Como se dijo anteriormente, el realizar pruebas ya sea con uniones adhesivas o en bulto, es con la nalidad de obtener información para realizar modelos que simulen el comporta- miento de los adhesivos. Uno de los fenómenos que deben considerarse para el desarrollo de dichos modelos, es sin lugar a duda, la no linealidad en el comportamiento del adhesivo. Lo anterior se puede atribuir a efectos plásticos y visco-plásticos que no es a menudo incluido en los modelos debido a la complejidad en la formulación matemática. Normalmente para el adhesivo, el comportamiento es simulado implementando el método de los elementos nitos, considerando la plasticidad en el adhesivo y ajustando modelos uniaxiales, despreciando el efecto visco-plástico.
2.3.1. Plasticidad y criterios
Existen varios modelos en la literatura destinados a la descripción del comportamiento en los adhesivos, sin embargo, sólo son válidos bajo ciertas condiciones. Los primeros modelos importantes para el cálculo de esfuerzos en uniones adhesivas y que incluyen la plasticidad en el adhesivo se encuentran en los trabajos de Hart-Smith [54], Goland y Reissner [55], Bigwood y Crocombe [56], Wang et al [57], Adams y Mallick [58], sin embargo, estos modelos requieren acoplar de manera correcta la no linealidad para una mejor predicción del comportamiento en los adhesivos [59].
Por otro lado, existen modelos que logran predecir el inicio de la plasticidad en los adhesivos al considerar un criterio de plasticidad adecuado como lo es el criterio propuesto por Wang y Chalkley [22], donde determinan una función criterio de plasticidad para un adhesivo estruc- tural FM73 de Cytec. Estos autores realizan una modicación del modelo de Druker-Prager llamado Druker-Prager/Cap que predice de manera aceptable el inicio de la plasticidad en
una junta adhesiva sometida a tensión pura, tensión-cortante, cortante-compresión y com- presión pura mediante probetas como la ilustrada en la gura 2.1 y que se vio en la sección 2.1.1 en donde se aplica una cargaPαsobre la probeta a una inclinación αcon la nalidad
de generar esfuerzos normales y de corte en la unión adhesiva [22].
Wang y Chalkley estudian tres criterios de plasticidad posibles en los adhesivos: Criterio modicado de Tresca:
τm´ax=τo+µtp (2.1)
p=−(σx+σy+σz)
3 (2.2)
τm´ax= (σ3−σ1)
2 (2.3)
dondeτoes el esfuerzo de cedencia a cortante puro, pdenota al esfuerzo hidrostático, σ
1 y σ3el máximo y mínimo esfuerzo principal respectivamente yµtes la sensibilidad al esfuerzo
hidrostático del adhesivo.
Criterio modicado de von Mises:
τm=τmo +µmp (2.4) 6τm2 = (σ1−σ2) 2 + (σ1−σ3) 2 + (σ2−σ3) 2 (2.5) donde τo
m es el esfuerzo de cedencia en cortante puro ypes el esfuerzo hidrostático,τm
es el esfuerzo de von Mises yσ1,σ2yσ3son los esfuerzos principales.
Criterio modicado de Druker-Prager/Cap: Existen tres funciones que componen a este criterio modicado: la primera utiliza al modelo del tipo Druker-Prager para predecir el inicio de la plasticidad debido al cortante, la segunda es una transición que asegura la continuidad dependiente del tercer invariante del tensor de esfuerzo (esto es el determi- nante del tensor de esfuerzos). Esto a través del esfuerzo desviador contenido en el plano desviador. Debido a lo anterior, el criterio de plasticidad se escribe:
max(Fs, Ft, Fc) = 0 (2.6)
dondeFses una función denida por el criterio de Druker-Prager:
t−p·tg(β)−d= 0 (2.7)
dondet es el esfuerzo de von Mises, la pse reere al esfuerzo hidrostático, la b es una constante del material,β el ángulo de fricción ydse reere a la cohesión del material. LuegoFtyFc se denen con las siguientes expresiones:
Ft= s (p−pa) 2 + t−cos(β)−a cos(β) (d+patg(β)) 2 −α[d+patg(β)] (2.8) Fc = s (p−pa) 2 − Rt 1 +α−α/cos(β) 2 −R[d+patg(β)] (2.9)
dondeR yαson propiedades del material.
En las guras 2.7 (a), 2.7 (b) y 2.7 (c) se muestran valores experimentales del inicio de la plasticidad en los planos esfuerzo cortante contra esfuerzo hidrostático, así como las predic- ciones de los criterios de Tresca modicado, von Mises modicado y Druker-Prager/Cap, respectivamente.
