TeoriaConjuntos

T

T

EORIA DE

EORIA DE

 C

 C

ONJUNTOS

ONJUNTOS

Por: Por:

D

DIEGOIEGO AALEJANDROLEJANDRO MMEJEJ´´IAIA GGUZUZ MMANAN´´

U

UNIVERSIDAD DENIVERSIDAD DE A ANTIOQUIANTIOQUIA

F

FACULTAD DEACULTAD DE C CIENCIASIENCIAS EEXACTAS YXACTAS Y NNATURALESATURALES

D

DEPARTAMENTO DEEPARTAMENTO DE M MATEMATEMATICASATICAS´´

2 0 1 0 2 0 1 0

´´II

NDICE GENERA

NDICE

GENERAL

L

1.. R

1.. RELACIONES DEELACIONES DE E EQUIVALENCIA Y DEQUIVALENCIA Y DE O ORDENRDEN . . . . . . . . . . . .. . . . 55

1 .

1 .1 . 1 . RRELACIONES DEELACIONES DE E EQUIVALENCIAQUIVALENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1 .

1 .2 . 2 . RRELACIONES DEELACIONES DE O ORDENRDEN  . . . .   . . . . . . . . . . . . . . . 1155

1 .

1 .3 . 3 . CCONJUNTOS BIEN ORDENADOSONJUNTOS BIEN ORDENADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2266

1 .

1 .4 . 4 . IISOMORFISMOS ENTRESOMORFISMOS ENTRE OO´´RDENESRDENES P PARCIALESARCIALES  . . .   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3322

2.. L

2.. LOSOS N N ´´UMEROSUMEROS N NATURALESATURALES  . . . .   . . . .. . . . 4141

2 .

2 .1 . 1 . CCONSTRUCCIONSTRUCCION DELON DEL´´  C CONJUNTOONJUNTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4411

2 .

2 .2 . 2 . BBUEUE NN O ORDENRDEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4455 2 .

2 .3 . 3 . TTEOREMA DE LAEOREMA DE LA R RECURSIECURSIONON´´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5511

2 .

2 .4 . 4 . OOPERACIONESPERACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6622

2 .

2 .5 . 5 . OOTROSTROS C CONJUNTOSONJUNTOS N NUMUMERICOSERICOS´´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6699 3.. E

3.. EQUIPOTENCIAQUIPOTENCIA . . . . . . . .. . . . 7373

3 .

3 .1 . 1 . CCONJUNTOS FINITOS Y ELONJUNTOS FINITOS Y EL P PRINCIPIO DELRINCIPIO DEL P PALOMARALOMAR  . . . .   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7733

3 .

3 .2 . 2 . OOPERACIONES Y EQUIPOTENCIAPERACIONES Y EQUIPOTENCIA  . . . .   . . . . . . . . . . . . 8800 3 .

3 .3 . 3 . NN ´´UMEROS CARDINALESUMEROS CARDINALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9900

3 .

3 .4 . 4 . CCONJUNTOS CONTABLESONJUNTOS CONTABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110055

4.. E

4.. ELL A AXIOMA DEXIOMA DE E ELECCILECCIONON´´ . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 115115

4 .

4 .1 . 1 . AAXIOMA DEXIOMA DE E ELECCILECCIONON´´ . . . . . . . . . . . 111177

4 .

4 .2 . 2 . AAPLICACIONESPLICACIONES I . . I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112222

4 .

4 .3 . 3 . LLEMA DEEMA DE Z ZOROR NN . . . . . . . . . . . 112222

4 .

4 .4 . 4 . AAPLICACIONESPLICACIONES III I . . . . . . . . . . . 112222

4 .

Cap´ıtulo 1

Relaciones de Equivalencia y de Orden

En este Cap´ıtulo presentamos, de forma muy general, el tipo de relaciones m´as elementales que se trabajan en matem´aticas. En la primera secci´on introducimos la noci´on de relaci´ on de equiva-lencia asociada al concepto de partici´ on. En la segunda secci´on definimos qu´e es un orden parcial

y un orden lineal, adem´as que analizamos los elementos distinguidos que se les puede encontrar. En la tercera secci´on introducimos un tipo de orden parcial llamado buen orden, al cual se le puede asociar la noci´on de inducci´ on. Por ´ultimo, dedicamos la cuarta secci´on al estudio de la relaci´on entre ´ordenes parciales mediante funciones crecientes e isomorfismos.

1.1. Relaciones de Equivalencia

Introducimos la siguiente notaci´on:

 xRy

 denota

 (x, y)

 _∈

R

, lo cual se escribe por practicidad para decir que

 x

 y

 y

 est´an relacionados por

 R

 (cuando

 R

 es una relaci´on). Decimos que

 R

 es una relaci ´ on en

 A

 si

 R

 _⊆

 A

_×

A

 (obviamente,

 R

 es relaci´on seg´un esto). Esto quiere decir que

 R

 s ´olo relaciona elementos de

 A

.

En matem´aticas es muy com´un definir relaciones en un conjunto a partir de una propiedad, sin necesidad de mencionar qu´e es la relaci´on como conjunto. Por ejemplo, definir una relaci´on

 R

 en

R

como

xRy

_⇔

y

₋

x

 _∈

R

+

_{, x, y}

 ∈

R

significa que

R =

_{

(x, y)

 _∈

R

_×

R

/ y

₋

x

_∈

R

+

}

. En realidad,

R

corresponde a la relaci´on “menor que” en

 R

, lo cual se denota por

 <

. As´ı,

 <= R

 y claramente es m´as pr´actico escribir

x < y

que

Otro ejemplo es la relaci´on de divisibilidad en

Z

, la cual est´a definida por

m

_|

n

_{⇔ ∃}

_k∈Z

(n = m

_·

k), m, n

_∈

Z

.

Formalmente,

 _|

=

 _{

(m, n)

_∈

Z

_×

Z

/

_∃

k∈Z

(n = m

·

k)

}

. Claramente, es m´as pr´actico dar a

enten-der la relaci´on mediante su propiedad que desde su definici´on formal, pues la primera forma es m´as legible y contiene toda la informaci´on que se necesita.

En general, dado un conjunto

 A

 y una propiedad1

ϕ(x, y)

, para definir una relaci´on

 R

 en

 A

 tal que

xRy

 _⇔

ϕ(x, y), x, y

 _∈

 A

basta indicar que

R =

 _{

(x, y)

 _∈

 A

_×

A / ϕ(x, y)

_}

. En adelante, para definir una relaci´on en un conjunto determinado, dejamos de indicar la manera formal y optamos solo por dar la propiedad que la define.

Dado un conjunto

 A

 definimos la relaci´ on de identidad en

 A

 como

xI 

A

y

⇔

x = y, x, y

 ∈

 A.

Esta relaci´on es tambi´en la funci´on determinada por

I 

A

 : A

 −→

A

x

 _−→

I 

A

(x) = x.

Como ´ultimo ejemplo, la relaci´on

_▽

en el conjunto

 A

 definida por

x

_▽

y

_⇔

x = x, x, y

 _∈

A

tiene la cualidad de que relaciona todos los elementos de

A

  entre s´ı. M´as a´un, es f´acil ver que

▽

= A

_×

A

.

1.1 Definici´on. Sea

 A

 un conjunto y

 R

 una relaci´on en

 A

. Definimos: (1)

R

 es reflexiva en

 A

 si

_∀

x∈A

(xRx)

.

(2)

R

 es sim´ etrica en

 A

 si

_∀

x,y∈A

(xRy

 ⇒

yRx)

.

(3)

R

 es transitiva en

 A

 si

_∀

x,y,z∈A

(xRy

 ∧

 yRz

 ⇒

xRz)

.

(4)

R

 es una relaci´ on de equivalencia en

 A

 si

 R

 es una relaci´on en

 A

 que es reflexiva, sim´etrica y transitiva en

 A

.

