7. Modos inestables y potenciales de Debye
7.2. Reconstrucci´on para el caso de campos de Maxwell
Para el caso de campos de Maxwell el valor del peso de esp´ın de la perturbaci´on es |s|=±1. La forma de los operadores y campos involucrados en (7.1) es la siguiente:
f =Ab, [E(Ab)]a=∇c∇cAa− ∇c∇aAc, y, paras= 1, T1(Ab) = lamb(∇aAb− ∇bAa), S1(Ja) = 1 2(δ−β−α−2τ+π)(jcl c) −12(D−2ρ−ρ)(jcmc), O1(Ψ1) = (D−2ρ−ρ)(∆ +µ−2γ)Ψ1−(δ−β−α−2τ+π)(δ+π−2α)Ψ1,
donde utilizamos la notaci´on est´andar para las tetradas nulas (ver laAp´endice Apara m´as detalles). El operadorT1, hace emerger la parte autodual del tensor de campo electromagn´etico,Fab. Es por este
motivo que el potencial complejo que calculamos a partir del potencialST
1 ( ˆΨ1) y que se construye a partir
de la semillaOT
7.2. RECONSTRUCCI ´ON PARA EL CASO DE CAMPOS DE MAXWELL 77 La ecuaci´on traspuesta de Teukolsky,OT
1 ( ˆΨ1), puede expresarse como: h
S1T( ˆΨ1) i
b= [−lb(δ+ 2β+τ) +mb(D+ρ)] ˆΨ1.
Corroborar que la derivada exterior del tensorHabsatisface las ecuaciones de Maxwell en ausencia de fuentes,
es equivalente a notar que todas las contracciones de ´el con cualquiera de las tres 2-formas anti autoduales (ver [67]) que se obtienen a partir de la conjugaci´on compleja de:
¯
m[anb], n[alb]+m[am¯b], l[amb],
se anulan como consecuencia de la ecuaci´onOT
1 ( ˆΨ1) = 0.
Para evaluar el comportamiento del tensor (real) de Maxwell,Fab, en un entorno de la singularidad anillo,
puede estudiarse el comportamiento de sus invariantes algebraicos linealmente independientes:I1:=FabFab
e I2 := Fab∗Fab. En lugar de estas dos cantidades reales, podemos calcular I := HabHab = I1+iI2, el
invariante complejo que contiene la misma informaci´on. Adem´as, los c´alculos involucrados se facilitar´an, dado que no es necesario trabajar con cantidades reales hasta el final de los mismos.
Consideremos una soluci´on general a la ecuaci´on maestra de Teukolsky cuandos=−1, cuya parte radial est´a dada por R(r), su parte angular porS(θ) y de frecuenciaω. Para dicho modo, el t´ermino dominante del desarrollo en el entorno de la singularidad anillo del invariante complejo viene dado por:
I≃2 R(r)dS(θ)dθ −iaS(θ)dR(r)ρdr 2 (r+iacosθ)4 e( 2iωt a). (7.3)
Una inspecci´on de (7.3) permite ver el resultado que adelantamos. Sin tener en cuenta al factor e(2iωta),
la expresi´on para el t´ermino dominante del invariante ser´a la misma sin importar la naturaleza de ω. Es decir, este comportamiento es una propiedaduniversaldel campo por lo que no depende de la naturaleza (in)estable del mismo.
Analicemos si el nivel de divergencia que presenta dicho campo en el entorno de la singularidad anillo puede o no ser consideradoaceptable.
Para esto lo compararemos con el campo de Maxwell est´atico que se obtiene a partir del espaciotiempo de Kerr-Newman, una soluci´on exacta de a las ecuaciones de Einstein-Maxwell. El mismo viene dado por:
F =dA, A= Qr
Σ dt−asen
2θdφ
. (7.4)
Notemos lo siguiente, dado que la m´etrica de Kerr-Newman es cuadr´atica enQ, podemos interpretar a este campo como una soluci´on a las ecuaciones de Maxwell en un espaciotiempo de fondo de Kerr fijode primer ordenenQ. Dado que las ecuaciones de Maxwell son lineales, tenemos que (7.4) es una soluci´onexactaen el espaciotiempo de Kerr. Para este campo est´atico, puede calcularse su invariante de campo complejo:
Iest=−
Q2
2(r−iacosθ)4. (7.5)
La ecuaci´on (7.5) muestra el mismo tipode comportamiento divergente en las cercan´ıas de la singularidad anillo que el presentado por la perturbaci´on lineal inestable obtenida para campos electromagn´eticos (ver
7.3). Podemos ver que esta ´ultima es menor en algunas direcciones, ya que como vimos al estudiar el com- portamiento de las funciones radial y angular, las mismas est´an bien comportadas en r = 0 y θ = π/2 respectivamente. Contrario a lo que pasa para el campo de Kerr-Newman, que asint´oticamente decae lenta- mente (comor−4), la perturbaci´on inestable que encontramos presenta, en el caso de la SDK, decaimientos
exponenciales para|r| → ∞(ver elCap´ıtulo 5). Al analizar la regi´on KIII, notamos el mismo tipo de com- portamiento asint´otico cuandor→ −∞y como una potencia der−rHC en el horizonte de Cauchy (ver el Cap´ıtulo 6).
