MÓDULO DE APRENDIZAJE
5. La pantalla de trabajo de los usuarios está dividida en 3 partes, llamadas ventanas o vistas distribuidas de la siguiente manera: la ventana algebraica se ubica a la izquierda y
la ventana gráfica se ubica a la derecha de la pantalla mientras que debajo de estas aparece la ventana de entrada
Programación lineal
La Programación Lineal corresponde a un algoritmo a través del cual se resuelven situaciones reales en las que se pretende identificar y resolver dificultades para aumentar la productividad respecto a los recursos (principalmente los limitados y costosos), aumentando así los beneficios. El objetivo primordial de la Programación Lineal es optimizar, es decir, maximizar o minimizar funciones lineales en varias
variables reales con restricciones lineales (sistemas de inecuaciones lineales), optimizando una función objetivo también lineal.
Los resultados y el proceso de optimización se convierten en un respaldo cuantitativo de las decisiones frente a las situaciones planteadas. Decisiones en las que sería importante tener en cuenta diversos criterios administrativos como:
Los hechos
La experiencia
La intuición
La autoridad
¿Cómo resolver un problema mediante programación lineal?
El primer paso para la resolución de un problema de programación lineal consiste en la identificación de los elementos básicos de un modelo matemático, estos son:
Función Objetivo
Variables
Restricciones
El siguiente paso consiste en la determinación de los mismos, para lo cual proponemos seguir la siguiente metodología:
La función objetivo
La función objetivo tiene una estrecha relación con la pregunta general que se desea responder. Sí en un modelo resultasen distintas preguntas, la función objetivo se relacionaría con la pregunta del nivel superior, es decir, la pregunta fundamental. Así por ejemplo, si en una situación se desean minimizar los costos, es muy probable que la pregunta de mayor nivel sea la que se relacione con aumentar la utilidad en lugar de un interrogante que busque hallar la manera de disminuir los costos.
Las variables de decisión
Similar a la relación que existe entre objetivos específicos y objetivo general se comportan las variables de decisión respecto a la función objetivo, puesto que estas se identifican partiendo de una serie de preguntas derivadas de la pregunta fundamental. Las variables de decisión son en teoría factores controlables del sistema que se está modelando, y como tal, estas pueden tomar diversos valores posibles, de los cuales se precisa conocer su valor óptimo, que contribuya con la consecución del objetivo de la función general del problema.
Las restricciones
Cuando hablamos de las restricciones en un problema de programación lineal, nos referimos a todo aquello que limita la libertad de los valores que pueden tomar las variables de decisión.
La mejor manera de hallarlas consiste en pensar en un caso hipotético en el que
decidiéramos darle un valor infinito a nuestras variables de decisión, por ejemplo, ¿qué pasaría si en un problema que precisa maximizar sus utilidades en un sistema de producción de calzado decidiéramos producir una cantidad infinita de zapatos? Seguramente ahora nos surgirían múltiples interrogantes, como por ejemplo:
¿Con cuánta materia prima cuento para producirlos?
¿Con cuánta mano de obra cuento para fabricarlos?
¿Pueden las instalaciones de mi empresa albergar tal cantidad de producto?
¿Podría mi fuerza de mercadeo vender todos los zapatos?
Pues bueno, entonces habríamos descubierto que nuestro sistema presenta una serie de limitantes, tanto físicas, como de contexto, de tal manera que los valores que en un momento dado podrían tomar nuestras variables de decisión se encuentran condicionados por una serie de restricciones.
