Operaciones y equipotencia

En esta secci´on vamos a mostrar algunos resultados de c´omo se comporta la equipotencia re- specto a ciertas operaciones de conjuntos, tanto para conjuntos finitos como infinitos. Para comen- zar, el siguiente resultado ilustra que la equipotencia se preserva bajo uniones disjuntas, productos, conjuntos de funciones y partes.

2.1 Lema. Si

 A _≈C 

y

 B _≈D

 , entonces

(a) Si

 A_∩B = C  _∩D =

∅

entonces

 A_∪B _≈C  _∪D

. (b)

A_×B _≈C  _×D

.

(c) B

A_≈

D

C 

.

(d)

_P (A) _{≈ P} (C )

.

Demostraci´on.   Supongamos

A _≈

C 

y

B

_≈

D

, de donde existen

f  : A _→

C 

y

g : B

_→

D

biyectivas.

(a) Si

A_∩B = C _∩D =

∅

entonces

f _∪g : A_∪B _→C _∪D

es biyectiva, por lo cual

A_∪B _≈C _∪D

. (b) Defina

h : A_×B _→C _×D

 tal que

h(x, y) = (f (x), g(y))

 para

x_∈ A

y

y _∈ B

. Para probar que

h

 es biyectiva basta encontrarle una inversa a izquierda y derecha. Para este efecto, definamos

 

h : C  _×D _→A_×B

 tal que

 

h(u, v) = (f 

−1

(u), g

−1

(v))

 para

 u_∈ C 

 y

 v _∈ D

. Veamos

 

h_◦h = I 

A×B:  Como ambas funciones tienen el mismo dominio, basta ver que

 

h(h(x, y)) =

(x, y)

 para

 x

_∈ A

 y

 y _∈B

. En efecto,

 

h(h(x, y)) =

 

h(f (x), g(y)) = (f 

−1

(f (x)), g

−1

(g(y))) = (x, y).

h

 

_◦h = I 

C ×D:  Como ambas funciones tienen el mismo dominio, basta ver que

 h(

 

h(u, v)) =

(u, v)

 para

 u

_∈ C 

 y

 v _∈ D

. En efecto,

h(

 

h(u, v)) = h(f 

−1

(u), g

−1

(v)) = (f (f 

−1

(u)), g(g

−1

(v))) = (u, v).

Por lo tanto,

 

h

 es inversa a iquierda y a derecha de

 h

, de donde

 h

 es biyectiva y

 h

−1

=

 

h

. As´ı,

A_×B _≈C  _×D

.

(c) Sea

 H  :

A

B _→

C 

D

 tal que

 H (x) = g

_◦x_◦f 

−1 para

 x_∈

A

B

.

A

B

C

D

C

D

A

B

 

f 



x

 

g



y



H (x)

 

f 



 

H (y)

 

g

Definamos

H  :



C 

D _→

A

B

 tal que

H (y) = g



−1

_◦y_◦f 

 para

 y _∈

C 

D

, veamos que es inversa a izquierda y a derecha de

 H 

.

 

H  _◦H  = I 

A_B: Si

 x ∈

A

B

 entonces

 

H (H (x)) =H (g



_◦x_◦f 

−1

) = g

−1

_◦g_◦x_◦f 

−1

_◦f  = I 

B

 ◦x◦I 

A

 = x.

H  _◦H  = I 



C _D: Si

 y ∈

C 

D

 entonces

H (

 

H (y)) = H (g

−1

_◦y_◦f ) = g

_◦g

−1

_◦y_◦f  _◦f 

−1

= I 

D

 ◦y◦I 

C 

= y.

Por lo tanto,

 H 

 es biyectiva y

 H 

−1

=

H 



. Luego A

B _≈

C 

D

.

2.2 Lema. (a)

A_×∅_≈0

. (b)

A_{× {}x_{} ≈}A

.

(c)

A_×(B

_×C )_≈(A_×B)_×C 

. (d) ∅

A _≈1

.

(e) 1

A _≈A

.

(f) Si

 A_∩B =∅

 , entonces A∪B

C  _≈

A

C  _×

B

C 

. (g) Si

 n

_∈

ω

 entonces n+1

A _≈

n

A_×A

.

Demostraci´on. (a)

A_×∅=

∅= 0

.

(b) Sea

 f  : A _→ A

_{× {}x_}

tal que

 f (a) = (a, x)

 para

 a _∈ A

. Definamos

f  : A



_{× {}x_{} →} A

 tal que

 

f (a, x) = a

 para todo

 a _∈ A

. Veamos que

f 



 es inversa a izquierda y a derecha de

 f 

.

