Nivel académico, capacitación y formación profesional

ZOLTÁN FEHÉR

ABSTRACT. This article discusses about some characteristic points of mathematical

competencies of the students of economical studies. We analyze and describe mistakes of students’ solutions of two tasks from theory of probability.

Úvod

V školských laviciach našich základných škôl nájdeme veľa nadaných žiakov, aj žiakov s dobrými schopnosťami, ale vo väčšine sa nachádzajú tí, ktorí matematiku ovládajú len na priemernej úrovni. Pre väčšinu žiakov tiež platí, že po ukončení školy sa ďalej nebudú zaoberať matematikou. Našou úlohou vo vyučovaní matematiky je, aby sme žiakov pripravili na riešenie problémov, s ktorými sa s veľkou pravdepodobnosťou budú stretávať v živote, a majú matematický charakter. Platí to viacnásobne v prípade žiakov, ktorí o tento školský predmet majú menší záujem, aby sme hlavne im ukázali užitočnosť matematiky. Ani pre žiakov, ktorí sa rozhodli pokračovať v štúdiu na vysokej škole, ale ich záujem sa spája s inou vednou oblasťou, ešte neznamená, že nebudú potrebovať využiť matematické vedomosti. Vo vysokoškolských študijných odboroch (nematematických), kde sa vyučujú matematické disciplíny, už nie je hlavným cieľom poukázať na použitie v každodennom živote, ale predovšetkým na možnosti aplikácie matematiky v danom odbore. Do tejto skupiny študentov patria aj študenti ekonomického smeru štúdia. Pre nich je dôležitá matematická disciplína Pravdepodobnosť–Štatistika, keďže v ekonomickej praxi sa v značnej miere vyžaduje aplikácia štatistických metód.

V tomto článku by sme chceli vyšetriť niektoré prvky matematických kompetencií študentov ekonomických odborov. Na ilustráciu použijeme dve úlohy z pravdepodobnosti, zadané v písomnom teste v rámci priebežného hodnotenia študentov z tohto predmetu v druhom ročníku Ekonomickej fakulty Univerzity J. Selyeho v Komárne.

Dve úlohy z pravdepodobnosti na porovnanie matematických kompetencií

Matematické kompetencie sú súčasťou matematickej gramotnosti žiaka. Na základe štúdia OECD PISA sú kompetencie zaradené do troch úrovní (pozri [1]):

- reprodukčná úroveň, úlohy merajúce kompetencie na 1. úrovni charakterizuje reprodukcia naučeného materiálu, vykonávanie rutinných výpočtov a procedúr a riešenie rutinných problémov,

- úroveň prepojenia, úlohy vyžadujú schopnosť prepojenia rôznych oblastí matematiky alebo prácu s viacerými navzájom rôznymi reprezentáciami daného problému. Sú pre ne charakteristické integrácia, prepojenie a nenáročné rozšírenie pre žiaka známeho materiálu, modelovanie a spojenie viacerých pre žiaka známych metód.

- úroveň reflexie charakterizuje potreba rozvinutého uvažovania, argumentácie, abstrakcie, zovšeobecnenia a modelovania použitého v nových kontextoch,

ZOLTÁN FEHÉR

originálneho matematického prístupu, spojenia viacerých zložitejších metód.

Pochopenie významu strednej hodnoty náhodnej premennej patrí medzi základné požiadavky zo štatistiky a z teórie pravdepodobnosti. Strednú hodnotu E(ξ) definujeme ako súčet hodnôt xipi, ak existuje (kde xi je hodnota premennej s pravdepodobnosťou pi). Najmä v prípadoch diskrétnej premennej sa dá jednoducho interpretovať ako vážený aritmetický priemer alebo ako ťažisko sústavy bodov a znázorniť na číselnej osi polohu rovnováhy, ktorá bude práve v bode E(ξ). Preto sa stredná hodnota nazýva aj charakteristikou polohy. Disperzia (rozptyl) je definovaná ako stredná hodnota

(

x_i−E(

_ξ

)

)

2. Teda disperzia je miera rozptýlenia hodnôt náhodnej premennej okolo jej strednej hodnoty. Smerodajná odchýlka je druhou odmocninou disperzie.

