Con reflexiones críticas acerca de la microeconomía neoclásica
Sergio Monsalve
(con la colaboración de Erick Céspedes)
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Económicas
Escuela de Economía
S
EMANA
1
Principios de la teoría del consumidor y maximización de la
utilidad
1.1. Introducción
Durante esta primera semana estudiaremos los principios básicos de la teoría del consumidor bajo competencia perfecta, haciendo particular énfasis en la epistemología que lleva a la formación de las demandas de este agente económico, que es el objetivo central. La teoría neoclásica logra esto mediante la maximización del gusto (deseo) por el consumo que tiene un consumidor (que aquí llamaremos “utilidad”), pero que está restringido por su presupuesto.
1.2. La noción de consumidor y de utilidad
Un consumidor (en ocasiones también llamado “hogar”) es una persona, un gru-po o una familia con un propósito de consumo unificado. La teoría neoclásica del consumo (o del consumidor) bajo competencia perfecta, busca entender el proceso de la formación de la demanda bajo los parámetros de la economía como ciencia natural; es decir, asumiendo a los consumidores como partículas y optimizando cierta función para obtener las demandas.
Y el problema es: ¿cuál es esa función? Para definirla, la teoría neoclásica asume que, de alguna forma, existe un “deseo interno” del consumidor hacia las mercan-cías que le produce placer (o felicidad) y que lo lleva a demandar por ellas, pero que no está influenciado por hechos exteriores al consumidor. Ese placer que le produce obtener las mercancías y consumirlas, se mide en una escala cuantitati-va de cuantitati-valoración uniforme, que la economía neoclásica simplifica, para propósitos analíticos, mediante una función: ella es la función de utilidad (o utilidad cardinal) que especificamos enseguida.
1.3. Principios de la función de utilidad
En adelante trabajaremos, fundamentalmente, con dos mercancías, x e y, aunque todo es posible entenderlo (y lo haremos ocasionalmente) en el caso de una sola mercancía o extenderlo, inmediatamente, a tres o más mercancías. Sin embargo, para nuestro propósito, en este texto, de estudiar economías bajo el criterio del equilibrio parcial, esto es suficiente, pues será usual interpretar a x como la mer-cancía a analizar, y a y (ye) como el “resto de mermer-cancías”.
Por su parte, asumiremos aquí que todo consumidor tiene su propia función de utilidad U(x, y) que mide, de alguna forma, la “satisfacción” (“placer”, “felicidad” o “bienestar”) que la canasta (x, y) le produce (figura 1.1). Esta es la “fuerza de atracción” o “deseo de consumo” hacia las diferentes combinaciones de bienes del mercado.
Es típico asumir inicialmente y para propósitos analíticos, que U(x, y) es una función continua, monótona creciente en cada uno de sus argumentos (x e y)1, y
cuasicóncava2 en el primer cuadrante del plano cartesiano R2.3
Figura 1.1. Función de utilidad z = U(x, y). Ejemplo 1. (Cinco funciones típicas de utilidad)
Estas son cinco clases de funciones típicas, cada una con características parti-culares como funciones de utilidad:
a) La primera función de utilidad que presentamos es la función Cobb-Douglas
U (x, y) = xαyβ con α, β > 0.
1Es decir, si x aumenta, también aumenta U(x, y); y si aumenta y (ye), también aumenta
U (x, y).
2Una función de utilidad cuasicóncava en el primer cuadrante del plano cartesiano R2, se
define mediante la característica de que para todo nivel fijo de utilidad U0, los conjuntos
S = {(x, y)|U(x, y) ≥ U0} son convexos. Esto significa que las curvas de indiferencia son
curvas convexas al origen (ver Apéndice matemático al final del manual), como ilustraremos más adelante.
3En ocasiones se requerirá que la función de utilidad sea cuasicóncava estricta para que los
1.3. PRINCIPIOS DE LA FUNCIÓN DE UTILIDAD 15 b) La segunda función de utilidad es la función Leontief U(x, y) = Min{αx, βy}
con α, β > 0.4
c) La tercera función de utilidad es la función lineal U(x, y) = αx + βy con
α, β > 0.
d) La cuarta función de utilidad es la función cuasilineal U(x, y) = αu(x) + βy donde u(x) es una función cóncava estricta, con α, β > 0.
e) La quinta función de utilidad es la función separable U(x, y) = αu(x) + βv(y) donde u(x) y v(y) son funciones cóncavas estrictas y α, β > 0.
Las diferencias en comportamiento de cada una de estas funciones de utilidad, se irán develando a medida que avancemos en las cuatro primeras semanas.
1.3.1. Hipótesis sobre las curvas de indiferencia: la utilidad
ordinal
A partir de la función de utilidad U(x, y) es muy conveniente, desde el punto de vista del análisis gráfico, calcularle sus correspondientes curvas de nivel de utilidad (también llamadas curvas de indiferencia o de isoutilidad)
U (x, y) = U0
donde U0 es una constante. Se trata de todos los planes de consumo (x, y) que
tienen el mismo nivel de utilidad, es decir, que le producen al consumidor la misma satisfacción (figura 1.2). Veamos algunos ejemplos de esto.
Figura 1.2. Curvas de indiferencia U(x, y) = U0.
Ejemplo 2 (Curvas de indiferencia)
a) Comencemos construyendo las curvas de indiferencia en un caso particular (α, β = 1) de la función Cobb-Douglas: U(x, y) = xy = U0, con U0 > 0.
De donde, despejando, se obtiene que:
y = U0
x (hipérbolas)
Para dar una idea de cómo surgen estas (ver figura 1.3), basta con hacer Uo = 1, y dibujar la hipérbola y = 1/x. Luego puede hacer U0 = 2, y construir la
hipérbola y = 2/x; etc. Variando U0encontrará todas las curvas de nivel.
Figura 1.3. Curvas de indiferencia para una función de utilidad tipo Cobb-Douglas. b) Ahora construyamos las curvas de indiferencia para la función de utilidad de
tipo Leontief U(x, y) = Min{x, y} con α = β = 1. Éstas satisfacen la ecuación Min{x, y} = U0para U0fijo. Las escuadras de la figura 1.4 describen bien estas
curvas de nivel. Para construirlas, basta que el lector, por ejemplo, comience colocando U0 = 1, y pase a encontrar todas las canastas (x, y) tales que
Min{x, y} = 1. Entonces encontrará puntos tales como (1, 1), (1, 2), (1, 3), . . . , etc; y también puntos tales como (2, 1), (3, 1), (4, 1),. . . , etc. Una vez el lector coloque estos puntos en la figura 1.4, encontrará la escuadra predicha en esa figura. Y, por supuesto, podemos hacer lo mismo con cualquier nivel U0 > 0
diferente de 1, para construir todas las curvas de nivel correspondientes a la función de utilidad de tipo Leontief.
Figura 1.4. Curvas de utilidad para una función de utilidad tipo Leontief.
c) Pasemos ahora a construir las curvas de nivel de un caso particular de una función lineal U(x, y) = x + y (donde α, β = 1). Éstas resultan al resolver la ecuación x + y = U0 y, por tanto, estas curvas de nivel son rectas de la forma
1.3. PRINCIPIOS DE LA FUNCIÓN DE UTILIDAD 17
Figura 1.5. Curvas de indiferencia para una función de utilidad lineal.
d) Las curvas de indiferencia del caso particular de la función de utilidad cuasilineal con U(x, y) = √x+y se construyen escribiendo la ecuación U(x, y) = √
x + y = U0. De donde (figura 1.6) se obtiene que
y = U0−√x (parábolas)
Figura 1.6. Curvas de indiferencia para la función de utilidad cuasilineal U(x, y) = x1/2+ y.
e) Finalmente, las curvas de indiferencia de la función de utilidad separable
U (x, y) = √x + √y, se construyen haciendo U (x, y) = √x + √y = U0. De
donde se obtiene que
y = (U0−√x)2
Estas curvas de indiferencia son semejantes a las curvas de la figura 1.6. N Ahora: la hipótesis de que U(x, y) sea una función continua, monótona creciente estricta en cada uno de sus argumentos (x e y)5 y cuasicóncava en el
primer cuadrante del plano cartesiano R2, conlleva, inmediatamente, cierto
comportamiento general, también típico neoclásico, de las curvas de indiferencia:
5Es decir, si x aumenta (aunque y (ye) esté fijo) entonces U(x, y) aumenta; y si y (ye) aumenta
(aunque x esté fijo) entonces U(x, y) aumenta. Sin embargo, algunas funciones de utilidad no satisfacen esta condición, sino únicamente que si ambas cantidades (x e y) aumentan entonces la utilidad aumenta. A este último tipo de funciones les aplicaremos todos los criterios sobre la teoría que sean posibles, sin ignorar el hecho de que no satisfacen plenamente la condición de monotonicidad creciente estricta en cada uno de sus argumentos.
i) Las curvas de indiferencia soncontinuas. Esta característica, trasladada de la función de utilidad (que es continua) a las curvas de indiferencia, nos asegura, de manera intuitiva, que ninguna curva de indiferencia puede “estar rota” (figura 1.7).6
Figura 1.7. Hipótesis de continuidad de las curvas de indiferencia. Es decir, las curvas de indiferencia no pueden estar “rotas”.
ii) Un aumento en las cantidades consumidas (de la mercancía x y de la mercancía y (ye)) implica un aumento de la utilidad. Por lo tanto, las curvas “más lejanas” del origen son las que tienen mayor nivel de utilidad. A esta característica la llaman “monotonicidad” de las curvas de indiferencia y es el resultado de que la función de utilidad sea monótona creciente en cada uno de sus argumentos (x e y) (figura 1.8).