Ejemplos de programación lineal con geogebra
1. Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su
fabricación se n ecesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio. Elección de las incógnitas.
x = nº de lámparas L1 y = nº de lámparas L2 a) Funci ón obj eti vo b) f(x, y) = 15x + 10 y c) Rest ri cci ones
d) Pas amos los ti empos a horas e) 20 mi n = 1/ 3 h
f) 30 mi n = 1/ 2 h g) 10 mi n = 1/ 6 h
h) Para es cribi r l as rest ricci ones vam os a a yudarnos de una t abl a:
L1 L2 Tiemp o
Manual 1/3 1/2 100
Máquina 1/3 1/6 80
i) 1/3x + 1/2y ≤ 100 j) 1/3x + 1/6y ≤ 80
k) Como el núm ero de l ámparas son núm eros naturales, t endrem os dos rest ricci ones m ás:
l) x ≥ 0 m) y ≥ 0
n) Hal lar el conjunto de soluci ones fact ibl es
o) Tenem os que repres entar gráficam ent e las rest ri cci ones. p) Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.
q) Represent amos l as rect as, a parti r de sus puntos de cort e con l os ej es.
r) Resol vemos gráfi cament e l a inecuaci ón: 1/3 x + 1/2 y ≤ 100; para ello tom amos un punto del pl ano, por ej emplo el (0,0). s) 1/3·0 + 1/2·0 ≤ 100
t) 1/3·0 + 1/6·0 ≤ 80
u) La z ona de i nt ersecci ón de las soluciones de las inecuaciones sería l a solución al sistem a de inecuaciones, que constit u ye el conjunt o de las soluciones facti bl es.
v) Cal cul ar l as coordenadas de los vértices del recint o de l as soluciones facti bles.
La sol uci ón óptim a s i es única se encuent ra en un vérti ce del reci nto. Est os son las sol uci ones a los sis tem as:
1/3x + 1/2 y = 100; x = 0 (0, 200) 1/3x + 1/6 y = 80; y = 0(240, 0)
w) Cal cul ar el valor de l a funci ón obj etivo
En l a funci ón obj eti vo sustituim os cada uno de los vérti ces. f(x, y) = 15x + 10 y
f(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000 € f(240, 0 ) = 15·240 + 10·0 = 3 600 €
f(210, 60) = 15·210 + 10·60 = 3 750 € Máximo
La sol uci ón óptim a es fabri car 210 del modelo L1 y 60 del modelo L1 para obtener un benefici o de 3 750 €.
2. Con el com ienzo del curso s e va a lanzar unas ofert as de m at erial escol ar. Unos alm acenes qui eren ofrecer 600 cuadernos , 500 carpet as y 400 bol í grafos para l a oferta, empaquetándolo de dos formas distint as ; en el prim er bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpet a y 2 bolí grafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpet a y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €,
respectivam ent e. ¿C uántos paquet es l e convi ene poner de cada ti po para obtener el máxi mo beneficio?
a) Elección de l as incógnit as. x = P1
y = P2
b) Funci ón obj eti vo f(x, y) = 6.5x + 7 y
c) Rest ri cci ones P1 P2 Disponibl es Cuad ern os 2 3 600 Carpetas 1 1 500 Bolígrafos 2 1 400 2x + 3y ≤ 600 x + y ≤ 500 2x + y ≤ 400 x ≥ 0 y ≥ 0
e) Cal cul ar l as coordenadas de los vértices del recint o de l as soluciones facti bles.
f) Cal cul ar el valor de l a funci ón obj etivo f(x,y) = 6.5 · 200 + 7 · 0 = 1300 €
f(x,y)= 6.5 · 0 + 7 · 200 = 1 400 €
La sol uci ón óptim a s on 150 P1 y 100 P2 con l a que s e obti enen 1 675 €
3. En una granj a de pol los se da una di et a, para engordar, con una com posi ción mí nim a de 15 unidades de una sust anci a A y ot ras 15 de una s ust anci a B. En el m ercado s ól o s e encuent ra dos cl as es de compuest os : el tipo X con una compos ici ón de una unidad de A y 5 de B, y el ot ro t ipo, Y, con una composici ón de cinco uni dades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada ti po para cubri r l as necesi dades con un cost e mí nimo? a) Elección de l as incógnit as.
x = X y = Y
b) Funci ón obj eti vo f(x, y) = 10x + 30 y c) Rest ri cci ones
X Y Míni mo
A 1 5 15
B 5 1 15
x + 5y ≥ 15 5x + y ≥ 15
x ≥ 0 y ≥ 0
d) Hal lar el conjunto de soluci ones fact ibl es
e) Cal cul ar l as coordenadas de los vértices del recint o de l as soluciones facti bles.
f) Cal cul ar el valor de l a funci ón obj etivo f(0, 15) = 10 · 0 + 30 · 15 = 450
f(15, 0) = 10 · 15 + 30 · 0 = 150
f(5/2, 5/ 2) = 10 · 5/2 + 30 · 5/2 = 100 M ínimo
El coste mínimo son 100 € para X = 5/2 e Y = 5/2.
