Una operación entre sucesos de un experimen- to aleatorio es una regla o criterio que nos permite obtener otro suceso del mismo expe- rimento aleatorio. Las dos operaciones más importantes son la unión y la intersección. Con los sucesos se opera de manera similar a como se hace en los conjuntos y sus operacio- nes se definen de manera análoga. Los sucesos a considerar serán los correspondientes a un experimento aleatorio y por tanto serán sub- conjuntos del espacio muestral E.
Por ser los sucesos subconjuntos, sobre ellos se pueden definir las siguientes operaciones. Sean A, B y C sucesos de un Espacio Muestral E, ob- tenido de un experimento aleatorio.
Unión de Sucesos
Se define la unión de los sucesos A y B, como el suceso formado por todos los puntos muestra- les que pertenecen, al menos, a uno de los su- cesos; es decir, contiene todos los elementos que están en A o B. Y se denota por: A U B. De forma matemática se expresa como: A U B={XE/XA ó XB o ambos} y se lee: el suce-
so A ó B ; y es el suceso de las X tal que X per- tenece a A o a B o a ambos.
Representación mediante el diagrama de Venn- Euler.
Es fácil demostrar las siguientes propiedades: 1) Asociativa: (A U B) U C = A U (B U C). 2) Conmutativa: A U B = B U A.
3) Idempotencia: A U A = A 4) Absorbente AE = E 5) Elemento neutro A = A
En términos generales, dados n sucesos A1, A2,
A3,..., An, su unión denotada por 1 n
i i
A
es otro
suceso formado por los resultados o puntos Inicio Blanco Rojo Azul Verde
Negro Rojo Azul Verde
146 muéstrales que pertenecen al menos a uno de
los sucesos Ai.
Intersección de sucesos
Se define la intersección de los sucesos A y B, como el suceso formado por todos los puntos muestrales que pertenecen a ambos sucesos; es decir, contiene a la vez todos los elementos que están en A y en B. Y se denota por: A ∩ B. De forma matemática se expresa como: A ∩ B ={XE/XA y XB} y se lee como “A y B”. Representación mediante el diagrama de Venn- Euler.
Es fácil demostrar las siguientes propiedades: 1) Asociativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). 2) Conmutativa: A ∩ B = B ∩ A
3) Idempotente: A ∩ A = A. 4) Absorbente A = 5) Elemento Neutro AE = A
En términos generales, dados n sucesos A1, A2,
A3,..., An, su intersección denotada por 1 n
i i
A
; es
otro suceso formado por los resultados o pun- tos muéstrales que pertenecen a todos los su- cesos Ai.
Encontrar la intersección de dos conjuntos A y B, significa encontrar los puntos muéstrales comunes de A y B.
Diferencia de sucesos
Se define la diferencia de los suceso A y B, co- mo el suceso formado por los puntos muéstra-
les que pertenecen A y no pertenecen a B. Es decir, es el suceso con puntos muéstrales que están en A pero que no están en B. Y se denota por: A - B. De forma matemática se expresa como: A - B ={XE/XA y XB} .
De manera análoga se define la diferencia de los sucesos B y A, como el suceso formado por los puntos muéstrales que pertenecen B y no pertenecen a A. Es decir, es el suceso con pun- tos muéstrales que están en B pero que no es- tán en A. Y se denota por: B-A. De forma mate- mática se expresa como:
B - A = {XE/XB y XA}
Representación mediante el diagrama de Venn- Euler.
= ∩ ̅
Es fácil de demostrar lo siguiente: A – B ≠ B – A, lo que indica que la resta aritmética no cumple la propiedad conmutativa.
Suceso contrario o Complementario.
Se define el complementario del suceso A, con A E; como el suceso formado por los puntos muéstrales que no pertenecen a A, es decir contiene todos los elementos de E, que no es-
147 tán en A. Y se denota por: Ac ó
A
. De formamatemática se expresa como: Ac = {XE / XA } .
Representación mediante el diagrama de Venn- Euler.
