

j∈πdj

Cap´ıtulo 3. Problema APERT 150 variabilidad de la red o w_i2(π) = P bi− ai

j∈πbj− aj

si se dispone de informaci´on.

Por todo lo expuesto en esta secci´on, una forma natural de proceder para el reparto del adelanto (retraso) en una red P ERT es el siguiente:

1. Se calcula la soluci´on del problema SP ERT con S = P S, con una regla que cumpla la propiedad P O, (x_i).

2. Se supone que una actividad dispone de su duraci´on estimada en un principio m´as la holgura asignada en el problema SP ERT , luego la nueva duraci´on estimada para cada actividad es di+ xi.

3. Se calcula la soluci´on del problema AP ERT con las nuevas duraciones (lo que implica que el P ERT es cr´ıtico) con alguna regla definida cuando la red P ERT es cr´ıtica. Esta forma de proceder, le permite al investigador definir de forma libre la cantidad de holgura que cada actividad dispone a la hora de enfrentar el reparto del adelanto o retraso que se produzca en la red P ERT .

3.5.

Comparaci´on

En esta secci´on se presenta desde distintos puntos de vista la comparaci´on de las reglas presentadas a lo largo de este cap´ıtulo. No se presentan las posibles soluciones derivadas del juego de Est´evez-Fern´andez et al., dado que al no cumplir este juego las propiedades U IS,

N M S, N AS y SE es f´acil verificar que las soluciones que del juego se derivan incumplir´an

estas mismas propiedades. Los tres enfoques realizados son: En funci´on de las propiedades.

En funci´on de la complejidad. Mediante ejemplos significativos.

Cap´ıtulo 3. Problema APERT 151 La notaci´on usada es:

Sh para el valor de Shapley del juego original.

Shd_{para el valor de Shapley del juego resultante de repartir la holgura con la regla Q}w

con peso wi= di.

Shr_{para el valor de Shapley del juego resultante de repartir la holgura con la regla Q}w

con peso wi= bi− ai.

f1 _{para la regla f}1 _{del problema original.}

f1,d _{para la regla f}1 _{del problema resultante de repartir la holgura con la regla Q}w _con

peso wi= di.

f1,r para la regla f1 del problema resultante de repartir la holgura con la regla Qw con peso wi= bi− ai.

f2 _{para la regla f}2 _{del problema original.}

f2,d _{para la regla f}2 _{del problema resultante de repartir la holgura con la regla Q}w _con

peso w_i= d_i.

f2,r _{para la regla f}2 _{del problema resultante de repartir la holgura con la regla Q}w _con

peso wi= bi− ai.

f3,d _{para la regla f}3 _{del problema resultante de repartir la holgura con la regla Q}w _con

peso wi= di.

f3,r _{para la regla f}3 _{del problema resultante de repartir la holgura con la regla Q}w _con

peso wi= bi− ai.

En funci´on de esta comparativa se concluye que se debe primero convertir el P ERT en cr´ıtico (por lo visto en el cap´ıtulo anterior usando Qw_{con w}

i= dio wi= bi−aio Qccon ci = bi−di)

Cap´ıtulo 3. Problema APERT 152 se desea una soluci´on que no se altere ante las subdivisiones. Notar que el reparto realizado por la regla Qw _{con w}

i= bi− aies el mismo que resulta de aplicar la regla Qccon ci= bi− di

en todos los ejemplos que se ver´an a continuaci´on.

3.5.1. En funci´on de las propiedades

Con anterioridad, en las proposiciones 3.12, 3.13 y 3.14, se ha estudiado el cumplimiento o incumplimiento de cada una de las propiedades para cada una de las reglas, con lo que esta secci´on se limita a resumir en la tabla 3.1, toda esa informaci´on.

