Investigación De Operaciones I
MODELO DE DECISIÓN:
Debe contener 3 elementos:
Alternativas de decisión (de las que se hace la elección). Restricciones Para excluir alternativas infactibles.
Criterios Para evaluar y clasificar altas factibles.
FASES DE UN ESTUDIO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES:
Definición del problema. Construcción del modelo. Solución del modelo.
Validación del modelo (comprueba datos anteriores). Implantación de resultados finales.
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA ASPECTOS PRINCIPALES:
Descripción de la meta o el objetivo de estudio. Identificación de las altas de decisión del problema.
Reconocimiento de las limitaciones, restricciones y requisitos del sistema.
CONSTRUCCIÓN DEL MODELO:
Depende de la definición del problema. La investigación de operaciones proporciona al director de una empresa una base cuantitativa para la toma de decisiones, la investigación de operaciones asignara recursos escasos disponibles a diversas actas, buscando hacer optima la decisión.
PROGRAMACIÓN LINEAL:
Modelo matemático que trata de asignar recursos limitados entre actas competitivas en la mejor forma. Es la planificación de actas con el fin de obtener un resultado optimo. El problema contiene dos aspectos:
Las restricciones: son las condiciones que debe satisfacer una solución que este bajo consideración
El objetivo: trata el problema de maximizar o minimizar valores que optimicen la utilización de recursos. Función objetivo La meta deseada
MÉTODOS DE PROGRAM ACION LINEAL:
Gráfico: solo existen dos variables.
Simplex: n variables n restricciones.
Dual: el análisis de sensibilidad debe considerarse como parte integral de la solución cualquier problema de optimización. Este da a las soluciones de programación lineal (PL) características dinámicas que son absolutamente necesarias para tomar decisiones acertadas en torno a toma de decisiones en cambio constante. Se analiza cada aspecto para ver si varia la solución optima y se vuelve infactible.
101 Variable de holgura: representan la capacidad instalada no aprovechada.
Restricciones: son las condiciones que debe satisfacer una solución que está bajo consideraciones.
Objetivo: trata el problema de minimizar o maximizar valores que optimicen la utilización de recursos.
Función objetivo: maximizar utilidad, minimizar costos, maximizar rendimiento, minimizar el número de empleados.
La holgura positiva: significa que el recurso no se usa en su totalidad. La holgura cero indica que las actividades consumen todo el recurso.
Programación lineal: método determinista de análisis para elegir la mejor entre muchas alternativas. Normalmente el problema contiene dos aspectos, restricciones y el objetivo.
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL:
Método gráfico de prueba y error: luego de haber planteado las restricciones, estás se grafican y se trazan líneas en el sentido de si la restricción está sujeta a ser menor o igual o mayor o igual. La figura que se obtenga con los traslapes de todas las rectas será la que nos determina todas las coordenadas de los vértices, para luego valuar esos valores en la función objetivo y escoger la que la maximice o minimice.
Método de líneas de indiferencia: se deberán suponer algunos valores para la función objetivo y dibujar las rectas correspondientes a cada suposición. Luego se valúan los puntos obtenidos de la misma forma que el método anterior para escoger la que satisfaga las condiciones de maximización o maximización.
Método Simplex: Proceso matricial selectivo que valúa algunos puntos del polígono solución hasta encontrar el punto que optimiza el sistema, todas las restricciones son del tipo menor o igual.
Paso 1. Eliminar todos los signos de desigualdad en las restricciones agregando variables de holgura (+Si) que para el caso de
signos menor o igual son siempre positivas. Luego igualar la función objetivo a cero, que incluye las variables 0Si
Paso 2. Tablero inicial. Variables básicas: son todas aquellas variables vistas en las restricciones que no son las variables de decisión y que son positivas.
Paso 3. Variable que entra y variable que sale: la variables que entra es el valor más negativo de la función objetivo. Para identificar la variable que sale se divide cada uno de los valores de la columna solución entre su respectivo valor de la columna de la variable que entra (a excepción del valor de la función objetivo); el valor de la variable que sale quedará definido por el menor dividendo positivo de la división anterior. Al elemento que se encuentra en la intersección de la columna de la variable que entra y de la fila de la variable que sale se le llama: elemento pivote.
Paso 4. Dividir toda la fila del tablero anterior (fila de la variable que salió) entre el elemento pivote.