Figura 1.8. A es menos preferido que B y que C (es decir, A tiene menos utilidad (U0= 1)).
Por su parte, B y C son indiferentes (ambas tienen la misma utilidad (U0= 2)). Etc.
iii) Debe observarse que también las curvas de indiferencia satisfacen la “condición de transitividad” (que se ilustra en la figura 1.8) señalando, por ejemplo, que, dado que A es menos preferida que B (pues A está en una curva de indiferencia inferior a la curva de indiferencia en la que está B), y B menos preferida que D, entonces A es menos preferida que D.
6Sin lugar a dudas esta hipótesis de continuidad sobre la función de utilidad y, por ende, sobre
las correspondientes curvas de nivel es un artificio analítico que la economía neoclásica impone sobre sus elementos matemáticos para que haya mayor “tratabilidad analítica”. Es decir, para que los resultados deseados puedan obtenerse recurriendo a las herramientas del cálculo diferencial y del análisis real.
1.4. LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA 19 iv) (Hipótesis de la dieta balanceada) Las curvas de indiferencia satisfacen la condición de “convexidad al origen” que, en ocasiones, se interpreta así (figura 1.9): las combinaciones convexas λ(x1, y1)+(1−λ)(x2, y2) (con 0 < λ < 1) de
las dos canastas (x1, y1) y (y1, y2) son “preferidas o indiferentes” (en términos
de la función de utilidad) que la “especialización” consistente en escoger la canasta (x1, y1) o la canasta (x2, y2), que están en los extremos de la recta.
Figura 1.9. Convexidad de las preferencias: las combinaciones convexas son “preferidas” a la especialización (“hipótesis de la dieta balanceada”). Observe que si λ = 1 entonces la combinación convexa es la canasta (x1, y1) de un extremo de la recta; y si λ = 0 entonces la
combinación convexa es la canasta (x2, y2) del otro extremo de la recta. Obviamente, si
λ = 1/2 la combinación convexa corresponde a (1/2)(x1, y1) + (1/2)(x2, y2) que se ubica
exactamente en la mitad de la recta; etc.
Por ejemplo, si este consumidor tuviera que elegir, por un lado, entre 10 manzanas y 2 libras de arroz (notada por la canasta (10,2)), y, por otro lado, entre 2 manzanas y 10 libras de arroz (notada por la canasta (2,10)), la característica de convexidad al origen de las curvas de indiferencia de este consumidor, nos indicará que, en lugar de esas dos canastas, preferiría “mezclarlas” consumiendo, por ejemplo, la canasta promedio 1/2(10, 2) + 1/2(2, 10) = (6, 6). Es decir, 6 manzanas y 6 libras de arroz. En otras palabras, los consumidores muestran un “gusto por la variedad”. Esta condición, debemos decirlo aquí, es una consecuencia directa de la cuasiconcavidad de la función de utilidad. (ver el Apéndice al final del libro).
1.4. La restricción presupuestaria
Ahora pasamos al segundo instrumento (después de la función de utilidad o, equivalentemente, de las curvas de indiferencia en utilidad) en la teoría del consumidor. Esta es la restricción presupuestal que se define mediante la ecuación
p1x + p2y = M
donde p1 es el precio por unidad del bien x; p2 es el precio por unidad del bien
y (ye); y M es el presupuesto (renta) que tiene el consumidor para gastar en las
mercancías x e y. En principio, el presupuesto M no depende de los precios de los bienes x y y.7 Esta ecuación define todas las canastas (x, y) que se pueden
consumir al gastarse todo el presupuesto M, bajo los precios p1 y p2.
7Siguiendo a Marshall (1890), el propósito inicial de la hipótesis de que M no dependa de
Obsérvese que la recta que define la restricción presupuestal también se puede escribir de la forma y = −(p1/p2)x + (M/p2). Por ello, cuando x = 0 (es decir, no
consumimos nada del bien x) obtenemos que el consumo del otro bien es y = M/p2,
que es el intercepto con el eje y (ye); y cuando y = 0 (es decir, no consumimos nada del bien y (ye)) obtenemos, despejando, que la cantidad consumida del otro bien es x = M/p1, que es el intercepto con el eje x (figura 1.10).
Figura 1.10. Restricción presupuestaria: está compuesta por todas las canastas (x, y) que puede adquirir un consumidor con presupuesto M, a los precios de mercado p1 y p2.
Sobre la restricción presupuestal podemos efectuar estática comparativa (ceteris
paribus) de la siguiente manera:
i) Cambio de M en la restricción presupuestal (figura 1.11): si aumenta el presupuesto M (permaneciendo constantes los precios p1 y p2), la recta
presupuestaria se desplazará hacia arriba de manera rígida; pero si, por el contrario, el presupuesto M disminuye, la recta presupuestaria se desplazará hacia abajo.
Figura 1.11. Desplazamiento de la recta presupuestal por cambio en M.
este trabajo es el equilibrio parcial, y asumimos que los mercados de las mercancías en que está interesado el consumidor, están aislados (por ejemplo, del mercado laboral o de capitales). Esto se diferencia del equilibrio general que es cuando estos mercados están integrados. De otro lado, se ha asumido que la restricción presupuestal es una igualdad de la forma p1x + p2y = M y
no una desigualdad de la forma p1x + p2y 6 M (indicando esto último que el consumidor no se
gasta necesariamente todo su presupuesto), debido a que, en general, en nuestro modelo, a mayor consumo de mercancías, mayor satisfacción (utilidad). Luego el consumidor querrá utilizar todo el presupuesto si quiere maximizar la utilidad.
1.4. LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA 21 ii) Cambio de p2 en la restricción presupuestal (Figura 1.12): Si aumenta el
precio p2, la proporción M/p2disminuirá (asumiendo que M y p1permanecen
fijos); y por lo tanto, la recta presupuestaria girará en sentido contrario de las manecillas del reloj, tal como aparece en la figura 1.12. Si, por el contrario, el precio p2disminuye, entonces la proporción M/p2aumentará (asumiendo, de
nuevo, que M permanece fijo); y, por lo tanto, la recta presupuestaria girará en el sentido de las manecillas del reloj.
Figura 1.12. Rotación de la recta presupuestal ante un aumento en el precio p2.
iii) Cambio de p1en restricción presupuestal asumiendo que M y p2permanecen
fijos (Figura 1.13): El comportamiento gráfico es similar al aumento o disminución de p2 tratado enII)arriba.
Figura 1.13. Rotación de la recta presupuestal ante un aumento en el precio p1.
Con lo anterior en mente, en la figura 1.14 podemos observar, en algunos casos, las oportunidades de consumo perdidas (o ganadas), debido a un cambio unilateral (ceteris paribus) de parámetros.
Figura 1.14. Oportunidades de consumo perdidas por cambio en las variables de la recta presupuestal.