1.2 Ejemplo.   (1) Sea

 M 

 el conjunto de personas en Medell´ın y sea

_∼

la relaci´on definida por

x

_∼

y

 _⇔

x

 y

 y

 viven en el mismo barrio,

x, y

 _∈

 M 

Bajo la id´onea suposici´on de que una persona de Medell´ın no vive en barrios distintos,

_∼

es una relaci´on de equivalencia en

 M 

.

(2) La relaci ´on

<

en

R

es transitiva, pero no es reflexiva ni sim´etrica. Por lo tanto, no es una relaci´on de equivalencia en

R

.

(3) La relaci´on

 _|

(divisibilidad) en

Z

es reflexiva y transitiva, pero no es sim´etrica. Por lo tanto, no es relaci´on de equivalencia en

Z

.

(4) Dado un conjunto

 A

, la relaci´on

 I 

A es de equivalencia en

 A

 debido a que

xI 

A

y

 ⇔

x = y, x, y

 ∈

 A

y

 =

 cumple las propiedades de reflexividad, simetr´ıa y transitividad para todos los conjuntos. (5)

_▽

es relaci´on de equivalencia en

 A

, pues relaciona todos los elementos de

 A

.

(6) Definamos la relaci´on

 _∼

4 en

Z

como

m

_∼

4

 n

⇔

4

 |

(m

−

n).

Veamos que

_∼

4 es una relaci´on de equivalencia. En efecto, dados

 m,n, p

∈

Z

obtenemos:

Reflexividad   Pues

 4

 _|

 0

, es decir,

 4

_|

 (m

₋

m)

.

Simetr´ıa Si

 m

 _∼

4

n

 entonces existe un

 k

 ∈

 Z

tal que

 m

−

n = 4k

. Luego,

 n

−

m = 4(

−

k)

,

es decir,

 4

_|

 (n

₋

m)

 y por lo tanto

 n

_∼

4

 m

.

Transitividad Si

 m

 _∼

4

n

 y

 n

 ∼

4

p

 entonces existen

 k, l

 ∈

 Z

tal que

 m

−

n = 4k

 y

 n

−

 p =

4l

. Luego, si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos

m

 ₋

 p = 4(k +  l)

, por lo cual

4

 _|

 (m

₋

 p)

, es decir,

 m

 _∼

4

 p

.

Una propiedad importante de esta relaci´on es que, dados

 m, n

 _∈

 Z

,

 m

 _∼

4

n

 si y solo si

 m

 y

 n

dejan el mismo residuo al dividirse por 4. Esta afirmaci´on la tendremos en cuenta m´as adelante cuando discutamos el concepto de clase de equivalencia.

1.3 Definici´on. Sea

 R

 una relaci´on en

 A

. Definimos

 [a]

R

=

 {

x

∈

 A / xRa

}

 para

 a

 ∈

A

, la cual

llamamos la clase de equivalencia de

a

(m´ odulo

R

). Denotamos por

A/R =

 _{

[a]

R

 / a

∈

 A

}

al

conjunto de clases de equivalencia en

 A

 (m ´ odulo

 R

).

 A/R

 tambi´en se suele llamar

 A

 partido

 R

. Para relaciones de equivalencia,

 [a]

R denota el conjunto de objetos relacionados con

 a

.

1.4 Lema. Sea

 R

 una relaci´ on de equivalencia en el conjunto

 A

. Entonces (a)

_∀

_a∈A

(a

 _∈

 [a]

R

)

. Por lo tanto, las clases de equivalencia en

 A

 son no vac´ ıas.

(b)

_∀

_a,b∈A

(aRb

_⇔

[a]

R

= [b]

R

)

. Esto indica que dos objetos en

 A

 est ´ an relacionados si y solo si

sus clases de equivalencia son iguales.

(c)

_∀

_a,b∈A

([a]

R

 

= [b]

R

 ⇒

[a]

R

∩

[b]

R

 =

∅

)

. Esto significa que las clases de equivalencia de

 A

son

disjuntas dos a dos. (d)



_a∈A

[a]

R

 = A

.

Demostraci´on.   (a) Dado

 a

_∈

 A

, como

 aRa

 por la reflexividad de

 R

, entonces

 a

_∈

 [a]

R.

(b) Sean

a, b

 _∈

A

. Supongamos que

aRb

 y veamos que

[a]

R

= [b]

R. Probemos

 [a]

R

 ⊆

[b]

R. Si

x

 _∈

 [a]

R entonces

 x

∈

 A

 y

 xRa

. Luego, como

 aRb

 por la transitividad de

 R

 se sigue que

 xRb

,

es decir,

 x

 _∈

 [b]

R. La contenci´on

 [b]

R

 ⊆

[a]

R se sigue de modo similar.

Para el rec´ıproco, supongamos

 [a]

R

= [b]

R y veamos que

 aRb

. De (a) se tiene

 a

 ∈

 [a]

R, luego

a

 _∈

 [b]

R y se sigue que

 aRb

.

(c) Sean

 a, b

 _∈

A

 tal que

 [a]

R

 ∩

[b]

R

 

=

∅

, es decir, que existe un

 x

 ∈

[a]

R

 ∩

[b]

R. Veamos que

[a]

R

= [b]

R. Tenemos que

x

 ∈

A

,

 xRa

 y

 xRb

. Por simetr´ıa de

 R

,

 aRx

 y, por transitividad,

aRb

. Luego, de (b) conclu´ımos

 [a]

R

= [b]

R.

(d) Como

 _∀

a∈A

([a]

R

 ⊆

A)

, es decir, todas las clases de equivalencia de

 A

 son subconjuntos de

A

, entonces el conjunto que resulta de unirlas est´a contenido en

 A

, es decir,



_a∈A

[a]

R

 ⊆

A

.

Veamos la otra contenci´on. Si

 x

 _∈

A

 entonces, por (a),

 x

_∈

 [x]

R

 ⊆



_a∈A

[a]

R.

En la prueba de

_⊆

hay un detalle formal que est´a impl´ıcito y que, por lo general, no se aclara en matem´aticas. Ocasionalmente aclararemos estos detalles t´ecnicos. En este caso,

 _∀

a∈A

([a]

R

 ⊆

A)

equivale a

 _∀

_y∈A/R

(y

 _⊆

A)

 al hacer el cambio de variable

y = [a]

R en el cuantificador. Como se

cuantificador se tiene

 a

 _∈

 A

 y, como se cambia por

 y = [a]

R se tiene que

 y

 ∈

 A/R

, es decir,

 A/R

es el dominio del cuantificador para

 y

. Volviendo al argumento, de

 _∀

y∈A/R

(y

 ⊆

A)

 se sigue que



(A/R)

_⊆

A

 y, claramente,



(A/R) =



_a∈A

[a]

R.

El Lema anterior ilustra la forma en que una relaci´on de equivalencia divide a un conjunto en sus clases de equivalencia. Si

R

 es una relaci´on de equivalencia en

A

y

a

_∈

 A

,

 [a]

R es el subconjunto de

A

 formado por los objetos que est´an relacionados con

 a

. Una forma ver a

 [a]

R es como una especie

de “sector”formado por

 a

. Si relacionamos esta idea con el Lema anterior, se tiene que:

(a) Un elemento de

 A

 pertenece a su propio sector. Por lo tanto, todos los sectores son no vac´ıos. (b) Dos objetos forman el mismo sector si y solo si est ´an relacionados.

(c) Dos sectores distintos no tienen miembros en com´un.

(d) La uni´on de todos los sectores es el conjunto

 A

. Por lo tanto, todo elemento de

 A

 est´a en alg´un sector.

Esta forma da las siguientes caracter´ısticas a estos sectores, es decir, a las clases de equivalencia: (1) En un sector, todos sus miembros est´an relacionados entre s´ı.

(2) Dos miembros de diferentes sectores no est´an relacionados (esto se sigue de (b) y (c)).

De esta forma, una relaci´on de equivalencia divide al conjunto

A

en sectores (clases de equivalencia) en donde los objetos del mismo sector se relacionan y objetos de diferentes sectores no. Este tipo de partici´ on basta para clasificar una relaci´on de equivalencia. Antes, consideremos los siguientes ejemplos basados en las relaciones de equivalencia definidas en el Ejemplo 1.2.

