Modelos de representación terrestre

El estudio de la forma y dimensiones de la Tierra es, desde la antigüedad, uno de los problemas científicos de mayor interés. La necesidad de materializar las rutas de comunicación entre la metrópoli y las colonias y el establecimiento de límites fronterizos, tanto individuales como colectivos, motiva desde los primeros tiempos el origen de disciplinas como la Cartografía y la Topografía.

Estos aspectos expresan un carácter local –origen de observaciones astronómicas– o regional -cartas náuticas y mapas de dominios próximos- en la concepción del planeta Tierra. Es con el transcurso del tiempo, y no sin muchas vicisitudes negati- vas, cuando en los siglos XVII y XVIII se plantea la necesidad de un conocimiento global del planeta. Surge así la Geodesia, como ciencia que se ocupa del estudio de la forma y dimensiones de la Tierra.

Si bien es cierto que con anterioridad a los siglos XVII y XVIII ya se habían rea- lizado medidas geodésicas –determinación del radio terrestre, Eratóstenes (siglo II a. de C.), Califato de Al-Mamum (año 833), Fernel (1528)– es en estos siglos cuando la Geodesia empieza a desarrollarse de forma considerable.

Las teoría de la triangulación y nivelación geodésica –Snellius (1615)–, y el de- sarrollo de instrumentos más precisos –regla bimetálica, teodolitos, sextantes y cuadrantes– suponen un cambio radical, tanto en las observaciones geodésicas como en los resultados obtenidos.

Newton, en 1687, establece que la Tierra tiene forma de un esferoide achatado por los Polos, en contraposición con Cassini, que sostiene que el achatamiento terrestre se manifiesta en el Ecuador. Esta discusión sobre la forma de la Tierra lleva a la Academia Real Francesa a organizar dos expediciones, una a Laponia y otra a Perú. En ambas expediciones se mide un grado de arco de meridiano y en 1744, a la vista de dichos resultados, Maupertius establece que, en concordancia con las teorías de Newton, la Tierra es un esferoide achatado por los Polos. En 1795, Gauss define el geoide, o superficie equipotencial coincidente con el nivel

medio de los mares en reposo como nueva superficie de referencia terrestre. Por otra parte, Laplace, en 1796, combina diversas medidas de arco de meridiano, estableciendo un aplanamiento terrestre de 1/250.

El gran impulso a la Geodesia dado por el Racionalismo Ilustrado, unido al di- seño y construcción de instrumentos cada vez más exactos y precisos, produce resultados cualitativa y cuantitativamente significativos a lo largo de todo el siglo XIX. Entre estos resultados destaca el establecimiento como superficie de refe- rencia terrestre de diferentes elipsoides de revolución, dotando de un carácter geométrico global a la Geodesia, del que el geoide como superficie física carecía. Se pueden destacar los diferentes modelos elipsódicos establecidos durante este período: Struve (1817), Gauss (1824), Everest (1830), Airy (1830), Bessel (1840) y Clarke (1880).

Actualmente, los modelos de representación terrestre se denominan Sistemas Geodésicos Globales y establecen un marco de referencia básico para asignar coor- denadas geodésicas a estaciones situadas sobre la Tierra, una figura geométrica de referencia y un modelo gravitacional. Además, proporcionan las expresiones para relacionar posiciones referidas a un sistema local con un sistema de coordenadas geocéntrico dotado del mismo movimiento de rotación que la Tierra.

El Sistema de Referencia Global (World Geodetic System 1984, WGS-84) se de- fine utilizando datos procedentes de seguimientos de satélites TRANSIT y Láser, medidas gravimétricas realizadas sobre la superficie de la Tierra y ondulaciones del geoide obtenidas mediante satélites altimétricos para regiones oceánicas si- tuadas en latitudes entre 70o_{N y 70}o_{S, aproximadamente.}

Definición 8.3 Las principales superficies que podemos establecer sobre la Tierra

son:

Superficie topográfica terrestre ... superficie real de la Tierra.

Esfera terrestre ... superficie de referencia de la Tierra en primera aproximación. Se suele considerar como radio de esta esfera R = 6371 Km.

Geoide ... superficie equipotencial que coincide con el nivel medio de los mares en reposo. Esta superficie es la superficie de referencia de las altitudes terrestres que se obtienen por nivelación geodésica. Por cada punto de la superficie topográ- fica terrestre pasa una única superficie equipotencial y la dirección normal a esta superficie coincide con la línea de la plomada. Además, las superficies equipoten- ciales no son paralelas.