(a) 3.4a (b) 3.4b
(c) 3.4c
Figura 2.7: (a) Criterio de Tresca modicado, (b) Criterio de von Mises modicado, (c) Criterio Druker-Prager Cap [22].
El criterio de Druker-Prager/Cap es el que mejor aproxima los valores experimentales. Apesar de este resultado interesante, el trabajo de Wang y Chalkley no va más allá de la predicción del inicio de la plasticidad y no proporciona leyes de ujo. Otro defecto en el trabajo es que no incluye el efecto de la visco-plasticidad.
En la simulación de uniones adhesivas, es común encontrar modelos clásicos de plasticidad para el comportamiento de los adhesivos. Por ejemplo, J. Y. Cognard et al [45] investigan la respuesta mecánica en uniones adhesivas mediante un análisis numérico por elementos nitos, su modelo se basa en las siguientes consideraciones: primero, los adherentes se comportan de manera elástica y segundo, el comportamiento del adhesivo es elasto-plástico modelado por un criterio de von Mises y una ley de plasticidad.
Figura 2.8: Unión adhesiva sometida a ciclos de carga y descarga [19].
Otros autores como S. Chataigner et al [19], también consideran el criterio de von Mises con endurecimiento isótropo a pesar de tener bucles típicos de origen visco-plástico en el comportamiento cíclico del adhesivo (ver gura 2.8).
2.3.2. Visco-elasticidad y visco-plasticidad
Por citar un ejemplo, J. Y. Cognard, et al [25], mencionan la importancia del efecto de la visco-plasticidad en el adhesivo; no obstante sus métodos de cálculo de esfuerzos en uniones adhesivas no aplican tal efecto y sólo se conforman con describir cualitativamente la respues- ta elasto-plástica uniaxial. En contraste, los parámetros de plasticidad y visco-plasticidad, se han estudiado de manera extensa en polímeros termoplásticos a velocidades de prueba relativamente altas. Debido a las propiedades micro-estructurales en los polímeros, éstos son propensos a experimentar grandes deformaciones plásticas. Por otro lado, el estado de esfuerzos sobre el comportamiento de los polímeros se debe estudiar en modelos triaxiales en lugar de uniaxiales [53].
2.3.2.1. Modelos visco-plásticos
Los modelos que consideran la variación de deformación plástica con respecto al tiempo se denotan comoε˙p e involucran a la visco-plasticidad en su análisis. En polímeros termoplás-
ticos, existe una amplia variedad de literatura dedicada al efecto visco-plástico, en donde también, se desarrollan reglas constitutivas para los mismos. El modelo de C. Miehe, et al [61], evalúa un policarbonato considerando la siguiente ley de ujo en su modelo:
˙¯¯
εp= ˙γp dev( ¯σ¯∗)
para que el modelo sea termodinámicamente consistente, la velocidad de la deformación plástica debe variar según la siguiente condición γ˙p ≥0 y dondedev( ¯σ¯∗) = ¯σ¯∗ −tr( ¯σ¯∗) ¯¯1, dondeγ˙pes una denominada regla de ujo visco-plástica [61]. A pesar de ser una ley en tres
dimensiones la validación se reduce a una confrontación mediante pruebas monotónicas a tensión, compresión uniaxiales y deformaciones planas (ver gura 2.9).
Figura 2.9: (a) Diagramas esfuerzo vs deformación correspondiente a una prueba a tensión uniaxial a diferentes velocidades. (b) Diagrama de esfuerzo vs deformación correspondientes a una prueba de tensión uniaxial y compresión uniaxial y en deformaciones planas [61].
El modelo de A.D. Drozdov, et al [62], muestra un modelo 3D basado en ecuaciones cons- titutivas derivadas de la teoría visco-elástica y visco-plástica para modelar la respuesta de polímeros semicristalinos. El polímero es tratado como un modelo continuo bi-fase. En la fase cristalina es considerado como un arreglo de nervaduras y en la fase amorfa es consi- derado como una red de cadenas entrecruzadas . El modelo considera tanto las pequeñas deformaciones, así como la fase cristalina y la fase amorfa como lo muestra la siguiente expresión. La fase cristalina es modelado como un arreglo de nervaduras mientras que la fase amorfa como una red de cadenas entrecruzadas.
