2 Comparación entre modelos de transporte de solutos no conservativos
2.3 Modelo de Zona Muerta Agregada con Reacción (ADZ-R)
Siguiendo a Young y Wallis (1993) y Lees et al. (1998), la ecuación del modelo ADZ-R en forma continua es:
1 k in r dc c t e c kc dt T
[10]donde c es la concentración del soluto, t es el tiempo, cin es la concentración en la condición
de frontera a la entrada del tramo en el tiempo, τ es el tiempo de retraso advectivo, Tr es el
tiempo de residencia del soluto en la zona muerta agregada y k es la tasa de reacción de primer orden. El tiempo de residencia es la razón entre el volumen de la zona de mezcla activa (o de la zona muerta agregada) y el caudal que pasa por el canal.
r
V
T
Q
[11]El tiempo medio de viaje se define como el tiempo que tarda el soluto en ser conducido por advección y ser dispersado. También es la razón entre el volumen total del tramo y el caudal que conduce el canal.
a r
V
T
Q
t
[12]El parámetro más representativo del modelo ADZ es conocido como Fracción Dispersiva DF y corresponde a la razón entre el volumen de mezcla activa y el volumen total del tramo, o la razón entre el tiempo de residencia y el tiempo medio de viaje. En otras palabras, DF representa la fracción del volumen total del tramo que se considera completamente mezclada, o la fracción del tiempo total en el cual el soluto es dispersado.
1 r a T V DF V t t
[13]Conceptualmente, el modelo ADZ para una sustancia conservativa se puede representar como un canal lineal, asociado al fenómeno de advección, seguido de una celda de mezcla completa, que corresponde al efecto dispersivo de la zona muerta agregada (Figura 2-1).
Figura 2-1: Conceptualización del modelo ADZ para una sustancia conservativa Para representar de mejor manera los perfiles de concentración medidos en campo, se pueden utilizar n celdas idénticas en serie, lo cual es similar a
considerar n elementos
similares en serie en un mismo tramo de canal (Young y Wallis, 1993). En este caso, el tiempo medio de viaje es n veces la suma entre el tiempo de retraso advectivo y el tiempo de residencia Tr de cada tramo; el tiempo de retraso advectivo total es n veces el del tramoindividual.
r
tn
T
[14]y por lo tanto la fracción dispersiva con n celdas en series es:
1
n
n T
rDF
t
t
[15]El tiempo medio de viaje entre dos puntos se representa gráficamente como la diferencia entre los centroides respecto al origen de la distribución temporal de un trazador en cada sitio de medición. El tiempo de retraso advectivo es la diferencia entre los tiempos en que inicia el aumento de concentración debido al paso del trazador en cada punto; para n celdas en serie, este último es (ver Figura 2-1). La fracción dispersiva DF es un parámetro que describe adecuadamente los procesos de transporte en una corriente, ya que permite representar condiciones de advección pura (DF=0), dispersión pura (DF=1) y estados intermedios (ver Figura 2-2).
Camacho y Lees (2000) proponen que DF se estime aproximadamente reemplazando el tiempo de retraso advectivo por el cociente entre la longitud y la velocidad máxima representativa del tramo ( ) y el tiempo medio de viaje por la relación entre la longitud y la velocidad media del flujo en el tramo ( ̅ , obteniendo la siguiente expresión a partir de la ecuación [13]:
1 max u DF u [16]
Resultados y análisis reportados por Young y Wallis (1986), Wallis et al. (1989), Young y Wallis (1993) y Camacho (2000) sugieren que, en ríos de planicie, la fracción dispersiva es constante para un amplio rango de caudales. Para ríos de montaña, a partir del análisis de resultados de 58 ensayos con trazadores, González (2008) indica que la fracción dispersiva presenta variaciones con el caudal de hasta un 22% (10% en promedio) en un mismo tramo; no obstante, propone un valor de DF = 0.272 ± 0.015 que puede ser tomado como opción preliminar para corrientes sin información. Así mismo, González (2008) demuestra que DF sólo es constante con el caudal en un canal o tubería uniforme, y que su magnitud depende del régimen de flujo (grado de turbulencia y entropía debidos al caudal y la rugosidad del contorno del conducto).
Figura 2-2: Representación de los mecanismos de transporte de acuerdo con DF Para la estimación de los parámetros del modelo ADZ, concretamente para una sustancia conservativa, existen diversas alternativas. La más sencilla consiste en la identificación gráfica (o subjetiva) del tiempo de retraso advectivo y el tiempo medio de viaje ̅ a partir de las series de tiempo medidas de concentración (Figura 2-1; González, 2008; Lees y Camacho, 1998; Wallis et al., 1989) lo cual supone por defecto un sólo elemento ADZ de primer orden (i.e. n=1). Otra opción consiste en identificar estadísticamente el orden y el tiempo de retraso a partir del análisis de las series de tiempo medidas, lo cual se hace aplicando el método de estimación e identificación iterativo-recursivo SRIV (Simplified Refined Instrumental Variable, Young, 1984; Young y Wallis, 1985) que implica la formulación discreta del modelo ADZ (Young y Wallis, 1993; Camacho, 1997, 2000; González, 2008); este método tiene la ventaja de seleccionar el modelo más parsimonioso (mínimo número de parámetros) que mejor representa los datos observados y simultáneamente da resultados sobre la incertidumbre asociada a la estimación de los parámetros del modelo al ser una aproximación estocástica. Finalmente, se puede hacer la calibración directa o determinística de los parámetros , ̅ y n explorando el espacio paramétrico con la implementación de algoritmos de optimización y/o técnicas basadas en simulaciones de Monte Carlo. En la mayoría de los casos, los parámetros y ̅ son perfectamente sensibles e identificables.
Una descripción más completa y detallada del modelo ADZ para una sustancia conservativa, incluyendo su formulación en forma discreta y aplicación en sistemas de canales (e.g. configuraciones en serie y en paralelo), se puede encontrar en los trabajos realizados por Camacho (2000) y Young y Wallis (1993).