1.5. El problema principal (primal) del
consumi-dor y la curva de demanda
Uniendo ahora las dos piezas claves en la teoría del consumidor (función de utilidad y restricción presupuestaria), llegamos al problema principal de la teoría del consumo:
Maximizar U(x, y) sujeta a p1x + p2y = M
donde x, y > 0. Es decir, maximizar la satisfacción en el consumo, sujeta al presu-puesto que se tenga disponible y a los precios del mercado (figura 1.15). El objetivo central al resolver este problema es encontrar sus soluciones óptimas (x∗, y∗), que,
en adelante, llamaremos las demandas del consumidor por los bienes x e y. Es decir, se han construido las herramientas epistemológicas que nos dan cuenta de cómo se pueden formar las demandas en una economía bajo competencia perfecta. El proceso consiste (ver figura 1.15), en fijar la recta presupuestaria p1x+p2y = M ,
e ir aumentando paulatinamente la utilidad hasta alcanzar el máximo de ésta. Y esto se logra en la figura subiendo las curvas de nivel en el sentido noreste, lo más lejos posible del origen, pero sin despegarse definitivamente de la recta presupues-tal. Veamos unos ejemplos de ello.
1.5. EL PROBLEMA PRINCIPAL DEL CONSUMIDOR 23 x* U(x,y)=U(x*,y*) p1x+p2y=M y x y* Demandas (x*,y*)
Figura 1.15. El problema principal del consumidor. La solución (x∗, y∗) al problema, indica las
demandas del consumidor por ambos bienes.
Ejemplo 3 (Demandas para utilidad de tipo Cobb-Douglas)
Resolvamos del problema de consumidor Maximizar xy
sujeta a p1x + p2y = M
Solución
La restricción p1x + p2y = M la podemos reducir a
y =M − p1x p2
(1.1) Y con esto, colocamos nuestro problema de optimización en la siguiente forma:
Maximizar x(M − p1x) p2 = M x − p1x2 p2
Derivando esta función cóncava estricta con respecto a x, e igualando a cero, obtenemos que M − 2p1x p2 = 0 y así M − 2p1x = 0 o bien, x = M 2p1
y, reemplazando en (1.1), llegamos a que
y = M
2p2
Y así obtenemos las demandas marshallianas (en honor de Alfred Marshall) de este consumidor:
x∗= 2pM
1
; y∗= 2pM
Figura 1.16. Demandas en un caso Cobb-Douglas.
Noten que estas demandas son directamente proporcionales al presupuesto M, e inversamente proporcionales a su propio precio. Y, además, si el presupuesto y los precios se multiplican por la misma cantidad (es decir, se duplican, se tripli-can, etc.), las demandas marshallianas no cambian. Esto último sucede siempre con las demandas marshallianas, ya que al satisfacer la restricción presupuestaria,
p1x+p2y = M , aquellas no cambiarán si los precios y el presupuesto se multiplican
simultáneamente por un mismo número positivo cualquiera. Es decir, el consumi-dor competitivo no padece de “ilusión monetaria”.
Ejemplo 4 (Demandas para utilidad de tipo Leontief)
Si la función de utilidad a maximizar es U(x, y) = Min{x, y}, el problema plan-teado por el consumidor será:
Maximizar Min{x, y} sujeta a p1x + p2y = M
Sin embargo, este problema no puede resolverse utilizando análisis marginalista (es decir, con derivadas) como en el caso Cobb-Douglas, y tendremos que recurrir al método gráfico. En la figura 1.17 se ve que al subir las escuadras de isoutilidad en el sentido noreste, las demandas marshallianas serán iguales, pues los vértices de las escuadras de isoutilidad deben desplazarse siempre a lo largo de la recta y = x, hasta que el “último” vértice intersecte la recta presupuestaria. Así, las demandas marshallianas deben satisfacer x∗= y∗. Y, por lo tanto, de la recta presupuestaria
p1x + p2y = M se obtiene que
p1x∗+ p2x∗= M
De manera que, despejando x∗, se llega a que las demandas marshallianas estarán
dadas por:
x∗= M
p1+ p2
= y∗ 8
1.5. EL PROBLEMA PRINCIPAL DEL CONSUMIDOR 25
Figura 1.17. Demandas en un caso Leontief.
Observamos que estas demandas dependen de ambos precios (p1 y p2), algo que
no sucede, por ejemplo, con las demandas de la función Cobb-Douglas. Lo que se tiene aquí es que esta función es utilizada cuando existe “complementariedad” uno a uno entre los dos bienes; por ejemplo, una cucharadita de azúcar por cada taza de café. Así, si el azúcar y el café son complementarios para este consumidor (su gusto lo obliga a acompañar uno con otro) entonces el precio de un bien afectará la demanda del otro bien. Algo similar ocurre, en general, con los automóviles y la gasolina.
Ejemplo 5 (Demandas para la utilidad lineal)
Como para U(x, y) = x + y tampoco es posible llevar a cabo análisis margina-lista (es decir, con derivadas), entonces procedemos notando que si p2 > p1, el
consumidor se especializará en el consumo del bien con precio más bajo; es decir, gastará todo el presupuesto en el bien x, y nada en el bien y (ye). En efecto: llevan-do las rectas de indiferencia lo más lejanas posibles (moviénllevan-dose hacia el noreste) pero sin abandonar la recta presupuestaria, encontramos que en el puntoAde la figura 1.18 las demandas son:
x∗= M p1 ; y∗= 0 Obviamente, si p1> p2entonces: x∗= 0 ; y∗= M p2
Ya en el caso p1= p2, las demandas x∗, y∗quedan determinadas únicamente por la
restricción presupuestaria p1x + p2y = M , y el consumidor podrá elegir cualquier
canasta (x, y) que le sea alcanzable con su presupuesto.
con x∗ = y∗, está el razonamiento de que si sucediera, por ejemplo, x∗ < y∗, entonces
Min{x∗, y∗} = x∗ = Min{x∗, x∗}. Por lo tanto, reduciendo y∗hasta el nivel x∗ se obtendría
el mismo nivel de utilidad pero gastando menos presupuesto. Obviamente, unas demandas x∗,
y∗donde x∗< y∗no podrían ser óptimas, es decir, no podrían ser demandas marshallianas. No
Es usual recurrir a este tipo de función cuando el consumidor adquiere uno u otro bien de manera indiferente. Es decir, cuando un bien sustituye perfectamente al otro en el consumo, sin ninguna diferencia esencial. Esto es lo que ocurre de ma-nera aproximada en algunos países, con la gaseosa Pepsi y la gaseosa Coca-Cola. O también con la mantequilla y la margarina.
Figura 1.18. Demandas en el caso lineal cuando p2> p1.
1.6. Análisis marginalista del problema del
con-sumidor
9Ahora pasamos a caracterizar la ecuación marginalista general que deben satisfacer las demandas de un consumidor cuando la función de utilidad es diferenciable con continuidad y cuasicóncava estricta (que es muy usual en aplicaciones). Y aunque hasta ahora hemos resuelto el problema primal de este consumidor insertando la condición de presupuesto y = −(p1/p2)x + M/p2 en la función de utilidad, para
después pasar a derivar e igualar a cero, el procedimiento que ahora comenzare-mos a explicar nos llevará a entender mejor (y de una manera general) lo que, en estos casos importantes, está involucrado al interior del cálculo de sus demandas. Veamos.
Recobrando inicialmente el problema del consumidor: Maximizar U (x, y)
sujeta a p1x + p2y = M
ahora lo resolvemos en forma general recurriendo al método de los multiplicadores de Lagrange. Para ello requerimos que la función U(x, y) sea cuasicóncava estricta
9Los resultados que siguen podrían no ser válidos si la función de utilidad no es diferenciable
con continuidad y cuasicóncava estricta. Por ello, casos como los de la función de utilidad de tipo Leontief o la función lineal quedan excluidas de este análisis. Para ellas se tendrá que recurrir a un método alternativo (por ejemplo, al método gráfico o a técnicas de optimización como el método Kuhn-Tucker). Este último es una generalización del método de Lagrange que utilizamos aquí, pero permite encontrar soluciones que pueden estar sobre los ejes x o y (ye) (ver, por ejemplo, Monsalve (ed.), Vol. III, 2010).
