DISEÑO METODOLÓGICO
OBJETIVO ESPECÍFICO
3.9. Procedimientos en la recolección de la información
ABSTRACT. In this paper, we highlight the use of logarithms in natural science, and thus
emphasize the importance of teaching the properties of logarithms and logarithmic functions in the process of science or agricultural education.
Úvod
Prírodovedné predmety prispievajú k formovaniu vedeckého rozvoja i bádateľskej činnosti a využívanie matematických metód v prírodných vedách je neoddeliteľnou súčasťou ich komplexného a odborného štúdia [8]. Matematika vedie študentov k racionálnej práci, deduktívnemu spôsobu myslenia, k presnej a stručnej formulácii myšlienok i k osvojeniu si matematickej symboliky ako ďalšieho prostriedku vyjadrovania [17]. Základom matematického vzdelávania je vytvorenie prostredia podnecujúceho tvorivosť. Niektorí pedagógovia preto hľadajú nové metódy i formy prístupu k študentom, teoretické učivo dopĺňajú aplikačnými úlohami a snažia sa šíriť matematický spôsob myslenia medzi študentov.
Význam aplikácií matematiky
Keďže veľa študentov považuje matematiku za „neobľúbený“ predmet, jedným z cieľov učiteľa matematiky by malo byť zaujať študentov. Dá sa to dosiahnuť aj tým, že im ukážeme jej využitie. Aplikačný charakter matematiky sa dá využiť na zvýšenie efektívnosti vyučovania a tiež záujmu študentov o matematiku. Študenti by mali chápať, že vedomosti z matematiky im umožňujú vytvárať komplexný pohľad na mnohé problémy vyplývajúce z odbornej praxe. Schopnosť študentov aplikovať matematické vedomosti sa však nevyvíja sama od seba a pedagógovia sú nútení prispôsobiť obsah matematického vzdelávania k odborným predmetom študentov a tomuto procesu podriadiť metódy, formy či prostriedky vyučovania matematiky.
Katedra matematiky Fakulty ekonomiky a manažmentu Slovenskej Poľnohospodárskej Univerzity v Nitre zabezpečuje výučbu matematiky pre študentov všetkých svojich fakúlt. Na Fakulte biotechnológie a potravinárstva majú poslucháči 1.ročníka v letnom semestri zaradený predmet „Matematika“ s rozsahom výučby 1hodina prednášok a 3hodiny cvičení. Absolvovanie tohto predmetu by malo zabezpečiť u študentov základné znalosti z lineárnej algebry a matematickej analýzy. Vzhľadom na rozsah výučby sme aplikované úlohy a rôzne odborné aplikačné články zaradili do e-learningového kurzu [5], ktorého využívanie bolo súčasťou zápočtového hodnotenia študentov. Na zdôraznenie využitia matematiky sme tiež zaviedli riešenie aplikovanej úlohy vo forme seminárnej práce. Vďaka týmto zmenám vo výučbe, sme skoro vôbec nepočuli večnú otázku našich poslucháčov „Načo nám to bude?“. V tomto príspevku sa snažíme poukázať na využitie logaritmov v prírodných vedách a tým zdôrazniť význam výučby vlastností logaritmov a logaritmickej funkcie v procese prírodovedného alebo poľnohospodárskeho vzdelávania.
JANKA DRÁBEKOVÁ Využitie logaritmov
1. Jedným z najznámejších využití logaritmov v chémii je vyjadrenie vodíkového exponentu
pH vodných roztokov. Autoionizácia vody je dej, pri ktorom chemicky čistá voda obsahuje popri „celých“ molekulách vody aj niekoľko iónov H O3 + a OH−. Presným meraním sa zistilo, že v 10 miliónoch litroch vody je ionizovaný len jeden mól molekúl vody [16]. Koncentrácia oxóniových katiónov a aniónov je potom 3 1 10 7 3
10 000000 H O+ − mol dm− ⎡ ⎤ = = ⋅ ⎣ ⎦ , 7 3 1 10 10 000 000 OH− − mol dm− ⎡ ⎤ = = ⋅
⎣ ⎦ . Záporný dekadický logaritmus koncentrácie oxóniových
katiónov nazývame pH : pH = −log⎡⎣H O3 +⎤⎦. Určujeme podľa neho kyslosť
(
pH∈ 0,7))
,neutrálnosť
(
pH =7)
a zásaditosť
(
pH∈(
7,14)
vodných roztokov. Analogicky ako pH sa môže použiť pri vodných roztokoch symbol pOH, ktorý udáva záporný dekadický logaritmus koncentrácie hydroxidových aniónov: pOH = −log⎡⎣OH−⎤⎦ [13].2. Záporný dekadický logaritmus sa v chémii využíva aj pri vyjadrovaní sily kyselín (resp. zásad) pomocou hodnôt pKA (resp.pKB), ktoré sú zadefinované ako záporný dekadický logaritmus disociačnej konštanty kyseliny (resp. zásady): pKA= −logKA
(resp.pKB = −logKB) [16,21]. Teda, ak je pred chemickým symbolom iónu alebo symbolom
rovnovážnej konštanty písmeno p, znamená to, že uvedená číselná hodnota je záporným dekadickým logaritmom aktivity príslušných iónov, alebo hodnoty rovnovážnej konštanty [21].
