8. Inestabilidades y regi´ on de violaci´ on cronol´ ogica
10.2. Movimiento en el plano ecuatorial
Los aspectos fundamentales del movimiento geod´esico en el espaciotiempo de Kerr fueron acu˜nados en el trabajo pionero de Brandon Carter [30]. En ese trabajo, se demostr´o que existe una tercera integral de
10.2. MOVIMIENTO EN EL PLANO ECUATORIAL 123 movimiento en el espaciotiempo de Kerr. Junto con las asociadas a las dem´as simetr´ıas de este espaciotiempo este descubrimiento permite separar la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi, haciendo que sea posible resolver este problema utilizando el m´etodo de cuadraturas.
En esta tesis trabajaremos con campos electromagn´eticos que no alteran las simetr´ıas del espaciotiempo y que no son generados en forma consistente por la distribuci´on de materia. Por este motivo, junto con la masa en reposo,m0, y la carga, e, de la part´ıcula, se conservan, a lo largo de la trayectoria, el momento
angular can´onico y la energ´ıa que pueden expresarse como:
L=Uφ+eAφ, −E=Ut+eAt,
donde las cantidades fueron escritas normalizadas respecto a la masa en reposo de la part´ıcula por lo que la misma no aparece en forma expl´ıcita.
A continuaci´on, presentamos las componentes no nulas de la 4−velocidad de una part´ıcula que recorre una de estas trayectorias [124]:
Uφ= [Σ −2Mr]Uφ sen2θ −2aM rUt Σ∆ , U t= − (r2+a2)2 −∆a2sen2θ + 2aM rUφ Σ∆ .
Es importante remarcar que existe una teor´ıa que permite estudiar trayectorias mucho m´as generales en este espaciotiempo. No la presentamos ya que para nuestro estudio no resulta necesario. Simplemente mencio- naremos que este problema fue, recientemente, resuelto en forma anal´ıtica y que las expresiones para las trayectorias pueden ser escritas expl´ıcitamente utilizando las funcionesP,ζyσde Weierstrass [134].
Al restringir el estudio a trayectorias ecuatoriales podemos definir un potencial efectivo,Vef, que determina
la ecuaci´on radial de movimiento [135]. Normalizando respecto de la masa, M, del objeto compacto (pero preservando la notaci´on que utilizamos hasta el momento), la expresi´on para el potencial efectivo viene dada por [124]:
Vef =E=−At+
K
R, (10.1)
donde se han definido las cantidades: K= 2a(L−Aφ) +
q
∆ (r2(L−A
φ)2+rR) R=r3+a2r+ 2a2.
10.2.1.
El caso no magnetizado
Dada la simpleza matem´atica que involucra, estudiar el movimiento geod´esico ecuatorial de part´ıculas masivas en un fondo de Kerr, es ´util ya que permite comprender aspectos generales de a teor´ıa sin los c´alculos m´as voluminosos, aunque conceptualmente equivalentes, involucrados en el caso donde un campo de inducci´on magn´etica est´a presente.
Es importante notar que el movimiento de part´ıculas cargadas o neutras en el espaciotiempo de fondo de Kerr es totalmente equivalente ya que la carga de ´estas no aparece en las ecuaciones de movimiento por lo que resulta irrelevante. Para estudiar este caso, se trabaja con la expresi´on para el potencial efectivo (10.1) anulando todas las componentes del potencial vector,Ab.
Las ecuaciones b´asicas que definen a las geod´esicas circulares ecuatoriales se obtienen al imponer, en las ecuaciones de movimiento, las condiciones ˙r = 0 y ¨r = 0 junto con la exigencia de que la trayectoria est´e contenida en el plano ecuatorial,θ=π/2. En el formalismo de potencial efectivo en el que trabajamos, las dos primeras condiciones se traducen a:
Vef(rc;L, E) = 1 2(E 2 −1), dVef dr |r=rc= 0, (10.2)
dondercdenota el radio de una geod´esica circular arbitraria. Una vez fijados los par´ametros que caracterizan
espaciotiempo estas dos ecuaciones determinan el valor posible para rc para un determinado valor de la
energ´ıa,E, y de momento angular,L.
