Maximización del beneficio con dos insumos

Vamos a centrarnos ahora en el caso de una empresa que opera con dos insumos y con tecnología z = F (x, y), y que se enfrenta al problema:

Maximizar Π = pz − w1x − w2y

sujeta a z = F (x, y) (figura 5.11)

pz-w1x-w2y=cantidad

de máximo beneficio posible, dada la tecnología

z=F(x,y) de la empresa

Figura 5.11. Maximización del beneficio con dos insumos de producción. O, lo que es igual:

Maximizar

140 SEMANA 5. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN Para estudiar las características analíticas de esta solución, primero debemos asu- mir que F (x, y) es diferenciable con continuidad, con derivadas parciales estricta- mente positivas en x e y y cóncava estricta en R+ (ver Apéndice matemático al

final del texto), pues, en otro caso, el problema de maximizar el beneficio podría no tener solución general.18

Además, también asumiremos que F (0, 0) = 0. Dado esto, pasamos a derivar parcialmente (con respecto a la variable x y con respecto a la variable y (ye)) la función de beneficios

Π = pF (x, y) − w1x − w2y

y a igualarla a cero, obteniendo que:

p∂F

∂x = w1 ; p

∂F ∂y = w2

(Ingreso marginal = costo marginal para ambos insumos) O bien, ∂F ∂x = w1 p ; ∂F ∂y = w2 p

(productividades marginales = precios reales de insumos)

Después, dividiendo término a término estas dos últimas ecuaciones, tendremos que:

∂F/∂x

∂F/∂y =

w1

w2

(Ecuación de equilibrio del productor (con dos insumos))

Esta ecuación de equilibrio es la condición para que la empresa maximice el beneficio, y se lee: “En equilibrio, la tasa marginal de sustitución técnica ((∂F/∂x)/(∂F/∂y) ) es igual a la relación de precios de los insumos (w1/w2).”

Pero: ¿qué significado tiene aquí la “tasa marginal de sustitución técnica”? De manera similar a lo hecho para la teoría del consumidor, si escribimos la curva de nivel de producción que pasa por el punto de maximización del beneficio (x∗_{, y}∗₎

como

F (x, y) = k∗

donde k∗_{= F (x}∗_{, y}∗_{), entonces, tomando el diferencial total, se obtiene que}

∂F ∂x dx + ∂F ∂y dy = 0 o bien, ∂F/∂x ∂F/∂y = − dy dx

18_{Ver Monsalve (2010), Vol.3, en donde se demuestra que estas condiciones sobre F (x, y)}

Y así la tasa marginal de sustitución técnica mide cuánto del insumo y (ye) se re- quiere para mantener el mismo nivel de producción, si reducimos en “una unidad” el insumo x (figura 5.12).19

En resumen: si el empresario busca maximizar su beneficio bajo competencia per- fecta, entonces debe producir en un nivel tal, que la tasa marginal de sustitución técnica (dada por su tecnología), iguale a la relación de precios de los insumos (dados por el mercado). La ecuación de equilibrio del productor es, entonces, una relación entre un “costo de oportunidad tecnológico” y un “costo de oportunidad del mercado” Sin embargo, esto solo se da, usualmente, bajo rendimientos decre- cientes a escala. O, más específicamente, bajo las condiciones de monotonicidad y concavidad estricta de una función de producción diferenciable con continuidad y con F (0, 0) = 0.

Figura 5.12. Cantidades de insumos (x e y) elegidas por el productor que maximiza su beneficio. Allí debe satisfacerse la ecuación de equilibrio.

Ejemplo 5 (Maximización del beneficio de la función Cobb-Douglas con rendi-

mientos decrecientes a escala). El problema explícito es:

Maximizar Π = pz − w1x − w2y

sujeta a z = F (x, y) = xα_yβ

Aquí, debemos asumir que α+β < 1 para que la función de producción sea cóncava estricta (ver Apéndice matemático) y, por tanto, tenga rendimientos decrecientes a escala. Recurriendo directamente a las ecuaciones de equilibrio, tenemos que:

p∂F

∂x = w1 , p

∂F

∂y = w2 (5.2)

142 SEMANA 5. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN Llegando, en este caso, a que

pαxα−1yβ= w1 ; pβxαyβ−1= w2 (5.3)

Y así, dividiendo término a término estas dos ecuaciones, encontramos que:

αxα−1_yβ

βxα_yβ−1 =

w1

w2

(5.4) De aquí obtenemos, cancelando términos, que

y x=

βw1

αw2

(tasa de sustitución entre insumos) y por tanto,

y = βw1x αw2

20 _(5.5)