Cuadro 3.1: Cumplimiento de propiedades

Sh; Shd_{; Sh}r _f1_{; f}1,d_{; f}1,r_{; f}2_{; f}2,d_{; f}2,r _f3,d_{; f}3,r BSA √ √ BPA √ √ √ UIS √ √ √ UPS √ SE √ √ √ NMS √ √ NAS √ √ Core √ √ 3.5.2. En funci´on de la complejidad.

El c´alculo del valor de Shapley es de complejidad exponencial, dado que la suma a realizar es en los subconjuntos de las actividades (que son 2n). Adem´as, para un problema general, se deben enumerar los caminos para poder calcular el m´ınimo, lo que es nuevamente de complejidad exponencial. Se debe destacar que en el caso de ser una red P ERT cr´ıtica, esta necesidad de explicitar todos los caminos, se elimina con la utilizaci´on del algoritmo

V AP ERT . En general, se puede decir que el valor de Shapley tiene una complejidad de

Cap´ıtulo 3. Problema APERT 153 La complejidad en el c´alculo de las soluciones f1_{, f}2 _{y f}3 _{radica en la enumeraci´on de los}

caminos cr´ıticos en el P ERT ejecutado. Si bien esta enumeraci´on es en el peor de los casos de complejidad exponencial, en media la complejidad es notablemente inferior, no muchos caminos tienen exactamente la misma duraci´on. Por ello, se puede decir que las reglas f1_{, f}2

y f3 _{tienen una complejidad de c´alculo no elevada.}

3.5.3. Mediante ejemplos significativos.

En esta secci´on se presentan diversos ejemplos ilustrativos que muestran las irregulari- dades en determinadas situaciones reales generadas por la utilizaci´on de alguna de las reglas. En todos los ejemplos se supone que B(x) = x ∀ x ∈ < y que b_i = m´ax

{j∈P redIm(xi,1)}

e_j. Irrelevancia de las duraciones

Este ejemplo ilustra que no todas las reglas consideran la duraci´on de las actividades. Ejemplo 3.8 Dado el problema AP ERT (P E, e, b, B) ∈ APn _{donde N = {A, B, C}; A ∼}

β(0, 1, 2), B ∼ β(999, 1000, 1001), C ∼ β(11000, 1101, 1102), P A = {{A, B}, {C}}; D =

(1, 1000, 1101) y R = (1, 100, 0), se muestra en la tabla 3.2 que las diferencias en las duraciones s´olo son consideradas por las reglas Shd_{, f}1,d_{, f}2,d _{y f}3,d_.

- - A B C 1 - 1000 1101

Cap´ıtulo 3. Problema APERT 154 Cuadro 3.2: Reparto del ejemplo 3.8.

Sh; f1,r_{; f}2,r_{; f}3,r _Shd_{; f}1,d_{; f}2,d_{; f}3,d _Shr _f1 _f2

f_A 49 -0.9 24.5 99 -1

fB -50 -0.1 -25.5 -100 0

fC 0 0 0 0 0

Comportamiento ante la dispersi´on.

Este ejemplo ilustra que no todas las reglas consideran la dispersi´on de la duraci´on de las actividades.

Ejemplo 3.9 Dado el problema AP ERT (P E, e, b, B) ∈ APn _{donde N = {A, B, C}; A ∼}

β(0, 100, 200), B ∼ β(50, 100, 150), C ∼ β(300, 350, 400), P A = {{A, B}, {C}}; D = (100, 100,

350) y R = (100, 50, 0), se muestra en la tabla 3.3 que s´olo las reglas Shr_{, f}1,r_{, f}2,r_{, f}3,r_con-

sideran en su soluci´on la dispersi´on de la duraci´on de las actividades, lo que produce que ambas actividades puedan disponer de la m´axima holgura que pueden necesitar teniendo en cuenta su distribuci´on y por lo tanto no sean penalizadas ninguna de las dos.

- - A B C 100 - 100 350

Figura 3.10: Red del ejemplo 3.9. Cuadro 3.3: Reparto del ejemplo 3.9.