Nasledujúce dve úlohy boli súčasťou písomného testu z predmetu „Pravdepodobnosť“ v II. ročníku na Ekonomickej fakulte UJS. Riešilo ich 97 študentov. Vyšetrením týchto úloh chceme poukázať na hlavné charakteristické znaky matematických kompetencií študentov.

1. úloha: Náhodná premenná ξ nadobúda hodnoty: -1, 0, 1, 2 s pravdepodobnosťami P(ξ

= -1) = 1/6; P(ξ = 0) = 1/3; P(ξ = 1) = 1/3; P(ξ = 2) = 1/6. Určte strednú hodnotu a smerodajnú odchýlku náhodnej premennej.

2. úloha: Hádžeme jednou hracou kockou. Ak padne niektorá z hodnôt 1, 3, 5, tak

vyhráme 20 Sk, ak padne 2 alebo 4, vyhráme 10 Sk a v prípade, že hodíme 6, prehráme 80 Sk. Určte strednú hodnotu a smerodajnú odchýlku hodnoty výhry.

Prvá úloha vyžaduje základné vedomosti a rutinný výpočet, preto ju zadelíme do prvej úrovne kompetencií na úrovni reprodukčnej. Úloha bola zadaná s výberom odpovede zo štyroch možností s jednou správnou. Táto forma je vhodná pre úlohy na prvej úrovni kompetencií. Druhá úloha je otvorená slovná úloha, preto očakáva od žiakov hlavne čítanie textu úlohy s porozumením. Vyžaduje schopnosť prepojenia pravdepodobnosti s výpočtom strednej hodnoty, zaradíme ju ako úlohu na druhej úrovni kompetencií na úrovni prepojenia.

Riešenie obidvoch úloh sa zakladá na použití vzorca

∑

=

=

n i i i

p

x

E

1

)

(_ξ

pre výpočet strednej hodnoty a

∑

=

⋅

−

=

n i i i

E

p

x

D

1 2

))

(

(

)

(_ξ

_ξ

pre disperziu, z čoho smerodajná odchýlka sa vypočíta odmocnením. Na výpočet disperzie je vhodnejšie použiť vzťah

) ( ) ( ) (

_ξ

_E

_ξ

2 _E2

_ξ

D = − . V prípade diskrétnej a konečnej náhodnej premennej sa hodnoty xi a pi zapíšu do tabuľky a E(ξ) sa z toho už jednoducho vypočíta. V prvej úlohe sú hodnoty premennej a prislúchajúce pravdepodobnosti dané, preto stačí priamo použiť vzorce na E(ξ) resp. D(ξ). Ak si všimneme rozdelenie pravdepodobnosti, prípadne si aj zakreslíme na číselnej osi, tak zistíme, že je symetrické vzhľadom na hodnotu 0,5. Teda správny výsledok bude E(ξ) = 0,5 a vypočítame D(

_ξ

)= 0,96.

V druhej úlohe predchádzajúci výpočet tvorí druhý krok riešenia, v prvom kroku treba určiť, aké hodnoty má náhodná premenná a hlavne s akou pravdepodobnosťou. Ako ďalej uvidíme práve to robilo značné problémy väčšine študentov. V texte zadané tri peňažné sumy budú číselnými hodnotami náhodnej premennej, v prípade výhry je táto hodnota kladná, pri prehre je záporná. Pravdepodobnosť nastania udalosti v náhodnom pokuse je podiel počtu

Poznámky o úrovni matematických kompetencií študentov ...

priaznivých elementárnych udalostí k počtu všetkých elementárnych udalostí. Teda rozdelenie pravdepodobnosti bude P(ξ = 20) = 3/6; P(ξ = 10) = 2/6; P(ξ = -80) = 1/6. Výpočtom dostaneme pre strednú hodnotu 0, pre smerodajnú odchýlku 36,1.

Vyhodnotenie úloh

Na prvú úlohu odpovedali študenti zakrúžkovaním správnej odpovede zo štyroch zadaných možností A, B, C, D. Pri vyhodnotení sme spočítali počet správnych a nesprávnych odpovedí, ktoré uvádzame v Tabuľke 1.

1. úloha / riešenie Počet študentov Pomer

správne 74 76,3%

nesprávne 23 23,7%

Tabuľka 1: Prehľad riešenia 1. úlohy

Za správne riešenie druhej úlohy sme udelili 6 bodov. Keďže postup riešenia pozostáva z dvoch hlavných krokov, šesť bodov sme rozdelili na 3+3 , teda za správnu tabuľku hodnôt sme udelili 3 body a ďalej po jednom bode za výpočet E(ξ), D(ξ), D(

_ξ

). Prehľad rozdelenia bodového hodnotenia je v Tabuľke 2.

2. úloha / Bodové hodnotenie

Počet študentov Pomer

6 bodov 5 5,2% 5 bodov 1 1% 4 body 6 6,2% 3 body 3 3,1% 0 bodov 34 35,1% neriešil 48 49,5%

Tabuľka 2: Prehľad hodnotenia 2. úlohy

Zo všetkých 97 študentov takmer polovica ani neriešila 2. úlohu. Čiastočné riešenie zadalo 15 študentov (15,5%). Títo študenti boli schopní porozumieť textu úlohy a správne urobiť prvý krok riešenia, ktorý vyžaduje nájsť prepojenie na základe podmienok úlohy a zistiť pravdepodobnosť prislúchajúcu hodnotám náhodnej premennej. Z týchto 15 študentov už len tretina dokázala aj úspešne dokončiť riešenie úlohy, k čomu bolo potrebné vykonať iba rutinné výpočty. Aké chyby urobili, prečo nedokončili riešenie? Aj na tieto otázky sme

ZOLTÁN FEHÉR

hľadali odpovede a pri vyhodnotení riešenia 2. úlohy sme analyzovali aj najčastejšie sa vyskytujúce chyby.

Nula bodov získalo 34 študentov, ktorí z textu chybne zapísali pravdepodobnostné

rozdelenie (tabuľku údajov xi a pi). Je to najčastejšia chyba vyskytujúca sa v riešeniach, predpokladáme že vyplýva z nesprávneho pochopenia textu úlohy. S tým súvisí, že študenti nedokázali zistiť potrebné údaje z kontextu, aj keď vedeli k výpočtu pomocou vzorca, aké hodnoty budú potrebovať. Na základe chybných úvah vznikli rôzne tabuľky čísel, v ktorých sa vyskytovali číselné hodnoty z textu.

V prvom prípade za hodnoty xi náhodnej premennej si zvolili čísla od 1 po 6, ktoré potom kombinovali buď so sumami 20 Sk, 10 Sk, -80 Sk, alebo priradili k tomu pravdepodobnosť. Uvádzame niektoré typické, chybne zapísané tabuľky.

V druhom prípade počet bodov padnutých v hode kockou zapísali aj formálne zle, a preto nevedeli ďalej pokračovať v riešení použitím vzorca.

Z 34 študentov bolo 9 študentov, ktorí aj z nesprávnej tabuľky údajov vypočítali strednú hodnotu aj smerodajnú odchýlku, samozrejme so zlými výsledkami. Zvyšných 25 študentov buď nevedeli použiť vzorec, alebo robili iné neprijatelné výpočty.

Tri body získali traja študenti. Dvaja z nich správne zapísali tabuľku s hodnotami xi a pi ale už ďalšie výpočty pokazili, nevedeli, ako majú aplikovať potrebné vzorce. Jeden študent mal správne uvedenú tabuľku údajov a tiež mal zapísaný výsledok E(ξ) = 0, ale bez výpočtu, prípadne zdôvodnenia.

Štyri body v riešení druhej úlohy získalo 6 študentov. Všetci správne vypočítali strednú

hodnotu, ale v riešení už nepokračovali alebo disperziu počítali nesprávne.

Päť bodov získal jeden študent, ktorý svoje výpočty ukončil určením disperzie, ale úloha

vyžadovala smerodajnú odchýlku. V prípade slovných úloh sa môžu vyskytnúť chyby z dôvodu, že študenti si nevšimnú niektoré detaily v texte.