1.5 Ejemplo.   (1) Sea

 M 

y

 _∼

 definidos como en 1.2(1). Si

 a

 _∈

M 

 entonces

[a]

∼ es el conjunto

formado por las personas de Medell´ın que viven en el mismo barrio de

 a

 y, por lo tanto,

 [a]

∼

es, en realidad, el barrio donde vive

 a

. El Lema 1.4 ilustra, para este ejemplo, que (a) una persona vive en su propio barrio,

(b) dos personas viven en el mismo barrio (

aRb

) si y solo si sus barrios son el mismo,

(c) dos barrios distintos son disjuntos (esto bajo la hip´otesis de que una persona no viva en dos barrios distintos) y

Por lo tanto, la relaci´on de equivalencia

 _∼

 divide a

 M 

 en barrios, los cuales son las clases de equivalencia. Adem´as,

M/

_∼

, seg´un lo anterior, es el conjunto de todos los barrios de Medell´ın. (2) Dado un conjunto

 A

, si consideramos

 I 

A (la relaci´on identidad en

 A

) tenemos que, para todo

a

 _∈

 A

,

[a]

I A

=

{

x

∈

 A / x = a

}

 =

{

a

}

.

Por lo tanto, cada clase de equivalencia formada por

I 

A  se compone de un solo miembro,

y esta relaci´on divide al conjunto

A

  en sectores donde solo hay un objeto. Luego,

A/I 

A

=

{{

a

_}

/ a

_∈

 A

_}

.

(3) Sea

 A

 un conjunto y

_▽

= A

_×

A

. Si

 a

_∈

 A

,

[a]

▽

 =

{

x

∈

 A / (x, a)

 ∈

 A

×

A

}

= A.

´

Esto indica que la relaci´on de equivalencia

 _▽

 determina solo un sector, el cual es el conjunto completo

 A

. Esto se debe a que, como todos los elementos de

 A

 se relacionan entre s´ı, no se puede separar el conjunto en m´as de un sector tal que no se relacionen los objetos que est´an en sectores diferentes. Solo puede haber un sector, todo el conjunto. Luego,

 A/

_▽

 =

_{

A

_}

.

(4) Consideremos

 _∼

4 definida en el Ejemplo 1.2(6). Dados

 m, n

 ∈

Z

,

 n

 ∈

[m]

∼4 si y solo si

 m

y

 n

 dejan el mismo residuo al dividir por 4. Por lo tanto,

[0]

∼4 es el conjunto de divisores de

4,

[1]

∼4 es el conjunto de n´umeros que dejan residuo 1 al dividir por 4,

[2]

∼4 es el conjunto

de n´umeros que dejan residuo 2 al dividir por 4 y

 [3]

∼4 es el conjunto de n´umeros que dejan

residuo 3 al dividir por 4. Por lo tanto,

[0]

∼4

=

 {

n

 ∈

Z

/

∃

k∈Z

(n = 4k)

}

[1]

∼4

=

 {

n

 ∈

Z

/

∃

k∈Z

(n = 4k + 1)

}

[2]

∼4

=

 {

n

 ∈

Z

/

∃

k∈Z

(n = 4k + 2)

}

[3]

∼4

=

 {

n

 ∈

Z

/

∃

k∈Z

(n = 4k + 3)

}

Como cualquier n ´umero entero es de alguna de las formas

 4k

,

 4k + 1

,

 4k + 2

 ´o

 4k + 3

, entonces cualquier entero

 n

 pertenece a alguna de las cuatro clases de equivalencia listada anteriormente y, por lo tanto,

 [n]

∼4

= [r]

∼4  donde

r

 ∈ {

0, 1, 2, 3

}

 (de hecho,

r

 es el residuo que deja

 n

 al

dividirse por

 4

). El efecto de la relaci´on de equivalencia

 _∼

₄ es, por lo tanto, dividir el conjunto

[0]

∼4

[1]

∼4

[2]

∼4

[3]

∼4

Z

En general, si

R

 es una relaci´on de equivalencia de

 A

,

 A/R

 es el conjunto de los sectores en los que la relaci´on divide a

A

. En general, a cualquier divisi´on de un conjunto de sectores le llamaremos

 partici´ on, lo cual formalizamos a continuaci ´on.

1.6 Definici´on (Partici´on.). Sea

 A

 un conjunto. Decimos que

 Π

 es una partici´ on de

 A

 si

 Π

 cumple las siguientes condiciones.

(i)

_∀

C ∈Π

(C 

 ⊆

A)

.

(ii)

_∀

C ∈Π

(C 

 

=

∅

)

.

(iii)

_∀

C,D∈Π

(C 

 

= D

 ⇒

C 

 ∩

D =

∅

)

.

(iv)



Π = A

.

Intuitivamente, una partici´on

 Π

 de un conjunto

 A

es un conjunto de sectores no vac´ıos en el cual se puede dividir

 A

. La definici´on anterior da las propiedades que se cumple para dicha partici´on:

(a) Todo sector de la partici´on es subconjunto de

 A

. (b) Todo sector de la partici´on es no vac´ıo.

(c) Los sectores de la partici´on son disjuntos entre s´ı. (d) La uni´on de los sectores de la partici´on es

 A

.

Notamos que, en el ejemplo anterior, se generaron particiones a partir de una relaci´on de equiv-alencia, las cuales cumplen las cuatro condiciones anteriores. Este es un hecho general sobre las relaciones de equivalencia.

1.7 Teorema. Sea

 A

 un conjunto. Si

 R

 es una relaci´ on de equivalencia en

 A

 entonces

 A/R

 es una  partici´ on de

 A

.

Demostraci´on.   Veamos que

 A/R

 cumple las condiciones de la Definici´on 1.6.

(i)

_∀

_y∈A/R

(y

 _⊆

A)

. Con cambio de variable

 y = [a]

R, equivale a

 ∀

a∈A

([a]

R

 ⊆

A)

, lo cual es

cierto.

(ii)

_∀

_y∈A/R

(y

 _

=

∅

)

. Con cambio de variable

 y = [a]

R, la afirmaci´on equivale a

∀

a∈A

([a]

R

 

=

∅

)

,

lo cual es cierto por 1.4(a).

(iii)

_∀

_y1,y2∈A/R

(y

1

 

= y

2

 ⇒

y

1

∩

y

2

=

 ∅

).

 Con el cambio de variable

 y

1

= [a]

R y

 y

2

= [b]

R, esta

afirmaci´on equivale a

_∀

a,b∈A

([a]

R

 

= [b]

R

 ⇒

[a]

R

 ∩

[b]

R

 =

∅

)

, lo cual es cierto por 1.4(c).

(iv)



(A/R) = A

. Directo de 1.4(d), pues



(A/R) =



_{

[a]

R

 / a

∈

 A

}

 =



_a∈A

[a]

R

 = A

.

El Teorema anterior dice que una relaci´ on de equivalencia induce una partici´ on. La situaci´on rec´ıproca tambi´en se cumple, toda partici´ on induce una relaci´ on de equivalencia, lo cual expon-dremos en lo que resta de esta secci´on. El proceso de pasar de una relaci´on de equivalencia a una partici´on es el proceso inverso de pasar de una partici´on a una relaci´on de equivalencia (ver Ejer-cicio 1.11). Por lo tanto, los conceptos de relaci´on de equivalencia y de partici´on son, en esencia, equivalentes, pues tiene el mismo efecto sobre un conjunto.

1.8 Lema. Sea

 f  : A

_→

B

 una funci´ on. Definimos la siguiente relaci´ on en

 A

:

x

 _∼

f 

y

⇔

f (x) = f (y) x, y

 ∈

 A.

 Entonces:

(a)

_∼

_f  es una relaci´ on de equivalencia en

 A

.

(b) Dado

 a

_∈

 A

 ,

 [a]

∼f 

=

{

x

∈

 A / f (x) = f (a)

}

 , es decir,

 [a]

∼f 

= f 

−1

_[

{

f (a)

_}

]

.