1.6. ANÁLISIS MARGINALISTA 27 y diferenciable con continuidad (es decir, derivadas parciales continuas) en el pri-mer cuadrante del plano R2.10
Escribimos el lagrangiano
L = U (x, y) + λ(M − p1x − p2y)
Y derivamos con respecto a x, y, λ:
∂L ∂x = ∂U ∂x − λp1= 0 ∂L ∂y = ∂U ∂y − λp2= 0 ∂L ∂λ = M − p1x − p2y = 0
Esto nos lleva (dividiendo las dos primeras ecuaciones término a término después de simplificarlas) a las ecuaciones de equilibrio del consumidor:
∂U ∂x ∂U ∂y = λp1 λp2 =p1 p2 ; p1x + p2y = M Al término ∂U /∂x
∂U /∂y se le llama “tasa marginal de sustitución entre las mercancías
x e y”, por razones que entenderemos enseguida. Y, por lo tanto, la ecuación de
equilibrio fundamental es:
∂U ∂x ∂U ∂y = p1 p2
que se conoce como ecuación de equilibrio de Jevons (Jevons (1871), p. 100) y se lee: “tasa marginal de sustitución igual a la relación (o razón) de precios”. En la figura 1.19, se explica gráficamente la ecuación de Jevons. En el punto A de la recta presupuestaria, el consumidor puede ceder un poco del bien y (ye) y recibir del mercado una cantidad adicional del bien x, que lo ubica en el nuevo punto de consumo B. Éste también está en la recta presupuestaria pero notemos que ahora está en un nivel superior de utilidad (curva de indiferencia superior). De la misma forma, el consumidor puede ir entregando y recibiendo a cambio del mercado hasta llegar al puntoEque es el de equilibrio y en donde deberá darse que la tasa marginal de sustitución es igual al nivel relativo de precios (ecuación de Jevons). Observemos que este punto de equilibrio sí le maximiza la utilidad al consumidor, puesto que si éste intentara seguir intercambiando en el mercado y
pasara a un punto de la recta presupuestaria comoF, entonces llegaría a un nivel de utilidad inferior.
Figura 1.19. En la asignación A es posible ir al mercado y cambiarla (a los precios corrientes) por la asignación B que da más utilidad, etc. Hasta llegar al punto E.
Pero entonces: ¿qué mide la tasa marginal de sustitución? Veamos esto. La curva de nivel que pasa por el punto de equilibrio E del consumidor (es decir, que pasa por las demandas marshallianas (x∗, y∗)), satisface la ecuación
U (x, y) = U (x∗, y∗) siendo U(x∗, y∗) = U
0una constante. Tomando entonces diferenciales totales (ver
el Apéndice matemático) a ambos lados de la ecuación U(x, y) = U0 se obtiene
que ∂U ∂xdx + ∂U ∂ydy = 0 ó ∂U ∂xdx = − ∂U ∂ydy
Y, de allí, obtenemos (figura 1.20) que:
∂U/∂x ∂U/∂y = −
dy dx
Es decir, las tasas marginales de sustitución coinciden con las pendientes de las rectas tangentes a las curvas de nivel. Así, la tasa marginal de sustitución mide la
1.6. ANÁLISIS MARGINALISTA 29 cantidad que debe aumentarse de y (ye) al disminuir “una unidad”11 de x, pero
siempre manteniéndose en la misma curva de utilidad. Lo importante aquí es que, en equilibrio, esta tasa marginal de sustitución es, exactamente, la relación de precios p1/p2 dada por el mercado (ver figura 1.20).
y
x 1
U(x,y)=U0
Figura 1.20. Descripción gráfica de la tasa marginal de sustitución.
La ecuación de equilibrio de Jevons (que algunos autores pioneros neoclásicos la asimilaban, para el consumo, a lo correspondiente a una “ecuación de calor”, o a una “ecuación termodinámica”) es una igualdad entre una tasa subjetiva de inter-cambio con una tasa real de interinter-cambio en el mercado. Es decir, es la igualdad entre un “costo de oportunidad subjetivo” (del consumidor) con un “costo de opor-tunidad objetivo” (mercado), pues la tasa marginal de sustitución nos dice cuánto vale el bien 1 en términos del bien 2 para el consumidor (tasa subjetiva), mientras que el precio relativo nos dice cuánto vale el bien 1 en términos del bien 2 para el mercado (tasa objetiva). En definitiva, el consumidor deberá “adaptarse bien” al mercado para poder maximizar sus gustos, dado su presupuesto.
Veamos algunos ejemplos de aplicación directa de la ecuación de Jevons para calcular las demandas marshallianas.
Ejemplo 6 (Función de utilidad Cobb-Douglas generalizada)
Para resolver el problema del consumidor de tipo Cobb-Douglas Maximizar xαyβ
sujeta a p1x + p2y = M
escribimos directamente la ecuación “tasa marginal de sustitución = relación de precios”:
∂U/∂x
∂U/∂y =
p1
p2
Ecuación de equilibrio (de Jevons)
que, en este caso, es:
αxα−1yβ
βxαyβ−1 =
p1
p2
de donde obtenemos, cancelando términos, que
αy βx= p1 p2 y así, y x= βp1 αp2
Ahora colocamos esta ecuación en la restricción presupuestaria p1x + p2y = M , y
obtenemos p1x + p2 βp1x αp2 = M Y despejando x, se llega a: x∗= (α + β)pαM 1
Luego, llevando esto a la restricción presupuestal y despejando y (ye), obtenemos que
y∗= βM
(α + β)p2
Con ello hemos encontrado las demandas marshallianas utilizando la ecuación de Jevons. Notamos que cada demanda sólo depende de su propio precio (ver figura 1.21).
Figura 1.21. Características de las demandas para las funciones de utilidad Cobb-Douglas. Ejemplo 7 (Función de utilidad separable)
En el caso
Maximizar √x +√y
1.7. EL CASO DE LA FUNCIÓN CUASILINEAL 31 la ecuación de Jevons es √y √x =p1 p2 O bien, y x= p1 p2 2
Ahora colocamos esta ecuación en la restricción presupuestaria p1x + p2y = M ,
y obtenemos p1x + p2 p1 p2 2 x = M y así, x∗= M p2 p1p2+ p12 y, por tanto, y∗= M p1 p1p2+ p22
Notemos que ambas demandas dependen de ambos precios y del presupuesto.
1.7. El caso especial y fundamental de la función
cuasilineal
Consideremos el caso general de la “función cuasilineal” de utilidad
U (x, y) = U (x) + y
donde U(x) es una función monótona estrictamente creciente, con continuidad en su derivada y también cóncava estricta. Estas condiciones de la función de utilidad U(x) caracteriza al consumidor con utilidad marginal decreciente; es decir, que aunque la utilidad crece indefinidamente, la utilidad marginal decrece indefinidamente, mientras más se consume del bien x.12Sobre esto, Walras, Jevons
y Marshall escribían:
“El deseo que tenemos por las cosas, o la utilidad que las cosas nos dan, disminuye gradualmente a medida que el consumo aumenta.”
(Walras, “Éléments”, 1874)
“Cada incremento de un alimento es menos necesario o posee menos utilidad, que el previo.”
(Jevons, “The Theory of Political Economy”, 1871)
“La utilidad marginal de algo para cualquier persona, disminuye con cada aumento en la cantidad que ya tiene de ella.”
(Marshall, “Principles of Economics”, 1920)
12La razón en esto es que U′ > 0 y U′′ < 0. La primera es la condición de monotonicidad
estrictamente creciente y la segunda condición es la de concavidad estricta. A este criterio se le conoce en la literatura como la “ley de la utilidad (marginal) decreciente”.
Este tipo de función de utilidad cuasilineal es importante porque concentra su atención en el comportamiento de la mercancía x, dejando la variable y (ye) para el “resto” del consumo. A esta variable y (ye), Marshall la llamaba “dinero” y Hicks la llamaba “poder adquisitivo general”, por razones que entenderemos enseguida.13
Escribiendo la ecuación de equilibrio de Jevons14 para este caso, obtenemos que
U′(x) 1 = p1 p2 ó U′(x) =p1 p2
Si se asume p2= 1 (numerario medido en “dinero”), entonces se llega a la ecuación
de equilibrio del consumidor:
U′(x) = p 1
Utilidad marginal = precio
Figura 1.22. Decisión de consumo de un hogar que solo demanda un bien.
Es decir, para maximizar la utilidad, un hogar consume una cantidad x, de tal forma que su utilidad marginal sea igual al precio del mercado (figura 1.22). En
13Esta hipótesis marshalliana de que la variable “y” es “dinero”, tiene una formulación formal
muy precisa en la microeconomía moderna: se llama el “Teorema de la mercancía compuesta”, que muestra que si estamos interesados en modelar un mercado particular aisladamente, lo podemos hacer siempre que los precios de las otras mercancías (en este caso es sólo una (“dinero”)) se muevan en tándem (es decir, los precios de las otras mercancías suben todas o bajan todas).
