VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD
PROBLEMA METODOLÓGICO
A todos los padres de familia una universidad les ofrece la posibilidad de adquirir un certifi cado ne- gociable de pago de colegiatura por uno o más semestres a precios de hoy, pagando en efectivo. El certifi cado de colegiatura será respetado en el futuro en cualquier campus del sistema.
a) ¿Qué supuestos acerca del ritmo de crecimiento del costo de la colegiatura y las tasas de interés
en el futuro tiene que hacer un padre de familia para aceptar esta oferta de la universidad?
b) ¿Qué supuesto hace la universidad?
Respuesta:
a) La persona que acepta la oferta supone implícitamente que en el futuro las colegiaturas van a crecer a un ritmo mayor que el rendimiento que él (o ella) puede obtener en el mercado de dinero, o invirtiendo los fondos en su negocio. Obsérvese que la infl ación esperada no entra directa- mente en este cálculo. Entra indirectamente como un factor en la determinación de las tasas de interés en el futuro. Comprar la colegiatura hoy para uso futuro es equivalente a establecer un fi deicomiso, cuyo rendimiento es igual al ritmo de crecimiento anual de las colegiaturas de la universidad. Es un tipo de ahorro forzoso con un rendimiento garantizado.
b) La universidad supone que utilizando los fondos efi cientemente para la expansión de las instala- ciones obtendrá un rendimiento mayor que la tasa de crecimiento de las colegiaturas; además, desea amarrar a los clientes futuros.
2 E J E M P L O
La educación de un estudiante costará 10 000 Udis por semestre, durante los próximos siete años. Las cuentas en Udis rinden 5% anual, compuesto semestralmente. Se quiere establecer un fi deicomiso hoy para que se encargue del pago de las colegiaturas semestrales. ¿Cuánto se debería depositar en el fi deicomiso?
a 10 000, R 0.05/2 0.025 semestral, n 7(2) 14 semestres
Solución: Aplicamos la fórmula para el valor presente de la anualidad:
116 909.1 10 000 VPA0.025,14 0.025 1 1 1.02514 ¥ § ¦ ´ ¶ µ
Respuesta: En el fi deicomiso hay que depositar 116 909.1 Udis.
3 E J E M P L O
¿Qué términos de adquisición de un automóvil son más ventajosos:
PLAZO
Si conocemos el valor presente de la anualidad y el pago periódico, podemos despejar el nú- mero de pagos: el plazo de la anualidad.
1 E J E M P L O
Un automóvil cuesta $90 000. El enganche es de $20 000. La tasa de interés aplicable es de 18%, compuesta mensualmente. ¿Cuántos pagos mensuales de $4 000 hay que hacer para comprar el automóvil?
VPA 50 000, a 4 000, R 0.015 mensual, n ?
Solución: El valor presente de las n mensualidades es:
70 000 4 000 0.015 1 1 1.015n ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟
Para despejar n, primero multiplicamos ambos lados de la ecuación por 0.015 y a continuación dividimos entre 4 000.
0.2625 1 1 1.015n
Después de reordenar los términos, tenemos:
1
1.015n 0.7375
PLAZO 117
b) pagar un enganche de $20 000 y 24 mensualidades de $3 000, si la tasa de interés es de 18%
compuesta mensualmente?
a 3 000, R 0.18/12 0.015 al mes, n 24 meses
Solución: Para comparar las dos alternativas es necesario calcular el valor presente de la alternativa
b), dado que el VP de la alternativa a) es igual a 70 000.
El valor presente de las 24 mensualidades es:
VPA0.015,24 3000 0.015 1 1 1.01524 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 60 091.22
Sumando a esta cantidad el enganche, obtenemos el valor presente de la alternativa b)
VPb 20 000 60 091.22 80 091.22 VPa 85 000
Respuesta: Resulta más ventajoso comprar el automóvil a plazos.
Secuencia en la calculadora fi nanciera: 12 P.AÑ, MODO FINAL, CLEAR DATA
N %IA VA PAGO VF
? 18 70 000 –4 000 0
Al pulsar la tecla N, obtenemos la respuesta: N 20.45.
Para calcular qué saldo queda después de pagar 20 mensualidades de 4 000, ingresamos 20 en el registro N y, al oprimir la tecla VF, obtenemos la respuesta: VF 1 785.2. Este saldo de la deuda después de 20 pagos hay que liquidarlo junto con el último pago.
¿Cuál sería la respuesta al problema 1 si, en vez de una mensualidad de $4 000 se tratara de liquidar la deuda mediante pagos de $1 050 mensuales? Repetimos la solución sustituyendo
a 2 000:
Ahora, dividimos ambos lados entre 0.7375 y multiplicamos por (1.015) n.