 

f  _◦f  = I 

A:   Dado

 a ∈ A

,

f (f (a)) =



f (a, x) = a



.

f  _◦f  = I 



_A×{x}:   Dado

 a_∈ A

,

 f (

 

f (a, x)) = f (a) = (a, x)

.

Por lo tanto,

 f 

 es biyectiva y

 f 

−1

=f 



. Luego, se sigue el resultado.

(c) Sea

g : A _× (B _× C ) _→

(A _× B ) _× C 

  tal que

g(a, (b, c)) = ((a, b), c)

. Es f´acil ver que

 

g : (A_×B)_×C  _→

A_×(B_×C )

, definida por

 

g((a, b), c) = (a, (b, c))

, es inversa a izquierda y a derecha de

 g

, por lo cual

 g

 es biyectiva y

 A_×(B

_×C )_≈(A_×B)_×C 

.

(d) ∅

A =

_{f / f  :

∅_→A_} =

_{∅_} = 1

.

(e) Recordemos que 1

A

 representa el conjunto de sucesiones de longitud 1 formada por elementos de

A

. Dado

a _∈A

denotamos por

_a_

la sucesi´on de longitud 1 formada por

A

. Sea

h : A

_→

1

A

tal que

h(a) =

_a_

. Veamos que la funci´on

 

h :

1

A _→A

, definida por

 

h(x) = x(0)

 para

x_∈

1

A

, es inversa a izquierda y a derecha de

 h

.

 

h_◦h = I 

A:   Dado

a ∈A

 

,

h(h(a)) =

 

h(a) = a

(recuerde que

a

representa una funci´on con

dominio 1 tal que la imagen de 0 es

 a

).

h

 

_◦h = I 

1_A:   Dado

 x∈

1

A

 existe

 a

∈ A

 tal que

 x =a

. Luego,

h(

 

h(x)) = h(x(0)) = h(a) =

_a_ = x.

Por lo tanto,

 h

 es biyectiva y 1

A _≈A

.

(f) Supongamos

 A

_∪ B =

∅

. Sea

 F  :

A∪B

C  _→

A

C  _×

B

C 

 tal que

 F (x) = (x

↾

A, x

↾

B)

 para

x _∈

A∪B

C 

. Definamos

F  :



A

C  _×

B

C  _→

A∪B

C 

 tal que

F (u, v) = u



_∪

v

 para

 u _∈

A

C 

y

v _∈

B

C 

, la cual est´a bien definida porque

u _∪ v

 es funci´on al tener sus dominios disjuntos. Veamos que

F 



 es inversa a izquierda y a derecha de

 F 

.

 

F  _◦F  = I 

A∪B_C :   Dado

 x ∈

A∪B

C 

,

 

F (F (x)) =F (x



↾

A, x

↾

B) = x

↾

A_∪x

↾

B = x.

F  _◦F  = I 



₍A_C ×B_C ):   Dado

 u

∈

A

C 

y

 v ∈

B

C 

,

F (

 

F (u, v)) = F (u_∪v) = ((u_∪v)

↾

A, (u_∪v)

↾

B) = (u, v).

Por lo tanto,

 F 

 es biyectiva y se sigue el resultado. (g)

n+1

_{A =}

n∪{n}

_A

≈

n

A_×

{n}

A

(f)

≈

n

A_×

1

A

Lema 2.1

≈

n

A_×A

(e) y Lema 2.1.

En la prueba anterior justificamos (g) mediante el Lema 2.1 que permite sustituir conjuntos equipotentes bajo uniones disjuntas, productos cartesianos, conjuntos de funciones y partes. En los siguientes resultados vamos a ver otros ejemplos de este tipo de sustituci´on.

2.3 Teorema. Si

 A

 y

 B

 son finitos y disjuntos, entonces

 A_∪B

 es finito y

_|A_∪B_|=_|A_|+_|B_|

.

Demostraci´on.  Un modo de prueba de este resultado se propone en el Ejercicio 3.11 mediante la inducci´on sobre conjuntos finitos propuesta en el Ejercicio 3.10. Veamos una prueba directa (sin inducci´on) del enunciado.

Sean

A

y

B

  disjuntos y finitos tal que

m = _|A_|

y

n = _|B_|

, de donde

A _≈

m

y

B

_≈

n

. Sea

N  =_{d_∈ ω / m

_≤d < m + n_}

y

 h : n

_→ ω

 tal que

 h(k) = m + k

 para

 k < n

. Es claro que

 h

 es inyectiva.

ran

h = N 

: Si

d

_∈

ran

h

 existe

k < n

  tal que

d = h(k) = m + k

. Como

k < n

 entonces

m

_≤m + k < m + n

, lo cual indica que

 d

_∈ N 

.