14Aquí estamos asumiendo que el problema de maximizar la función de utilidad U(x)+y sujeta
a p1x + p2y = M tiene solución interior x > 0, y > 0. Como se puede ver (Ejemplo 4, Semana 2)
la solución y > 0, exigirá que el presupuesto M sea relativamente alto con respecto a los precios. Es decir, en nuestro curso, este tipo de consumidor cuasilineal será uno que consumirá del bien
x pero también “ahorrará” parte de su presupuesto M en dinero y (ye). Sin embargo, no sobra
advertir que para presupuestos relativamente bajos, la solución óptima será x∗ = M/p1, y∗ = 0.
Pero en este curso estaremos repetidamente interesados en la solución con ambas demandas positivas.
1.7. EL CASO DE LA FUNCIÓN CUASILINEAL 33 otras palabras, consume hasta que al agregar “una unidad” más, la diferencia de utilidades coincide con el precio del mercado15. A esta utilidad marginal, que
es el “motor” del deseo por las mercancías por parte del consumidor16, Walras
la llamaba “rareté”; Jevons la llamaba “final degree of utility”; para Marshall era el “terminal valor-in-use”; y la Escuela Austríaca de Menger, la llamaba “Grenznutzen”. Note que si p1 crece, entonces, dada la concavidad estricta de
la función de utilidad (utilidad marginal estrictamente decreciente), la cantidad consumida x, disminuye (ver figura 1.23).
Figura 1.23. A mayor precio del bien, menor consumo de éste.
Observemos también que a partir de la curva inversa de demanda U′(x) = p, si
encontramos la función inversa de U′, que se escribe (U′)−1, entonces la demanda
por el bien x, x∗= (U′)−1(p), no depende del presupuesto M. La razón de esto,
de acuerdo con la ecuación de Jevons, es que la utilidad marginal del bien y (ye) es 1 (uno). De hecho, en general, esto mismo se daría si esta utilidad marginal es constante, y para ello basta aplicar la ecuación de Jevons a una función de utilidad cuasilineal de la forma U(x, y) = U(x) + βy donde β > 0 es constante. Por ello, en una función cuasilineal, Marshall consideraba a esta variable y (ye) como “dinero” y Hicks la llamaba “poder adquisitivo general”: porque cada unidad adicional de dinero arrojaba una utilidad marginal igual, sólo ponderada por una tasa de inte-rés constante.
En consecuencia, a partir de este momento asumiremos convenientemente que la variable y (ye) está medida en dinero legal y, por consiguiente (para poder sumar en las mismas unidades U(x) y y (ye) en la función cuasilineal U(x, y) = U(x) + y) también la función de utilidad U(x) estará medida en dinero legal.17
15Recuerde el lector que, realmente, no es una unidad más, sino un diferencial (dx) más. 16Afirma la teoría neoclásica que son los cambios (en este caso de utilidad) los que producen
“deseo” por las mercancías.
17Aunque Marshall reconocía que esta utilidad podía medirse en dinero, no avanzó más allá
Por ejemplo, si U(x, y) = √x + y entonces U(x) = √x, y así la curva de demanda es U′(x) = 1
2√x = p, lo que conlleva, despejando x, que la demanda marshalliana
del bien x es:
x∗= 1 4p2 (figura 1.24) Figura 1.24. p x a a/b
Demanda por el bien x si la función de utilidad es
Figura 1.25. Otro caso, muy importante en la práctica, es cuando U(x, y) = ax − b
2
x2+ y
con a, b > 0 fijos y x > a/b. Entonces la demanda marshalliana x∗ por el bien x
será dada por:
p = a − bx∗
que es la demanda recta donde el máximo precio es p = a y la máxima cantidad del bien x es a/b (ver figura 1.25). Es decir, este consumidor se sacia con a/b unidades del bien x, lo que muestra el problema de la satisfacción de las necesidades totales del consumidor sin recurrir a los precios como señal de escasez. En su momento histórico de finales del siglo XIX todo esto se consideró, por parte de algunos econo-mistas, como un descubrimiento de primer nivel científico: se había encontrado la ecuación que rige la demanda, como resultado de la utilidad marginal decreciente. Y además, esta demanda siempre era inversamente proporcional al precio, lo que era congruente con los datos empíricos de la mayoría de los bienes que se transaban en el mercado. Se había “descubierto” la ley de la demanda como consecuencia de la utilidad marginal decreciente.18
Cabe, no obstante, precisar aquí que Marshall fue el primero en deducir la curva de demanda a partir de una curva de utilidad separable con utilidad marginal del dinero constante. Jevons y Walras habían mostrado antes la relación entre utilidad y demanda pero no lo habían establecido formalmente. Y aunque Jevons postuló las funciones de utilidad separable (sin utilidad marginal del dinero constante),
18Una importante crítica al mecanismo de hallar demandas suponiendo que el consumidor
maximiza la utilidad sujeta a la restricción presupuestaria se encuentra al señalarse la concepción “típicamente burguesa” del individuo que aumenta su utilidad partiendo de su riqueza, en contraste con la gran masa de población en una sociedad capitalista, cuyo principal problema es el de no morir de hambre en lugar de mejorar sus condiciones.
1.8. COMPORTAMIENTOS DE LA CURVA DE DEMANDA 35 Walras solo recurrió a las curvas de utilidad marginal decreciente como curvas de demanda.
Por ello, el que Marshall fuera pionero en utilizar funciones de utilidad separa-ble con utilidad marginal del dinero constante, dio origen a múltiples críticas por parte de sus contemporáneos (y también de economistas posteriores). En su épo-ca, Marshall se defendió asegurando que su teoría económica era una descripción aproximada de la realidad que podía aplicarse (a diferencia de Walras y Edgeworth quienes estaban (afirmaba él) mucho más inclinados al formalismo y al rigor):
“La función del análisis y la deducción en economía no es proveer de unas cuantas largas cadenas de razonamiento sino proveer de cadenas cortas y sencillos lazos de conexión.”
(Marshall, “Principles of Economics”, 1920) Marshall siempre defendió sus hipótesis de utilidad separable y utilidad marginal del dinero constante sobre bases operacionales y, más aún, aseguraba que habrían pocos problemas prácticos para los que se requiriera hacer correcciones importantes a su teoría si se tenía en mente su objetivo práctico. Al final de cuentas, creía que la teoría pura no ayudaría a mejorar la situación de la humanidad tan inmediata y directamente como lo haría su teoría.
1.8. Diversos comportamientos de la curva de
demanda ante aumentos del presupuesto y
del otro precio
En lo que sigue, y a través de ejemplos, mostraremos que no es posible asegurar a priori ningún comportamiento general de la demanda de un bien ante cambios en el presupuesto y en el precio de los otros bienes. Para ello, siempre es necesa-rio observar cuidadosamente la función de utilidad que se está estudiando. Veamos.
Ejemplo 8
Tomemos, por ejemplo, la demanda marshalliana del bien x de la función Cobb-Douglas dada por la ecuación
x∗= αM
(α + β)p1
Puede notarse que, aquí, un cambio en el precio p2 del bien y (ye) no altera la
demanda del bien x, pero si el consumidor es “más rico” o “más pobre” (aumento o disminución del presupuesto M), podrá haber desplazamientos hacia arriba o hacia abajo (respectivamente) de la curva de demanda (figura 1.26).
Figura 1.26. Curvas de demanda para la función de utilidad Cobb-Douglas. Ejemplo 9
Ahora tomemos la demanda marshalliana del bien x∗para la función separable de
utilidad U(x, y) = √x + √y, dada por
x∗= M p2
p1p2+ (p1)2
Aquí se tiene que si M aumenta (es decir, el consumidor es “más rico”), la demanda
x∗se desplaza hacia arriba. Y también observamos que sucede lo mismo si aumenta
el precio p2 del bien 2. Esto último debido a que el consumidor, ante una subida
del precio del bien y (ye), “sustituirá” en su consumo algo de este bien por un poco del bien x (ver figura 1.27). Vale la pena, en este punto, que el lector observe la diferencia entre este tipo de comportamiento de la demanda y el presentado en el ejemplo anterior de la demanda de la función Cobb-Douglas.
1.8. COMPORTAMIENTOS DE LA CURVA DE DEMANDA 37
Ejemplo 10
Sabemos que si U(x, y) = √x + y la demanda marshalliana del bien x es:
x∗= 1
4p2
donde p es el precio del bien x indexado en dinero (es decir, p2= 1).
