Modelo de Media-Varianza

La teor´ıa del portafolio (o cartera) de inversiones, hace parte de los m´etodos desarro- llados principalmente por Henry Markowitz en 1952 para el manejo de las inversiones en activos (valores o acciones) o en la administraci ´on de los portafolios de activos.

El an´alisis de esta teor´ıa se fundamenta en conceptos estad´ısticos y econ ´omicos, que se aplican en el an´alisis de la informaci ´on sobre activos, con el fin de obtener conclusiones que permitan construir portafolios eficientes, de acuerdo a las preferencias de los inver- sionistas.

Esta teor´ıa parte del supuesto de que la mayor´ıa de los inversionistas son adversos al riesgo, es decir, dados dos activos con igual rentabilidad, se seleccionar´a el activo con el menor nivel de riesgo.

Un ejemplo de que la mayor´ıa de los inversionistas son adversos al riesgo es que adquieren distintos tipos de seguros, incluyendo seguros de vida, de autom ´ovil, de ser- vicios m´edicos, entre otros; involucrando una inversi ´on a largo plazo para protegerse en contra de lo incierto.

Una portafolio o cartera de inversi ´on se define como una combinaci ´on de activos o t´ıtulos individuales, entre ellos se consideran las acciones, bonos, etc. [18].

El objetivo de la formaci ´on de portafolios es reducir el riesgo mediante la diversifi- caci ´on, es decir, que una combinaci ´on de activos casi siempre sea menos riesgosa que cualquier activo individual.

Pero,¿c´omo se puede formar portafolios que reduzcan el riesgo de un inversionista?. La teor´ıa del portafolio trata de la selecci ´on de portafolios ´optimos, es decir, portafolios que propor- cionen el rendimiento m´as alto posible en cualquier grado espec´ıfico de riesgo, o el riesgo m´as bajo posible en cualquier tasa de rendimiento.

En t´erminos generales, el Modelo de Markowitz intenta cuantificar la interrelaci ´on en- tre el comportamiento de los componentes del portafolio para determinar en una situaci ´on espec´ıfica una cartera lo suficientemente diversificada como para que el riesgo total sea menor que la suma ponderada de sus componentes.

1. Bolsa de Valores y Portafolios de Inversi ´on 10 El supuesto fundamental en el que se basa su modelo, es el de que los inversionistas son esencialmente adversos al riesgo. Esto significa que los inversionistas deben ser com- pensados con mayor rendimiento para aceptar un mayor riesgo; consecuentemente, dadas por ejemplo dos opciones para invertir con igual tasa de rendimiento, un inversionista se- leccionar´a un activo con un nivel menor de riesgo, rechazando la opci ´on con mayor riesgo. En t´erminos m´as t´ecnicos, el supuesto significa que un inversionista maximiza la uti- lidad esperada en lugar de s ´olo tratar de maximizar los rendimientos esperados, es decir, el inversionista tomar´a en cuenta el riesgo al seleccionar entre dos o m´as opciones de inversi ´on.

Asumiendo la aversi ´on al riesgo, Markowitz desarroll ´o su modelo de selecci ´on de portafolios de inversi ´on que se resume en los siguientes puntos:

1. Las caracter´ısticas m´as relevantes del portafolio se definen como su rendimiento esperado y alguna medida de dispersi ´on de los posibles rendimientos alrededor del rendimiento esperado, la varianza suele ser la m´as identificable.

2. Los inversionistas racionales escoger´an tomar portafolios eficientes, los cuales ma- ximicen el rendimiento esperado para un grado de riesgo dado o, alternativamente, minimicen el riesgo para un rendimiento esperado dado.

3. Es te ´oricamente posible identificar portafolios eficientes por medio del an´alisis ade- cuado de la informaci ´on de cada activo tomando en cuenta el rendimiento espera- do, la varianza del rendimiento y la relaci ´on entre el rendimiento de cada activo y el rendimiento de cada otro activo, medida por el coeficiente de correlaci ´on. La rentabilidad de cualquier activo es tomada como una variable aleatoria de car´acter subjetivo, cuya distribuci ´on de probabilidad para el periodo de referencia es supues- ta como conocida por el inversionista.

4. Siguiendo la funci ´on objetivo del problema se indica la proporci ´on del fondo del inversionista que debe ser invertida en cada tipo de activo, de manera que se alcance eficiencia, esto es, que maximice el rendimiento para un grado de riesgo dado o que minimice el riesgo para un rendimiento esperado dado.