Sh; f1,d_{; f}2,d_{; f}3,d _Shd _f1 _f2 _Shr_{; f}1,r_{; f}2,r_{; f}3,r

fA -25 -12.5 50 -100 0

fB 25 12.5 -50 100 0

Cap´ıtulo 3. Problema APERT 155 Variaci´on producida por subdivisi´on.

En este ejemplo se muestra que no todas las reglas son irrelevantes bajo subdivisi´on de actividades cuando la variable original es el resultado de la suma de las variables aleatorias de las subactividades generadas.

Ejemplo 3.10 Dado los juegos de proyectos (N, v_{(P E,R)}) y (M, v_{(P E}∗_,R∗₎), donde N = {A, B,

B0}; P A = {(A); (B, B0)}; D = (2, 1, 1); R = (1, 1, 2); M = {A, B}; P A∗ = {(A)(B)};

D∗ _{= (2, 2); R}∗ _{= (1, 3); se puede ver en las tablas 3.4 y 3.5 que el valor de Shapley no es}

estable ante subdivisiones. Esto se debe a que considera que al estar m´as dividido el enemigo (el resto de las actividades) su poder de negociaci´on es mayor y por lo tanto su resultado mejora. El resto de las reglas son inalterables ante subdivisiones.

- - A B 2 2

Figura 3.11: Red del ejemplo 3.10 sin subdivisiones.

j 1 - A B _B’ 2 1 1

Figura 3.12: Red del ejemplo 3.10 con subdivisiones. Cuadro 3.4: Reparto en el ejemplo 3.10 sin subdivisiones

Sh; Shd; Shr; f1; f1,d; f1,r; f2; f2,d; f2,r; f3,d; f3,r

fA -1/2

Cap´ıtulo 3. Problema APERT 156 Cuadro 3.5: Reparto en el ejemplo 3.10 con subdivisiones

Sh; Shd_{; Sh}r _f1_{; f}1,d_{; f}1,r_{; f}2_{; f}2,d_{; f}2,r_{; f}3,d_{; f}3,r

f_A -1/3 -1/2

fB+ f_B0 -8/3 -5/2

Inestabilidad de las soluciones.

El siguiente ejemplo ilustra que no todas las soluciones son estables, menores cambios introducidos en el problema causan importantes cambios en las soluciones.

Ejemplo 3.11 Dado el problema AP ERT (P E, e, b, B) ∈ APn _{donde N = {(A), (B)};}

A ∼ β(0, 2, 4), B ∼ β(0, 2, 4), P A = {{A, B}}; D = (2, 2) y R = (1, 1), la soluci´on de todas

las reglas es igual, sin embargo con s´olo variar levemente el vector de retrasos R∗ _{= (1, (1+²))}

todas las soluciones menos Sh, Shd y Shr var´ıan notablemente, como se puede ver en las tablas 3.6 y 3.7. - - A B 2 2

Figura 3.13: Red del ejemplo 3.11. Cuadro 3.6: Reparto en el ejemplo 3.11.

Sh; Shd_{; Sh}r_{; f}1_{; f}1,d_{; f}1,r_{; f}2_{; f}2,d_{; f}2,r_{; f}3,d_{; f}3,r

fA -0.5

Cap´ıtulo 3. Problema APERT 157 Cuadro 3.7: Reparto en el ejemplo 3.11 con la variaci´on

Sh; Shd_{; Sh}r _f1_{; f}1,d_{; f}1,r_{; f}2_{; f}2,d_{; f}2,r_{; f}3,d_{; f}3,r

f_A -0.5 0

fB −0,5 − ² −1 − ²

Utilizaci´on de la holgura no asignada.

Este ejemplo ilustra como se usa la holgura no asignada a ninguna actividad en un P ERT cr´ıtico.