No se tiene crecimiento de la demanda x* cuando el
prespuesto aumenta
x*
p1
Figura 1.28. Curva de demanda x∗para la función de utilidad cuasilineal.
Observemos que este tipo de curva de demanda (figura 1.28) no se desplazará ha-cia arriba por un aumento del presupuesto del consumidor: es inmutable ante este cambio19. Esto, evidentemente, contrasta con el comportamiento de las demandas
presentado en los ejemplos 8 (función de utilidad Cobb-Douglas) y 9 (función de utilidad separable).
Ejemplo 11
Si U(x, y) = Min{x, y} (función Leontief) la demanda marshalliana x∗ está
da-da por la ecuación
x∗= M
p1+ p2
Entonces, ante aumentos en el presupuesto M, la curva de demanda se desplazará hacia arriba. Sin embargo, dada la “complementariedad” de los bienes x e y (ye), aquí ocurre que ante un aumento del precio p2, la demanda del bien x disminuye,
haciendo que la curva de demanda se desplace hacia abajo (ver figura 1.29).
19Todo esto es así porque aquí hemos asumido que p2 = 1. No obstante, notemos que si p2
varía (por ejemplo, por un cambio de denominación en los billetes o, aún, por devaluación de la unidad de medida del “dinero”, etc.) entonces la curva de la demanda marshalliana ascenderá a la manera usual. Este cambio es interpretable como un aumento presupuestal pues, al fin y al cabo, la mercancía y (ye) (que es “dinero”) y el presupuesto M están indexados en la misma unidad p2.
Figura 1.29. Comportamiento de la demanda x∗para una función de utilidad Leontief.
Resumiendo, debemos ser cuidadosos al afirmar que “un aumento de la riqueza desplaza la curva de demanda hacia arriba” o que “un aumento del precio del bien y (ye) desplaza la curva de demanda del bien x hacia arriba”. Lo que hemos estudiado aquí muestra que antes de hacer tales afirmaciones, es necesario observar el comportamiento analítico de la función de utilidad del consumidor. Inclusive, más adelante señalaremos un caso un tanto al margen pero radical, en el que es posible que baje la demanda cuando baja su propio precio (bien Giffen).
1.9. Nota histórica
El concepto de “utilidad” podría seguirse hasta la antigua Grecia con una apli-cación de las filosofías epicúrea (de Epicuro (341 a.C. – 270 a.C.)) y estoica, que enfatizaba en la formación voluntaria y consciente de los gustos y capacidades de disfrute que derivan en satisfacción. Así, el gusto de comer pan se debe un po-co al pan pero más a la capacidad de disfrutarlo y po-concentrar la atención en esa sensación. Pero el punto central de esta filosofía no se detenía allí, sino que hacía énfasis en que uno podría (y debería) entrenar el gusto y concentrar la atención en él, de tal manera que sólo necesitara un pequeño pedazo de pan para quedar satisfecho; es decir, proclamaban la frugalidad y no el consumo sin aliento de la teoría económica neoclásica.
Los utilitaristas clásicos, especialmente Jeremy Bentham (1748-1832), estaban bien advertidos del origen epicúreo del término y sus connotaciones para esta escuela helenista. Y es precisamente a Bentham a quien se le considera el “padre del uti-litarismo”, es decir, de la tradición filosófica centrada en la idea de que la acción humana es explicable a través del deseo por alcanzar el placer y evitar el dolor. Precisamente la reducción de placeres y dolores a una escala cuantitativa de valo-ración uniforme está enraizada en el sistema utilitario de Bentham: es la imagen de una humanidad conformada por una masa de máquinas vivientes y calculan-tes. Hoy no hay duda (ver, por ejemplo, Stark (1946)) de que esta fue la base de la visión neoclásica de Jevons, Edgeworth y también Menger. Por ejemplo, para Jevons (1871) la economía es una teoría
1.9. NOTA HISTÓRICA 39
“enteramente basada en el cálculo de placer y dolor, y el objeto de la economía es maximizar la felicidad comprando placer al más bajo costo de dolor.”
Sin embargo, las actitudes de Marshall y Walras no están tan comprometidas con el utilitarismo de Bentham. Por ejemplo, la posición de Marshall hacia el utilitarismo como teoría ética, es siempre matizada, y esto puede observarse por la progresiva limpieza de ideas utilitaristas en sus escritos, movido por su convicción de las implicaciones éticas de la teoría económica:
“Se asume que la utilidad está correlacionada con el desear o el querer. Ya se ha explicado que los deseos no pueden medirse directamente, sino únicamente de manera indirecta a través de los fenómenos visibles a los que ellos dan origen; y en el caso que tiene que ver principalmente con la economía, están principalmente implícitos en el precio que una persona está dispuesta a pagar por satisfacer su deseo. (...)”
(Marshall, “Principles of Economics”, 1920) Por su parte, en Walras se atisbaba el principio regidor de la satisfacción utilitarista benthamita, pero su presencia no era explícita en tal sentido. Precisamente sobre el cálculo de las demandas a partir de la maximización de la utilidad, Walras (1909) decía lo siguiente:
“Los fenómenos mecánicos son exteriores, pero los fenómenos econó-micos (de la demanda) son interiores. Se tienen instrumentos para determinar la atracción de los astros los unos hacia los otros, pero no se tienen para medir la intensidad de las necesidades en las personas que intercambian. Pero no importa, puesto que cada individuo que in-tercambia se encarga de operar él mismo esta medida, consciente o inconscientemente, y de decidirlo en interior profundo. (. . . )”
“Que la medida sea exterior o que sea interior, en razón de que los hechos que se van a medir sean físicos o psíquicos, no impide que exista esta medida; es decir, que sea posible la comparación cuantitativa.”
Y agregaba:
“Así como las fuerzas serán causa del espacio recorrido por un objeto, y las masas serán causa del tiempo empleado en recorrer ese espacio, las utilidades (y las “raretés”) serán la causa de la demanda.”20
1.9.1. Nota sobre las características de la función de utilidad
En los años posteriores a 1870, Jevons y Walras elaboraban sus teorías de la demanda (y del intercambio) dependiendo crucialmente de la hipótesis de que
20“La “rareté” es la derivada de la utilidad efectiva respecto a la cantidad poseída, exactamente
como se define la velocidad: la derivada de la distancia recorrida respecto al tiempo empleado en recorrerla” (Walras, 1874).
la función de utilidad era aditiva; es decir, de la forma ya estudiada U(x, y) =
U (x) + V (y). En 1881, Edgeworth mostraba que esa hipótesis era poco realista,
aunque no ahondó en el problema de generalizar los tipos de funciones de utilidad. Sin embargo, unos años más tarde, a principios del siglo XX, Pareto (1906) y Slutsky (1915), entre otros, mostraron cómo construir una teoría sistemática de la demanda del consumidor con funciones de utilidad no necesariamente aditivas. Y fueron ellos también quienes dieron las condiciones analíticas para que las curvas de indiferencia fueran “convexas al origen”. Sobre lo anterior discutiremos un poco más en las siguientes semanas.
Ejercicios
(Observación: Los ejercicios señalados con uno o dos asteriscos ((∗) o (∗∗)) tienen, a juicio del autor, un nivel de dificultad un tanto o muy superior, con respecto a los ejercicios corrientes que aparecen sin asterisco.)
1. Responda las siguientes preguntas:
a) ¿Por qué dos curvas de nivel de utilidad no pueden interceptarse? b) ¿Puede ser que la restricción presupuestaria sea la misma, incluso en el
caso de hogares cuyas preferencias son diferentes?
c) ¿Por qué los precios p1 y p2 explícitos en la recta presupuestal del
consumidor competitivo están medidos en precio por unidad? Es decir, ¿por qué no pueden adquirir a precios por docena, por centena, etc., de tal manera que a algunos consumidores les resultara menos costoso comprar cantidades grandes del bien que quieren consumir?
2. Dibuje las curvas de indiferencia (o de isoutilidad) en el primer cuadrante (conjunto de canastas) R2
+, para las siguientes funciones de utilidad:
a) U(x, y) = 5x + 3y b) U(x, y) = Min{3x, 7y}
c) U(x, y) = ln(1 + x) + y
d) U(x, y) = ln(1 + x) + ln(1 + y) e) U(x, y) = yex
f) U(x, y) = (x − 1)(y − 1) (con x > 1, y > 1)
Observe cuidadosamente las diferencias entre estos tipos de curvas de indiferencia.