Construcción del modelo método Simplex:
Que busca determinar el modelo? Cuales son las variables incógnitas del problema.
Que restricciones deben imponerse a las variables a fin de satisfacer las limitaciones del sistema representado por el modelo?
Cual es el objeto (meta) que necesita alcanzarse para determinar la solución optima (mejor) de entre todos los valores factibles de las variables.
Básicas X0 X1 X2 S1 S2 Solución X0 1 mantiene identidad S1 0 1 0 para resolver un simplex. S2 0 0 1 Maximizar = + negativo. Minimizar = + positivo.
El proceso termina cuando no exista ningún valor negativo en la fila de la función objetivo cuando se maximiza; si se esta minimizando el
102 proceso termina cuando no exista un valor positivo Condición de no negatividad X1, X2,... 0.
Convertir todas las inecuaciones en ecuaciones. Usar variables de holgura y artificiales.
Encontrar una solución básica inicial.
Especificar una variable básica por cada ecuación usando variables artificiales donde sea necesario.
Interpretación del simplex información que nos da:
Solución optima. Estado de los recursos. Valor unitario de cada recurso.
Sensibilidad de la solución optima a cambios en disposición de recursos, coeficiente de la función objetivo y uso de recursos por parte de actividades
Cambios que afectan la factibilidad: cambios en disponibilidad de recursos y adición de nuevas restricciones
MÉTODO DE PENALIZACIÓN:
1 0 cuando la matriz no es identidad se usa este método 0 -1
Se introducen variables artificiales: proporcionan un artificio matemático para obtener una sol de inicio. No tiene interpretación física. El efecto de esta variable se cancela por su alta penalización al final las variables deben ser 0 para que la sol sea factible.
Se agregan variables artificiales (función objetivo, restricciones). En la función objetivo se multiplica la variable artificial por M (cte.) M --> variable muy grande.
Se multiplican todas las restricciones donde aparezcan variables artificiales por –M y se agrupan con la función objeto.
TÉCNICA DE 2 FASES (Cuando no hay M identificada):
Elimina el uso de la constante M. Consta de dos fases la cuales son: Fase 1; en esta se formula la función objeto = a la sumatoria de las variables.
Artificiales (R)
Función objeto. Ro=R2+R3 Minimizar o maximizar. Ro X1 X2 S2 S1 R2 R3
10 Ro 0 0 0
Ro = 0 si las variables artificiales se hicieron 0 no hay solución o no es factible.
Fase II; introducir la función objeto original en la solución de la fase uno.
Básicas X0 X1 X2 S2 S2 -> se eliminaron las variables artificiales
X0
VARIANTES EN LA APLICACIÓN:
Degeneración.
Soluciones no acotadas. Soluciones optimas alternativas. Soluciones no existentes.
Degeneración; ocurre cuando una o más variables toman el valor = 0 en la iteración i, al llegar a este punto no hay seguridad si el valor de la función objetivo se mejorara en la iteración I+1.
1era iteración
Básicas X0 X1 X2 S1 S2 Solución X2 0
S2
Hay degeneración cuando las dos rectas se interceptan en alguno de los ejes y ese es el punto extremo. Se da cuando existan mas variables de holgura de decisión. La solución degenerada desde el punto de vista practico implica que el modelo tiene cuando menos una restricción redundante.
103 Soluciones no acotadas: de un tablero Simplex: Se observa una solución acotada cuando una variable la cual "puede entrar" en su columna solo existen coeficientes negativos.
Soluciones optimas alternativas: ocurre cuando existe un número infinito de soluciones básicas. Gráficamente se dará cuando la función objetivo sea paralela a una de las restricciones
Soluciones no existentes en la técnica de penalización: cuando el valor de la constante M en la solución final no es igual a cero. En la técnica de las 2 fases, cuando al terminar la fase 1 el valor de Ro no es igual a cero
PROBLEMA DUAL:
A cada problema de programación lineal se le asocia con otro problema de programación lineal llamado dual, que no es mas que la matriz transpuesta del problema primal. Las variables duales (Psombra) se pueden usar para priorizar la asignación de fondos disponibles a los diferentes recursos. Las variables duales representan los valores sobre uno de los recursos respectivos mientras mayor sea el valor dual mayor debe ser la prioridad de su recurso para recibir fondos.