Siguiendo el Modelo de Markowitz se supone que los rendimientos siguen una distribuci ´on de probabilidad normal, por lo que ´estos quedan definidos por s ´olo dos par´ametros, la esperanza matem´atica (media) y la desviaci ´on es´andar. Con base en esta suposici ´on se puede hacer el an´alisis tomando en cuenta la media y la varianza.

Los criterios para evaluar un portafolio de inversi ´on son:

Medir el rendimiento en funci ´on de la ganancia esperada y Medir el riesgo en funci ´on de la varianza.

1. Bolsa de Valores y Portafolios de Inversi ´on 11 A continuaci ´on se explicar´an brevemente los criterios anteriores

1. Rendimiento en funci ´on de la ganancia esperada.La ganancia esperada de un ac- tivo cualquiera est´a definida como:

r= Pf −Pi Pi

(1.1) donde Pf y Pi representan el precio final y el precio inicial del activo respectiva-

mente.

Como un portafolio se compone por varios activos, se define el rendimiento espera- do de un portafolio como: Rp = n X i=1 wiri (1.2)

dondewirepresenta la proporci ´on del portafolio invertido en el activoi, con n X

i=1

wi =

1yri es el rendimiento esperado del activoi.

2. Riesgo en funci ´on de la Varianza.La varianza para un activo particular est´a defini- da como V ar[Ri] =σ 2 =E[r2 i]−(E[ri]) 2 (1.3) El riesgo medido en funci ´on de la varianza indica el grado de dispersi ´on o variabili- dad en relaci ´on a la esperanza sobre el rendimiento de dicho activo.

Otra definici ´on para la varianza de un activo es la siguiente [69]:

σ2 = m X i=1 ri−Rp 2 m (1.4)

Para un portafolio de inversi ´on, la varianza estar´a dada por:

σ2 p = n X i=1 n X j=1 wiwjρijσiσj (1.5)

dondewi ywj representan la proporci ´on invertida en el activoiy en el activoj, ρij

es el coeficiente de correlaci ´on entre el activoiyj yσi, σj es la desviaci ´on est´andar

del activo iy j. As´ı mismo podemos notar que en (1.5), ρijσiσj es por definici ´on la

covarianza entre los activosiyj.

Igualmente en (1.5), observamos que el riesgo de un portafolio no s ´olo depende del riesgo de los valores que forma el portafolio, sino tambi´en de la relaci ´on que existe

1. Bolsa de Valores y Portafolios de Inversi ´on 12 entre los mismos (coeficiente de correlaci´on). El valor del coeficiente de correlaci ´on es el que determina el conjunto de oportunidades de portafolio de un inversionista [32].

Un ρij = 1muestra que un aumento en el rendimiento del activoiva siempre

asociado con un aumento proporcional en el rendimiento del activo j. As´ı, la varianza ser´a una l´ınea recta.

Un ρij = −1 muestra que un aumento en el rendimiento para un activo va

asociado a una disminuci ´on proporcional en el otro activo, y viceversa. Los activos tendr´an una relaci ´on inversa.

Un ρij = 0 muestra la ausencia de correlaci ´on, por lo que los rendimientos de

cada valor var´ıan de manera independiente. Como los activos no est´an correla- cionados, la relaci ´on entre riesgo y rendimiento no es lineal.

Al aplicar este modelo se debe cumplir con las siguientes condiciones:

a) Rendimientos esperados y varianzas finitas,

b) Todos los activos no tienen el mismo rendimiento esperado.

El modelo asume que la meta del inversionista es dise ˜nar un portafolio que minimice el riesgo alcanzando un rendimiento esperadoR∗_{predeterminado.}

Matem´aticamente, el problema queda formulado como se define a continuaci ´on

Minσ2 p = n X i=1 n X j=1 wiwjρijσiσj (1.6) Sujeto a: E[Rp] = n X i=1 wiE[Ri] =R∗ (1.7) n X i=1 wi = 1 (1.8) wi ≥0parai= 1, . . . , n (1.9)

La primera restricci ´on, Ecuaci ´on (1.7), expresa la condici ´on de alcanzar el rendi- miento esperado. La segunda restricci ´on (1.8), llamada limitaci ´on de presupuesto, requiere que el 100 % del presupuesto sea invertido en el portafolio. Las limitaciones de no negatividad, Ecuaci ´on (1.9) expresan que las ventas en corto no son permiti- das, es decir, no se permite dar o pedir prestado dinero.

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