Dada una partici´on de un conjunto

 A

, como ´esta representa una divisi´on del conjunto en sectores disjuntos, todo elemento de

A

  pertenece a un ´unico sector de la partici´on. Este hecho se puede describir mediante la funci´on definida en el siguiente resultado.

1.9 Lema. Sea

 Π

 una partici´ on del conjunto

 A

. Entonces

_∀

_a∈A

_∃

!

C ∈Π

(a

 ∈

 C )

. Este hecho permite

construir una funci´ on sobreyectiva

 f 

Π

: A

 →

 Π

 tal que

 f 

Π

(a)

 es el ´ unico elemento de

 Π

 al cual

 a

Demostraci´on. Sea

 a

 _∈

 A

. Como

 A =



Π

 (Definici´on 1.6(4)), entonces existe un

 C 

 _∈

 Π

 tal que

a

 _∈

C 

. Con esto tenemos la existencia, veamos ahora unicidad. Supongamos

 C 

1

, C 

2

 ∈

Π

 tal que

a

_∈

 C 

1 y

 a

 ∈

 C 

2. Luego,

 C 

1

∩

C 

2

 

=

∅

y, por Definici´on 1.6(3) se sigue

 C 

1

 = C 

2.

De este resultado de existencia ´unica se puede definir la funci´on

 f 

Π

: A

 →

 Π

 tal que, dado

 a

 ∈

 A

,

f 

Π

(a)

 es el ´unico

 C 

 ∈

 Π

 tal que

 a

 ∈

 C 

. Veamos que esta funci´on

 f 

Π es sobreyectiva. En efecto, si

C 

 _∈

Π

 entonces, por Definici´on 1.6(2),

 C 

 _

=

 ∅

, por lo cual existe un

 a

 _∈

C 

. Por 1.6(1),

 C 

 _⊆

A

, por lo cual

 a

_∈

 A

 y

 C  = f 

Π

(a)

 por definici´on de

 f 

Π.

1.10 Teorema. Sea

 Π

 una partici´ on del conjunto

 A

y

 f 

Π la funci´ on definida en el Lema 1.9.

En-tonces

 R =

_∼

f Π es una relaci´ on de equivalencia en

 A

 tal que

 A/R = Π

.

Demostraci´on.   Del Lema 1.8 es claro que

 R

 es una relaci´on de equivalencia en

 A

, as´ı que falta probar que

 A/R = Π

.

Primero, veamos que

 [a]

R

= f 

Π

(a)

 para todo

 a

 ∈

 A

. En efecto, del Lema 1.8 se sigue que

 [a]

R

=

{

x

 _∈

 A / f 

Π

(x) = f 

Π

(a)

}

. Si

x

∈

 [a]

R entonces

 f 

Π

(x) = f 

Π

(a)

 y, como

 x

∈

 f 

Π

(x)

 (definici´on de

f 

Π), entonces

 x

 ∈

f 

Π

(a)

; rec´ıprocamente, si

 x

 ∈

f 

Π

(a)

, como

 f 

Π

: A

 →

Π

 entonces

 f 

Π

(a)

 ∈

Π

y, como

 f 

Π

(x)

 es el ´unico elemento de

 Π

 al cual le pertenece

 x

, por unicidad se sigue que

 f 

Π

(x) =

f 

Π

(a)

, es decir,

 x

∈

 [a]

R.

Por lo tanto,

 A/R =

 _{

[a]

R

 / a

∈

 A

}

 =

 {

f 

Π

(a) / a

∈

 A

}

 = Π

 (la ´ultima igualdad se sigue de que

f 

Π es sobreyectiva por Lema 1.9).

1.1 Ejercicio. Sea A un conjunto. Indique a qu ´e conjunto es igual la relaci´on R definida por

xRy

 _⇔

x

_

= x x, y

 _∈

A.

Adem´as, indique c ´omo debe ser A para que R sea una relaci´on de equivalencia.

1.2 Ejercicio. Sea R  una relaci´on en A. Probar que R  es una relaci´on de equivalencia en A si y solo si domR = A y R = R−1

_◦

R.

1.3 Ejercicio. Sea A un conjunto y R

_

=

∅

tal que

_∀

R∈R(R es rel. de eqv. en A). Entonces



R es relaci´on de equivalencia en A y

_∀

a∈A([a]



R =



_R∈R[a]R).

1.4 Ejercicio. Probar el Lema 1.8. Adem´as, pruebe: (a) A/

 _∼

f =



f −1[

{

b

}

] / b

 ∈

ranf 



.

(b) Sea ϕ : A

 _→

A/

 _∼

f  tal queϕ(a) = [a]∼f . Pruebe queϕ es sobreyectiva yϕ(a) = ϕ(b)

⇔

f (a) =  f (b)

para todo a, b

 _∈

A.

(c) Pruebe que la siguiente funci´on est´a bien definida: f  : A/



 _∼

f 

→

B tal que f (y) = f (a)



, donde a es

alg´un elemento de A tal que y = [a]∼f . Adem´as, pruebe quef 



 es inyectiva.

(d) Pruebe que existe una ´unica funci´on inyectiva g : A/

 _∼

f 

→

B tal que g

 ◦

ϕ =  f . Sugerencia: Pruebe

1.5 Ejercicio.

1.5 Ejercicio. SeaSea R R una relaci´ una relaci´on de equivalencia enon de equivalencia en A A y y ϕ ϕ : :  A A

 _→

 _→

 A/R A/R definida por definida por ϕ ϕ((aa) ) = = [[aa]]RR. Pruebe. Pruebe

que

que

_∼

_∼

ϕϕ== R R..

1.6 Ejercicio.

1.6 Ejercicio. SeaSea f  f  :: A A

_→

_→

BB y y S  S  una relaci´on de equivalencia en una relaci´on de equivalencia en B B. Defina la relaci´. Defina la relaci´onon R R en en A A como como

xRy

xRy

 _⇔

 _⇔

f f ((xx))Sf Sf ((yy)), , xx, y, y

 _∈

 _∈

A.A.

Pruebe que: Pruebe que: (a)

(a) RR es una relaci´ es una relaci´on de equivalencia enon de equivalencia en A A.. (b)

(b)

_∀∀

aa∈∈AA



[[aa]]RR = = f  f −−11[[[[f f ((aa)])]S S ]]



..

(c

(c) ) SiSi S  S  = =  I  I BB, pruebe que, pruebe que R = R =

∼

∼

f f ((

∼

∼

f f  definido en el Lema 1.8). definido en el Lema 1.8).

1.7 Ejercicio.

1.7 Ejercicio.  Pruebe que la condici´ Pruebe que la condici´on (1) de la Definici´on (1) de la Definici´on 1.6 es redundante (es decir, se prueba de (2), (3)on 1.6 es redundante (es decir, se prueba de (2), (3) y (4)).

y (4)).

1.8 Ejercicio.

1.8 Ejercicio. SiSi

_P 

_P 

 es partici´ es partici´on deon de A A y y

_Q

_Q

es partici´es partici´on enon en B B, entonces:, entonces: (a

(a) ) SiSi A A

_∩∩

BB = =

∅

∅

entoncesentonces

_{P ∪}

_{P ∪ Q}

_Q

es partici´es partici´on deon de A A

_∪∪

BB.. (b)

(b)

_H

_H

 = =

 _{

 _{

C C 

 _×

 _×

D / D / C C 

 _∈

 _{∈ P} 

_P 

∧∧ D D

 _∈

 _{∈ Q}}

_Q}

es partici´es partici´on deon de A A

_×

_×

BB.. 1.9 Ejercicio.

1.9 Ejercicio. SeaSea Π Π una partici´ una partici´on del conjuntoon del conjuntoAA. Definamos la relaci´on. Definamos la relaci´on

_∼

_∼

ΠΠ en en A A como como

a

a

_∼

_∼

ΠΠ b b

⇔ ∃∃

⇔

C C ∈∈ΠΠ((aa

∈∈

 C  C ∧∧ b b

∈∈

 C  C )), , aa, b, b

 ∈

 ∈

A.A.

