a k = h(n) para cada n ∈ ω

Como ´ultimo ejemplo sobre tipos de recursi´on, consideremos la sucesi´on de Fibonacci definida por

f 

0

= 0

f 

1

= 1

f 

n+2

= f 

n

 + f 

n+1  para

 n ∈ ω.

N ´otese que la sucesi´on tiene dos t´erminos iniciales y que la operaci´on de recursi´on depende de los d´os t´erminos anteriores, lo cual hace que la sucesi´on no pueda ser generada por los Teoremas ante- riores. Por lo tanto, se debe formular un caso general de recursi´on donde la operaci´on de recursi´on depende de todos los t´erminos anteriores.

Antes de formular la versi´on general del Teorema de la Recursi´on, introducimos la siguiente notaci´on.

3.7 Definici´on. Sea

 A

 un conjunto.

(1) Dado un conjunto

 I 

, definimos6 I 

A = _{f / f  : I  _→

A_}

. Este conjunto representa la colecci´on de funciones de

 I 

en

 A

. Tambi´en representa la colecci´on de sucesiones en

 A

 indizadas por

 I 

(ver Definici´on 3.1).

(2) Dado

 n

_∈ ω

, seg´un (1), n

A

 es el conjunto de sucesiones en

 A

 de longitud 

 n

.

(3) ω

A

 es el conjunto de sucesiones enumerables en

 A

.

(4) sq

(A) =



_n∈ω n

A

 es el conjunto de sucesiones finitas en

 A

.

3.8 Ejemplo. (1) 0

A = _{∅_}

, pues la ´unica funci´on con dominio vac´ıo es

∅

. Dicho de otro modo, es la ´unica sucesi´on de longitud

 0

.

(2) 1

A = _{a_/ a

_∈ A_}

. Aqu´ı

 _a_

 representa la sucesi´on de longitud

 1

 conformada por el objeto

A

, es decir, una funci´on de

 1

 hasta

 A

 tal que la imagen de 0 es

 a

.

6_{Es subconjunto deP (}

Volviendo al ejemplo de la sucesi´on de fibonacci, necesitamos una operaci´on de recursi´on que se aplique a los t´erminos anteriores. Si denotamos por

 F 

 dicha operaci´on,

f 

n se debe obtener de

los t´erminos anteriores, los cuales podemos reunir en la sucesi´on

 _f 

k



k<n, de modo que

f 

n

=

F (_f 

k



k<n

)

. De ´esto se infiere que

F 

  es una operaci´on que se aplica a sucesiones finitas, en este

caso, a elementos en sq

(ω)

. Por lo tanto, definimos

 F  :

 sq

(ω)_→ ω

 tal que

F (_a

k



k<n

) =





0

si

 n = 0

,

1

si

 n = 1

,

a

n−1

 + a

n−2 si

 n > 1

.

En el caso

 n > 1

 se entiende claramente de que el

 n

-´esimo t´ermino se obtiene de sumar los dos anteriores. Los casos

 n = 0

 y

 n = 1

 se toman s´olo para definir los t ´erminos iniciales, pues estos s´olo dependen de ser el 0-´esimo y 1-er paso de la construcci´on. As´ı, para definir una sucesi´on por recursion general s´olo se necesita una operaci´on de recursi´on, como se menciona a continuaci´on. 3.9 Teorema (de la Recursi´on (versi´on general)). Sea

 A

 un conjunto y

 F  :

sq

(A) _→

A

. Entonces existe una ´ unica funci´ on

 h : ω _→ A

 tal que

h(n) = F (_h(k)_

k<n

),

n ∈ ω.

Demostraci´on.   Como 0

A = _{∅_}

es claro

∅ _∈

 sq

(A)

. Consideremos

F  :



 sq

(A) _→

 sq

(A)

 tal que, si

 t

_∈

 sq

(A)

 y tiene la forma

 t = _a

k



k<n, entonces

F (t)



 es la sucesi´on de longitud

 n

+ que resulta

de adjuntar a la sucesi´on

 t

 el t´ermino

 F (t)

, es decir,

F (t) = t



_{∪ {}(n, F (t))_}

o, dicho de otra forma,

 

F (t) =

F 



t

 : n

+

→

A

 tal que

 

F 

t

(k) =



a

k si

 k < n

,

F (_a

k



k<n

)

si

 k = n

.

Aplicamos el Teorema 3.3 a sq

(A)

,

∅

(como t´ermino inicial) y a

F  :



 sq

(A) _→

 sq

(A)

 para obtener una ´unica funci´on

 H  : ω _→

sq

(A)

 tal que, si denotamos

 H 

n

 = H (n)

,

H 

0

=∅

H 

n+

=F (H 



_n

)

 para

 n ∈ ω

.

Como

t

_⊆

 

F (t)

  para todo

t

_∈

sq

(A)

, se obtiene

H 

n

⊆

H 

n+  para

n

∈

ω

, de donde se con-

cluye que

 H  : ω _→

sq

(A)

 es una funci´on creciente (donde sq

(A)

 se ordena por

 _⊆

). Por lo tanto,

{H 

n

 / n ∈ ω}

 es un conjunto de funciones compatibles, de donde

 h =



_n∈ω

 H 

n es una funci´on.