Luego colocando esta ecuación 5.5 en la primera ecuación de 5.3 se llega a que:

αxα−1 βw1x αw2

β

=w1

p (5.6)

Y así, después de una confiable manipulación algebraica de la ecuación 5.6 y luego de insertar la solución x en la ecuación 5.5, encontramos las demandas por insumos:

x∗= p

1/(1−α−β)

(w1/α)(1−β)/(1−α−β)(w2/β)β/(1−α−β) (∗)

y∗= p1/(1−α−β)

(w1/α)α/(1−α−β)(w2/β)(1−α)/(1−α−β) (∗∗)

Notemos que ambas cantidades de insumos son directamente proporcionales al precio de venta p del producto: si el precio es alto entonces la empresa producirá más para satisfacer el mercado y, por lo tanto, requerirá de más insumos. También observemos que si los costos de los insumos (w1 y w2) aumentan, disminuirán las

demandas por ellos. Y algo más allá: notemos que si α y β crecen entonces ambas demandas crecen, justificándose esto porque la “mejora tecnológica” conlleva ma- yor productividad y, por tanto, también mayor necesidad de insumos.

Ahora: Sabemos que la oferta al mercado es igual a z∗_{= F (x}∗_{, y}∗_{) = (x}∗₎α_(y∗₎β_.

Luego recurriendo a las demandas por insumos (∗) y (∗∗) anteriores, se llega a que la oferta de esta empresa es:

z∗= p

(α+β)/(1−α−β)

(w1/α)α/(1−α−β)(w2/β)β/(1−α−β)

(∗ ∗ ∗)

20_{Notemos que si los precios de los factores permanecen constantes, entonces la producción}

óptima siempre se realiza con proporciones constantes de factores: y

x =

βw1

αw2. Esto no siempre

Y también, recurriendo a las ecuaciones (∗), (∗∗) y (∗ ∗ ∗), calculamos el beneficio Π∗_{= pz}∗_{− w}

1x∗− w2y∗ que recibe esta empresa si opera a estos niveles:

Π∗= pz∗− w1x∗− w2y∗

= 1 − α − β

(w1/α)α/(1−α−β)(w2/β)β/(1−α−β)

p1/(1−α−β) 21

El análisis ceteris paribus para las funciones de oferta y de beneficio es similar al que hicimos antes para las demandas de insumos.

Para ilustrar lo anterior, si α = 1/2, β = 1/4, w1= 2, w2= 3 se tiene que:

x∗= p 4 768 ; y ∗₌ p4 2304 ; z ∗₌ p3 192 ; Π ∗₌ p4 768

En la figura 5.13 aparece dibujada la curva de oferta z∗_{. ¿Cómo interpretaría el}

lector la concavidad estricta de esta función de oferta? ¿Qué significado económico tiene esta característica?

Figura 5.13. Curva de oferta de producto con tecnología Cobb-Douglas (α + β = 3/4). Ejemplo 6 (Maximización del beneficio con función de producción separable y

rendimientos decrecientes a escala).

Dada la función de producción cóncava estricta F (x, y) = √x + √y y aplican- do directamente la ecuación de equilibrio

∂F/∂x ∂F/∂y = w1 w2 se obtiene que: y x=  w1 w2 2

(tasa de sustitución entre insumos)

21_{El primer estudio de las funciones de beneficio fue el trabajo pionero de Harold Hotelling}

144 SEMANA 5. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN Sin embargo, no requeriremos, en este caso, de esta ecuación. Serán suficientes las ecuaciones básicas de equilibrio del productor: Como p 1

2√x  = w1 entonces x∗= p 2 (2w1)2 (demanda insumo x) Y, similarmente, puesto que p 1

2√y



= w2, entonces

y∗₌ p2

(2w2)2

(demanda insumo y (ye)) Por lo tanto, la curva de oferta de esta empresa al mercado es:

z∗_{= F (x}∗_{, y}∗_{) =} 1 2w1 + 1 2w2  p

Y, finalmente, calculamos el beneficio de esta empresa: Π∗= pz∗− w1x∗− w2y∗ = 1 2w1 + 1 2w2  p2− 1_4w 1 + 1 4w2  p2 = 1 4w1 + 1 4w2  p2

Llevar a cabo un poco de ceteris paribus con las ecuaciones anteriores, por parte del lector, sería aquí muy instructivo.

5.5. Breve nota sobre la teoría malthusiana de la