3. Pri prechode žiarenia látkou z jeho celkovej energie časť pripadá na odraz, časť na rozptyl, časť sa absorbuje a zvyšná časť pripadá na žiarenie, ktoré prešlo cez sústavu [21]. Na vyjadrenie absorpcie žiarenia látkou, ktorou prechádza, sa využíva logaritmus. Túto problematiku rieši Lambert-Beerov zákon, ktorý matematicky vyjadruje závislosť absorpcie elektromagnetického žiarenia od vlastností materiálu, cez ktorý žiarenie prechádza [12,21]:
0 10−ελcl
Φ = Φ ⋅ , kde Φ0 je vstupný svetelný tok, Φ je výstupný svetelný tok, c je koncentrácia absorbujúcej vrstvy, ελje mólový absorpčný koeficient pri vlnovej dĺžke λ a l je hrúbka absorbujúcej vrstvy (obrázok 1).
Obrázok 1: Schématické zobrazenie prechodu svetelného lúča cez absorbujúcu vrstvu v kyvete [12]
Pre vyjadrenie závislosti absorpcie žiarenia od koncentrácie absorbujúcej zložky je vhodné vzťah logaritmovať, čím sa z exponenciálnej závislosti stane lineárna [12]. Relatívne množstvo pohltenej svetelnej energie sa vyjadruje absorbanciou (A):
NIEKOĽKO POZNÁMOK K VYUŽITIU LOGARITMOV
0
log log
A= Φ = − T =ελcl
Φ . Absorbancia je definovaná ako záporný dekadický logaritmus
transmitancie (T). Transmitancia (priepustnosť) prostredia vyjadruje popis strát svetla pri jeho prechode látkou, udáva sa v percentách a počíta sa ako podiel svetelného toku Φ po prechode cez isté prostredie a pôvodného svetelného toku Φ0:
0 T = Φ
Φ [12,21].
4. Na Lambert-Beerovom zákone (t.j. na absorpcii žiarenia) sú založené mnohé analytické metódy. Jednou z nich je napríklad UV absorpčná spektroskopia proteínov používaná na stanovenie koncentrácie proteínov v roztoku. Metóda využíva to, že aminokyseliny tryptofán, tyrozín a fenylalanín absorbujú UV žiarenie. V spektrofotometri sa vzorka roztoku presvieti UV žiarením a na detektore za vzorkou sa meria pokles intenzity UV žiarenia v porovnaní s intenzitou žiarenia pred prechodom cez vzorku [11]. Podľa Lambert-Beerovho zákona závisí absorbancia od koncentrácie proteínu lineárne a vyjadruje sa ako dekadický logaritmus pomeru intenzity vstupujúceho a vystupujúceho žiarenia: A logI0 bc
I ε
= = , kde I0 je intezita svetla pred prechodom vzorkou, I je intenzita svetla po prechode vzorkou, ελje mólový absorpčný koeficient pri vlnovej dĺžke λ, c je koncentrácia proteínu a b je hrúbka vzorky, cez ktorú musí prejsť lúč svetla [11].
5. Dokonca aj vrámci elektroforézy DNA sa stretneme s logaritmom, pretože pohyblivosť molekúl DNA v agarózovom géli je nepriamo úmerné logaritmu ich veľkosti. Molekuly dvojvláknovej DNA sa pohybujú rýchlosťou, ktorá je závislá od prevrátenej hodnoty logaritmu ich molekulovej hmotnosti [9]. Na základe tejto vlastnosti je možné určiť veľkosť neznámych fragmentov DNA porovnaním s pohyblivosťou štandardov molekulovej hmotnosti (tzv. DNA leader) [22].
6. Neoddeliteľnou súčasťou výučby mikrobiológie je téma rastu mikroorganizmov. Rastová krivka (obrázok 2) vyjadruje závislosť logaritmu počtu buniek v jednotke objemu od času [4].
Obrázok 2: Rastová krivka [14]
1 – lag-fáza, 2 – fáza zrýchleného rastu, 3 – exponenciálna fáza, 4 – fáza spomaleného rastu, 5 – stacionárna fáza, 6 – fáza odumierania, x – počet živých buniek v 1 ml, τ – čas.
