Método del elemento finito.

El método del elemento finito(11), (12), (13), (14) y (15) es una técnica de análisis numérico empleada para obtener soluciones aproximadas para una amplia variedad de problemas de ingeniería. En la actualidad, se sabe que en muchas situaciones es necesario resolver estos problemas obteniendo soluciones numéricas aproximadas en vez de soluciones exactas.

Las alternativas que el analista puede elegir para solucionar problemas son numerosas. Una posibilidad consiste en hacer planteamientos a priori que simplifiquen el problema de manera que pueda resolverse. En algunas ocasiones este procedimiento funciona; pero lo usual es que se resuelve un problema similar que aproxima la solución del problema real pero que conduce a respuestas muy imprecisas o erróneas. Ahora que se dispone de computadoras digitales poderosas, la alternativa más viable consiste en retener la complejidad del problema y tratar de encontrar una solución numérica con alto grado de aproximación

La aparición de la computadora alteró radicalmente la capacidad disponible para resolver ecuaciones diferenciales parciales, lográndose que las soluciones numéricas estén al alcance de la mayoría de los analistas, ya que el número de términos que puede emplearse para representar el fenómeno que se modela (temperatura, presión o desplazamiento) es muy grande.

Muchos son los métodos aproximados que se han desarrollado para el análisis numérico; el método que más se ha empleado es el de diferencias finitas. Los modelos de diferencias finitas (el cual está formado por ecuaciones diferenciales formuladas para un arreglo o red de puntos) se mejora conforme se emplean una mayor cantidad de puntos. Esta técnica puede usarse para solucionar problemas complejos; pero, en aquellos casos en los que se tienen geometrías irregulares o especificaciones de condiciones de frontera poco usuales, el método de las diferencias finitas se torna difícil de emplear. .

En tiempos más recientes se ha desarrollado el método del elemento finito, el cual es también un método aproximado de análisis numérico. A diferencia del método de las diferencias finitas, el cual contempla la región modelada como un arreglo o red de puntos, el método del elemento finito emplea

un arreglo de varias subregiones o elementos de tamaño muy pequeño y que están interconectados entre sí. El modelo por elementos finitos de un problema, ofrece una aproximación por elementos de las ecuaciones gobernantes.

La premisa básica del método del elemento finito es que el dominio de estudio puede modelaras o aproximarse analíticamente, reemplazándolo por elementos discretos perfectamente ensamblados. Como dichos elementos pueden ser colocados en una gran variedad de posiciones y dimensiones, se puede usar para representar aun las formas más complejas.

Con el fin de recalcar el principio básico del método del elemento finito, se reproduce la definición dada por L. J. Segerlind(27) en lo concerniente a este principio: "El concepto fundamental del método del elemento finito consiste en que cualquier función característica del medio continuo, como la temperatura, presión, o desplazamiento, puede aproximarse por un modelo discreto compuesto de una serie de funciones continuas pieza a pieza, definidas en un número finito o subdominios.

Las funciones continuas pieza a pieza se definen empleando los valores de la cantidad continua en un número finito de puntos en su dominio".

Dichas series de funciones continuas se eligen comúnmente de manera que aseguren la continuidad del comportamiento de éstas a través del medio continuo completo; aun en los casos en que los campos elegidos no aseguren continuidad, se pueden obtener soluciones satisfactorias.

Si el comportamiento de una estructura se rige por una sola ecuación diferencial, entonces, tanto el método del elemento finito, como el método de las diferencias finitas, pueden aplicarse para obtener una solución satisfactoria de la ecuación. Pero si es necesario emplear distintas ecuaciones diferenciales para describir el comportamiento de un medio continuo, ya sea porque éste está compuesto de varios materiales o que las propiedades físicas del material no son homogéneas, únicamente el método del elemento finito puede aplicarse directamente.

Del mismo modo que otros procedimientos numéricos alternativos, empleados para solucionar problemas prácticos en el campo de la mecánica del medio continuo, el método del elemento finito

requiere formular y resolver sistemas de ecuaciones diferenciales. La principal ventaja de este método reside en la capacidad de ser automatizado para formar ecuaciones y la habilidad que tiene para representar estructuras irregulares y complejas, así como condiciones de frontera diversas.

Como se mencionó antes, el método del elemento finito posee una alta capacidad para representar formas complejas, mientras que el método de las diferencias finitas presenta muy serias dificultades para discretizar formas complejas.

Cabe aclarar que el método del elemento finito cuando emplea la formulación variacional calcula, en primera instancia, los desplazamientos en los nodos de los elementos. Además, para obtener una solución satisfactoria, realiza varias iteraciones con todos los elementos, esto es, parte de los resultados obtenidos en una primera iteración, para repetir los cálculos de desplazamiento y, de este modo, mejorar paulatinamente resultados posteriores que van aproximando a los reales, repitiendo este procedimiento es posible alcanzar un factor de exactitud elegido por el usuario del método.

Una vez que se encuentran los desplazamientos de los nodos, éstos pueden traducirse en deformaciones y posteriormente en esfuerzos. Para calcular los esfuerzos a partir de las deformaciones, se emplea la ley de Hooke (Ecuaciónes 3.1) en dos dimensiones, que establece que: