CAPÍTULO I. Marco de referencia en torno al proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática
3.2. Núcleos temáticos
3.2.1. Núcleo Temático1: Elementos primarios de la geometría
En este los ejercicios están destinados a que permitan consolidar las propiedades de las figuras geométricas estudiadas a través de la visualización.
1- Representar puntos, segmentos y rectas.
1.1- Ángulo formado por la recta y la parte posita del eje “OX”, relación entre este ángulo y la pendiente de la recta.
1.2- Análisis de la monotonía de la recta y su relación con el valor de la pendiente. 1.3- Relación de posición entre rectas.
1.4- Determinar si tres puntos cualesquiera están o no alineados.
1.5- Análisis de la desigualdad triangular y a partir de ella obtener las propiedades de distancia, es decir.
D1) d
x,y 0x y x,yE D2) d(x,y)d
y,x x,yED3) d
x,z d x,y d y,z x,y,zEConcepto este muy importante en análisis matemático y la topología al tratar los espacios métricos.
2- Representar triángulos y cuadriláteros.
2.1- Clasificación de triángulos según sus lados y según sus ángulos. 2.2- Trazado de las rectas notables en el triángulo.
Capítulo 3
2.3- Demostración de propiedades inherentes a triángulos y/o a cuadriláteros.
Resulta importante que en este primer núcleo temático el estudiante se familiarice con el uso del asistente, por tal motivo, las actividades inherentes en este, se diseñaron a partir de sustituir clases prácticas por actividades de laboratorio donde predominó el trabajo conjunto dado por la relación profesor-estudiante y estudiante-estudiante.
Para evaluar el desempeño de los estudiantes en esta primera etapa se le orientaron actividades para el estudio independientes que le permitieran desarrollar habilidades tanto en el manejo del asistente como en las propiedades de las figuras.
Empleando el procedimiento general se dará solución a uno de los ejercicios correspondientes al núcleo temático 1:
Dado los puntos P1
x1,y1
, P2
x2,y2
y P3
x3,y3
. Determine si están o no alineados.Proceso de solución:
1- Se representan en un sistema de coordenadas los tres puntos. 2- Se determinan las longitudes P1P2, P2P3 y P1P3.
3- Se comprueba si P1P2 + P2P3 = P1P3, en caso afirmativo están alineados y se representa la recta.
4- Si P1P2 + P2P3 > P1P3, entonces no están alineados y aquí se obtiene un resultado muy importante dentro de las matemáticas, la desigualdad triangular.
Dados los puntos:
a) A(2, -3), B(4, 0) y C(6,3) b) A(2, -3), B(4, 0) y C(6, 5) Determine si están o no alineados
62 Capítulo 3 1 1 B(4, 0) A(2, -3) C(6, 3) 3,61 cm 3,61 cm BC = 7,22cm AC = Los puntos están alineados AB + BC = AC AB = Figura 9a) 1 1 B(4, 0) A(2, -3) 3,61 cm BC = Los puntos no están alineados AB + BC > AC AB = C(6, 5) 5,39 cm 8,94 cm AC = Figura 9b)
Este es el momento de valorar con los estudiantes sobre la base de lo que visualmente han llegado, para precisar sobre las propiedades de distancia y arribar a la definición de espacio métrico.
Sea el par (E, d) E es un conjunto cualquiera y d una aplicación (d:ExE) que cumple los axiomas siguientes:
D1) d
x,y 0x y x,yE D2) d(x,y)d
y,x x,yED3) d
x,z d x,y d y,z x,y,zECapítulo 3 Ejemplo 2:
“Demostrar analíticamente que las diagonales de un cuadrilátero se cortan en su punto medio si y solo si es un paralelogramo”
Este ejercicio se escogió porque constituye un teorema y además de doble implicación que al ser resuelto se debe analizar en un sentido y en el otro, es decir:
Si las diagonales de un cuadrilátero se cortan en su punto medio entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.
Si en cuadrilátero es paralelogramo entonces sus diagonales se cortan en su punto medio. Proceso de solución:
1- Sin perder generalidad se ubica uno de los vértices del cuadrilátero sobre el origen de coordenadas y otro sobre la parte positiva del eje “ox”, el tercer vértices se ubica en cualquier punto del plano, se determina el punto medio (M) de este con respecto al origen, luego se traza por este punto y el que estaba sobre el eje un segmento donde M equidiste de los extremos, se obtiene así el cuarto vértices, solo queda comprobar ahora que ciertamente el cuadrilátero obtenido es un paralelogramo.
2- ¿Cómo se verifica? Se comparan los lados opuestos con respecto a su longitud y su paralelismo, para ello contamos con opciones que brinda el software.
3- Se expresa ahora la forma analítica y se formaliza lo que de ante manos se sabe que es cierto.
Observación:
Una vez analizado los elementos básicos necesarios para elaborar la respuesta, se pueden hacer determinadas animaciones que ayuden a inferir como dadas estas premisas y se llega a la conclusión, es decir en el propio proceso de obtención de la demostración se logra enunciar el teorema.
64 Capítulo 3 1 1 A B C D (0,00; 0,00) (3,58; 0,00) (5,53; 3,45) (1,95; 3,45) (2,76; 1,72) Hipótesis
Las diagonales se cortan en el punto medio
Conclusión
ABCD es un paralelogramo
3,96 cm 3,96 cm Los objetos son paralelos
Figura 10 Con procedimiento análogo demostramos
1- Sin perder generalidad se ubica uno de los vértices del paralelogramo sobre el origen de coordenadas y otro sobre la parte positiva del eje “OX”, el tercer vértices se ubica en cualquier punto del plano, se traza por el tercer punto una recta paralela al eje “OX” y por el origen una paralela al lado opuesto, esto garantiza haber trazado un paralelogramo, seguidamente se trazan las diagonales, solo queda comprobar que se bisecan.
2- ¿Cómo lo se verifica? Se comprobando el punto de intersección de las diagonales equidista de los extremos de estas, para ello se constata con opciones que brinda el software.
3- Ahora solo resta expresarlo en la forma analítica y se formaliza lo que de ante manos se sabe es cierto.
Observación:
Una vez analizado los elementos básicos necesarios para elaborar la respuesta, se pueden hacer determinadas animaciones que ayuden a inferir como dadas estas premisas y se llega a la conclusión, es decir en el propio proceso de obtención de la demostración se logra enunciar el teorema.
Capítulo 3 1 1 A B C D (0,00; 0,00) (3,58; 0,00) (5,53; 3,45) (1,95; 3,45) (2,76; 1,72) Hipótesis ABCD es un paralelogramo Conclusión
Las diagonles se bisecan
?
Figura 11 Ejemplo 3:
Dados los puntos A (1, -1), B (5, 1) y C (1, 5) son los vértices de de un triángulo.
Prueba que el circuncentro, el ortocentro y el baricentro están sobre la misma recta (recta de Euler).
Proceso de solución
1- Se visualiza el objeto, es decir se representa el triángulo en el sistema de coordenadas, luego se buscan el ortocentro, el baricentro y el circuncentro.
2- Se comprueba que los tres puntos hallados están en una misma recta, esto de manera gráfica.
3- Se expresa analíticamente el resultado y se formaliza lo que sabemos es cierto. Observación:
Es bueno realizar cambios en la posición de los puntos y que el estudiante observe que este mantiene las características invariante, por lo que se puede enunciar la propiedad, precisamente el teorema sobre la recta de Euler.
66 Capítulo 3 1 1 C A B
Los puntos están alineados
Figura 12
Los ejercicios propuestos se muestran en el anexo (19):