4. Se di spone de 600 g de un determi nado fármaco pa ra el aborar past ill as grandes y pequeñas . Las grandes pesan 40 g y las
pequeñas 30 g. S e necesit an al menos tres pastill as grandes, y al menos el dobl e de pequeñas que de l as grandes . C ada pastill a grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 € . ¿Cuánt as pastill as s e han de el aborar de cada cl as e para que el benefi cio sea máxim o?
a) Elección de l as incógnit as. x = Pastill as grandes
y = Pastill as pequeñas
b) Función objet ivo f(x, y) = 2x + y c) Rest ri cci ones
40x + 30y ≤ 600 x ≥ 3
y ≥ 2x x ≥ 0 y ≥ 0
d) Hal lar el conjunto de soluci ones fact ibl es
e) Cal cul ar l as coordenadas de los vértices del recint o de l as soluciones facti bles.
f) Cal cul ar el valor de l a funci ón obj etivo f(x, y) = 2 · 3 + 16 = 22 €
f(x, y) = 2 · 6 + 12 = 24 € Máximo
El m áximo benefi cio es de 24 €, y se obti ene fabricando 6 pastil las grandes y 12 p equeñ as.
5. Unos grandes alm acenes des ean li quidar 200 camis as y 100 pantal ones de l a t em porada anterior. Para ell o l anz an, dos ofert as , A y B. La ofert a A consis te en un lot e de una camis a y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se des ea ofrecer m enos de 20 lot es de l a oferta A ni m enos de 10 de la B. ¿Cuánt os l otes ha de vender de cada tipo para m aximizar la gananci a?
a) Elección de l as incógnit as. x = nº de l otes de A
y = nº de l otes de B b) Funci ón obj eti vo
f(x, y) = 30x + 50 y c) Rest ri cci ones
A B Míni mo
Camisas 1 3 200
Pantalon es 1 1 100
x + y ≤ 100 x ≥ 20 y ≥ 10
d) Hal lar el conjunto de soluci ones fact ibl es
e) Cal cul ar l as coordenadas de los vértices del recint o de l as soluciones facti bles.
f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 10 = 1100 € f(x, y) = 30 · 90 + 50 · 10 = 3200 € f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 60 = 3600 €
f(x, y) = 30 · 50 + 50 · 50 = 4000 € Máximo
Con 50 l otes d e cada tip o s e obti ene una ganan cia máxi ma de
4000 €.
Ejemplo apli cativo paso a pas o d e p rogramación lineal con geogeb ra
Una fábri ca qui ere produci r bi ciclet as de pas eo y de m ontaña. La fábri ca dispone de 80 kg de acero y 120 kg de al umini o. P ara construi r una bi ci cleta de paseo se necesi tan 1 kg de acero y 3 kg de al umini o, y para const rui r una bi ci cl et a de mont aña se necesitan 2 kg de acero y otros 2 kg de al umini o. Si vende l as bi ci cletas de pas eo a 200 euros y l as de montaña a 150 euros , ¿cuánt as biciclet as de cada ti po debe construir para que el benefici o s ea m áximo?
Resolu ción :
Acero Alumi nio Venta Bi ci cl etas de pas eo (x) 1.x 3.x 200.x Bi ci cl etas de mont aña ( y) 2.x 2. y 150. y
Rest ri cci ones X + 2 y ≤ 80 3x + 2 y ≤ 120 B(x, y) = 200x + 150y (función beneficio) Insertamos 𝑥 ≥ 0 e 𝑦 ≥ 0 en el campo de entrada