está formada por 40 alumnos. Nos planteamos resolver la siguiente cuestión: ¿de cuántas formas puede constituirse el comité si una per- sona no puede ocupar más que un cargo? Como un estudiante no puede tener más que un cargo, el delegado podrá ser elegido entre los 40 alumnos de la clase; una vez que esté ha sido elegido, el cargo de vocal podrá ser toma- do por uno de los 39 alumnos restantes; por último, el cargo de secretario puede ser toma- do por uno de los 38 alumnos restantes. Es decir, existen 40 x 39 x 38 formas de constituir el comité.
Generalización: Para calcular el número de ordenaciones de m elementos que se pueden formar con los n elementos disponibles, se hacen las siguientes consideraciones: la elec- ción del primer elemento se puede hacer de n maneras diferentes; la elección del segundo elemento se puede hacer de (n – 1) maneras diferentes,…, y la elección del m-ésimo objeto se puede hacer de (n – m + 1) maneras dife- rentes. Ahora, invocando el principio funda- mental del conteo se tiene:
m n
V =n(n-1)(n-2)...(n-m+2)(n-m+1)
Expresión que al multiplicar y dividir por (n- m) conduce a: m n
n(n-1)(n-2)...(n-m+2)(n-m+1)(n-m)!
V =
(n-m)!
Y utilizando la fórmula fundamental de facto- rial, se tiene: m n
n!
V =
(n-m)!
Definición: Se llaman variaciones ordinarias o sin repetición de n elementos, tomados de m
en m, se denota m n
V , a los distintos grupos que
se pueden formar con los n elementos, de tal forma que en cada grupo entren m elementos distintos y que un grupo se diferencie de los demás, bien en alguno de sus elementos, bien en su orden de colocación. Se tiene:
!
(
)!
m nn
V
n m
Ecuación 4Relación de Variaciones con Permutaciones Para la deducción de esta fórmula, se ha consi- derado implícitamente que el número m de elementos a elegir es menor o igual que el nú- mero de objetos disponibles: m ≤ n, lo que equivale a no permitir la repetición de elemen- tos en una misma ordenación. El caso particu- lar en el que m = n, conduce a la obtención de las ordenaciones de n objetos tomados todos a la vez, es decir, a la obtención de la permuta-
ciones de los n objetos:
n
n n
n!
n!
V =
=
= n! = P
(n-n)!
0!
Ejemplo 6: Salon de Clase .¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar los 52 alumnos del grupo de la asignatura de Probabilidad en un salón que dispone de 60pupitres?
Solución
El primer alumno que entra al salón puede escoger su lugar de entre 60 posibles, el se- gundo puede escoger lugar de entre 59 posi- bles,… y así, sucesivamente, hasta el alumno número 52, que puede escoger lugar de entre 9 posibles.
Evidentemente, 8 de los 60 lugares quedarán vacíos; se trata de calcular las ordenaciones de 60 objetos de orden 52:
123
52 6060!
60! 60x59x58x...x9x8!
V =
=
=
(60-52)!
8!
8!
77 = 60x59x58x...x9 = 2.06374x10 ManerasVARIACIONES CON REPETICION
Se llama ordenaciones con repetición de n ob- jetos, de orden m a las diferentes maneras de efectuar secuencialmente m acciones, cada una de las cuales se puede presentar de n distintas maneras. El hecho de permitir la repetición de elementos, hace que el valor de m no esté res- tringido, pues el número m de acciones a efec- tuar puede ser mayor al número n de maneras en que puede presentarse cada una de ellas. Y se denota por:
VR
n,m om n
VR
.Actividad introductoria: Se desea formar un comité de aula para la organización de un evento cultural en un colegio. Dicho comité está formado por tres alumnos que harían las veces de delegado, vocal y secretario. La clase está formada por 40 alumnos. Supongamos ahora que una misma persona puede ocupar más de un cargo, esto es, una persona puede ser a la vez vocal y delegado, por ejemplo. Esta situación es real: muchas veces una misma persona ocupa más de un cargo dentro de una institución. Por ejemplo, profesor y coordina- dor de ciencias, alumno y miembro de la banda de música del colegio, etc. Entonces se preten- de resolver la siguiente cuestión: si en un aula hay n estudiantes, de cuántas formas puede constituirse un comité de m estudiantes si una persona puede ocupar más que un cargo?. Los 3 cargos deben ser ocupados por alguno de los 40 estudiantes que conforman un aula. Co- mo un estudiante sí puede tener más que un cargo, el delegado podrá ser elegido entre los 40 alumnos de la clase; una vez que este ha
sido elegido, el cargo de vocal podrá ser toma- do por uno cualquiera de los estudiantes, in- cluido el delegado electo; por último, el cargo de secretario puede ser tomado igualmente por cualquiera de los 40 estudiantes. Es decir, exis- ten 40 x 40 x 40 formas de constituir el comité. Al igual que en la anterior situación, el método descrito puede ser extendido para determinar el número de comités de m estudiantes que se pueden formar en un aula de n estudiantes (n ≥ m), pudiendo un alumno tener más de un cargo: (m veces) m
n ...n=n
Definición: Se llaman variaciones con repeti- ción de n elementos, tomados de m en m, deno- taremos,VRn,m, a los distintos grupos que se pueden formar con los n elementos, de tal ma- nera que en cada grupo entren m elementos iguales o distintos y que un grupo se diferencie de los demás, bien en algún elemento, bien en su orden de colocación. Se tiene:
VRmn = nm Ecuación 5 Ejemplo 7: Monedas. Considere el experimento consistente en lanzar tres monedas simultá- neamente y observar las caras que quedan hacia arriba. Determine el número de maneras en que puede ocurrir tal experimento.
Solución
Nótese que el experimento consistente en lan- zar tres monedas simultáneamente es equiva- lente al experimento de lanzar una moneda tres veces consecutivamente.