El problema CP ERT (problema de reparto de costes en una red P ERT ) consiste en el reparto del coste generado por el retraso en el tiempo de finalizaci´on estimado de una red
P ERT ; es decir, si se plantea una red P ERT , se realiza su ejecuci´on y, cuando finaliza ´esta,
se comprueba que se ha producido un retraso en su finalizaci´on (obviamente, esto se debe a que han existido algunas actividades que han tardado m´as de lo estimado en un principio), el problema consiste en adjudicar, a estas actividades que se han retrasado, el coste de este retraso final producido.
La situaci´on planteada se da en las mismas circunstancias que las descritas en el problema
AP ERT . Sin embargo, en este problema, el enfoque es distinto, al no permitir pagos entre
actividades, es decir, el problema CP ERT se plantea como un reparto de costes, por lo que s´olo hay valores positivos e indican pagos de las actividades, al contrario que suced´ıa en el problema AP ERT .
A continuaci´on, se introduce un ejemplo para la mejor compresi´on del problema.
Ejemplo 1.4 Dada una red P ERT definida por, N = {A, B, C, D}, P A = {(A, C), (B, C),
D}, D = (10, 8, 5, 20) y dados los tiempos de inicio y finalizaci´on de cada actividad, b =
(0, 0, 15, 0), e = (15, 13, 23, 18), respectivamente, y suponiendo que la funci´on de coste es la
identidad, el problema consistir´ıa en imputar el retraso de tres unidades (diferencia entre el tiempo de finalizaci´on observado y el estimado), entre las actividades que se han retrasado, i.e. {A, B, C}.
Cap´ıtulo 1. Introducci´on 39 - -R A 10 C 5 D µ B 8 20
Figura 1.9: Red planeada
- -R A 15 C 8 D µ B 13 18
Figura 1.10: Red ejecutada
Una soluci´on factibles es, por ejemplo (fA, fB, fC) = (2, 0, 1).
Por ´ultimo hay que indicar, que este planteamiento se puede ver como una particu- larizaci´on del problema AP ERT , dado que se restringe a los problemas en los que ha existido retraso y a las reglas que no asignan adelantos a ninguna actividad.
1.6.1. Antecedentes del problema CPERT
En la literatura se encuentran dos formas de afrontar el problema CP ERT .
Reglas en dos pasos: Se realiza un reparto del coste entre los distintos caminos que han superado el tiempo de finalizaci´on del proyecto y, con posterioridad, se reparte el coste asignado a cada camino entre las distintas actividades del camino. La forma de realizar estos dos repartos, es lo que diferencia los distintos m´etodos.
Cap´ıtulo 1. Introducci´on 40 Reglas en un paso: Se realiza un reparto del coste entre las distintas actividades que se han retrasado, sin realizar previamente un reparto entre los caminos.
Se encuentran tres reglas en dos pasos en la literatura. Brˆanzei et al. (2002) [6] utilizan en el primer paso la regla secuencial ponderada, usando la suma de los retrasos de las actividades del camino como peso, y el segundo paso se realiza repartiendo de forma proporcional a los retrasos. Berganti˜nos y S´anchez (2002c)[4] definen dos reglas en dos pasos. En la primera, ambos pasos se modelizan mediante una regla de tipo secuencial. En la segunda regla, ambos pasos se modelizan usando la teor´ıa de juegos cooperativos y dando el valor de Shapley como soluci´on.
Con respecto a las reglas en un paso, existen dos reglas en la literatura, Brˆanzei et al. (2002)[6] utilizan las diferentes reglas del problema de bancarrota, usando el retraso de cada actividad como petici´on. En este art´ıculo, tambi´en se usan algunas reglas de la teor´ıa de juegos como posibles repartos. Castro et al. (2006)[8], definen unas reglas basadas en el reparto secuencial.
1.6.2. Modelo CPERT
Los elementos necesarios para la definici´on del problema CP ERT y las relaciones existente entre ellos, son los mismos que en el problema AP ERT , cambiando la funci´on de beneficios por la funci´on de costes, donde C(x) es la funci´on de costes asociada al proyecto, siendo x el retraso sobre el tiempo estimado de finalizaci´on.
Definici´on 1.7 Un problema CP ERT es una 4-upla (P E, b, e, C), donde:
P E es una red P ERT .
b = (b1, . . . , bn) es el vector de tiempos iniciales observados de las actividades, donde bi
es el tiempo de inicio realizado por la actividad i, i = 1, . . . , n.
e = (e1, . . . , en) es el vector de tiempos finales observados de las actividades, donde ei
Cap´ıtulo 1. Introducci´on 41
C :<+→ <+, es una funci´on de costes no decreciente, donde C(0) = 0.
La notaci´on introducida para el problema AP ERT seguir´a siendo utilizada para el problema
CP ERT .
Se denota por CPn la clase de todos los problemas CP ERT con n actividades y CP
la clase de todos los problemas CP ERT . Un reparto factible para un problema CPn es
un vector (xi)i∈N ∈ <n tal que xi = 0, i ∈ N \ N∗∗, xi ≥ 0, ∀i ∈ N∗∗ y
P
i∈Nxi =
C((T0− T )
+); el conjunto de repartos factibles es F (P E, b, e, C). Una regla de reparto es una
funci´on f que asigna a cada problema (P E, b, e, C) ∈ CP un reparto factible, f (P E, b, e, C) ∈
Cap´ıtulo 2
Problema SPERT
Una vez presentado el problema SP ERT en la introducci´on, en este cap´ıtulo, se expondr´an los distintos enfoques que aparecen en la literatura para abordar el problema SP ERT . Por ello, este cap´ıtulo puede ser considerado una recopilaci´on de los distintos enfoques y reglas que sobre este problema se han presentado hasta la actualidad.
Concretamente, se comienza con las propiedades de una regla en un problema SP ERT ; se contin´ua con las soluciones aportadas mediante la modelizaci´on del problema como un juego
N T U ; se sigue con las soluciones resultantes de la utilizaci´on del problema con restricciones y
peticiones (P CC); se prosigue con las soluciones logradas mediante la utilizaci´on del problema con restricciones y pesos (P CW ); y se finaliza con una completa comparativa entre todas las soluciones aportadas.
2.1.
Propiedades de una regla en el problema SPERT
En esta secci´on, se definen algunas propiedades deseables de las soluciones factibles del problema SP ERT . Estas propiedades fueron introducidas en Berganti˜nos y S´anchez (2002b)[3].
La primera y segunda propiedad, requieren que la soluci´on pertenezca a la frontera de 42
Cap´ıtulo 2. Problema SPERT 43