(1.015)n 1.3559
Para fi nalizar, sacamos los logaritmos y despejamos n:
nlog(1.015) log 1.3559
n 0.693/0.0392 20.45 20 meses y 14 días
Cuando el número de pagos no es un número entero, el procedimiento generalmente aceptado es que junto con el último pago el deudor paga también el saldo restante. Para calcular este saldo, tenemos que restar del valor de la deuda después de 20 meses el valor de los pagos efectuados. Después de 20 meses, el valor futuro de los abonos de $4 000 será:
4 000 0.015 1.015
201
(
)
92 494.67 Mientras tanto, el valor futuro de la deuda será:70 000(1.015)20 94 279.85
La diferencia, esto es, $1 785, la tendrá que pagar el deudor junto con su abono número 20. Esta diferencia constituye 45% de un abono normal.
Una manera aproximada de calcular la diferencia es multiplicar la mensualidad por 0.45. El resultado es: 0.45(4 000) 1 800, que es una aproximación aceptable.
1 050 70 000 0.015 1 1 1.015n ¥ § ¦ ´ ¶ µ 1 1 1.04n 1 1 1.04n 0
La ecuación de arriba sólo puede tener sentido como tendencia, cuando n se vuelve infi nita- mente grande: n → ∞.
Este resultado no debe sorprender, ya que $1 050 no es una cantidad cualquiera. Es exac- tamente igual al monto de los intereses: 70 000(0.015) 1 050.
Podemos ir más allá con nuestro ejemplo:
¿Cuántas mensualidades tendría que hacer el comprador si deseara pagar una mensuali- dad nada más de $1 000?
Repetimos la solución sustituyendo: a 1 500 1 000 70 000 0.015 1 1 1.04n ¥ § ¦ ´ ¶ µ 1.05 1 1 1.04n 1 1.04n 0.05
Esta expresión no tiene solución. No hay ningún valor de n que la cumpla. La explicación lógica a esta aparente paradoja es sencilla: si la mensualidad no cubre siquiera los intereses, la deuda no sólo no se pagará nunca, sino que va a crecer.
Antes de la devaluación de diciembre de 1994 los bancos enfrentaban la siguiente situa- ción: exceso de fondos prestables, altas tasas de interés y personas con bajos ingresos. La gran mayoría de los compradores potenciales de las casas no eran sujetos de crédito, porque sus ingresos eran insufi cientes para pagar los intereses. Los bancos “resolvieron” este problema aparentemente insoluble introduciendo en escala masiva un esquema de refi nanciamiento:* 1. El cliente pagaba una mensualidad menor que el interés generado por la deuda. 2. Los intereses no pagados se capitalizaban, aumentando el monto de la deuda.
3. El incremento de la deuda primaria fue fi nanciado por un crédito secundario, que se con- trataba al mismo tiempo que el crédito primario.
Si la mensua- lidad apenas cubre los inte- reses, la deuda no se amortizará nunca. El deudor que no puede pagar un abono mayor a los intereses que genera la deuda no es sujeto de crédito.
PLAZO 119
Los ejecutivos bancarios explicaban a los clientes que de alguna manera la deuda que estaba creciendo todo el tiempo en el futuro iba a desaparecer. Nadie entendía cómo, pero el esque- ma parecía bastante atractivo.
Los hechos demostraron que el esquema de refi nanciamiento, aplicado en gran escala, era muy arriesgado y a la postre resultó ser fatal para los bancos. No se sabe con certeza qué cálculos hicieron los bancos al aplicar este esquema. Sólo podemos conjeturar que el supuesto en que se fundamentaba el refi nanciamiento era que en el futuro las tasas de interés iban a bajar y/o los ingresos de los deudores iban a subir. Después de la devaluación ocurrió exactamente lo contrario. Estalló la crisis de la cartera vencida y en 1995 todos los bancos mexicanos se encon- traban en quiebra técnica. Los bancos fueron rescatados por Fobaproa,1 pero el problema de la cartera vencida todavía no está resuelto.
Algunos deudores demandaron a los bancos ante los tribunales, alegando que el esquema de fi nanciamiento no fue un error fi nanciero, sino una trampa. Según este argumento, los bancos proponían a sus clientes un esquema incomprensible, pero que inevitablemente con- ducía a la insolvencia. El esquema de refi nanciamiento nunca era viable, aumentaba la deuda en forma continua y tenía que desembocar en la suspensión de pagos. Según los abogados de los deudores, los bancos sabían todo esto y simplemente deseaban adjudicarse las garantías (las casas compradas con créditos hipotecarios). Si fuese así, los contratos no tienen valor legal, porque desde inicio se basaban en mala fe y en un afán de engaño.
Resulta difícil juzgar si el esquema de refi nanciamiento en los créditos hipotecarios antes de 1995 fue un error fi nanciero, o un esquema fraudulento por parte de los bancos. De cual- quier manera es un buen ejemplo de que el desconocimiento de las matemáticas fi nancieras puede conducir a situaciones desastrosas.