Del mismo modo que se trabaja en mec´anica celeste cl´asica en el problema de dos cuerpos, definiremos una nueva variable radial,u= 1/r. Luego de realizar este cambio de variable, el sistema de ecuaciones (10.2)
124 CAP´ITULO 10. EFECTO DEL CAMPO MAGN ´ETICO SOBRE...
puede expresarse de la siguiente manera: −u+1 2 L2 −a2(E2 −1) u2 −(L−aE)u3 = 1 2(E 2 −1), −1 + [L2 −a2(E2 −1)]u−3(L−aE)u2 = 0.
Combinando ambas ecuaciones, introduciendo una nueva variable conservada, x=L−aE, y acomodando (apropiadamente) los t´erminos, se obtienen dos ecuaciones b´asicas que determinan el momento angular y la energ´ıa que posee una part´ıcula que sigue la trayectoria bajo estudiando. Las ecuaciones simplificadas son:
E2= (1−u) +x2u3, 2xaEu=x2u(3u−1)−(a2u−1). Luego de eliminarE, se obtiene la siguiente ecuaci´on bicuadr´atica parax:
u2
(3u−1)2−4a2u3
x4−2u
(3u−1)(a2u−1)−2ua2(u−1)
x2+ (a2u−1)2= 0, que puede resolverse sin ning´un tipo de problemas. De esta forma,x2 puede expresarse como:
x2= (a √u
±1)2
u(1−3u∓2a√u3), (10.3)
donde el signo menos (m´as) corresponde a ´orbitas derotaci´on directa (retr´ograda), es decir aquellas en las que el movimiento de la part´ıculaacompa˜na (es contrario)la rotaci´on propia del espaciotiempo de fondo.
Con este estudio se pretende modelar un disco de acreci´on, por esta raz´on se debe prestar especial atenci´on a la estabilidad de las ´orbitas bajo estudio. Luego de realizar este estudio, puede concluirse que, de los dos valores posibles paraxdebe elegirse el negativo. De este modo, obtenemos que las expresiones para la energ´ıa, E, y el momento angular,L, para ´orbitas estables, circulares y ecuatoriales vienen dadas por:
E= 1−2u∓au 3/2 √ 1−3u∓au3/2, L=∓ 1 +a2u2 ±2au3/2 √u√1 −3u∓2au3/2.
Continuando con el an´alisis de estabilidad, tambi´en debe exigirse la condici´on d2V
ef/du2 ≥ 0 para que
la ´orbita resulte estable. La llamada ´orbita marginalmente estable (o ´ultima ´orbita circular estable) es aquella para la cual la desigualdad se satura. Esta ´orbita es particularmente importante, motivo por el cual prestaremos gran atenci´on en ella. Para obtener su expresi´on, la idea b´asica es remplazar las expresiones que obtuvimos paraE,L yxen la que define a la uoce. Al resolver la ecuaci´on resultante, obtendremos la expresi´on parauuoce. Realizando este procedimiento, arribamos a la siguiente condici´on:
1−3a2u2−6u∓8au3/2= 0,
que, al ser escrita nuevamente en la coordenada radial de Boyer-Lindquist, se vuelve:
r2−6r−3a2∓8ar1/2= 0, (10.4)
donde mantenemos la convenci´on de doble signo que usamos en la ecuaci´on (10.3). Esta ecuaci´on cu´artica completa en√rpuede resolverse de manera anal´ıtica utilizando procedimientos est´andar, la soluci´on que se obtiene puede expresarse como:
ruoce= 3 +Z2− p (3−Z1) (3 +Z1+ 2Z2), (10.5) donde: Z1= 1 + 1−a2 1/3h (1 +a)1/3+ (1−a)1/3i, Z2= q 3a2+Z2 1.
En el caso de un espaciotiempo de Schwarzschild, se obtiene que ruoce = 6M. Para el caso particular del
espaciotiempo de Kerr extremo, la ´ultima ´orbita estable en rotaci´on directa tiene un radio ruoce = M,