V rámci matematickej analýzy rastu sa logaritmus využíva napríklad na vyjadrenie rýchlostnej konštanty: µ=ln 2⋅r, kde r je počet delení za jednotku času [7]. Alebo tiež na
vyjadrenie počtu generácií, v priebehu ktorých jednobunková populácia mikroorganizmov, v priaznivých životných podmienkach, zväčší množstvo živých buniek, čiže kolónií tvoriacich jednotiek na určitý objem:
0 0 0 1 ln 1 log lg ln 2 log 2 n n n N N N n n n N N N = ⋅ ∨ = ⋅ ∨ = , kde N0
JANKA DRÁBEKOVÁ
je počet živých buniek na začiatku množenia a Nn je počet živých buniek po n generáciách [6].
7. Problém hodnotenia heterogenity krajiny a biodiverzity je už mnoho rokov v popredí záujmu ekológov [2]. Pre hodnotenie a kvantifikáciu hodnôt diverzity sa využívajú indexy diverzity. Spomeňme aspoň jeden, ktorý sa počíta pomocou logaritmov. Shannonov index celkovej druhovej diverzity vo svojom matematickom vyjadrení obsahuje prirodzený logaritmus: 1 ln S i i i H p p =
= −
∑
⋅ , S je počet druhov, pi je vyjadrené ako pomer ni a N, kde ni je počet jedincov i-tého druhu a N je celkový počet jedincov. Pomocou Shannonovho indexu sa vyjadruje index vyrovnanosti (equitability). Ide o pomer nameranej a maximálnej diverzity (Hmax =lnS): ln H E S = [1,2].8. Logartimy sa používajú aj na definovanie sily zemestrasenia. Energiu uvoľnenú zemetrasením, resp. tú jej časť, ktorá sa vyžiari seizmickými vlnami zaznamenávajú seizmometre. Účinky na ľudí a stavby merajú makroseizmické stupnice intenzity a na odhad veľkosti uvoľnenej energie sa používa magnitúdo a seizmické momenty [18]. Richterova stupnica je stupnica, ktorou sa exaktne popisuje veľkosť (sila) zemetrasenia. Táto metóda meria tzv. lokálne magnitúdo, ktoré sa vyjadruje ako dekadický logaritmus pomeru amplitúdy a periódy seizmickej vlny [18].
9. Logaritmická špirála je krivka, ktorá rastie tak, že zachováva tvar a pomer častí, rastie rovnako do dĺžky i do šírky. Je to asymetrická krivka, ktorá vyjadruje symetrický rast [3]. Polomer logaritmickej špirály r rastie exponenciálne s veľkosťou uhla ϕ. Matematický zápis v polárnych súradniciach: r a e= ⋅ bϕ resp. 1 lnr
b a
ϕ = ⋅ , kde a b, sú konštanty. Zostrojiť ju môžeme napríklad pomocou zlatého obdĺžnika, ktorého strany sú v pomere
1 5 1, 61803 2
+
Φ = (obrázok 3).
Obrázok 3: Schématický nákres logaritmickej špirály v zlatom obdĺžniku [19]
Logaritmickú špirálu často vidíme aj v prírode. Tvar logaritmickej špirály má schránka druhov rodu Nautilus a niektorých mäkkýšov (obrázok 4), usporiadanie semien slnečnice či smrekovej šišky, plod ananásu a karfiolu (obrázok 5) atď. Hmyz sa napríklad blíži k svetlu po logaritmickej špirále, pretože sa pohybuje tak, aby videl svelo stále pod rovnakým uhlom [20].
NIEKOĽKO POZNÁMOK K VYUŽITIU LOGARITMOV
Obrázok 4: Ulity v tvare logaritmickej špirály [15]
Obrázok 5: Logaritmická špirála v prírode [10,20] Záver
Rozvíjanie matematických schopností, vďaka ktorým študenti vedia prepojiť odborné prírodovedné vedomosti s matematikou, si vyžaduje využívanie nielen deduktívneho ale aj konštruktívneho prístupu k vyučovaniu matematiky. Využime ho teda na zvýšenie atraktívnosti a obľúbenosti matematiky. Zdôraznime aj jej aplikačný charakter a určite vzbudíme záujem študentov.