Las ecuaciones consideradas por el modelo de A. D. Drozdov, et al, involucran la fase cris- talina y la parte amorfa, mediante el cálculo de la energía interna de deformación, como lo muestra la siguiente ecuación:
W(t) =Wa(t) +Wc(t) (2.11)
donde W(t) es la energía de deformación interna debida tanto de la energía interna de deformación de la fase amorfaWa(t)y la energía interna de deformación de la fase cristalina
Wc(t)
− d
de la ecuación 2.11 y 2.12 se deduce la siguiente expresión: ˆ σ(t) =−P(t)I+(1−φ(t)) (µc+µsN) (ˆε(t)−εˆp(t))−µs ∞ ˆ 0 dv t ˆ 0 ∂ ∂tn(t, τ, v) (ˆε(τ)−εˆp(τ))dτ (2.13)
donde la ecuación 2.13 representa el comportamiento visco-elástico en un polímero semicris- talino.
Por otro lado, el ujo viscoplástico es modelado con la expresión que sigue: d dtε˙ p ij=φ d dtε˙ij (2.14)
donde el tensor de velocidades de deformación plástica esta relacionado de una forma un tanto articial al tensor de velocidad de deformación mediante una función escalarφ. A la funciónφse le denomina función de ujo viscoplástico, y diere según la carga a la que se encuentre sometida. Para carga monotónica la funciónφtiene la siguiente forma:
φ= 1−exp −αJcβ (2.15) dondeJe= q 2 3ε e ij:ε e
ij, αes un factor relacionado con las deformaciones elásticas y β un
parámetro exponbencial que indica el comportamiento no lineal y varía de (0,1]. Para una prueba de uencia se tiene queφvaría como sigue:
φ=φ0+ 1−exp h
−A(∆Je) βi
(2.16) deondeAes un parámetro positivo ajustable y ∆Je=Je−Je0 que reeja el incremento de la intensidad de deformación yφ0 es un valor inicial de la funciónφ.
Por último, para una conguración en carga y descarga, se tiene la siguiente expresión: d dtφ±bφ= a µc d dtWc (2.17)
dondea yb son cantidades positivas, µc es el módulo elástico para la fase cristalina yWc
representa la energía interna de deformación en la fase cristalina.
En resumen, el modelo contiene 21 parámetros ajustables lo cual lo hace un modelo muy pesado de calcular. A pesar del planteamiento general de las expresiones para el modelo, éste se reduce a la experimentación mediante pruebas 1D, por lo tanto, el modelo propuesto es unidimensional como lo muestra la gura 2.10 .
Figura 2.10: Esfuerzo vs deformación en una prueba cíclica con máxima deformación. La línea obscura es la simulación [62].
El modelo de Ozgen U. Colak [63], se basa en una teoría modicada de la visco-plasticidad que se fundamenta en un concepto denominado sobre-esfuerzo. Colak utiliza la siguiente ley de ujo en su modelo: ˙¯¯ ε= ˙¯ε¯e+ ˙¯ε¯p= 1 +ν CE σ˙¯¯ d+3 2F Γ D ¯ ¯ o Γ (2.18)
donde ¯¯σd se le conoce como la parte desviador del tensor de esfuerzos y o¯¯y el tensor del
sobre-esfuerzo,F denota la función de ujo, la cual es función deΓ yD, donde a su vezΓ es denominado el invariante del sobre-esfuerzo (overstress) yD el esfuerzo de arrastre. Este modelo utiliza un endurecimiento como se muestra a continuación:
˙¯¯ X= σ¯¯d Γ +|¯¯σ−o¯¯| ¯ Etε˙¯¯p (2.19)
donde E¯t se le denomina módulo tangencial. A pesar de que este modelo se basa en una teoría del sobre-esfuerzo, el modelo considera incompresibilidad, lo cual implica queε˙vol= 0.
Además el modelo de O. U. Colak tiene 12 parámetros para estimar. La simulación se puede apreciar en la gura 2.11 aplicada a una prueba 1D.