Elipsoide de revolución ... superficie de referencia de las coordenadas geodésicas angulares –latitud y longitud– de un punto sobre la superficie topográfica terrestre, dotando de carácter global a la Geodesia. Se relaciona con el geoide mediante la ondulación del geoide. En la actualidad se utiliza el elipsoide de revolución que contiene el Sistema Geodésico Global WGS-84, y cuyos parámetros geométricos son: a = 6378,775 Km. y b = 6356,752 Km.

Elipsoide de referencia Geoide Superficie equipotencial Superficie topográfica terrestre Normal

elipsódica _{Vertical del lugar}

Horizonte

Figura 8.7: Modelos de representación de la Tierra

En el modelo esférico terrestre se definió la latitud de un lugar como el ángulo determinado por la dirección de la vertical, o línea de la plomada, en dicho lugar con el plano del ecuador terrestre.

Puesto que en el modelo esférico coinciden el plano del horizonte con el plano tangente a la esfera en el punto, la dirección de la línea de la plomada coincide con la dirección normal al plano tangente a la esfera terrestre, y, además, ambas direcciones pasan por el geocentro.

Sin embargo, en el modelo elipsódico, la dirección normal al plano tangente al elipsoide de revolución en el punto no coincide con la dirección de la línea de la plomada, ni tampoco coincidirá con la dirección que definen el geocentro y el punto.

Definición 8.4 Si consideramos un modelo elipsódico terrestre para un punto si-

tuado sobre la superficie terrestre podemos definir:

Latitud geocéntrica ϕ0_{... ángulo formado por el radio vector geocéntrico del punto}

con el ecuador terrestre.

Latitud geodésica ϕ ... ángulo formado por la normal al elipsoide en el punto con el ecuador terrestre.

Latitud astronómica φ ... ángulo formado por la vertical del punto con el ecuador terrestre.

En Geodesia se denomina desviación de la vertical a la diferencia ϕ − φ. En los desarrollos posteriores consideraremos que ϕ ' φ, y en el modelo esférico, que ϕ ' ϕ0_{' φ.} φ ϕ' ϕ Elipse meridiana s.t.t. N S Vertical del lugar Normal elipsódica

Figura 8.8: Latitudes geocén-

trica, geodésica y astronómica Proposición 8.6 En un modelo elipsódico terrestre, la relación entre las latitudes

geocéntrica ϕ0 _{y geodésica ϕ de un punto viene dada por}

tan ϕ = a

2

siendo a y b los semiejes mayor y menor del elipsoide de revolución.

Demostración. Consideremos sobre el elipsoide de revolución la ecuación de la elipse meridiana que pasa por un punto cuyas coordenadas cartesianas respecto de esta elipse son (x, y) x2 a2 + y2 b2 = 1. (x,y) x y r ϕ' ϕ Elipsemeridiana 90−ϕ 90+ϕ

Figura 8.9: Elipse meridiana y ángulos relacionados Derivando dicha expresión se tiene que

2x a2 dx + 2y b2 dy = 0 ⇒ dy dx = − b2 a2 x y.

Por otra parte, como

tan ϕ0 = y x, y dy dx = tan (90 o + ϕ),

se tiene que tan (90o

+ ϕ) = −b 2 a2 cot ϕ 0 , de donde tan ϕ = a 2 b2 tan ϕ 0 .

Partiendo de un punto (x, y) de la elipse meridiana de un elipsoide de revolución de semiejes mayor y menor a y b, podemos establecer los puntos de coordenadas (xb, y) y (x, ya). Ambos puntos están situados sobre las circunferencias de radios

b y a, respectivamente, y, además, sobre el mismo radio vector geocéntrico.

Definición 8.5 Al ángulo determinado por este radio vector geocéntrico con el

ecuador terrestre se le denomina latitud reducida del punto.

a b r x y u PSfrag replacements (x, yu) (xu,y) (x, y) ϕ0

Figura 8.10: Latitud reducida Proposición 8.7 Las expresiones que relacionan las latitudes geocéntrica y geodési-

ca con la latitud reducida vienen dadas por:

tan ϕ0 ₌ b

a tan u, tan ϕ = a b tan u,

Dado que las ecuaciones paramétricas de la elipse meridiana en función de la latitud reducida son _

x = a cos u, y = b sen u,

y que, el radio terrestre es r2 _{= x}2 _{+ y}2_{, para calcular el valor del radio en}

un punto de la superficie terrestre bastará calcular la latitud reducida en dicho punto.