Es fácil de demostrar las siguientes propieda- des:
1) E – A = Ac 2) A U Ac = E 3) A Ac = 4) (Ac)c = A
Sean los sucesos A y B del espacio muestral E: Si A B = y A U B= E, entonces A y B se llaman complementarios. Y se denota por = (que se lee B es el complemento de A) o =
Propiedades Mixtas
1) Distributiva: A U (B C) = (A U B) (A U C) y A (B U C) = (A B) U (A C) 2) Simplificativa: A U (A B) = A y A (B U A) = A. 3) Leyes de De Morgan:El complemento de la unión de dos sucesos es la intersección de los complementos de dichos sucesos:
A B
A
B
El complemento de la intersección de dos suce- sos es la unión de los complementos de dichos sucesos:
A B
A
B
Nota: Todas estas propiedades se pueden ge- neralizarse a más de dos eventos.
A partir de estas operaciones podemos distin- guir entre los siguientes tipos de sucesos:
Suceso Incluido
Se dice que el suceso A está incluido en suceso B si todos los puntos muestral de A pertenecen también a B. Es decir, siempre que ocurre el suceso A, también ocurre el suceso B. Y se de- nota por A B, y se lee A implica B. Si A B entonces XA ⇒ XB.
Igualdad de Sucesos
Se dice que el suceso A y el suceso B son igua- les si siempre que ocurre el suceso A también ocurre B y al revés. Es decir que siempre que se verifica uno de ellos se verifica también el otro. Y denota por A=B. Lo que significa: A=B A B B A .
Sucesos incompatibles o excluyentes
Se dice que dos sucesos A y B son incompati- bles cuando no pueden ocurrir nunca a la vez. Es decir, no tiene ningún punto muestra en común y por tanto AB = . Y de lo contrario se denominan sucesos compatibles.
Ejemplo 8: El experimento consiste en el lan- zamiento de un dado legal. Sean los eventos:
A: “sale un número par”, B: “sale un número impar”, C: “sale el número 2”, D: “sale un número primo”, E: “sale el número 7”.
148 Determine:
a) El espacio muestral.
b) Los puntos muéstrales de los eventos antes mencionados.
c) Que relaciones se pueden observar de los eventos descritos de este experimento. Solución a) Como cuando se lanza un dado solo existen seis posibilidades que son: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Por lo tanto el espacio muestral es: E= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Solución b) Los puntos muéstrales de los suce- sos son:
A = {2, 4, 6} B = {1, 3, 5} C = {2} D = {2, 3, 5} E = {}
Solución c)
i) C A
La relación C A: significa que todo elemento de C es elemento de A, por consiguiente, si el evento C ocurre, entonces el evento A ocurre. ii) C D
La relación C D: significa que todo elemento de C es elemento de D, por consiguiente, si el evento C ocurre, entonces el evento D ocurre. iii) A B =
La relación A B = : significa que los even- tos A y B no pueden ocurrir simultáneamente, es decir, que si sale un numero par, entonces no puede salir un número impar.
iv) A B = E
La relación A B = E: significa que en cual- quier ensayo que se realice del experimento, ocurre con seguridad que saldrá un número par o un número impar.
Ejemplo 9: En el primer año de bachillerato con 45 alumnos, seleccionado al azar, se realizo una encuesta sobre los deportes que practican; los resultados son los siguientes:
Deportes Número de alumnos
Baloncesto 26 Futbol 29 Voleibol 26 Baloncesto y futbol 17 Baloncesto y Voleibol 15 Fútbol y Voleibol 16 Todos 10
a) Represente mediante un diagrama de Venn la información dada.
b) Sea el evento B1: “Estudiantes que solo practican Baloncesto”. Determine los pun- tos muéstrales.
c) Sea el evento F1: “Estudiantes que solo practican Fútbol”. Determine cuantos pun- tos muestrales tiene.
d) Sea el evento V1: “Estudiantes que solo practican Voleibol”. Determine cuantos puntos muéstrales tiene.
e) Sea el evento “Estudiantes que practican Baloncesto y Fútbol”. Escríbalo de forma simbólica como operaciones de eventos. ¿Cuántos puntos muéstrales tiene?.
f) Sea el evento “Estudiantes que practican Baloncesto y Voleibol”. Escríbalo de forma simbólica como operaciones de eventos. ¿Cuántos puntos muéstrales tiene?.
g) Sea el evento FV. Escríbalo de forma ver- bal y el número de puntos muéstrales. h) Sea el evento FV. Escríbalo de forma ver-
149 i) Sea el evento N: “Estudiantes que no prac-
tican ningún deporte”. Determine cuantos puntos muéstrales tiene.