Ejemplo 3.12 Dado el problema AP ERT (P E, e, b, B) ∈ APn_{donde N = {A, B, C, D, E};}

P A = {(A, C), (D, B, C), (D, E)}; D = (3, 0, 1, 1, 3) y R = {0, 0, 4, 4, 0} y como se ve en la

tabla 3.8, las reglas f1, f1,d, f1,r, f2, f2,d y f2,r usan la holgura que s´olo puede ser usada por las actividades ficticias de una forma partidista. Las reglas Sh, Shd_{, Sh}r_{, f}3,d _{y f}3,r _la

usan de forma equitativa, entre las actividades del camino al que pertenecen.

R - - 6 µ A B C D E 3 1 1 0 3

Figura 3.14: Red del ejemplo 3.12. Cuadro 3.8: Reparto del ejemplo 3.12.

Sh; Shd_{; Sh}r _f1_{; f}1,d_{; f}1,r _f2_{; f}2,d_{; f}2,r _f3,d_{; f}3,r

fA 0 0 0 0

f_C -3 -4 -2 -3

fD -3 -2 -4 -3

Cap´ıtulo 3. Problema APERT 158 Irrelevancia del n´umero de caminos

Este ejemplo ilustra que las reglas definidas pertenecientes al coraz´on tienen una gran dependencia del n´umero de caminos.

Ejemplo 3.13 Dado el problema AP ERT (P E, e, b, B) ∈ APn_{donde N = {A, B1, . . . , B18}}

A ∼ β(5, 6, 7), Bi ∼ β(0, 1, 2), P A definidos en la red, D = (6, 1, . . . , 1) y R = (6, 1, . . . , 1), la

soluci´on de las reglas que enumeran los caminos tienen una alta dependencia de ello, como se muestra en la tabla 3.9 , as´ı en este ejemplo, cada actividad Bi tiene una culpabilidad

40 veces superior a la culpabilidad de la actividad A. Esto se debe a que cada actividad Bi

pertenece a 729 caminos y la actividad A s´olo a un camino.

- ? - - - - - 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6 A B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16 B17 B18 6

Figura 3.15: Red del ejemplo 3.13. Cuadro 3.9: Reparto en el ejemplo 3.13.

Sh; Shd_{; Sh}r _f1_{; f}1,d_{; f}1,r_{; f}2_{; f}2,d_{; f}2,r_{; f}3,d_{; f}3,r

f_A -1.5 -6/730=-0.00816

Cap´ıtulo 4

Problema CPERT

Como se ha visto en la introducci´on, el problema CP ERT se define como una 4-upla (P E, e, b, C) siendo P E la red P ERT , e el vector de tiempos de inicio en la ejecuci´on, b el vector de tiempos de finalizaci´on en la ejecuci´on y C la funci´on de costes asociada al retraso del proyecto y consiste en el reparto del coste generado despu´es de una ejecuci´on de un problema P ERT . Es decir, las actividades s´olo se reparten costes, nunca beneficios.

En este cap´ıtulo, se exponen los distintos planteamientos para abordar el problema CP ERT . A diferencia de lo sucedido en el problema AP ERT , se estudian las soluciones para cualquier funci´on de costes, aunque manteniendo las suposiciones sobre las ventanas de tiempo (i.e. las actividades deben empezar cuando sus predecesoras terminan, bi = m´ax

i∈P redIm(xi,1)

ei) y sobre

el hecho de que la red es est´atica.

El reparto de costes se realiza entre las actividades retrasadas (i.e. d0

i > di). Eso implica

que las actividades ficticias y las actividades no retrasadas, no deben formar parte del conjunto de agentes sobre los que se realiza el reparto.

El problema CP ERT se aborda desde distintas metodolog´ıas de reparto.

La teor´ıa de bancarrota, basada en la creaci´on de unas peticiones por parte de las actividades y en funci´on de ellas realizar el reparto.

Cap´ıtulo 4. Problema CPERT 160

In document Reparto de holguras y costes en una red Pert (página 158-171)