Este an´alisis permite concluir que, al igual que la soluci´on exacta de Kerr-Newman, este tipo de soluciones a las ecuaciones linealizadas de Maxwell deben ser consideradasf´ısicamente aceptablesya que presentan los mismos comportamientos espaciales en el entorno de la singularidad anillo y decaimientos asint´oticos inclusive m´as r´apidos.
78 CAP´ITULO 7. MODOS INESTABLES Y POTENCIALES DE DEBYE
A modo de conclusi´on: obtuvimos soluciones a las ecuaciones linealizadas de Maxwell en el espaciotiempo de Kerr s´uper extremo y en el interior de un agujero negro de Kerr con comportamientos espacialesf´ısicamente aceptables y que presentan un comportamiento exponencialmente creciente en el tiempo. Llamamos a estos modos, soluciones inestables o resonancias.
Dada la naturaleza no lineal de las ecuaciones de Einstein, creemos que estos modos electromagn´eticos inestables servir´an como fuente para excitar los modos gravitacionales inestables cuya existencia hemos de- mostrado. Entendemos que este es un mecanismo completamente viable para desestabilizar, completamente, tanto a la singularidad desnuda de Kerr como a la regi´on interna del agujero negro. Intentar demostrar esta idea forma parte de los proyectos a futuro (verCap´ıtulo 13).
Cap´ıtulo 8
Inestabilidades y regi´on de violaci´on
cronol´ogica
Y junto a la indiferencia por el espacio, hab´ıa una indiferencia igualmente completa por el tiempo. -Se dir´ıa que hay tiempo de sobra.- Era todo lo que contestaba cuando el investigador me ped´ıa que le dijera lo que yo sent´ıa acerca del tiempo. Hab´ıa mucho tiempo, pero no importaba saber exactamente cuanto. Hubiera podido, desde luego, recurrir a mi reloj, pero mi reloj, yo lo sab´ıa, estaba en otro universo. Mi experiencia real hab´ıa sido, y era todav´ıa, la de una duraci´on indefinida o, alternativamente, de un perpetuo presente formado por un apocalipsis en continuo cambio.
Aldoux Huxley, “Las Puertas de la Percepci´on”.
En este cap´ıtulo pretendemos mostrar v´ınculos entre diferentes aspectos del espaciotiempo de Kerr y su relaci´on con los modos inestables cuya existencia hemos demostrado en lo que es uno de los resultados centrales de la segunda parte de esta tesis.
El espaciotiempo de Kerr posee un vector de Killing axial que en este cap´ıtulo denotaremos comoζa, y que
en coordenadas de Boyer-Lindquist coincide con∂φ. Es importante notar que el mismo cambia su naturaleza
y se transforma en un vector tipo tiempo en la regi´on que se denomina la m´aquina de tiempo, T (ver la
Subsecci´on 2.2.6). La regi´on T est´a formada por aquellos eventos cuyas coordenadas de Boyer-Lindquist satisfacen la relaci´on dada por:
(r2+a2cos2θ)(r2+a2) + 2M a2rsen2θ <0.
Ahora analicemos la naturaleza de la ecuaci´on en derivadas parciales que se obtiene al restringir la ecuaci´on maestra de Teukolsky (5.1) al espacio de funciones axiales, es decir aquellas que satisfacen £ζΨ = imΨ, donde con£ζ denotamos a la derivada de Lie en la direcci´on del vectorζ. Veremos que en esta regi´on del espaciotiempo la ecuaci´on (5.1) cambia su naturaleza de hiperb´olica a el´ıptica. Para realizar esta demostra- ci´on, notemos que los t´erminos con derivadas segundas (los que determinan la naturaleza de una ecuaci´on en derivadas parciales) son independientes del peso de esp´ın. Por este motivo son iguales a los de la ecuaci´on de onda escalar: 0 =gab∇a∇bΨ = 1 p |g|∂a p |g|gab∂bΨ ∼gab∂a∂bΨ∼ gab−ζ aζb ζcζ c ∂a∂bΨ. (8.1)
En la expresi´on (8.1) utilizamos el s´ımbolo∼para indicar que dos expresiones son“iguales salvo t´erminos de derivadas de menor orden”. Hacemos esto dado que la naturaleza de una ecuaci´on en derivadas parciales