3. Mabel consumía 100 unidades de X y 50 unidades de Y . El precio de X aumentó de 2 a 3. El precio de Y permaneció en 4. ¿En cuánto tendría que aumentar la renta de Mabel para que pueda permitirse el continuar adquiriendo exactamente 100 unidades de X y 50 unidades de Y ?
4. Julián tiene como función de utilidad U(x, y) = xy para los duraznos (x) y los bananos (y). Supongamos que el precio de los duraznos es 1, el precio de los bananos es 2 y su presupuesto es 40.
EJERCICIOS 41 a) En un gráfico, trace la recta presupuestaria de Julián. Indique algunos puntos de su curva de indiferencia que correspondan a un nivel de utilidad de 150. Ahora indique algunos puntos de la curva de indiferencia correspondientes a un nivel de utilidad de 300 y dibuje esta curva también. b) ¿Puede adquirir alguna cesta que le permita obtener una utilidad de 150? c) ¿Puede adquirir alguna cesta que le permita obtener una utilidad de 300? d) ¿Existe en el gráfico una cesta que Julián pueda adquirir y que
corresponda a una utilidad superior a 150?
e) ¿Cuál es la tasa marginal de sustitución de Julián en el tiempo en que consume 8 duraznos y 50 bananos?
5. Lo mismo que en el ejemplo anterior, pero ahora Julián tiene, en cada caso, la función de utilidad
a) U(x, y) = Min{x, y} b) U(x, y) = x1/2+ y1/2
c) U(x, y) = x1/2+ y
6. Para la función de utilidad U(x, y) = 4x2+ 6y:
a) Calcule la tasa marginal de sustitución.
b) ¿A medida que el consumidor sustituye x por y (ye), se tiene que esta tasa crece, decrece o permanece constante?
c) ¿Contradice lo anterior la hipótesis de cuasiconcavidad en las curvas de isoutilidad?
7. (Un caso especial) A Jorge Luis le gusta el pan pero es indiferente ante el queso (bien neutral). Muestre que las curvas de indiferencia son verticales si en el eje x se colocan las cantidades de pan y, en el eje y (ye), el queso. 8. (Otro caso especial) ¿Podría dibujar curvas de indiferencia que describan el
comportamiento de un consumidor que se sacia con 10 tazas de agua y 10 cucharaditas de café instantáneo? (Sugerencia: Considere el caso no-típico
U (x, y) = −(x − 10)2− (y − 10)2. Note la no-convexidad al origen de las
curvas de nivel.)
9. (Un consumidor sin la propiedad de convexidad en las preferencias) Dibuje las curvas de indiferencia de Mercy cuyos gustos están definidos por la función de utilidad U(x, y) = Max{x, y} donde “Max” significa “Máximo”. Interprete el comportamiento de Mercy, en especial con respecto a la propiedad de convexidad al origen de las preferencias (¿le gusta a Mercy “mezclar” en el consumo?)
10. a) Encuentre una función de utilidad que pueda representar a un consumidor tal como Diego, que siempre prefiere su taza de café con dos cucharaditas de azúcar. (Sugerencia: Piense en una función de utilidad Leontief conveniente).
b) (Sobre la divisibilidad de las mercancías) Similarmente al caso a) anterior, encuentre una función de utilidad que represente a un consumidor de automóviles y de llantas; es decir, existe una relación automóviles/llantas=1/5. ¿Qué sentido tiene la canasta (1.5, 7.5)? ¿Es decir, qué significa consumir 1.5 automóviles y 7.5 llantas? Más aún: ¿Qué significado tiene afirmar que esta canasta es indiferente a la canasta (1.6, 7.5)? El problema que se plantea aquí es el de la “divisibilidad de las mercancías” que está concebida como un comportamiento ajeno al modelo neoclásico: para éstos es usual asumir que todas las mercancías son divisibles en cada posible medida (medios, tercios, cuartos, etc.). 11. a) ¿Es la cocaína un “bien” para el consumidor en el sentido que se estudia
en este curso, aún sabiendo que puede ser dañina para el consumidor? Explique. Similarmente para el tabaco y el alcohol. ¿Podría analizarse de manera similar los alimentos altos en colesterol?
b) (Sobre la saciedad de un consumidor) ¿Si un consumidor solo compra las cantidades de pan que necesita, compraría más si baja el precio? ¿Contradice esto la ley de la demanda? ¿Será este un consumidor que se sacia? Explique.
c) En el mismo sentido del literal anterior, ¿cómo podría modelarse el consumidor que, en determinado período, necesita (y compra) un solo refrigerador?
12. ¿Cuáles serían las demandas marshallianas si un bien es deseado y el otro es neutral, asumiendo que la recta presupuestaria es p1x + p2y = M ?
13. Es usual escribir la recta de demanda inversa de un consumidor (es decir, la función inversa de la demanda) en la forma p = a − bx donde a, b > 0. ¿Cuál sería la recta de demanda agregada (es decir, la suma de las demandas de los consumidores) si a este consumidor se le adicionaran N consumidores idénticos a él? ¿Qué sucedería con la demanda agregada si, como se asume usualmente en competencia perfecta, N es “muy grande”? Interprete este resultado.
14. (∗) Calcular las demandas (estableciendo las condiciones sobre M, p1 y p2,
para los que esto es posible) para la función de utilidad
U (x, y) = (x − x2) + y
(Sugerencia: Dibujar las curvas de indiferencia y notar que, en algunos casos, la solución óptima y∗es negativa, algo que no puede darse en una demanda.)
15. (∗) Calcular las demandas (cuando sea posible) para la función de utilidad de tipo Gossen (1854)
U (x, y) = α + (βx−δx2) + (γy − µy2)
EJERCICIOS 43 16. Calcular las demandas marshallianas para la función de utilidad cuasilineal
U (x, y) = U (x) + y = xα+ y para 1 > α > 0.
17. Calcular la demanda por el bien x para la función de utilidad cuasilineal
U (x, y) = U (x) + y = −1ae−ax+ y (a > 0) Note que la función U(x) es creciente, aunque es siempre negativa. Esto no debería ser causa de evitarla como función de utilidad. ¿Por qué?
18. (∗) Calcular las demandas marshallianas en los siguientes casos: a) U(x, y) = xy + xy2
b) U(x, y) = xy + x + y c) U(x, y) = xy + Min{x, y}
Dibujar las respectivas curvas de nivel.
19. (∗∗) ¿Será posible calcular las demandas marshallianas en el caso agregado
U (x, y) = Max{Min{2x, y}, Min{x, 2y}}?
[Sugerencia: Dibuje las curvas de nivel cuidadosamente. Observe que es posible la no-convexidad al origen de las preferencias e interprete esto.] 20. (∗∗) Lo mismo que en el caso anterior para la función de utilidad
U (x, y) = 2x + 2y −3x22 −3y22 −2xy1 + 1
21. (∗) Similarmente que en los dos casos anteriores, para la función de utilidad
U (x, y) =
(
xy si x > 1
y si x < 1 Interprete el comportamiento de este consumidor.
Principios de la teoría de la producción y maximización del
beneficio
5.1. Introducción
Así como la teoría neoclásica del consumidor se basa en la función de utilidad, también la teoría de la producción se basa en su propia función: la función de producción. Una función de producción es una regla explícita que transforma, de manera óptima, insumos (o factores) en productos. Es la “caja negra” de la teoría de la producción neoclásica, pues resume de una manera reduccionista, todo el proceso productivo interno de la empresa o firma: se asume que los problemas de eficiencia técnica que involucran ingeniería y administración dentro de la empresa, están totalmente representados, de alguna forma, por esa función.
En esta semana estudiaremos el concepto de función de producción, su relación con la noción de rendimientos a (de) escala y la conexión de éstos con el proble-ma fundamental del productor según la teoría neoclásica: proble-maximizar el beneficio de la empresa (ingresos menos costos) sujeto a la restricción tecnológica (función de producción). Señalemos que en el propósito de las empresas al maximizar el beneficio, también surgirán las correspondientes demandas por los insumos y, fun-damentalmente, la oferta de la empresa al mercado.
No sobra aclarar que, en esta instancia, maximizar beneficios significará hacer la mayor cantidad de dinero posible (dinero respaldado por autoridad monetaria) que bajo un régimen de propiedad privada e independientemente de la forma legal de la empresa (sociedad limitada, anónima, etc.), irá al presupuesto de los dueños y de sus familias, quienes, a su vez, invertirán una parte de éste en la misma empresa o en diferentes activos, aunque también de allí partirá el presupuesto para gastar en consumo. Y sabemos que, en general, a más ingreso, mayor satisfacción de las
122 SEMANA 5. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN familias (medido por su función de utilidad). Así, desde la perspectiva neoclásica, un motor de fondo (o incentivo) del mercado bajo competencia perfecta por parte de los consumidores y también de los productores es el gusto por el consumo.
