El modelo para una economía cerrada

Leontief estima los requerimientos de insumos intermedios de todos los sectores, para producir un vector de demanda final. Así obtiene un sistema de ecuaciones lineales, que en equilibrio general iguala la oferta y demanda de todos los sectores de la economía, incluyendo demandas intermedias y finales. El modelo utilizado para una economía cerrada adquiere la representación que se detalla a continuación:

El análisis de I-P considera que todos los bienes y servicios en una economía pueden tener dos destinos. Por un lado, pueden ser usados como insumos en la producción

de otros bienes y servicios, en cuyo caso a la porción del bien i que el sector jdemanda para producir sus bienes y servicios se le conoce como demanda intermedia, y en la notación de la matriz de insumo producto se representa con la variable aij.

Cada elemento aij representado dentro del cuerpo de la tabla, es el valor monetario de las compras que las empresas del sector i han efectuado a otras empresas del sector j, donde:

i ≠ j representa las compras de un sector con respecto a otro distinto. i = j representa las compras de un sector con respecto al mismo sector.

Además de este uso intersectorial, cada sector vende algo de su producción a los consumidores. Esta parte de la producción se denota como Fi y representa la demanda final que enfrenta el sector, en donde se distingue la demanda para el consumo de los hogares o del sector gobierno, como así también para inversión.

De ese modo, los nxn primeros elementos de la tabla de I-P son datos de los flujos intra e interindustrial de bienes intermedios y servicios, que registran las transacciones entre los sectores de la economía, donde las compras de la industria j = 1, 2..., n son mostradas verticalmente y las ventas de la industria i = 1, 2, n se lo hace horizontalmente.

La columna n + 1 es la “Demanda Final” que registra las ventas a consumidores finales. La fila n + 1 denominada "Valor agregado", representa las retribuciones al trabajo y capital que efectúan cada uno de los sectores industriales a los poseedores de ambos factores, que se utilizan para procesar las materias primas y fabricar sus productos, constituyendo precisamente el valor añadido por cada sector.

De ese modo el producto bruto de un sector se puede expresar:

𝒀𝟏 = 𝒂𝟏𝟏𝒀𝟏+ 𝒂𝟏𝟐𝒀𝟐+ ⋯ . +𝒂𝟏𝒏𝒀𝒏+ 𝑭𝟏 (1)

Específicamente, Y1 es el total de la producción en el sector 1, que es igual al total de venta a usuarios intermedios más la venta a los consumidores finales.

Si se generaliza la ecuación para toda la economía, teniendo en cuenta que existen

n sectores productivos, existirá entonces un número igual de ecuaciones que describa la distribución de todos los sectores (la ecuación anterior para cada sector i = 1, 2, n). Las n

ecuaciones que surgen para los sectores de la economía pueden ser organizadas en un sistema matricial que se puede escribir como:

Y=AY+F (2)

A la matriz 𝐴 se la conoce como matriz de coeficientes de requerimientos directos por unidad de producción bruta. Captura todos los vínculos de los sectores industriales dentro del país, para un determinado momento del tiempo.

Como se expresaba anteriormente, el Valor Bruto de Producción (VBP) sectorial es la suma del gasto intermedio del sector y de la demanda final. Para un sector i cualquiera, puede expresarse como VBPi.

El vector Y es un vector nx1 que representa el conjunto de bienes que produce la economía o sea que constituye la producción bruta de cada país y la matriz F captura toda la demanda final, es decir el consumo de hogares y del gobierno, como así también la formación bruta de capital en un momento determinado.

Yi= ∑aij*yj+Fi (3)

De modo que el modelo se puede expresar como un sistema de ecuación lineal de oferta y demanda: 𝒀𝟏 𝒀_𝟐 : 𝒀_𝒏 = 𝒂_𝟏𝟏 𝒂_𝟏𝟐 : 𝒂_𝟏𝒏 𝒂_𝟐𝟏 𝒂_𝟐𝟐 : 𝒂_𝟐𝒏 : : : : 𝒂_𝒏𝟏 𝒂_𝒏𝟐 : 𝒂_𝒏𝒏 * 𝒀𝟏 𝒀_𝟐 : 𝒀_𝒏 + 𝑭𝟏 𝑭_𝟐 : 𝑭_𝒏 (4)

En términos matriciales, A es una matriz cuadrada de dimensión n que contiene los requerimientos técnicos directos, donde el producto de A*Y da como resultado la demanda intermedia de insumos. En cada transacción existen dos sectores, el sector vendedor que se indica con el subíndice “i”, y el sector comprador que se indica con el

subíndice “j”.

Y es un vector n x 1 y F es un vector n x 1 de demanda final.

La matriz de Leontief puede interpretarse de la siguiente manera: cada elemento aij de la matriz representa el efecto que tiene un aumento en la demanda final del bien j sobre los requerimientos de producción del bien i. En otras palabras, dado que el sector j requiere del bien i como insumo de su producción, cuando aumente la demanda final de j se aumentará la demanda intermedia de i.

Los cambios en la demanda final pueden darse por múltiples factores desde la ejecución de una política fiscal expansiva hasta aumentos exógenos de las exportaciones entre otros factores. La solución a este sistema de ecuaciones es:

Y= [I-A]-1_{*F =IL*F (5)}

Si se despeja la matriz A de la ecuación (4), se obtiene la ecuación básica de análisis utilizada por la teoría del insumo producto expresada en (5) dónde [I-A]-1 es

conocida como la “matriz inversa de Leontief” o de requerimientos totales de insumos de cada sector para producir el vector exógeno de demanda final F. Sus elementos lij, indican el efecto marginal total que tiene un aumento de la demanda final sobre la producción industrial. Por ejemplo muestra el porcentaje de aumento en la producción del sector 1 que se requiere como resultado de un determinado incremento de la demanda final del sector 2, de modo tal que IL es una matriz que representa los requerimientos totales de la economía, donde los elementos de la matriz A son las cantidades de insumos que se requieren para producir una unidad de producto.

La matriz (I-A)-1 _{muestra el impacto total o efecto multiplicador de un incremento}

exógeno de la demanda final5_.

5 _{L es la inversa de la matriz de Leontief y I es una matriz de identidad (es decir, unos en la diagonal}

y ceros en las partes restantes). De ese modo, la inversa de Leontief puede entenderse como una matriz de requisitos totales, es decir una matriz que muestra las cantidades de producción bruta necesaria para el

Los insumos intermedios pueden ser expresados en función del VBP sectorial. De modo que aij, o sea el coeficiente técnico o requerimiento directo del insumo i en la producción del bien j se pueden expresar como:

aij=Yij/Yj (6)

donde Yij es la producción de cada sector y Yj la producción total de los j sectores.