Solución a) Diagrama de Venn Sean los eventos:
V: Los alumnos que practican Voleibol F: los alumnos que practican Fútbol B: Los alumnos que practica Baloncesto
Observe que un alumno que practica tanto Ba- loncesto como Fútbol se encuentra en dos eventos, de manera que 26+29 cuenta a los alumnos dos veces. Para corregir este error se debe restar 17 (los que practican ambos de- portes simultáneamente). Así 26+29-17= 38 alumnos. Es decir B F = B + F – B F.
Igualmente un alumno que practica tanto Ba- loncesto como Voleibol se encuentra en dos eventos, de manera que 26+26 cuenta a los alumnos dos veces. Para corregir este error se debe restar 15(los que practican ambos depor- tes simultáneamente). Así 26+26-15= 37 alumnos. Es decir BV = B + V – B V.
De la misma forma un alumno que practica tanto Fútbol como Voleibol se encuentra en dos eventos, de manera que 26+29 cuenta a los alumnos dos veces. Para corregir este error se debe restar 16 (los que practican ambos de- portes simultáneamente). Así 29+26-16= 39 alumnos. Es decir FV=F + V - F V.
Como VFB = 10 alumnos entonces BF = 10+7, BV = 10+ 5 y FV = 10 +6.
Ahora bien, los alumnos que practican Balon- cesto son 26 entonces ya se tiene 10+5+7 = 22 faltan 4 que son los alumnos que solo prac- tican Baloncesto.
En el otro caso, los alumnos que practican Fút- bol son 29 entonces ya se tiene 10+6+7= 23
faltan 6 que son los alumnos que solo practican Fútbol.
Por último, los alumnos que practican Voleibol son 26 entonces ya se tiene 10+6+5= 21 fal- tan 5 que son los alumnos que solo practican Voleibol. Quedando el diagrama de Ven de la siguiente forma:
Teniendo el diagrama de Venn, ya es fácil de- terminar los puntos muéstrales de cada situa- ción pedida.
Solución b) Evento B1: “Estudiantes que solo practican Baloncesto”. Este evento es la parte del evento B, la cual no está relacionada con ninguno de los otros eventos (color verde mus- co): 4 alumnos.
Solución c) Evento F1: “Estudiantes que solo practican Fútbol”. Este evento es la parte del evento F, la cual no está relacionada con nin- guno de los otros eventos (color celeste): 6 alumnos.
Solución d) Evento V1: “Estudiantes que solo practican Voleibol”. Este evento es la parte del evento V, la cual no está relacionada con nin- guno de los otros eventos (color amarillo): 5 alumnos.
Solución e) Sea el evento: “Estudiantes que practican Baloncesto y Fútbol”. La forma de representar este evento es: BF y tiene 17 puntos muéstrales, que en la cantidad de estu- diantes que practican ambos deportes.
150 Solución f) Sea el evento “Estudiantes que prac-
tican Baloncesto y Voleibol”. La forma de re- presentar este evento es: BV y tiene 15 pun- tos muéstrales, que es la cantidad de estudian- tes que practican ambos deportes.
Solución g) Evento FV, la forma verbal de expresarlo es: “Estudiantes que practican Fút- bol y Voleibol” y tiene 16 puntos muéstrales, que es la cantidad de estudiantes que practican ambos deportes.
Solución h) evento FV, la forma verbal de expresarlo es: “Estudiantes que practican Fút- bol o Voleibol” y tiene 39 puntos muéstrales, que es la cantidad de estudiantes que practican uno u otro deporte.
Solución i) Evento N: “Estudiantes que no prac- tican ningún deporte”. Se refiere a los alumnos que no practican Baloncesto ni Fútbol ni Volei- bol, en este caso es el evento que no está rela- cionado con B, F y V o sea el complemento de ellos, y se observa que tiene 2 puntos muéstra- les. Es decir 2 alumnos de los 45 no practican ningún deporte de los considerados.
NOTA: Cuando se desea analizar más de tres eventos es recomendable utilizar las tablas de doble entrada o tablas de contingencia.