M atematicas puras

Geometria: Traduction y comentarios a Eucli­

des. Resolution de triangulos; calculos de areas en funcion de los lados; tirculo, elip-

166 LOS ORIGENES DE LA CIENCIA

se, parabola, hiperbole. Perspectiva. Diop- trica, catoptrica, optica.

Aritmetica: Teoria de los numeros. Las cuatro

operacfones con enteros y quebrados, pro- gresiones aritmeticas; raices cuadradas y cubicas de cuadrados y cubos perfectos e imperfectos. Exponentes, cuadrados, cubos. Proporciones, regia de tres. Calculo.

Algebra: Ecuaciones cuadraticas, cubicas y de

cuarto grado. Logaritmos.

Trigonometria: Funciones trigonometricas. Ta­

blas. Ecuaciones trigonometricas. Tablas lo- gantmicas de funciones trigonometricas. Tri­ gonometria esferica: triangulos esfericos.

II Matematicasimpurasoaplicadas

Gnomonica. Mecanica. Arquitectura. Artes be- licas. Astronomia. Fabrication de astrolabios. Astrologia. Meteorologia. Musica. Cosmogra- fia. Geografia. Prosopografia. Geodesia. Mag- netismo. Hidrostatica. Cronologia.

Esta vasta tematica aparece a lo largo de los seis textos manuscritos de fray Diego que nos han llegado, los cuales, a pesar de sus dimensiones, creemos que eran solo el esquema de una obra mayor y mas acabada, una “Suma” de los cono- cimientos matematicos de su epoca, de la que el tratado perdido de logaritmos constituia solamen- te una parte. Como puede observarse esta enci- clopedia abarca desde la aritmetica elemental y

los principios de la geometria clasica hasta la re­ solution de ecuaciones bicuadraticas y el uso de logaritmos en el calculo de problemas astro- nomicos.

Sin embargo, el Tractatus no contiene solo el

esquema general de la obra del padre Rodri­ guez; incluye tambien su personal reflexion so­ bre la naturaleza de las matematicas, de tal for­ ma que el subtitulo que le puso a ese proemio

Breve tratado de las elementales disciplinas ma-

tematicas dificilmente refleja su contenido. En

este Tractatus fray Diego va mas alia de las sim­

ples demostraciones y operaciones matematicas que forman toda su obra , ya que se detiene a considerar a esas “nobles disciplinas” desde un punto de vista mas amplio: el propio de un cien­ tifico del siglo xvii fiel estudioso de las doctrinas hermeticas y neoplatonicas. Asi, despues de una breve seccion introductoria, fray Diego divide su proemio en seis capitulos cuyos titulos son:

T) De la Matematica en general. Que cosa es la

Matematica y en que medida y razon se distin­ gue de la fisica y de la metafisica. Como se dis- tinguen sus principales ramas entre si. 2) De la division de las disciplinas matematicas en puras y en impuras y de sus definitiones. 3) De la pres- tancia y de la utilidad de la geometria especula- tiva. 4) De la division de la Geometria y de los

Elementos de Euclides. 3) Que cosa es teorema,

que problema, que proposition y que lema, pa­ ra los matematicos. 6) Cuales son los principios de las Matematicas. En estos seis capitulos el

168 LOS ORIGENES DE LA CIENCIA

padre Rodriguez resumio su credo cientifico. Es una especie de epitome filosofico a su obra ma­ tematica que contrasta notablemente con esta por el tono literario y casi poetico que en ciertos pasajes adquiere. Y creemos que no es posible evaluar su obra matematica, rigurosa y abstrusa, si antes no nos detenemos brevemente para ana- lizar esa conception filosofico-cientifica que lo alento en sus estudios y en la que estuvo inmer- so durante mas de cuarenta anos.197

Despues de dedicar la obra a su: Mater Alma Mexicana Academia” es decir a la Universidad,198 y de advertir al lector que el conocimiento se alcanza “no hojeando los folios de los libros, si­ no aprendiendo con el corazon hasta alcanzar la razon y la sabiduria”, el padre Rodriguez inicia su exposition dividiendo, como ya vimos, a las ciencias matematicas en puras e impuras o apli- cadas. Inmediatamente despues pasa a explicar

los temas que tratara: las relationes de la geome­

tria y la aritmetica con la astrologia (que aqui

tiene la acepcion de cosmologia) y la musica.