Es f´acil ver que dom

h =



_n∈ω dom

H 

n

 = ω

 y ran

h ⊆A

, por lo cual

 h : ω →A

 y

Para la unicidad, sea

 h

′

: ω _→ A

 tal que

 h

′

(n) = F (_h

′

(k)_

k<n

)

 y veamos que

 h

′

= h

. Definamos

la funci´on

H 

′

: ω _→

sq

(A)

 tal que

H 

_n′

= H 

′

(n) = _h

′

(k)_

k<n. Luego,

H 

0′

=

∅

 porque tiene

dominio vac´ıo y, dado

 n

_∈ ω

,

H 

_n′+

(k) =



h

′

(k) = H 

_n′

(k)

si

 k < n

,

F (_h

′

(k)_

k<n

) = F (H 

n′

(k)

k<n

)

si

 k = n

,

es decir,

H 

_n′+

=

F 



H n

=

F (H 



n

)

. As´ı,

 H 

y

 H 

′ _{satisfacen la misma recursi´on respecto}

 _∅

_y



F 

de donde, por unicidad,

 H  = H 

′. Por lo tanto, dado

 n _∈ ω

,

 h(n) = H 

_n+

(n) = H 

_n′₊

(n) = h

′

(n)

, de

donde

 h = h

′.

3.10 Ejemplo.  Apliquemos el Teorema anterior para

 A = ω

 y

 F  :

 sq

(ω) _→ω

 tal que

F (_a

k



k<n

) =





0

si

 n = 0

,

1

si

 n = 1

,

a

n−1

 + a

n−2 si

 n > 1

.

Se sigue que existe una ´unica funci´on

 f  : ω _→A

tal que

 f (n) = F (_f (k)_

k<n

)

 para

n ∈ ω

. N ´otese

que

f (0) = F (_f (k)_

k<0

) = 0

f (1) = F (_f (k)_

k<1

) = 1

f (n) = F (_f (k)_

k<n

) = f (n−1) + f (n + 2)

si

 n > 1

.

As´ı, con

 f 

n

 = f (n)

, se sigue que

f 

n



n∈ω es la sucesi´on de Fibonacci. 2.19 Ejercicio.   Justifique:

(a) Dado t : I 

 _→

A, entoncest =

 _

t(i)

_

i∈I .

(b) Si t =

 _

ai



i∈I  entonces

∀

i∈I (t(i) =  ai).

2.20 Ejercicio.  Utilice el Teorema 3.3 para construir las siguientes sucesiones. (a) a0 = 1

an+ = a_n

·

3  para n

 ∈

ω. Indique a qu´e es igual an.

(b) b0 =

√ 

2

bn+ =

√ 

2 + b_n  para n

 ∈

ω.

(c) Dado m

_∈

ω,

c0 = 0

cn+ = c_n + m  para n

 ∈

ω.

Indique a qu´e es igual cn.

2.21 Ejercicio.   Dado

_

an



n∈ω sucesi´on en

R

, utilice el Teorema 3.5 para definir n



k=0

ak para n

 ∈

 ω.

2.23 Ejercicio. Sea F  : A

 _→

 A inyectiva tal que c

 _∈

 A



ranF . Si h  :  ω

 _→

 A es la funci´on generada por recursi´on con c como t´ermino inicial y la operaci´on F , pruebe que h es inyectiva. Sugerencia: Pruebe que

∀

k<n(h(k)



= h(n)) por inducci ´ on sobre n.

2.24 Ejercicio. Si B

 

A y f  : A

_→

B es inyectiva, entonces existe h : ω

 _→

A inyectiva. 2.25 Ejercicio. Sea

_

A,

_≤

A



un C.B.O. no vac´ıo que no tiene m´aximo. Probar

(a) Existe una funci´on f  : ω

 _→

A estrictamente creciente. (b) ω es isomorfo a una secci´on de A.

2.26 Ejercicio.  Pruebe que sq(A) es un conjunto. Adem´as, indique a qu´e son iguales sq(

∅

) y sq(

_{

x

_}

). 2.27 Ejercicio. Pruebe que el Teorema 3.3 implica 3.5.  Sugerencia: Defina F  : ω



 _×

A

 _→

ω

 _×

A tal que

 

F (n, x) = (n+, F (n, x)) y aplique recursi ´ on simple a esta funci´ on con t ´ ermino inicial (0, c). 2.28 Ejercicio.  Enuncie la versi´on general con par´ametro del Teorema de la Recursi´on.

2.4. Operaciones

Una consecuencia importante del Teorema de la Recursi´on es definir las operaciones suma y producto, de modo que se satisfagan los axiomas de Peano P5-P8 (ver secci´on 2.1). Por ejemplo, para la operaci´on suma necesitamos una funci´on

 + : ω _×ω _→ ω

, en donde denotamos

 m + n =

+(m, n)

, tal que se satisface

m + 0 = m

  para

 m _∈ω

,

m + n

+

= (m + n)

+ para

 m, n_∈ ω

.