Rec´ıprocamente, sea

 d _∈ N 

, es decir,

 d _∈ ω

 y

 m _≤ d < m + n

. Como

 m _≤ d

, existe

 k _∈ ω

tal que

 d = m + k

. Como

 m + k = d < m + n

 se sigue

 k < n

, por lo cual

 d = h(k) _∈

 ran

h

. Por lo tanto,

 h :  n _→ N 

 es biyectiva, de donde

 n _≈ N 

. Como

 A _≈ m

 y

 B _≈ n

, entonces

 B _≈ N 

y, como

 A_∩B = m_∩N  =∅

, del Lema 2.1 se sigue que

 A_∪B _≈m_∪N 

. Pero

m_∪N  =_{d _∈ω / d < m

 ∨

 m≤d < m + n} =

{d ∈ ω / d < m + n} = m + n

por lo cual

 A_∪B _≈m + n

 y, as´ı,

 A_∪B

 es finito y

_|A_∪B_|= m + n =

_|A_|+_|B_|

. 2.4 Teorema. Si

 A

 y

 B

 son finitos, entonces

 A

_×B

 es finito y

_|A_×B_|=_|A_||B_|

.

Demostraci´on.  Veamos primero que

 m_×n _≈ mn

 (

_×

como producto cartesiano) para

 m, n _∈ ω

. Procedamos por inducci´on sobre

 n

. Para

 n = 0

,

 m_×0 =∅= 0 = m0

. Para el paso inductivo, sea

n _∈ ω

 tal que

 m_×n

_≈mn

. Luego,

m_×(n + 1) = m_×(n_{∪ {}n_}) = (m_×n)_∪(m_{× {}n_}).

Notese que la anterior uni ´on es disjunta y de conjuntos finitos, pues

 m_×n

_≈mn

 y

 m_{× {}n_{} ≈}

m

. Por lo tanto, del Teorema 2.3 se sigue que

 (m_×n)_∪(m_×{n_}) _≈mn+m

, de donde

 m_×(n+1)

_≈

m(n + 1)

.

Ahora, sean

 A

 y

 B

 finitos tal que

 m =

_|A_|

y

 n =

_|B_|

. Luego, de Lema 2.1,

A_×B _≈m_×n_≈mn,

de donde

 A_×B

 es finito y

_|A_×B_|= mn =

_|A_||B_|

.

2.5 Teorema.  Dados

 A

 y

 B

 finitos, B

A

 es finito y

_|

B

A_| =

_|A_|

|B|.

Demostraci´on.  Veamos primero que n

m _≈

m

n para

 m, n _∈

ω

. Por inducci´on sobre

 n

, si

 n = 0

entonces 0

m_≈1

 y

 m

0

= 1

. Para el paso inductivo, sea

 n _∈ ω

 tal que n

m_≈m

n. Luego, del Lema 2.2 y el Teorema 2.4,

n+1

_m

Ahora, sean

 A

 y

 B

 finitos tal que

 m =

_|A_|

y

 n =

_|B_|

. Luego,

B

_A

≈

n

m_≈m

n

,

por lo cual B

A

 es finito y

_|

B

A_|= m

n

=_|A_|

|B|.

As´ı como la prueba del Teorema 2.3, para 2.4 y 2.5 se pueden construir funciones biyectivas de

A_×B

 en

 mn

 y de B

A

 en

 m

n sin necesidad de apelar a la inducci´on. Para el modo de hacerlo, ver el Ejercicio 3.28.

2.6 Teorema.  Dado un conjunto

 A

 , (a)

_P (A) _≈

A

2

.

(b) Si

 A

 es finito, entonces

_P (A)

 es finito y

_|P (A)_| = 2

|A|.

Demostraci´on.   (a) Dado

 B _⊆A

 definimos la funci´ on caracter ´ ıstica de

 B

 (respecto a

 A

) como

χ

B

: A −→

2

x _−→

χ

B

(x) =



1₀

si_si

 x _x ∈B

,

 ∈AB

.

Claramente

_∀

x∈A

(χ

B

(x) = 1

⇔x∈ B)

, por lo cual

 χ

−1_b

[{1}] = B

.

Definamos

 χ : _P (A) _→

A

2

 tal que, para

 B _{∈ P} (A)

,

 χ(B) = χ

B. Veamos que

 G :

A

2 →

P (A)

, definida por

 G(v) = v

−1

[_{1_}]

, es inversa a izquierda y a derecha de

 χ

.

G_◦χ = I 

P (A):   Dado

 B ∈ P (A)

,

 G(χ(B)) = G(χ

B

) = χ

−1_B

[{1}] = B

.