LITERATÚRA
[1] Begon, M. - Harper, J.L. - Townsend, C.R.: Ekologie: jedinci, populace, společenstva, Olomouc, Vydavatelství Univerzity Palackého, 1997, ISBN 80-7067-695-7
[2] Belanová, M.: Diverzita odvetví na základe odvetvovej klasifikácie podnikov podľa ekonomickej činnosti v Slovenskej republike, zborník, International scientific days,
FEM SPU, Nitra, 2006, 1326-1331, online, cit. 2009-08-26, dostupné na internete: http://www.fem.uniag.sk/mvd2006/zbornik/sekcia7/s7_belanova_maria_12.pdf
[3] Demová, A.: Zlatý rez okolo nás, zborník príspevkov Acta mathematica 8, FPV UKF,
Nitra, Edícia Prírodovedec č.188, 2005, 161-170, ISBN 80-8050-644-2
[4] Drábeková, J.: Výživa a rast mikroorganizmov. In: Marenčík a kol., 2003. Všeobecná mikrobiológia, vysokoškolské učebné texty, FPV UKF, Nitra, Edícia Prírodovedec
č.120, 2003, 49-59, ISBN 80-8050-644-2
[5] Drábeková, J.: Elektronický kurz ako súčasť výučby matematiky, zborník vedeckých
prác účastníkov seminára „Matematika-škola-IKT“, FPV UKF, Nitra, Edícia Prírodovedec č.364, CD, 2009, 3-8, ISBN 978-80-8094-518-3
[6] Drábeková, J. - Pechočiak, T.: Aplikácie viet o logaritmoch v mikrobiológii pre
študentov SPU, zborník z medzinárodnej vedeckej konferencie Veda-Vzdelávanie-
Prax, 2.diel, PF UKF, Nitra, 2007, 225-229, ISBN 978-80-8094-203-8
[7] Drábeková, J. - Pechočiak, T.: Rýchlosť rastu ako derivácia funkcie podľa času, zborník vedeckých prác z medzinárodného vedeckého seminára „Nové trendy v matematickom vzdelávaní“, Katedra matematiky FEM SPU, Nitra, CD, 2008, 39-43, ISBN 978-80-552-0038-5
JANKA DRÁBEKOVÁ
[8] Fándlyová, S.: Stechiometrické koeficienty v chemických rovniciach, zborník
príspevkov Acta mathematica 11, FPV UKF, Nitra, Edícia Prírodovedec č.326, 2008, 79-83, ISBN 978-80-8094-396-7
[9] Holme, D. – Peck, H.: Analytical biochemistry, 3. vyd. London: Longman, 1998, ISBN 0-582-29438-X
[10] Květák, online obrázok, cit. 2009-08-27, dostupné na internete: http://www.astro.cz/apod/ap030925.html
[11] Krutka, V. – Horčičák, P.: UV absorpčná spektroskopia proteínov, online príspevok, cit. 2009-08-20, dostupné na internete: http://147.175.66.118/upload/SOC.pdf
[12] Lambertov-Beerov zákon, online príspevok, cit. 2009-08-20, dostupné na internete: http://sk.wikipedia.org/wiki/Lambertov-Beerov_zákon
[13] Poláček, Š. – Tomáš, J. – Vollmanová, A. – Lazor, P. – Tóth, T.: Chemické
názvoslovie, rovnice a výpočty, vysokoškolská príručka, SPU, Nitra, 2006, ISBN 80-
8069-752-3
[14] Šilhánková, L.: Mikrobiologie pro potravináře a biotechnology, Praha, Academia, 2002, ISBN 80-200-1024-6
[15] Ulity, online obrázok, cit. 2009-08-27, dostupné na internete: geometrie.kma.zcu.cz/work/KS/obrazky.htm
[16] Vallo, D: Matematika pre chemikov – pracovné listy z vybraných kapitol,
vysokoškolské skriptá, FPV UKF, Nitra, Edícia Prírodovedec č. 223, 2006, ISBN 80- 8094-049-5
[17] Zaťková, M.: Prečo (sa) učiť matematiku, zborník príspevkov z 5.žilinskej didaktickej konferencie s medzinárodnou účasťou - DIDZA, Žilina, 2008, CD, ISBN 978-80-8070- 863-4
[18] Zemetrasenie, online príspevok, cit. 2009-08-25, dostupné na internete: http://sk.wikipedia.org/wiki/Zemetrasenie
[19] Zlatá spirála, obrázek 5, online, cit. 2009-08-27, dostupné na internete: http://geometrie.kma.zcu.cz/work/KS/LogSpir/LogaritmickaSpiralaOdk.pdf
[20] Zlatý řez, online príspevok, cit. 2009-08-27, dostupné na internete: http://cs.wikipedia.org/wiki/Zlatý_řez
[21] Žúrková, Ľ. – Fischer, O. – Pacák, J. – Sopková, A. – Staněk, Z.: Všeobecná chémia, vysokoškolská učebnica, Slovenské pedagogické nakladateľstvo, Bratislava, 1985, ISBN 67-034-85
[22] Westermeier, R.: Electrophoresis in Practise, Weinheim: Wiley-VCH, 2005, ISBN 3- 527-31181-5
RNDr. Janka Drábeková, PhD. Katedra matematiky
Fakulta ekonomiky a manažmentu Slovenská Poľnohospodárska Univerzita Trieda A. Hlinku 2
SK – 949 76 Nitra
FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA ACTA MATHEMATICA 12
VYUŽITIE MATEMATICKÝCH VEDOMOSTÍ V PRÍRODOVEDNÝCH