5.2. Características de la función de producción
neoclásica
En nuestro curso, estudiaremos funciones de producción de sólo uno o dos insumos (o factores) y un producto. La generalización a más de dos insumos es directa e inmediata; sin embargo, la generalización a varios productos es mucho más com-plicada (conocidas como “economías de alcance”). Y la razón fundamental para que solo estudiemos funciones de producción de un solo producto, es que nuestro norte inicial es el análisis del equilibrio parcial competitivo de la industria de un solo bien, entendiendo esto, claro está, como otra simplificación conveniente de la estructura de mercado.
Una función de producción es una función de la forma
f :R+→ R+
x → f(x) (un solo insumo x)
o de la forma
F :R2 +→ R+
(x, y) → z = F (x, y) (dos insumos x e y)
Allí, x e y nos indican las respectivas cantidades no-negativas de esos insumos (o factores)1 y z = F (x, y) es la cantidad máxima
produci-da con esos insumos. Asumiremos, usualmente, que tanto y = f(x) co-mo z = F (x, y) son funciones cuasicóncavas2, diferenciables con
conti-nuidad R++ (números reales estrictamente positivos) o en R2++ (primer
cuadrante del plano cartesiano, pero sin incluir los ejes)3; con f(0) = 0 y 1Los insumos o factores son aquellos bienes de la economía que son utilizados para la
producción de otro bien. Por ejemplo, en la construcción de una casa requeriremos de tierra, mano de obra, ladrillos, cemento, vidrios, etc. Más adelante, observaremos que la economía neoclásica distingue factores de capital (K) y de trabajo (L). En la variable K incluye bienes tales como maquinaria, edificios (también los ladrillos, el cemento y los vidrios), etc. Y en la variable L amalgama el factor humano de trabajo desde el obrero raso hasta el trabajador más calificado.
2Esta condición sobre la función de producción es, para la teoría neoclásica, muy conveniente
analíticamente. En particular va a permitir asegurar la minimización de los costos de la empresa. No sobra aclarar aquí que esta hipótesis también lleva a que las curvas de nivel F (x, y) =constante sean similares (por su convexidad al origen) a las correspondientes curvas de nivel de una función de utilidad analizadas en la Semana 1. Y, por consiguiente, también está diciendo que la “combinación de insumos” conduce a más altas producciones. Si el lector está interesado en revisar de nuevo la noción formal de cuasiconcavidad, puede consultar al Apéndice matemático al final del libro.
3Cabe observar que algunas funciones de producción muy importantes pueden no satisfacer
esta condición de diferenciabilidad con continuidad. No obstante, le aplicaremos a estas funciones todo el análisis que nos permita, aunque sin involucrar, obviamente, ninguna derivada.
F (0, 0) = 0, respectivamente.
Adicionalmente, será usual que supongamos que las funciones de producción tienen la condición de que a mayor cantidad de insumos, más producción; es decir, pre-sentan lo que en adelante llamaremos “productividades marginales estrictamente crecientes” en cada uno de los insumos:
i) En el caso de una función de producción con un solo insumo f(x), tendremos
f′(x) > 0 (figura 5.1) (producción marginal positiva)
en R++.
Figura 5.1. Ejemplo de una función de producción con sólo un insumo. ii) Y en el caso de una función F (x, y) con dos insumos, tendremos
∂F ∂x > 0 ,
∂F
∂y > 0 (figura 5.2)
(producciones marginales positivas)4
en R2 ++.
Cabe observar que, en la práctica, una función de producción con un sólo insumo de la forma f(x), se puede entender como una función de dos variables F (x, y) pero en la que el insumo y (ye) es constante. Es decir, F (x, k) = f(x), donde la producción se realiza con x variable pero con y = k constante. Más adelante comprenderemos que cuando una empresa no puede varias todas las cantidades de insumos, sino que algunos de ellos permanecen fijos por un período de tiempo, habrá que distinguir la producción entre el corto plazo y largo plazo. En el corto plazo, algunos factores pueden permanecer fijos. En el largo plazo, todos los factores son variables.5
4No sobra agregar aquí que también existen ejemplos muy importantes de funciones de
producción que no satisfacen la condición de productividades marginales estrictamente crecientes. Ese es el caso de la función de producción z = F (x, y) = Min{x, y} que estudiaremos más adelante.
5Realmente, deberíamos escribir f
k(x) en lugar de f(x). Sin embargo, a menos que debamos
especificar esto, asumiremos que una función de la forma f(x) representa una tecnología en la que el insumo y (ye) está fijo en algún nivel k.
124 SEMANA 5. PRINCIPIOS DE LA TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN
y
Figura 5.2. Función de producción con dos insumos. Ejemplo 1. (Construcción de una función de producción)
Según la perspectiva neoclásica y en versión muy simplificada, toda empresa debe-ría estar en condiciones de construir datos a la manera del Cuadro 5.1 ó del Cuadro 5.2. Obviamente, en teoría, cualquier empresa podría construir tablas mucho más completas y detalladas de sus necesidades de insumos y de su producción óptima, resumidas y extrapoladas en su función de producción.
x=mano de obra y=máquinas f (x)=producción
(en horas) máxima
1 1 1 2 1 1.5 3 1 2 5 1 3 7 1 3.5 9 1 4
Cuadro 5.1. Producción con un solo insumo variable (mano de obra) y otro fijo (máquinas), que podría dibujarse (extrapolando valores) mediante una gráfica como la de la figura 5.1
x=mano de obra y=máquinas F (x, y)=producción
(en horas) máxima
1 1 1 2 1 1.5 3 2 2.5 5 3 3.5 7 4 4.2 9 6 7
Cuadro 5.2. Producción con dos insumos variables (mano de obra y máquinas), que podría dibujarse (extrapolando valores) mediante una gráfica como la de la figura 5.2
5.3. Rendimientos a escala
6Para propósitos analíticos que entenderemos más adelante (fundamentalmente para diferenciar el tipo de empresas que opera bajo competencia perfecta), la teoría neoclásica divide, de manera no-exhaustiva, las funciones de producción de uno o dos insumos (f(x) ó F (x, y)) en tres clases: funciones de producción
con rendimientos decrecientes, constantes y crecientes a escala7. Veamos esto con
detalle.
i) Una función f(x) o F (x, y) tiene rendimientos decrecientes a escala si, para todo escalar t > 1, respectivamente,
f (tx) < tf (x) (para un insumo)
F (tx, ty) < tF (x, y) (para dos insumos)
Así, por ejemplo, si se duplican (t = 2) los insumos (factores), la producción estará por debajo del doble de la producción inicial. Similarmente, si se tripli-can (t = 3) los insumos (factores), la producción estará por debajo del triple de la producción inicial; etc. (figura 5.3).
En la práctica, es corriente asociar los rendimientos decrecientes a escala con:
Factores fijos: por ejemplo, la tierra. Ineficiencia tecnológica.
Ineficiencia administrativa: dificultades en la organización, coordinación e integración que surgen en la administración de una empresa.
Número grande de trabajadores: puede no funcionar tan bien como los pequeños equipos.
Sin embargo como entenderemos más adelante, la primera justificación (factores fijos) es la más socorrida cuando de hablar de rendimientos decrecientes a escala bajo competencia perfecta, se trata.
6En ocasiones, también llamados rendimientos de escala.
7El concepto de rendimientos a escala, en el sentido tecnológico, es tan antiguo como la
economía misma, aunque no fue cuidadosamente definido hasta, quizás, Alfred Marshall (1890). Marshall utilizaba el concepto de rendimientos a escala para capturar la idea de que las firmas pueden, alternativamente, enfrentar “economías de escala” (es decir, ventajas de tamaño) o “deseconomías de escala” (desventajas de tamaño), y presentaba razones por las cuales las firmas podrían enfrentar rendimientos a escala cambiantes. La definición del concepto de rendimientos a escala fue discutido posteriormente, con más profundidad y rigor, por Wicksell (1900, 1901, 1902), Wicksteed (1910), Sraffa (1926), Keynes (1932) y Hicks (1932, 1936), entre otros.