χ_◦G = I 

A₂:   Dado

v ∈

A

2

sea

 B

₀

= G(v) = v

−1

[{1}]

.

v = χ

_B0, pues ambas funciones

tienen el mismo dominio (

A

) y, dado

 x

_∈ A

,

v(x) = 1_⇔x_∈ B

0

 ⇔χ

B0

(x) = 1,

por lo cual

 v(x) = 1_⇔χ

B0

(x) = 1

 y, al negar a ambos lados,

 v(x) = 0⇔χ

B0

(x) = 0

,

de donde

 v(x) = χ

B0

(x)

 (pues los posibles valores de ambas funciones son solo 0 y 1).

Luego,

 χ(G(v)) = χ(B

0

) = χ

B0

= v

.

Por lo tanto,

 χ

 es biyectiva y

_P (A) _≈

A

2

.

Analizamos a continuaci´on el tama˜no de algunos conjuntos infinitos respecto a

 ω

. 2.7 Teorema. (a)

ω_×ω _≈ω

.

(b)

_Z

_≈ω

.

Demostraci´on. (a) Consideremos el siguiente resultado de teor´ıa de n´umeros: (i)  Dado

 a

_∈ ω

_{0_}

existen ´ unicos

 m, n _∈ ω

 tal que

 a = 2

m

(2n + 1)

.

Podemos definir entonces

 F  : ω

_{0_{} →} ω

_×ω

 tal que

 F (a) = (m, n)

 donde

 m

 y

 n

 son los ´unicos naturales tal que

 a  = 2

m

(2n + 1)

. Veamos que la funci´on

 F 

′

: ω_×ω _→

ω_{0_}

, tal que

 F 

′

(m, n) = 2

m

(2n + 1)

, es inversa de

 F 

.

F 

′

_◦F  = I 

_ω{0}:   Dado

a

_∈

ω  _{0_}

, existen ´unicos

m, n

_∈

ω

  tal que

a = 2

m

(2n + 1)

. Claramente,

 F (a) = (m, n)

, de donde

 F 

′

(F (a)) = F 

′

(m, n) = a

.

F  _◦F 

′

= I 

ω×ω:   Dado

 m, n ∈ ω

,

 F (F 

′

(m, n)) = F (2

m

(2n + 1)) = (m, n)

, donde la ´ultima

igualdad est´a justificada por la unicidad en (i). (b) Definamos

 f  :Z

_→

N

tal que

f (a) =



2a

si

 a

≥0

,

2_|a_{| −}1

si

 a < 0

. Es f´acil ver que

 f 

 es una biyecci´on, por lo cual

Z

_≈N

_≈ω

.

En la secci´on 3.3 probamos que

Q_≈ω

. La respuesta a si

R

tiene el mismo tama˜no que

ω

 marca, para muchos, el comienzo del estudio de la teor´ıa de conjuntos.

2.8 Teorema (Cantor, 1873).

R

_≈

ω

. M ´ as a´ un, no existe una funci´ on

 f  : ω _→R

sobreyectiva.

Demostraci´on. Sea

 f  : ω _→

R

 una funci´on arbitraria y veamos que no es sobre. Como ran

f  =

{f (n) / n_∈ ω_{} ⊆} R

y hay una forma en la que se pueden expresar los reales mediante una ´unica expansi´on decimal, para

 n

_∈ ω

 podemos escribir

Al hacer una lista de los

 f (n)

, obtenemos una matriz infinita como se ilustra a continuaci ´on

f (0) =

f (1) =

f (2) =

·

·

·

f (n) =

·

·

·















x

0₀

, x

0₁

x

0₂

  . . . x

 _j0

  . . . x

0_n

. . .

x

1₀

, x

1₁

x

1₂

  . . . x

 _j1

  . . . x

1_n

. . .

x

2₀

, x

2₁

x

2₂

  . . . x

 _j2

  . . . x

2_n

. . .

· · ·

. . .

_·

. . .

_·

. . .

· · ·

. . .

_·

. . .

_·

. . .

· · ·

. . .

_·

. . .

_·

. . .

x

n₀

, x

n₁

x

n₂

  . . . x

 _jn

  . . . x

n_n

. . .

· · ·

. . .

_·

. . .

_·

. . .

· · ·

. . .

_·

. . .

_·

. . .

· · ·

. . .

_·

. . .

_·

. . .

De esta matriz nos interesamos en tomar el n ´umero formado por la diagonal

 y = x

0₀

, x

1₁

x

2₂

. . . x

n_n. A partir de este n´umero, formamos

 z = z

0

, z

1

z

2

. . . z

n

. . .

 donde

z

n

 =



7

si

 x

n n

 = 7

,

1

si

 x

n_n

 = 7

.

In document TeoriaConjuntos (página 81-88)