Pruebe que

Pruebe que

_∼

_∼

ΠΠ es igual a la relaci´ es igual a la relaci´on de equivalencia definida en el Teorema 1.10.on de equivalencia definida en el Teorema 1.10.

1.10 Ejercicio.

1.10 Ejercicio. SeaSea R R una relaci´on de equivalencia en una relaci´on de equivalencia en A A y sea y sea Π  Π == A/R A/R. Al definir. Al definir f  f ΠΠ como en el Lema como en el Lema

1.9, probar que: 1.9, probar que: (a)

(a)

_∀∀

aa∈∈AA((f f ΠΠ((aa) ) = [= [aa]]RR))..

(b)

(b)

_∼

_∼

ΠΠ== R R, donde, donde

∼

∼

ΠΠ es la relaci´on definida en el Ejercicio anterior. es la relaci´on definida en el Ejercicio anterior.

1.11 Ejercicio.

1.11 Ejercicio. SeaSea A A un conjunto. Definamos un conjunto. Definamos R

R ==

 _{

 _{

RR

 _⊆

 _⊆

AA

_×

_×

A / RA / R rel. de eqv. en rel. de eqv. en A A

_}}

P

P ==

 _{

 _{

ΠΠ / / Π Π es partici´ es partici´on deon de A A

_}}

..

Pruebe que Pruebe que (a)

(a) RR yyPP son conjuntos.son conjuntos. (b)

(b) DefinaDefinamos las fmos las funcionuncioneses F

F:: RR

 _→

 _→

P P GG:: PP

 _→

 _→

RR

R

R

 _ →

_→

FF((RR) =) =  A/R A/R ΠΠ

 _ →

_→

GG(Π) =(Π) =

_∼

_∼

ΠΠ . .

Pruebe que

1.2

1.2. . Rel

Relaci

acione

ones

s de

de Ord

Orden

en

Es bien sabido que los n´

Es bien sabido que los n´umeros reales poseen una estructura que permite saber cu´umeros reales poseen una estructura que permite saber cu´ando unando un n

n´´umero es menor que otro. Este tipo de estructura se conoce comoumero es menor que otro. Este tipo de estructura se conoce como orden orden, puesto que permite or-, puesto que permite or-denar los n´

denar los n´umeros de menor a mayor. En esta secci´umeros de menor a mayor. En esta secci´on definimos lo que significa un orden paraon definimos lo que significa un orden para cualquier tipo de conjunto, adem´

cualquier tipo de conjunto, adem´as que introducimos los tipos de orden b´as que introducimos los tipos de orden b´asicos.asicos. 2.1 Definici

2.1 Definici´´onon (Orden parcial) (Orden parcial).. SeaSea

 A

 A

 un conjunto y un conjunto y

 R

 R

 una relaci´ una relaci´on enon en

 A

 A

.. (1)

(1)

R

R

 es antisim es antisim´ etrica enetrica en´ 

 A

 A

 si si

_∀∀

x,yx,y∈∈AA

((xRy

xRy

∧∧

 yR

 yRx

x

⇒

⇒

x

x =

 = y

 y))

..

(2)

(2)

R

R

  es un orden parcial en  es un orden parcial en

A

A

sisi

R

R

 es reflexiva, antisim´ es reflexiva, antisim´etrica y transitiva enetrica y transitiva en

A

A

. Este concepto. Este concepto tambi´

tambi´en se lee comoen se lee como

_

A,

A, R

R

_

es un C.P.O (conjunto parcialmente ordenado)es un C.P.O (conjunto parcialmente ordenado) o o

_

A,

A, R

R

_

es un o.p.es un o.p. (orden parcial)

(orden parcial).. 2.2 Ejemplo.

2.2 Ejemplo.   (1)   (1) La La relrelaci´aci´onon

_≤

_≤

es un es un orden parciorden parcial enal en

R

R

.. (2)

(2) La La relrelaci´aci´on de divisibilidadon de divisibilidad

_||

no es un no es un orden parcorden parcial enial en

Z

Z

. Sabemos que es reflexiva y transitiva,. Sabemos que es reflexiva y transitiva, pero no es antisim´

pero no es antisim´etrica, puesetrica, pues

₋

₋

11

_||

11

,,

 1

 1

 _{| | −}

₋

11

, pero, pero

₋

₋

11

_

=

= 11

.. (3)

(3) La rLa relaelaci´ci´on de divisibilidadon de divisibilidad

 _| |

 es un orden parcial en es un orden parcial en

 Z

 Z

++

_{∪∪ {{}

00

_}}

, , pues pues la antisimetr´la antisimetr´ıa ıa se cumplese cumple para los enteros no negativos.

para los enteros no negativos. (4)

(4) La La relrelaci´aci´onon

_⊆

_⊆

es una relaci´es una relaci´on de orden en cualquier conjuntoon de orden en cualquier conjunto

 A

 A

. En t´. En t´erminos estrictos, se defineerminos estrictos, se define

x

x

_⊆

_⊆

AA

 y

 y

 ⇔

 ⇔

x

x

⊆

⊆

yy,

,

x

x,, yy

 ∈

 ∈

 A

 A

y esta relaci´

y esta relaci´onon

 _⊆

 _⊆

AA determina un orden parcial en determina un orden parcial en

 A

 A

. Como dicha relaci´. Como dicha relaci´on tiene el mismo sig-on tiene el mismo

sig-nifica

nificado do dede

 _⊆

 _⊆

, , ss´´olo que restringido al conjuntoolo que restringido al conjunto

 A

 A

, no es necesario se˜, no es necesario se˜nalar nalar el el sub´sub´ındiceındice

 A

 A

 para para habla

hablar r de la de la contecontenci´nci´on como un orden parcial enon como un orden parcial en

 A

 A

.. De los ejemplos anteriores se infiere que una relaci´

De los ejemplos anteriores se infiere que una relaci´on de orden parcial se comporta como unon de orden parcial se comporta como un “menor o igual”. El siguiente concepto se relaciona con el concepto de “menor (estricto)”.

“menor o igual”. El siguiente concepto se relaciona con el concepto de “menor (estricto)”. 2.3 Definici

2.3 Definici´´onon (Orden parcial estricto) (Orden parcial estricto).. SeaSea

 S 

 S 

 una relaci´ una relaci´on enon en

 A

 A

.. (1)

(1)

S 

S 

 es irreflexiva en es irreflexiva en

 A

 A

 si si

_∀∀

xx∈∈AA

¬¬

((xSx

xSx))

..

(2)

(3)

(3)

S 

S 

 es un orden parcial estricto en es un orden parcial estricto en

 A

 A

 si si

 S 

 S 

 es irreflexiva y transitiva en es irreflexiva y transitiva en

 A

 A

. Este concepto tambi´. Este concepto tambi´enen se lee como

se lee como

_

A,

A, S 

S 

_

es un o.p.e. (orden parcial estricto)es un o.p.e. (orden parcial estricto)..

Una propiedad importante sobre ordenes parciales estrictos es que tambi´

Una propiedad importante sobre ordenes parciales estrictos es que tambi´en sen satisfacen atisfacen asimetr´asimetr´ıa. ıa. DeDe hecho, si

hecho, si

 S 

 S 

 es transitiva en es transitiva en

 A

 A

, entonces, entonces

 S 

 S 

 es irreflexiva si y solo si es irreflexiva si y solo si

 S 

 S 

 es asim´ es asim´etrica.etrica. 2.4 Ejemplo.

2.4 Ejemplo.   (1)   (1) La La relrelacacii ´´onon

 <

 <

 es un orden parcial estricto en es un orden parcial estricto en

R

R

.. (2)

(2) DefinaDefinamos la sigmos la siguientuiente relaci´e relaci´on enon en

Z

Z

++

∪∪ {{

00

_}}

::

mSn

mSn

_⇔

_⇔

m

m

_||

n

n

 ∧ ∧

 m

 m

= n

=



n,

, m

m, n

, n

 ∈

 ∈

Z

Z

++

∪∪ {{

00

}}

..