M. J. Adams et al [64], aplican la visco-plasticidad en su modelo mediante la expresión llamada Herschel-Bulkley: ¯ σ=σo+k(¯˙εvp) n (2.20)
dondeσ¯ yε¯˙vpson el esfuerzo efectivo y la velocidad de deformación visco-plástica efectiva,
respectivamente. Los parámetrosσo, k yn, son el esfuerzo de cedencia, la consistencia del
ujo plástico e índice de ujo, respectivamente. El modelo describe la deformación conside- rando un comportamiento visco-plástico. Sin embargo, a pesar de utilizar el método de los elementos nitos para su modelo, la curva que ajusta es monotónica y por lo tanto uniaxial. Por último, el modelo de P. C. Pandey [65], aplica un cálculo tridimensional considerando la visco-plasticidad en uniones adhesivas, sin embargo, no tiene ninguna validación experimen- tal. Su modelo utiliza el criterio de von Mises modicado como se muestra a continuación:
kaτoct+kvσm= 1 (2.21) τoct= 1 3 q (σ1−σ2) 2 + (σ1−σ3) 2 + (σ2−σ3) 2 (2.22) σm= 1 3(σ1+σ2+σ3) (2.23)
donde τoct es denominado esfuerzo de von Mises y σm es denominado la traza del tensor
de esfuerzo hidrostático. Los parámetroska y kv son propiedades del material asociados a
la cedencia del mismo en tantoσ1, σ2 y σ3 son los esfuerzos principales. Para modelar el comportamiento no lineal del adhesivo, Pandey utiliza la expresión de Ramberg-Osgood que se muestra acontinuación:
σv=Amε
βm
p (2.24)
dondeσv denota el esfuerzo viscoso,εpdenota la deformación visco-plástica yβmasí como
Amson constantes del material. Así pues, de la ecuación 2.24 se incorpora a la deformación
totalεt como se muestra a continuación:
εt= σ E + σv Am 1/βm (2.25)
dondeσes el esfuerzo yE es el módulo de Young del material.
La gura 2.12 muestra una gráca en tres dimensiones donde se observa la distribución de esfuerzos raso (o de pelado) y de corte, en la mitad de la capa de adhesivo sobre la unión.
Figura 2.12: (a) Distribución del esfuerzo raso o pelado en el espesor del adhesivo y el traslape. (b) Distribución del esfuerzo cortante entre el espesor del adhesivo y traslape [65].
A pesar de que la visco-plasticidad no es nueva en el estudio de polímeros, existe poca evi- dencia de que este fenómeno exista en polímeros termojos como los adhesivos epóxicos. Lo anterior es un estímulo para extender los modelos realizados para polímeros termoplásticos (visco-plasticidad), al estudio del comportamiento de adhesivos epóxicos.
Mientras más completo sea un modelo, más preciso será al momento de simular el com- portamiento. El considerar el efecto de las deformaciones volumétricas en un modelo para simular el comportamiento no lineal de los adhesivos, es de suma importancia ya que éstas arrojan información acerca del criterio de plasticidad adecuado para el modelo, así como información de la variación de las deformaciones volumétricas plásticas y la variación de deformaciones equivalentes plásticas, como lo mencionan I. Estrada y A. Díaz [70].
2.3.3. Fenómeno de envejecimiento y variaciones volumétricas
El envejecimiento a sido uno de los mecanismos de evolución en polímeros extensamente estudiados. Existen diversos mecanismos de envejecimiento que se relacionan con los po- límeros. El envejecimiento físico generalmente es caracterizado mediante un incremento en la densidad (relajación volumétrica) o una disminución en la energía de conguración molecular (relajación de entalpía) tanto para materiales amorfos así como semicristalinos, cuando éstos son sometidos a temperaturas por debajo de laTgdurante un largo periodo de
tiempo (recocido) [71]. Así pues, hablar de envejecimiento físico es hablar de deformaciones volumétricas y entalpía.
Hasta hoy, no se han reportado deformaciones volumétricas negativas en pruebas de tensión uniaxial para polímeros epóxicos como lo menciona G.M. Odegard et al [71], sólo para polímeros termoplásticos tales como polivinilos en grandes deformaciones en estado huloso y policarbonatos en estado semicristalino como lo mencionan D. M. Colucci et al [74]. Powers y Caddell [89], investigaron la variación de volumen en un polimero PE (Polietileno) al ser sometido a pruebas de tensión a temperatura ambiente a una velocidad de carga constante. Registraron una pequeña pero signicativa disminución en las deformaciones vo- lumétricas. Tang et al [90 ] midieron deformaciones volumétricas en PP (Polipropileno) rea- lizando pruebas mecánicas a tensión. Las mediciones se realizaron a temperatura ambiente a diferentes velocidades de deformación. A la velocidad más alta de deformación, se observó una disminución en las deformacines volumétricas. Cherry y Hin [91] midieron variaciones en las deformaciones volumétricas en un PE (Polietileno) sometido a pruebas de uencia a tensión a temperatura ambiente. Después de la expansión de las deformaciones volumétricas en la fase de carga, los autores registraron disminuciones en estas deformaciones en la fase
de sostenimiento de la carga (como ejemplo: para un tiempo de 25,000sle corresponde una deformación volumétrica de εvol =−0.017 a un nivel de esfuerzo deσaxial = 17.1 M P a).
Por último, existen algunos autores [87, 88, 89] que de manera detallada adjudican la densi- cación de las deformaciones volumétricas a dos fenómenos: a la pérdida de la cristalinidad y al desarrollo de vacíos.