Estas son sus palabras:

Nosotros, siguiendo el ejemplo de los antiguos y el de otros no menos ilustres ingenios de nuestro tiempo (con los que felizmente se adorna y corona esta Alma Mater Academia Mexicana) deseamos ofrecer un tratado util y provechoso que no com- prenda a todas las siete artes o liberales disciplinas

197 Tractatus Praemialium Mathematices y de Geometria (MS),

b n m, Signatura : MS. 1519, f f . lr-12v. 198 Ibid., f. lv.

sino unicamente a las Matematicas, entre las que estan en primer termino la aritmetica y la geome­ tria, y en segundo lugar (como impuras que son) la astrologia y la musica.

Estas artes, que forman el quadrivium pitago-

rico, son para fray Diego la base de todo cono-

cimiento ya que representan “los casi optimos instrumentos*con los que el animo prepara el cambio a la plenitud del conocimiento filosofi- co”. El sabio, al inclinarse sobre ellas y aprehen- der con el espiritu, podra elevarse hasta la com- prension serena del cosmos regido por leyes numerables inmutables y armonicas. El metodo a seguir para lograr este proposito se basa en un perfecto dominio del instrumento de conocimien­ to por excelencia donado por el gran geometra creador a los hombres: la matematica. Nuestro mercedario la concibe como una disciplina aje- na a “cuanto se especula filosoficamente acerca de ella”, es decir como un metodo de conoci­ miento, el mas perfecto de todos, del mundo fi- sico, cuyo lenguaje es univoco, es decir, que po- see “un simple y unico modo de connotar”, pero que, por otra parte, puede utilizar dos tipos de conceptos cuantitativos a saber: los continuos y los discontinuos. De los primeros se ocupaban la aritmetica, la perspectiva y la astronomia; de los segundos la aritmetica y la musica. La preci­ sion obtenida por el uso de este instrumento en la tarea de arrebatarle sus secretos al cosmos esta determinada por la habilidad de aquel que lo emplea:

170 LOS ORIGENES DE LA CIENCIA

Un verdadero matematico — escribe fray Diego— aborda cualquier problema, eliminando los obs- taculos que se le oponen y que parecen contradecir sus razonamientos; para posteriormente demos- trar, comprobar y confirmar, firme e infaliblemente, su proposition, eliminando absolutamente todas las dudas del intelecto.199

Como muchos otros matematicos eminentes

del siglo x v i i, fray Diego Rodriguez fue ante

todo un geometra, de ahi que a lo largo de todo

este Tractatus insista una y otra vez en el hecho

de que la geometria, como “ciencia de las magni­ tudes, de las proporciones y de las figuras”, esta en la base de cualquier otro saber matematico. Para apoyar su tesis acude a los argumentos cla- sicos en favor de aquella ciencia expuestos por Euclides, Platon y Proclo. Alude a las multiples ramas de la geometria;200 y, como es de suponer en un geometra del siglo x v i i, se detiene larga­ mente en el analisis de esta disciplina en sus apli- caciones a los estudios de optica, definiendo lo que es la dioptrica, catoptrica, sciografica, espe- cularia y escenografica. A continuation se re- fiere a las aplicaciones practicas de la geometria tales como la geodesia y la agrimensura, para pasar posteriormente a senalar sus relaciones con la arquitectura, por la cual sentia particular pre­ dilection segun deja traslucir el siguiente frag­ mento:

199 Ibid., ff. 2r-3r. 200 Ibid., f. 3r.

La arquitectura parece ser del linaje de la geome­ tria por su empleo de la perspectiva; pero tambien de la aritmetica. Platon en su libro que trata sobre el arte de gobemar y tambien Vitrubio la definen como la ciencia que ha menester de muchas y va­ rias disciplinas, asi como del adorno de varias eru- diciones y que pone a prueba las obras que otras artes perfeccionan. En efecto, la arquitectura busca la eficacia practica de los objetos, inquiriendo acerca de la belleza oculta de la cosas.201

Al igual que muchos de sus contemporaneos inclinados a este tipo de estudios, nuestro fraile mercedario era participe de ese saber arcano y hermetico, propio de un selecto grupo de inicia- dos, que le concedia a la arquitectura el secreto de las proporciones geometricas, de las armomas antropomorficas ocultas y de las simetrias recon­ ditas, enmascaradas dentro de las trazas y los volumenes arquitectonicos.