´´

Esta es una relaci´

Esta es una relaci´on de orden parcial estricto enon de orden parcial estricto en

Z

Z

++

_{∪∪ {{}

00

_}}

 (lo cual es consecuencia directa del (lo cual es consecuencia directa del Lema 2.5).

Lema 2.5). (3)

(3) La La relrelaci´aci´onon





es un orden parcial estricto en cualquier conjuntoes un orden parcial estricto en cualquier conjunto

 A

 A

. Como en el Ejemplo 2.4, se. Como en el Ejemplo 2.4, se define

define





AA como la restricci´ como la restricci´on deon de





al conjuntoal conjunto

 A

 A

, pero , pero el sub´el sub´ındice no ındice no es esencial es esencial para trabajarpara trabajar

dicha relac dicha relacii´´on.on. N

N´´otese que los ordenes parciales estrictos del ejemplo anterior est´otese que los ordenes parciales estrictos del ejemplo anterior est´an asociados a los ordenesan asociados a los ordenes parc

parciales del iales del EjempEjemplo lo 2.2. As´2.2. As´ı ı como, al como, al razorazonar nar con desigualdcon desigualdades, ades, se se puedpuede e pasapasar r del del “men“menor or oo igual” al “menor” y viceversa, para cualquier conjunto un orden parcial se puede asociar a un orden igual” al “menor” y viceversa, para cualquier conjunto un orden parcial se puede asociar a un orden parcial estricto y viceversa. Este hecho se justifica en el siguiente resultado.

parcial estricto y viceversa. Este hecho se justifica en el siguiente resultado. 2.5 Lema.

2.5 Lema. SeaSea

 A

 A

 un conjunto. un conjunto. (a) Sea

(a) Sea

 R

 R

 un orden parcial en un orden parcial en

 A

 A

 y y

 S 

 S 

RR la siguiente relaci´  la siguiente relacion enon en´ 

 A

 A

::

xS 

xS 

RR

yy

 ⇔

 ⇔

xRy

xRy

 ∧ ∧

 x

 x



=

= yy,

, x

x, y

, y

 ∈

 ∈

 A.

 A.

 Entonces

 Entonces

_

A,

A, S 

S 

RR



es un o.p.e..es un o.p.e..

(b) Sea

(b) Sea

 S 

 S 

 un orden parcial estricto en un orden parcial estricto en

 A

 A

 y y

 R

 R

S S  la siguiente relaci la siguiente relaci´ on enon en´ 

 A

 A

::

xR

xR

S S 

yy

 ⇔

 ⇔

xSy

xSy

 ∨ ∨

 x

 x =

 = yy,

, x

x, y

, y

 ∈

 ∈

A.

A.

 Entonces

 Entonces

_

A,

A, R

R

S S 



es un C.P.O..es un C.P.O..

Demostraci

Demostraci´´on.on. (a)(a)

S 

S 

RR es irreflexiva. es irreflexiva.   Dado  Dado

 x

 x

 ∈

 ∈

A

A

, como, como

 x

 x =

 = x

 x

 es cierto, entonces es cierto, entonces

 xRx

 xRx

 ∧ ∧

 x

 x



=

= x

 x

es falso, es decir,

S 

R es transitiva.   Sean

 x, y,z

 ∈

 A

 tal que

 xS 

R

y

 y

 yS 

R

z

, es decir,

 xRy

,

 yRz

,

 x

 

= y

 y

 y

 

= z

.

Se sigue que

xRz

  por la transitividad de

R

. Para probar

xS 

R

z

 falta ver que

x



= z

.

Supongamos por el contrario que

x = z

  de donde, como

yRz

 entonces

yRx

 y, como

xRy

, por la antisimetr´ıa de

 R

 se sigue que

 x = y

, lo cual es una contradicci´on. (b)

R

S  es reflexiva.   Dado

 x

∈

 A

, como

 x = x

 se sigue

 xR

S 

x

.

R

S  es antisim´etrica.   Dado

 x, y

 ∈

 A

 tenemos

xR

S 

y

 ∧

 yR

S 

x

⇔

(xSy

 ∨

 x = y)

 ∧

 (ySx

 ∨

 x = y)

⇔

(xSy

∧

 ySx)

 ∨

 x = y

 ⇔

x = y.

Para la ´ultima equivalencia,

 xSy

∧

 ySx

 es falso por la asimetr´ıa de

 S 

.

R

S  transitiva.   Dado

 x, y,z

 ∈

 A

 supongamos que

 xR

S 

y

 ∧

 yR

S 

z

. ´Esto es

(xSy

 ∨

 x = y)

 ∧

 (ySz

∨

 y = z)

que a su vez equivale a

(xSy

∧

 ySz)

 ∨

 (xSy

∧

 y = z)

 ∨

 (x = y

∧

 yS z)

 ∨

 (x = y

∧

 y = z).

De los tres primeros casos se sigue

 xSz

 y del ´ultimo caso

 x = z

, lo cual permite concluir que

 xR

S 

z

.

2.6 Observaci´on.  El Lema anterior asegura el comportamiento de un orden parcial como un

 _≤

 y de un orden parcial estricto como un

 <

, adem´as que cada orden parcial se asocia a uno estricto y viceversa, de la misma forma que una desigualdad. As´ı, intuitivamente, un orden parcial, natural o estricto, representa una desigualdad para un conjunto. Por lo tanto, adoptamos la siguiente notaci´on: dado un conjunto

 A

 con un orden parcial, denotamos por

 _≤

A a dicho orden parcial, y por

 <

A a su

orden parcial estricto correspondiente. Con esta notaci´on, el Lema anterior expresa que

x <

A

 y

 ⇔

x

≤

A

 y

 ∧

 x



= y

x

_≤

A

 y

 ⇔

x <

A

 y

 ∨

 x = y x, y

 ∈

 A.

Tmabi´en adoptamos la notaci´on tradicional de

 y

 _≥

A

x

 por

 x

 ≤

A

y

 y

 y >

A

x

 por

 x <

A

y

. Cuando

no hay lugar a confusi´on, escribimos las desigualdades sin sub´ındices. Para m´as evidencia sobre esta notaci´on, ver los Ejercicios 1.14, 1.15 y 1.16.

(1) Dos objetos

 x, y

 _∈

 A

 son comparables si

 x

_≤

y

∨

 y

 ≤

x

.

(2) Sea

 C 

 _⊆

 A

. Decimos que

 C 

 es una cadena en

 A

 si todos los elementos de

 C 

 son comparables entre s´ı, es decir,

_∀

x,y∈C 

(x

 ≤

y

 ∨

 y

 ≤

x)

.

En los siguientes ejemplos, adem´as de ilustrar los conceptos de la Definici´on anterior, introduci-mos la forma de dibujar el grafo de un orden parcial. Estos proveen, de manera m´as did´actica, la informaci´on completa de un orden parcial sin necesidad de ir a su definici´on.

2.8 Ejemplo (Grafo de un orden parcial).   (1) Sea

 A =

 _{

∅

,

_{

0

_}

,

_{

1

_}

,

_{

0, 1

_}

,

_{

1, 2

_}

,

_{

3, 4

_}}

 orde-nado por contenci´on. El grafo del orden parcial

 _

A,

_⊆

 consiste en colocar los elementos de

 A

como nodos y unirlos mediante l´ıneas de modo que los elementos que aparencen debajo son menores que los que aparecen arriba conectados a ellos. En el siguiente diagrama ilustramos este tipo de grafo para este ejemplo:

∅

{

1

_}

{

0

_}

{

0, 1

_}

2

_{

3, 4

_}

Ac´a se nota que

∅

 es menor que todos los dem´as elementos,

 _{

0

_{} ⊆ {}

0, 1

_}

,

 _{

0

_}

y

 _{

1

_}

no son comparables y

 _{

3, 4

_}

 no es comparable con los elementos de

 A

 salvo

 ∅

 y ´el mismo. Los subconjuntos

C 

1

=

{

∅

,

{

0, 1

}}

,

C 

2

=

∅

,

C 

3

=

{{

0

}

,

{

0, 1

}}

,

C 

4

=

{

∅

,

{

0

}

,

{

0, 1

}}

y

C 

5

 =

{{

3, 4

}}

 son ejemplos de cadenas en

 A

, mientras que

 C 

6

 =

{

∅

,

{

0

}

,

{

1

}

,

{

0, 1

}}

,

 C 

7

 =

{{

0

_}

,

_{

3, 4

_}}

 y

 A

 son ejemplos de subconjuntos de

 A

 que no son cadenas.