Los autores anteriores reportan una disminución de las deformaciones volumétricas para diferentes polímeros al someterse a pruebas a tensión monotónicas a diferentes velocidades de prueba y uencia. Ahora bien, lo anterior puede atribuirse a diferentes causas: Elkoun et al y L. Cangemi et al [72, 73] atribuyen la densicación o disminución de las deformaciones volumétricas (ver gura 2.13) a una posible orientación o alineamiento de segmentos de cadenas poliméricas en materiales amorfos.
Deform ac ión volum ét ric a Deformación axial
Figura 2.13: Comportamiento de las deformaciones volumétricas contra deformación axial en una prueba de uencia para un PVDF a una temperatura superior a laTg [72].
Colucci et al [73] argumentan que la densicación es consistente con la hipótesis de "ace- leración del envejecimiento" de Myers et al [74]. El envejecimiento físico puede ser borrado al calentar el polímero por encima de laTg durante un ciento periodo de tiempo y enfriarse
hasta la temperatura original; en este proceso el volumen especíco incrementa. Antes de proseguir, es necesario denir algunos conceptos para comprender mejor el fenómeno de envejecimiento y como este se encuentra relacionado con las deformaciones volumétricas. 2.3.3.1. Volumen especíco y volumen libre
Una forma alternativa para explicar el fenómeno de envejecimiento es mediante el concepto de volumen libre. El volumen libre se dene como el volumen que no es ocupado por mo- léculas poliméricas (ver gura 2.14). Las variaciones en el volumen libre es debido a una redistribución en los huecos de la fase amorfa.
Figura 2.14: Estado cristalino de un polímero y volumen libre en estado amorfo [71].
Una forma de explicar el envejecimiento de un polímero es mediante el concepto de volumen libre y volumen especíco. El volumen libre se muestra en la gura 2.15. Cuando un polímero epóxico se encuentra en una rampa de enfriamiento2, el volumen especíco tiende a disminuir
en función de la temperatura. Lo anterior es debido a una disminución en el movimiento molecular. Se puede observar en la gura 2.15, que la temperatura de enfriamiento no dismi- nuirá indenidamente sino hasta una cierta temperatura en la que el movimiento molecular será mínimo, lo cual provocará que el volumen especíco deje de disminuir a una razón como la mostrada inicialmente en la rampa de enfriamiento. Como se observó al inicio de la rampa de enfriamiento, la relación entre el volumen especíco de un polímero y la temperatura es lineal a temperaturas elevadas. Lo anterior es mostrado por la línea de equilibrio amorfo en la gura 2.15. A través de esta porción de línea sobre las curvas, la estructura molecular se encuentran en un estado de equilibrio energético para una temperatura dada. Ésto es, para una temperatura ja predeterminada, el volumen especíco permanece sin cambios. Lo anterior es conocido como la fase hulosa del polímero. Una consecuencia de seguir enfriando al polímero por debajo de una temperatura de inexión, es la disminución del volumen libre debido a una disminución en el volumen especíco en función de la temperatura con una diferente rampa de enfriamiento (ver gura 2.15). El punto donde ocurre este cambio es conocido como la temperatura de transición vítrea (Tg). En la gura 2.15 se puede observar
que el volumen especíco y laTgdependen de la velocidad de enfriamiento aplicada al polí-
mero a través de la fase hulosa. Se puede observar que para velocidades altas de enfriamiento (q1> q2) tienden a acumular una mayor cantidad de volumen libre y también, es apreciable la dependencia de laTg en la velocidad de enfriamiento [71]. En la gura 2.15 se ilustra una
comparación entre los puntos A y B que les corresponde una velocidad de enfriamientoq1y q2respectivamente. Hasta este punto el volumen libre es mayor que en el estado de equilibrio del polímero. Esta contracción viene acompañada de una menor movilidad molecular en el polímero. Finalmente, a la zona que se encuentra fuera de la línea de equilibrio en la gura 2.15 se le denomina rango de envejecimiento [81].
2 Esto es, un polímero se encuentra a cierta temperatura y posteriormente disminuye progresivamente
Figura 2.15: Volumen especíco vs temperatura para un polímero epóxico. La región som- breada indica la cantidad de volumen libre en el polímero [71].
2.3.3.2. Entalpía especíca
A pesar de que el volumen especíco es una medida útil para estimar el envejecimiento físico y su inuencia sobre laTg. Esta medida no captura los cambios en la estructura molecular
debido al fenómeno de envejecimiento. Por lo tanto, la entalpía especíca se considerará con