Lo anterior indica que, fijando

 m _∈

ω

, se puede definir

 m + n

 mediante recursi´on sobre

 m

. Por lo tanto, se est´a haciendo una recursi´on por cada

m _∈

ω

, es decir, m´ ultiples recursiones. As´ı, si tomamos

 m

 como t´ermino inicial y la operaci´on

 F 

m

: ω →

ω

 tal que

 F 

m

(x) = x

+, al aplicar 3.3

obtenemos una ´unica funci´on

 h

m

 : ω →ω

 tal que

h

m

(0) = m

h

m

(n

+

) = (h

m

(n))

+ para

 n

∈ ω

.

De este modo, si definimos

 +(m, n) = h

m

(n)

, obtenemos la suma. Una pregunta natural es si la

operaci´on

 +

 definida es la ´unica que satisface la recursi´on que debe cumplir la suma. Para responder ´esto, se puede suponer que existe otra funci´on

+

′

: ω _× ω

_→

ω

 tal que (al denotar

m +

′

n =

+

′

(m, n)

)

m +

′

0 = m

  para

 m

_∈ ω

,

m +

′

n

+

= (m +

′

n)

+ para

 m, n_∈ ω

,

y probar que

 +

′

= +

, lo cual necesita de la unicidad de

h

m. Este procedimiento se puede generalizar

N ´otese que, para cada

 m _∈ ω

, se toma un t´ermino inicial

 m

 y una operaci´on

 F 

m. Como el t´ermino

inicial depende de

 m

, podemos definir una funci´on

 g : ω _→

ω

 tal que

 g(m) = m

, de modo que

g

 genere los t´erminos iniciales para cada

 m _∈

ω

. Por otra parte, para las operaciones, definimos

F  : ω _×ω _→

ω

 tal que

 F (m, x) = x

+ (notese que, en este caso, la operaci´on no depende de

 m

). As´ı, la operaci ´on

 + : ω

_×ω _→ω

 debe satisfacer

+(m, 0) = g(m)

  para

 m

_∈ ω

,

+(m, n

+

) = F (m, +(m, n))

 para

 m, n

_∈ ω

.

Por lo tanto, para una recursi´on m´ultiple como en el caso anterior, necesitamos una funci´on de

t ´ erminos iniciales y una operaci´ on de recursi´ on m ´ ultiple, lo cual se enuncia en el siguiente resultado. 4.1 Teorema (de la Recursi´on (m´ultiple)).  Sean

A

e

I 

 conjuntos (la intenci´ on es hacer una recursi´ on  por cada

 i _∈ I 

) y consideremos

g : I  _→A

  funci´ on de t ´ erminos iniciales

F  : I  _×A

_→A

 operaci´ on de recursi´ on m´ ultiple.  Entonces existe una ´ unica funci´ on

 h : I  _×ω _→A

 tal que

h(i, 0) = g(i)

  para

 i

_∈ I 

 ,

h(i, n

+

) = F (i, h(i, n))

  para

 i

_∈ I 

y

 n

_∈ ω

.

Demostraci´on.   Fijemos

 i _∈

I 

 y denotemos

 c

i

= g(i)

 y

 F 

i

: A → A

 tal que

 F 

i

(x) = F (i, x)

. Al

aplicar el Teorema 3.3 a

 A

,

 c

i y

 F 

i, existe una ´unica funci´on

 h

i

: ω → A

 tal que

h

i

(0) = c

i

h

i

(n

+

) = F 

i

(h

i

(n))

 para

 n

∈ ω

.

Definimos

 h : I  _×ω _→ ω

 tal que

 h(i, n) = h

i

(n)

 para

 i ∈ I 

y

 n ∈ ω

. Luego,

 h(i, 0) = h

i

(0) =

c

i

= g(i)

 y

h(i, n

+

) = h

i

(n

+

) = F 

i

(h

i

(n)) = F (i, h

i

(n)) = F (i, h(i, n)).

Por lo tanto,

 h

 satisface la recursi´on m´ultiple del enunciado.

Para la unicidad, supongamos que

h

′

: I _×ω _→A

es una funci´on que tambi´en satisface la recursi´on m´ultiple. Fijemos

i

_∈

I 

  y definamos

h

′_i

: ω

_→

A

 tal que

h

′_i

(n) = h

′

(i, n)

. Luego,

h

′_i

(0) =

h

′

(i, 0) = g(i) = c

i y, para

 n

∈ ω

,

h

′_i

(n

+

) = h

′

(i, n

+

) = F (i, h

′

(i, n)) = F 

i

(h

′

(i, n)) = F 

i

(h

′i

(n)).

Por lo tanto,

 h

′_i satisface la misma recursi´on que

 h

i de donde, por la unicidad en el Teorema 3.3,

h

i

 = h

′_i para cada

 i ∈ I 

. Por lo tanto,

h

′

(i, n) = h

′_i

(n) = h

i

(n) = h(i, n)

4.2 Teorema (Suma de naturales).  Existe una ´ unica operaci´ on

 + : ω

_×ω _→ ω

 , donde denotamos

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