(2) Hay ciertos ordenes parciales los cuales son m´as practico definirlos y analizarlos desde su gr´afi-ca que desde su definici´on. El siguiente grafo ilustra un orden parcial.

b d c e f  g h             

{

  1,

_}

                          a



A,

_⊆

Si llamamos

A =

 _{

a,b,c,d,e,f,g,h

_}

y

R

 el orden parcial dado por el diagrama, podemos inferir que

aRc

,

dRg

,

eRf 

,

hRh

, mientras que

_¬

(bRa)

,

_¬

(hRg)

,

_¬

(cRd)

. La definici´on formal de este orden parcial es

R =

_{

(a, a), (a, b), (a, c), (a, d), (a, e), (a, f ), (a, g), (b, b), (b, c), (b, d), (b, e), (b, f ), (b, g),

(c, c), (c, e), (c, f ), (c, g), (d, d), (d, e), (d, f ), (d, g), (e, e), (e, f ), (e, g), (f, f ), (g, g), (h, h)

_}

.

Esta forma es poco pr´actica para definir el orden parcial del grafo, pues provee muy poca in-formaci´on acerca del mismo. El gr´afico basta para definir el orden parcial y determinar sus propiedades. Por ejemplo,

h

  no es comparable con ning´un otro elemento de

A

 y los objetos no comparables con

 g

 son precisamente

 f 

y

 h

. Los subconjuntos

C 

1

=

 {

a,c,f 

}

,

 C 

2

=

 {

h

}

,

C 

3

=

 {

a,b,c,e,g

}

 y

∅

son cadenas en

 A

, mientras que

 C 

4

=

 {

c, d

}

,

 C 

5

=

 {

a,b,c,e,f,g

}

 y

A

 no son cadenas.

(3) En el orden parcial

_

R

,

_≤

todos sus elementos son comparables entre s´ı. Por lo tanto,

R

es una cadena y todos los subconjuntos de

 R

 son cadenas. Esto se ilustra en el gr´afico de

 _

R

,

_≤

, el cual es, como se conoce, una l´ınea recta.

0

R

El ejemplo anterior ilustra qu´e significa, intuitivamente, ser una cadena: n´otese que los  juntos que son cadenas se pueden dibujar como una sola l´ınea (o curva), mientras que los subcon- juntos que no son cadenas se tienden a ramificar en alguna parte y dejan de ser una sola l´ınea (o curva). Por eso es que en (1) y (2) el gr´afo del orden parcial es ramificado, porque no son cadenas, mientras que en (3) la gr´afica es una l´ınea recta porque se trata de la cadena

R

. Esta aclaraci´on advierte sobre algunas propiedades espec´ıficas que no se cumplen en todos los ´ordenes parciales, como

_¬

(x

_≤

y)

_⇒

y < x

. Esta afirmaci´on es cierta en

R

, pero no es cierta en los ordenes parciales de (1) y (2), pues

 _{

0

_}



 _{

1

_}

y

 _{

1

_{} }



 _{

0

_}

, y

 _¬

(h

 _≤

g)

 y

 _¬

(g < h)

. ´Esto se debe a que dichos ordenes paciales contienen elementos no comparables, los cuales hacen dicha implicaci´on falsa.

Dentro de los ordenes parciales se destacan aquellos en donde todos sus elementos son compa-rables, es decir, aquellos que se pueden graficar como una l´ınea recta.

2.9 Definici´on (Orden total (lineal)). (a)

_

A,

_≤

A



  es un C.T.O. (conjunto totalmente ordenado) si

es un C.P.O. que es una cadena. Esto significa que todos sus elementos son comparables, es decir,

_∀

x,y∈A

(x

 ≤

A ∨

 y

 ≤

A

 x)

. Esto tambi´en se lee como



A,

≤

A



es un orden lineal.

(b) Una relaci´on

S 

en

A

 cumple tricotom´ ıa si, para todo

x, y

_∈

A

, se cumple s´olo una de las siguientes condiciones:

 xSy

,

 x = y

´o

 yS x

.

(c)

_

A, <

A



es un orden total (lineal) estricto si

 <

A es transitiva y cumple tricotom´ıa.

Es f´acil notar que todo orden lineal estricto es un o.p.e.. De la misma forma en que se relacionan los conceptos de orden parcial y o.p.e., se relacionan los conceptos de orden total y orden total estricto.

2.10 Lema. Sea

 A

 un conjunto.

(a) Si

_

A,

_≤

A



es un C.T.O. entonces



A, <

A



es un orden total estricto.

(b) Si

_

A, <

A



es un orden total estricto, entonces

 

A,

≤

A



es un C.T.O..

Demostraci´on.   (a) Si

_

A,

_≤

A



es un C.T.O. del Lema 2.5 es claro que



A, <

A



es un o.p.e., as´ı que

solo falta ver que cumple tricotom´ıa. Dados

 x, y

 _∈

 A

, como los elementos de

 A

 son compara-bles, entonces

x

 _≤

A

y

 ∨

 y

 ≤

A

x

, es decir,

x <

A

y

 ∨

 x = y

∨

 y <

A

x

. Es claro que solo se

puede dar una sola de estas tres condiciones, pues de darse dos simultaneamente se contradice la irreflexividad y la asimetr´ıa.

(b) Si

_

A, <

A



es un orden total estricto entonces es un o.p.e. y, por Lema 2.5,



A,

≤

A



es un C.P.O..

Veamos ahora que todos los elementos de

 A

 son comparables entre s´ı. Dados

 x, y

 _∈

A

 se tiene, por tricotom´ıa,

 x <

A

 y

∨

 x = y

 ∨

 y <

A

 x

, lo cual implica claramente que

 x

≤

A

 y

 ∨

 y

 ≤

A

 x

.

Luego de conocer las propiedades estructurales de un orden parcial (y lineal) en general, defi-namos algunos de los elementos destacados que pueden contener.

2.11 Definici ´on. Sea

_

A,

_≤

un C.P.O..

(1)

m

 es un elemento maximal de

 A

 si

 m

_∈

 A

 y

_¬∃

x∈A

(m < x)

.

(2)

n

 es un elemento minimal de

 A

 si

 n

_∈

 A

 y

_¬∃

x∈A

(x < n)

.

(3)

M 

 es un m´ aximo de

 A

 si

 M 

 _∈

 A

 y

_∀

x∈A

(x

 ≤

M )

.

Hay una distinci´on fundamental entre lo que significa ser maximal y m´aximo. En el primer caso se trata de un elemento de

A

que no es superado por nadie, mientras que en el segundo se trata de un elemento de

 A

 que est´a por encima de todos los elementos de

 A

, lo cual no necesariamente cumple un maximal. Se d´a una situaci´on similar al comparar el concepto de minimal con m´ınimo. Es claro tambi´en que todo m´aximo es maximal y que todo m´ınimo es minimal, pero el caso rec´ıproco no siempre es cierto, como se ilustra en los siguientes ejemplos.

2.12 Ejemplo.  (1) Retomemos el orden parcial definido en el Ejemplo 2.8(1). Este no tiene ele-mentos m´aximos, pero

_{

0, 1

_}

,

 _{

1, 2

_}

y

_{

3, 4

_}

son sus elementos maximales. Su ´unico m´ınimo, a la vez minimal, es

∅

.

(2) El orden parcial del Ejemplo 2.8(2) no tiene m´aximos ni m´ınimos, sus minimales son

 a

 y

 h

 y sus maximales son

 f 

,

 g

 y

 h

.