11 Maximizar Xo=40X1+ 60X2 Sujeto a 3X1 + 2X2 2000 Primal X1 + 5X2 1000
X1;X2 0
Minimizar Yo = 2000Y1 + 1000Y2
3Y1 + 2Y2 40 ( cambia por ) 2Y1 + 5Y2 60
Y1,Y2 0 -> No Cambia
Precios sombra y la solución Dual: el método simplex da mas que una sol optima, también da información adicional que puede ser útil para tomar decisiones administrativas en particular los precios sombra de c/recurso. Además proporciona la sol completa para el
problema dual. El rango de la variación en la disponibilidad de un recurso da el precio sombra.
Usos de la dualidad: la solución primal optima puede obtenerse de la tabla dual optima y viceversa, será ventajoso en términos de calculo resolver el dual cuando tenga menos restricciones que el primal.
X1 = Numero de maquinas manuales a producir. X2 = Número de maquinas eléctricas a producir. Función objetivo Maximizar X0 = 100X1+180X2
3X1 + 2X2 2000 Primal (problema de producción).
X1 + 2X2 1000
Xi 0 Dual Minimizar Y0 = 2000Y1 + 1000Y2(hrs)
3Y1 + Y2 100 Dual (problema de precio).
2Y1 + 2Y2 180
Y1 = Precio al que esta dispuesta la compañía a arrendar el recurso 01.
Y2 = Precio al que esta dispuesta la compañía a arrendar el recurso 02.
A partir de la solución primal y dual:
Maximizar X0 = 95000 Minimizar Y0 = 95000
Tablero optimo primal
Los valores óptimos de las variables duales son iguales a los coeficientes de las variables de holgura de la función objeto del primal. Tablero optimo primal.
Tablero optimo dual.
Los valores óptimos de las variables del primal son iguales a los coeficientes de las variables artificiales R1 y R2. Y1 y Y2 -> Precios sombra es igual a lo que estamos dispuestos a pagar para que alguien nos haga el tiempo de operación 1 y 2.
104
La dualidad ofrece una interpretación económica que aclara el valor unitario o precio sombra de los diferentes recursos. Explica la condición de optimada presentando la nueva deferencia económica de costos aplicables para cada actividad.
La dualidad es impórtate para aplicar las técnicas de análisis de sensibilidad.
Los resultados que tomaran la presentación del análisis de
sensibilidad son:
Las variables se mantienen iguales pero cambian sus valores óptimos. Cambios en los diversos coeficientes del modelo puede afectar la optimada o factivilidad de la solución actual y conducirán a 3 situaciones que tienen que ver con la solución optima.
Las variables y sus valores cambian (La adición de una nueva restricción nunca podrá mejorar el valor de la función objetivo, la adición de una nueva variable nunca podrá empeorar el valor de la función objeto).
TÉCNICA M:
Paso 1; introducir las variables adicionales y de holgura en las restricciones. Agregar + Si para ≤; -Si + Ai para ≥; agregar + Ai para =.
Paso 2; función objetivo: Escribirla con las variables artificiales multiplicadas por la letra M y de holgura por un 0. luego transformarla a Maximización cambiándole de signo a toda la función excepto las variables multiplicadas por 0 e igualarlas a cero.
Paso 3; multiplicar todas las restricciones que contengan variables artificiales por -M. Aplicar términos semejantes y agrupar cada una de las variables con la función objetivo formando así una nueva función objetivo en términos de M.
ASIGNACIÓN:
Situación de asignar al mínimo costo o máxima utilidad los requerimientos necesarios para cumplir un necesidad, condiciones general:
La matriz debe ser (m * n) o sea cuadrada.
Numero de filas igual a numero de columnas.
El conjunto de soluciones es igual a m igual a n. Se trata de dar un costo optimo por trabajo realizado sin asignar dos trabajos a contratistas.
Paso1: restar el mínimo costo de cada fila. Paso2: restar el mínimo costo de cada columna. Caso1: existe asignación optima inicial.
Caso2: no existe asignación optima inicial.