De la aritmetica afirma que es la ciencia de “los numeros y de sus propiedades en abstrac­ to”, cuyo maximo don es el de revelar los ritmos secretos de los numeros, ocultos al no iniciado pero perceptibles a los ojos del sabio. Esta es la

ciencia de las ciencias, la arcana arcanissima,

el tetragramaton divino, compuesto del infinito de combinaciones matematicas. Sus relaciones con la musica resultaban evidentes cuando pen- samos que el padre Rodriguez concebia a esta ultima como la ciencia de los “numeros sonoros

172 LOS ORIGENES DE LA CIENCIA

y de su relaciones con la armorua”. Las propor­ tiones aritmeticas y geometricas de la musica eran obvias al versado en estos asuntos:

La musica posee racionalmente series numerales concretas para los sonidos y las voces y no es, co­ mo algunos han dicho, semejante al agua corrien- te insipida, es decir sin humor ni gusto. La musica es la ciencia de las musas cuyo canto es la armoma perfecta.202

Para el sabio, esta cualidad aparetia tanto en los pasajes musicales caracterizados por esos “cromatismos delicados y suaves lamentationes”, como en los “tristes y lugubres” o en los “graves y firmes”.

La ultima de las ciencias y que en cierta forma comprende a todas, es la astronomia, es decir “la ciencia de los cielos y las estrellas y sus mo- vimientos y efectos”, los cuales segun nuestro autor, estan apoyados en “razones o principios geometricos y aritmeticos”, de ahi su relation con la musica segun ya habia sido establecido por Pitagoras a quien siguieron “todos los mate­ maticos y no pocos filosofos”. Ademas, la astro­ nomia se diferencia de la astrologia,203 que es el arte de la prediction, en que sus metodos son aritmeticos y por ende de rigurosa comproba- cion: “La astronomia busca las elevationes, di- ferencias y distancias de los astros, estudia su

202 Ibid., f. 3v. 203 Ibid., f. It.

comportamiento para posteriormente deducir los teoremas astronomicos que los gobiernan.”204

Estos “teoremas” no son otros que los que ri- gen las armonias musicales del movimiento de los planetas segun ya habian sido establecidos

por Kepler, primeramente en su Mysterium Cos-

mographicum, obra en que relaciono los cinco

solidos perfectos de Euclides, tambien llamados “cuerpos platonicos”, a saber, cubo, tetraedro, oc- taedro, dodecaedro e icosaedro, con los radios de las esferas de los planetas; y posteriormente

en su Harmonices Mundi donde atribuyo al mo­

vimiento de estos ultimos un comportamiento musical concertado, en el cual cada planeta, co­ mo en la polifonia, sigue su propia partitura. El movimiento de las esferas celestes es pues un “concierto perenne” cuyos sonidos solamente son audibles por la razon geometrica. La musica po- lifonica es solo un reflejo de la musica de las es­ feras en la cual Dios es el artista.

El credo cientifico de fray Diego lo llevo a aceptar esta tesis geometrico-astronomico-musi- cal como la unica valedera. La naturaleza toda, macrocosmos y microcosmos, era una obra de ar­ te que se podia interpretar matematicamente. Al comentar las epistolas de Kepler,205 este merce­ dario mexicano adopto el credo heliocentrista y

204 Ibid., ff. 6v-7r.

205 Sus notas y comentarios a las epistolas de Kepler asi como al Mysterium Cosmographicum y al Harmonices Mundi se hallan en su obra astronomica titulada Doctrina General repartida p o r capi- tulos de los eclipses d e Soly Luna (cf. supra nota 189).