Maximálnych 6 bodov za správne riešenie získalo 5 študentov. Z nich dvaja využili vzorec _D(

_ξ

)_=E(

_ξ

2)_−E2(

_ξ

)_{, ktorý zjednoduší výpočet vzhľadom na to, že E(ξ) = 0.}

Porovnaním úspešnosti v jednotlivých úlohách dostaneme ďalšie dôležité informácie o schopnostiach študentov. Spomedzi 74 študentov, ktorí v prvej úlohe označili správne riešenie bolo 60, ktorí v druhej úlohe získali 0 bodov, a vôbec neriešilo túto úlohu 36 študentov. Medzi 23 študentmi, ktorí ani prvú úlohu nevedeli správne riešiť, všetci okrem jedného získali 0 bodov v druhej úlohe. Teda medzi 15 študentami, ktorí dosiahli aspoň čiastočné riešenie, len jeden uviedol nesprávne riešenie prvej úlohy.

1 2 3 4 5 6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 2 3 4 5 6 3/6 2/6 3/6 2/6 3/6 1/6 1 2 3 4 5 6 20 10 20 10 20 -80 1, 3, 5 2, 4 6 20 10 -80 3/6 2/6 1/6 1, 3, 5 2, 4 6 3/6 2/6 1/6

Poznámky o úrovni matematických kompetencií študentov ...

Záver

Študenti UJS ekonomického odboru majú len základné poznatky z pravdepodobnosti, väčšinou poznajú definície pojmov, ktoré spájajú so vzorcami potrebnými na výpočty. Študenti pri riešení úloh z pravdepodobnosti používajú hlavne vzorce. Dôsledkom čoho je, že pri riešení úloh najväčšiu úspešnosť dosahujú v úlohách na reprodukciu, vyššie úrovne matematických kompetencií neovládajú. V ich matematických schopnostiach sa odzrkadľuje všeobecne teoretický charakter vyučovania matematiky na základných aj stredných školách, čo sa preukazuje ešte výraznejšie v oblasti pravdepodobnosti. Toto najviac charakterizuje formalizmus, precvičovanie rutinných postupov, nedostatočná abstrakcia pojmu často z dôvodu chýbajúcich vlastných skúseností študenta. Na základe získaných výsledkov síce nie je možné vyvodiť všeobecné dôsledky, ale našim cieľom bolo poukázať na niektoré charakteristické prvky matematických kompetencií našich študentov. Nakoniec môžeme vyhlásiť, že hlavným problémom študentov v riešení úloh je nepochopenie textu, nedostatočná schopnosť čítať text s porozumením a získať údaje z kontextu úlohy.

LITERATÚRA

[1] Kubáček, Z., Kosper, F., Tomachová, A., Koršňáková, P.: PISA SK 2003 Matematická

gramotnosť, Správa, Bratislava, ŠPÚ, 2004. ISBN 80-85756-88-9.

www.nucem.sk/documents//27/medzinarodne_merania/pisa/publikacie/Pisa_2003_mat ematická_gramotnosť.pdf

[2] Potocký, R., Kalas, J., Komorník, J., Lamoš, F.: Zbierka úloh z pravdepodobnosti

a matematickej štatistiky, Bratislava, Alfa, 1991, ISBN 80-05-00524-5

RNDr. Zoltán Fehér, PhD. Katedra hospodárskej matematiky Ekonomicá fakulta

Univerzita J. Selyeho Roľníckej školy 1519 SK – 945 01 Komárno

FACULTY OF NATURAL SCIENCES

CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA ACTA MATHEMATICA 12

Článok je uverejnený v rámci riešenia projektu VEGA 1/0200/08 Trenčianskej univerzity Alexandra Dubčeka, s názvom Moderné elektronické metódy vzdelávania participujúce na rozvoji environmentálne orientovanej teritoriálnej kohézie ako novej

MANAŽMENT E-VZDELÁVANIA, APLIKÁCIA IKT V MATEMATIKE

In document Estudio sobre la situación de desempleo que enfrenta un grupo de dieciocho personas con discapacidad física, procedentes del área metropolitana, tomando en cuenta factores personales y del contexto (página 118-121)