Caso3: la matriz no es cuadrada, se agrega una fila o columna de ceros (si una casilla no tiene costo se incluye una de M)
TÉCNICAS DE TRANSPORTE:
Determina la solución que aportara un costo total mínimo en el envío de uno o varios productos desde un punto de origen a un destino. Busca la minimización del costo o maximización de utilidades para transportar un producto o mercancía desde un numero de origen a varios destinos (conociendo la oferta de origen y demanda de cada destino). El modelo se aplica también a otros casos como el problema de asignación de personal, el problema de inventario de la producción, flujo de efectivo, etc.
Caso 1: de la oferta = a la de la demanda.
Caso 2: de la oferta distinto al de la demanda (se crea oferta o demanda ficticia como otra fuente).
Transporte: modelo que busca la minimización (maximización) del costo (utilidad) de transportar una mercancía desde un número de orígenes a varios destinos. Se conocen el abastecimiento en cada origen y la demanda en cada destino, así como los costos unitarios del transporte.
Consideraciones generales:
Balance de la oferta y la demanda: SUM S = SUM D No. de soluciones = m + n – 1
Destino
105 ┌──────┼──────┼───────┼───────┼───────┤ o │Fab 1 │ c11│ c12│ c13│ c1n│ S1 r ├──────┼──────┼───────┼───────┼───────┤ i │Fab 2 │ c21│ c22│ c23│ c2n│ S2 g ├──────┼──────┼───────┼───────┼───────┤ e │Fab 3 │ c31│ c32│ c33│ c3n│ S3 n ├──────┼──────┼───────┼───────┼───────┤ │Fab m │ c41│ c42│ c43│ c4n│ S4 └──────┴──────┴───────┴───────┴───────┴ D1 D2 D3 D4
Métodos para Encontrar la Solución: Esquina noroeste, costo mínimo, aproximación de vogel (MAV), Método de optimización (multiplicadores).
Métodos para encontrar la solución inicial:
Esquina noroeste: asignar la mayor cantidad permitida por la oferta y la demanda en la casilla mas noroeste de la tabla. Repetir el procedimiento hasta que la oferta y la demanda estén satisfechas. Cuando la oferta y la demanda se satisfacen mutuamente se tacha la fila o el renglón preferiblemente en el que se localicen los costos mas altos.
Costo mínimo: asignar la mayor cantidad permitida por la oferta y la demanda a la casilla con el costo más pequeño repetir el procedimiento hasta que la oferta y la demanda estén satisfechas.
Método de aproximación de Vogel (MAV).
Paso 1: restar el elemento del costo más pequeño en el renglón y columna del siguiente. elemento de costo más pequeño, en el mismo renglón o columna (penalización).
Paso 2: identificar el renglón o columna con la penalización mayor, asignar tanto como sea posible a la variable con el costo mínimo en el renglón o columna seleccionado.
Repetir el procedimiento hasta que la demanda y la oferta estén satisfechas.
Método de optimización MODI:
Paso 1: evaluación de variables asignadas: Identificar un multiplicador de fila Ui. Identificar un multiplicador de columna Vj. resolver las ecuaciones Ui + Vj = cij
Paso 2: evaluación de variables no asignadas. resolver las ecuaciones Cij = cij - Ui - Vj
Paso 3: circuito para variable con el Cij más negativo. Determinar un circuito cerrado para la variable con el Cij más negativo de tal manera que cada esquina del circuito lo formen variables asignadas.
Colocar signos alternos en cada esquina del circuito comenzando con positivo en la variable elegida, determinar el valor más pequeño de las esquinas negativas del circuito y sumarle o restar según sea el caso en las otras esquinas del circuito. Al valor elegido para esta operación se le llama variable que sale, y al valor elegido con el Cij más negativo se le llama variable que entra.
Efectuada la operación anterior chequear si todos los Cij son positivos si no repetir el proceso desde el paso 1.
ANÁLISIS DE REDES:
PERT: técnica de revisión y evaluación de proyectos o programas.
Paso 1: preparar la lista de actividades.
Paso 2: definir relaciones de prioridad.
Paso 3: dibujo de la red.
Actividad: si consume tiempo (flecha con letra arriba). Evento: no consume tiempo (circulo con un numero dentro). Actividad ficticia: no consume tiempo (flecha discontinua con letra arriba).
106 Tp = pesimista.
12 Tm = medio. Te = Tp + 4Tm + To To = optimista. 6
Te = esperado.