174 LOS ORIGENES DE LA CIENCIA

hermetico de su mentor que sin duda ya rayaba en la heterodoxia religiosa.206 Es por ello, qui- zas, que se sintio obligado a ocultar parte de sus manuscritos, los astronomicos, en los cuales di- sertaba sobre estos asuntos. Sin embargo, al ela- borar su obra matematica no resistio a la tenta- cion de insertar un proemio en el cual, como ya dijimos, expuso su teoria del mundo que, aun determinada geometricamente por el discurso de la razon logica, segun acabamos de ver, conclu- ye sorpresivamente con estas palabras: “El volu­ men del mundo, es decir el universo todo con sus orbes y esferas musicales, solo puede ser conce- bido y conocido como imagen nuestra.”

Toda esta conception filosofico-cientifica de fray Diego encuentra su complemento en su idea de lo que debia ser el metodo cientifico. Como astronomo y como fisico nuestro mercedario fue un empirista convencido. “En las cosas natura­ les y fisicas — escribio en su obra sobre los co­ metas— nada convence con tanta apacibilidad como las demostraciones que son patentes a los sentidos”;207 y un poco mas adelante, en ese mis­ mo texto, afirmo que el hombre de ciencia, y mas especificamente el astronomo, no debe de-

jarse llevar por la imagination y afirmar a priori

hipotesis indemostrables. Solo los paralajes y 206 Como veremos mas adelante fray Diego Rodriguez fue como varios de sus contemporaneos adicto a las tesis heliocentristas. En sus manuscritos astronomicos manifiesta su adhesion a esta teoria astronomica.

207 Fray Diego Rodriguez, Discurso etheorologico del Nuevo Cometa visto en aqueste hemisferio mexicano; y generalmente en

demas mediciones astronomicas hechos con un profundo conocimiento de la trigonometria esfe- rica permiten describir una realidad determina- da.208 En suma, solamente la experientia unida a una precisa cuantificacion del fenomeno que se observa, puede permitir emitir un juicio sobre la naturaleza de dicho fenomeno. Congruente con este modo de, pensar, es logico que fray Diego haya sido un acucioso y riguroso observador. Las mediciones astronomicas que realizo fueron siem- pre de admirable precision. El cronista Francis­ co de Pareja no exageraba cuando decia que en los calculos de eclipses que realizaba “jamas se vio que los errase en un punto”.209 Con el fin de afinar cada vez mas sus estimaciones elaboro muchas tablas astronomicas o trigonometricas que ocupan buena parte de su obra manuscrita y que son el producto de una ardua labor. Recor- demos ademas que el mismo construia sus apa- ratos cientificos y para ello utilizaba diversos manuales que le facilitaban la construction de ese equipo. Lo costoso que resultaba adquirirlos y la dificultad que existio durante toda la epoca co­ lonial para hacerse de instrumental de precision obligo en muchos casos a nuestros cientificos a fabricarse sus propios aparatos. Fray Diego no escapo a esa perniciosa limitation. Su celda con­ ventual debio parecer un laboratorio de cons- todo el mundo, este ano de 1652, Mexico, Viuda de Bernardo Calderon, 1652, f. 18.

208 Ibid., f. 24.

176 LOS ORIGENES DE LA CIENCIA

truccion de aparatos e instrumentos. La preci­ sion en sus calculos y mediciones permite supo- ner que dichos instrumentos eran construidos con minuciosidad y cuidado. Es imposible explicar- nos de otro modo que en la primera mitad del siglo xvii un desconocido sabio mercedario lo- grase determinaciones astronomicas superiores a las obtenidas a finales del siglo siguiente.

Su rigurosa metodologia experimental y su permanente apego a las matematicas como uni­ co instrumento valido en el conocimiento cienti- fico no le impidieron recurrir a diversas autorida- des que le auxiliasen, instruyesen o rectificasen en sus datos y conclusiones. Sobre todo — como es de suponer— menudean en sus citas los auto­ res clasicos como Euclides y Ptolomeo, pero tam­ bien los modernos son mencionados con fre- cuencia no importando su nacionalidad ni su credo religioso. Uno de los autores que aparece con mayor frecuencia es el matematico y astro- nomo jesuita Cristobal Clavio asi como Pedro Apiano, Cornelius Gemma, Jeronimo Cardano, Tartaglia, Felipe Lansbergio, Juan Antonio Ma- gini, Copernico, Kepler, Tycho Brahe, Erasmo Reinhold, Longomontano, Michael Maestlin, William Gilbert, Claudio Dechales, Galileo y Kircher. La mayor parte de estos autores apare- cen en las listas inquisitoriales de la biblioteca de Perez de Soto y las obras de algunos de ellos fueron incluso confiscadas, lo que no fue impe­ dimento para que fray Diego las citara en sus obras. Por otra parte, es evidente la erudition