(3) El conjunto de los n´umeros naturales2 no tiene m ´aximos ni maximales, y su ´unico minimal, el cual es m´ınimo, es

 0

.

(4)

R

, con el orden usual, no tiene maximales, minimales, m´aximos ni m´ınimos.

Algunos textos definen maximal y minimal de otra forma, la cual es equivalente a la que presen-tamos en la Definici´on anterior:

 m

 es maximal en

 A

 si y solo si

 m

_∈

 A

 y

_∀

_x∈A

(m

_≤

x

_⇒

m = x)

;

n

 es un elemento minimal de

 A

 si y solo si

 n

 _∈

 A

 y

 _∀

x∈A

(x

 ≤

 n

⇒

x =  n)

. A lo largo del texto,

usaremos tambi´en esta definici´on alternativa.

En los ejemplos anteriores se nota que el m´ınimo siempre es ´unico, lo cual se garantiza en el siguiente resultado.

2.13 Lema. Sea

_

A,

_≤

un C.P.O..

(a) Si

A

  tiene un m´ aximo (resp. m´ ınimo), ´ este es ´ unico. Por lo tanto, denotamos por 

m´ax A

el m´ aximo de

 A

 y por 

 m´ın A

 el m´ ınimo de

 A

.

(b) Si existe

 m´ax A

 (resp.

 m´ın A

), entonces este es el ´ unico elemento maximal (resp. minimal) de

A

.

Demostraci´on. La prueba para la situaci´on maximo-maximal es an´aloga para la situaci´on m´ınimo-minimal, por lo cual probaremos solo una situaci´on en cada caso.

2_{En el cap´ıtulo 2 vamos a definir el conjunto de los n ´umeros naturales desde 0. En muchos textos, los n´umeros}

(a) Supongamos que

M 

1 y

M 

2  son m´aximos de

A

, es decir,

M 

1

, M 

2

∈

A

,

 ∀

x∈A

(x

≤

M 

1

)

y

∀

x∈A

(x

 ≤

 M 

2

)

. En la primera situaci´on se sigue

 M 

2

 ≤

 M 

1 y en la segunda

 M 

2

 ≤

 M 

1, por lo

cual

 M 

1

= M 

2.

(b) Supongamos que

 m´ın A

 existe. Es claro que

 m´ın A

 es minimal en

 A

, pues si

 x

 _∈

A

 tal que

x

 _≤

  m´ın(A)

, como

 m´ın A

 _≤

x

 por antisimetr´ıa se sigue

x  = m´ın A

. Para la unicidad, si

 n

es minimal en

 A

 veamos que

 n  = m´ın A

. En efecto,

 n

 _∈

A

 y

_∀

x∈A

(x

 ≤

n

⇒

x = n)

. Como

m´ın A

_≤

n

, de lo anterior se sigue que

 m´ın A = n

.

2.14 Definici ´on (Cotas). Sea

_

A,

_≤

un C.P.O.,

B

 _⊆

A

.

(1)

m

 es cota superior de

 B

 (respecto a

 A

) sii

 m

 _∈

A

 ∧

∀

_x∈B

(x

 ≤

m)

. Intuitivamente, una cota

superior de

 B

 es un elemento en

 A

 (no necesariamente en

 B

) que est´a por encima de todos los elementos de

 B

.

(2)

n

es  cota inferior de

B

  (respecto a

A

) sii

n

 _∈

A

 ∧

∀

_x∈B

(n

 ≤

x)

. Intuitivamente, una cota inferior de

 B

 es un elemento en

 A

 (no necesariamente en

 B

) que est´a por debajo de todos los elementos de

 B

.

(3) El supremo de

B

 (respecto a

A

) se define como

 sup B = m´ın

_{

m

_∈

 A / m

 cota sup. de

 B

_}

(en caso de que dicho m´ınimo exista).

(4) El ´ ınfimo de

 B

 (respecto a

 A

) se define como

 ´ınf  B = m´ax

_{

m

_∈

 A / m

 cota inf. de

 B

_}

 (en caso de que dicho m´aximo exista).

2.15 Ejemplo.   (1) Consideremos

R

con su orden usual. Con

 B

1

= [0, 1)

, una cota superior de

 B

1

es cualquier elemento mayor o igual que 1, por lo cual

 [1, +

_∞

)

 es el conjunto de cotas superi-ores de

B

1. Su conjunto de cotas inferiores es

(

−∞

, 0]

. Por lo tanto,

 sup B

1

 = m´ın[1, +

∞

) = 1

y

´ınf  B

1

 = m´ax(

−∞

, 0] = 0

. Adem´as,

B

1 no tiene m´aximo, pero tiene m´ınimo el cual coincide

con

´ınf  B

1.

0

1

R

Con

B

2

=



_n1

/ n

 ∈

Z

+



 ∪

 Z

+

=

{

. . . ,

}

, ´este conjunto no tiene cotas superiores y, por

lo tanto, no tiene supremo. Sus cotas inferiores forman el conjunto

(

_−∞

, 0]

 y as´ı,

 ´ınf  B

2

=

||||||||||||||||| | | | | | | |

0

1 2 1 3 1 4 1 5

1

2

3

. . .

Consideremos

 B

3

=



q 

 ∈

Q

/ q 

2

< 2



. Para n´umeros reales sabemos que

 x

2

< 2

 si y solo si

−

√ 

2 < x <

√ 

2

, por lo cual

 B

3

= (

−

√ 

2,

√ 

2)

∩

Q

. Sus cotas superiores forman el conjunto

[

√ 

2, +

_∞

)

 y sus cotas inferiores forman el conjunto

 (

_−∞

,

₋

√ 

2]

, por lo cual

 sup B

3

=

√ 

2

 y

´ınf  B

3

 =

−

√ 

2

. Note que

 B

3 no tiene m´aximo ni m´ınimo.

(2) Consideremos el conjunto

 B

3 del ejemplo anterior, pero respecto a

Q

con el orden usual. En este

caso, sus cotas superiores forman el conjunto

 [

√ 

2, +

_∞

)

_∩

Q

y el conjunto de cotas inferiores es

 (

_−∞

,

₋

√ 

2]

_∩

Q

. El primer conjunto no tiene m´ınimo en

 Q

 y el segundo no tiene m´aximo en

Q

, por lo cual

 B

3, aunque es un conjunto con cotas inferiores y superiores, no tiene supremo

ni ´ınfimo.

Una propiedad caracter´ıstica de los n´umeros reales es su  completez: todo subconjunto de

R

que tenga cota superior tambi´ en tiene supremo3. Esta afirmaci´on es lo que hace que

 R

 tenga m´as estructura que

 Q

, puesto que

 Q

 no cumple completez. El ejemplo anterior es una evidencia de la completez de

R

y de la incompletez de

Q

, pues

B

3, aunque tiene supremo (e ´ınfimo) respecto a

R

, no

tiene supremo (ni ´ınfimo) respecto a

Q

. Esta propiedad de completez es la que hace que

R

se pueda ver como una l´ınea continua de puntos, por lo cual, en ocasiones, a

R

se le conoce como el continuo. Las siguientes son propiedades para caracterizar las nociones de supremo e ´ınfimo en un orden parcial.

2.16 Lema. Sea

_

A,

_≤

un C.P.O.,

B

 _⊆

A

. (a)

s = sup B

 si y solo si

(i)

s

 es cota superior de

 B

.

(ii)

_∀

_m∈A

(m

 cota superior de

 B

 _⇒

s

_≤

m)

. (b)

l = ´ınf  B

 si y solo si

(i)

l

 es cota inferior de

 B

.

(ii)

_∀

_n∈A

(n

 cota inferior de

 B

 _⇒

n

_≤

l)

.

(c) Si existe

 m´ax B

 (resp.

 m´ın A

) entonces

 B

 tiene supremo (resp. ´ ınfimo) y

 sup B = m´ax B

 (resp.

´ınf  B = m´ın B

).