Paso 5: tiempo mas largo en que puede realizarse el proyecto. CPM Tn (normal).
Tl (límite).
-Te = tiempo mas temprano. Es la sumatoria acumulada de los tiempos esperados dentro de los eventos. Cuando converge mas de una actividad en un evento, el tiempo que se utiliza es el mayor. Se analiza la red de izquierda a derecha.
T1 = tiempo más rápido. Se inicia al contrario del tiempo anterior, o sea red de derecha a izquierda, restando los tiempos esperados del tiempo mas temprano. Cuando converge mas de una actividad en un evento, el tiempo que se elige es el menor. De estos se deriva la ruta critica (donde Te = T1 para cada actividad).
ANÁLISIS DE REDES:
Programación de proyectos con PERT-CPM: un proyecto define una combinación de actas interrelacionadas que deben ejecutarse en cierto orden antes que el W completo pueda terminarse.
INSUMO -> PROCESO DE CONVERSIÓN -> PRODUCTO Al proceso de conversión se le llama proyecto y no es mas que actos relacionadas entre si con una secuencia lógica. Existen 3 sistemas de planificación, programación y control de proyectos:
Diagrama de barras o de Gantt; define en un gráfico una serie de actos ubicadas en el tiempo.
Diagrama de flecha: CPM costo (critical path Method); representación gráfica de determinado plan de trabajo, su simbología es:
Evento: Inicio o terminación de toda actividad, no consume ni tiempo ni recursos.
Actividad: Consume tiempo y recursos y se desarrolla entre 2 eventos sucesivos. Posee dirección pero no magnitud.
Actividad ficticia: Se representa cuando existe la necesidad de indicar dependencia. No consume tiempo ni recursos.
Nunca 2 actividades pueden empezar o terminar en los mismos eventos o nodos.
PERT(program evaluation and review techniques),
Técnica de evaluación y revisión de proyectos; como su nombre lo indica
define la ruta critica mas larga en un proyecto.
Los eventos donde el tiempo de terminación mas temprana y mas tardía no son iguales, se dice que existirá una holgura.
Los eventos donde el tiempo de terminación mas temprana y mas tardía son iguales, se dice que definen la Ruta critica.
Tiempo mas temprano (Te): es la acumulativa de los tiempos normales entre 2 eventos cuando convergen mas de una actividad hacia un evento el tiempo que define el tiempo temprano es el menor. Se analiza la red de izquierda a derecha.
Tiempo mas tardío (Tl): se inicia al contrario del tiempo mas temprano (red de derecha a izquierda) restando los tiempos normales del tiempo de inicio mas tardío anterior. Cuando convergen mas de una actividad hacia un evento el tiempo que se elige es "el menor"
CPM PERT:
El CPM PERT, define los tiempos por actividad:
Tiempo Normal (Tn): tiempo que se tomaría en realizar la tarea cuando imperan condiciones normales de trabajo.
Tiempo pesimista (Tp): tiempo que se requerirá si todo va muy mal, tiempo en realizar la actividad en condiciones desfavorables. Te
107 Tiempo optimista (To): tiempo que se emplearía en realizar una tarea bajo el supuesto que representen las condiciones mas favorables para ello (tiempo que se necesitara si la ejecución va extremadamente bien).
PERT Modelo estadístico: se basa en un diagrama de red. Es de gran utilidad en aquel proyecto donde no se cuenta con experiencia (proyectos nuevos). Los tiempos se calcularon estadísticamente (Tp, To, Tn). En función del Te se calculara y graficara la ruta critica (RC).
CPM/CTO: se incluyen solo costos directos, los costos indirectos se incluyen en el análisis final. Se definen las relaciones tiempo-costo, se asignan sus duraciones normales a las actividades del proyecto, se calcula luego la RC correspondiente y se registran los costos directos asociados. El paso siguiente es considerar la reducción en la duración del proyecto. Las reducciones se efectúan únicamente si disminuye la duración de una actividad critica, la atención debe centrarse en tales actividades. Para lograr una reducción en la duración al mínimo costo posible, se debe comprimir tanto como sea posible la actividad critica que tenga la pendiente tiempo-costo mas pequeña.
Teoría de Juegos: técnica matemática que estudia situaciones donde existe competencia (cuando una empresa compite * mejores mercados con otras empresas de su misma clase). Implica que existe