cientifica que poseta nuestro mercedario. Sus re­ ferendas multiples hechas a partir de las obras originales o, como ya vimos de textos enciclo- pedicos, son numerosas y ponen de manifiesto que el catedratico de matematicas de la Univer­ sidad de Mexico estaba al tanto del desarrollo y los avances de la ciencia europea.

La labor cientifica del padre Rodriguez se de- senvolvio en un medio social que debio ser fa­ vorable a sus estudios y lo alento en sus tareas. Ciertamente el nucleo de hombres de ciencia en Mexico, como en otras latitudes, no fue nunca numeroso durante el siglo xvii pero si receptivo a las nuevas ideas. Esto se observa particular- mente en el grupo de discipulos que fray Diego formo a lo largo de los 31 anos en que fue maes­ tro de matematicas. Tan largo periodo de tiem- po para una catedra de esta naturaleza solo puede explicarse en un medio favorable a esos estudios, pero tambien es un indicio del valor magisterial del catedratico.

En efecto, fray Diego Rodriguez fue maestro de altas cualidades pedagogicas. El cronista de la Universidad, Cristobal de la Plaza y Jaen, que lo conocio, afirmo que su magisterio fue siempre de un nivel elevado. Sus obras manuscritas, que le sirvieron para sus cursos, lo revelan como un claro expositor y un profundo conocedor de sus

temas. En algunos pasajes de su Tractatus apun-

to algunas de las normas que un profesor de matematicas debia seguir y que debieron ser las suyas propias. Ahi escribio lo siguiente:

178 LOS ORIGENES DE LA CIENCIA

En la ensenanza de cualquier ciencia debe comen- zarse por los principios mas claros, faciles y ele- mentales ya que estos se comprenden facilmente y hacen que se deduzcan y demuestren varias y admirables razones de aquellos desprendidas. Esto ensena, ademas, a que nadie de una prueba como verdadera si no es que antes la hubiese confirma- do con cierta y evidente razon.

Ademas exigia al maestro de matematicas “que las proposiciones que se explican sean a tal grado claras y comunes al animo que logren del discipulo el asenso”. Aconsejaba evitar los “despropositos matematicos” y explicar “nocio- nes y concepciones con palabras sencillas, facil­ mente inteligibles, que muestren claramente lo que es de suyo y rectamente percibible”. Asi, el metodo pedagogico de nuestro mercedario es una via mas para comprender la reception y aceptacion del tipo de estudios innovadores que introdujo en Mexico en un nucleo de discipulos y colegas suyos que laboraron entre 1630 y 1700, y la adoption por parte de todos ellos tan­ to de sus teorias filosofico-cientificas como de su metodo experimental apoyado en bases ma­ tematicas.

La seccion mas extensa de la obra de fray Diego Rodriguez versa sobre matematicas puras. Los tres escritos que destino a esta ciencia, es decir

Aritmetica y De las Ecuaciones forman una tri- logia matematica sistematica y continua cuyos temas se enlazan y complementan en un todo. Forman lo que desafortunadamente nunca llego a ser: una obra impresa donde aparecieran sus mas relevantes contributiones a las matematicas de su epoca es decir sus tablas logaritmicas y su estudio de las ecuaciones de tercero y cuarto grados.

Su modus operandi sigue siempre la misma

pauta: proponer, demostrar, concluir. En su Trac­

tatus nos dice:

un verdadero matematico aborda cualquier pro­ blema, eliminando los obstaculos que se le oponen y que parecen contradecir sus razonamientos; para posteriormente demostrar, comprobar y confirmar, firme e infatigablemente su proposition, eliminan­ do absolutamente todas las dudas del intelecto.

El metodo que siguio en el estudio de las ma­ tematicas refleja tambien su personalidad cienti­