VALOR PRESENTE
SECUENCIA EN LA CALCULADORA FINANCIERA:
12 P.AÑ, MODO FINAL, CLEAR DATA, N ⫽ 36, %IA ⫽ 36, VF ⫽ 200 000. Al pulsar la tecla VA , obtenemos la respuesta: 69 006.48 (con el signo negativo). El ejemplo anterior ilustra el valor del dinero en el tiempo:
Si el costo de capital es de 36%, $200 000 en 3 años es equivalente a $69 000 hoy.
0 1 2 3
69 006
200 000
3 E J E M P L O
Un proyecto promete los siguientes fl ujos de efectivo netos al fi nal de cada uno de los 3 años de su vida: 100, 300, 200. ¿Cuál es el valor presente de los fl ujos de efectivo esperados del proyecto, si el costo de capital de la empresa aplicable para este tipo de proyectos es de 28%?
FE1⫽ 100, FE2⫽ 300, FE3⫽ 200, k ⫽ 28% (el costo de capital)
Solución: El valor presente de los fl ujos de efectivo es la suma de los valores presentes de cada
uno de los fl ujos, descontados con la tasa de interés que representa el costo de capital. La solu- ción consiste en calcular por separado el valor presente de cada uno de los fl ujos esperados en el futuro y después sumarlos.
Podemos visualizar el problema en la línea de tiempo:
0 1 2 3
100 300 200
VP(100) VP(300) VP(200)
La solución analítica está plasmada en la siguiente ecuación:
VP FE1 1 k
FE2 1 k
2 FE3 1 k
3
Sustituyendo los datos del problema en esta ecuación, tenemos:
VP 100 1.28 300 1.282 200 1.283 356.6
Respuesta: El valor presente de los fl ujos de efectivo esperados del proyecto es de $356.60.
Es el valor presente bruto, ya que no toma en cuenta el costo del proyecto.
Si vamos a recibir varios fl ujos de efectivo en diferentes momentos en el futuro, para compararlos necesitamos calcular el valor presente de todos los fl ujos, utilizando una tasa de descuento que representa el costo de oportunidad del dinero (la tasa de mercado ajustada por el riesgo).
Dado el valor presente, el valor futuro y el plazo, podemos calcular la tasa de descuento com- puesto que iguala el valor presente con el valor futuro. Dicha tasa es la tasa interna de retorno del proyecto, o rendimiento al vencimiento, en el caso de algún instrumento fi nanciero. En cualquier caso, la tasa con la que se descuentan los fl ujos futuros debe ser mayor que la infl a- ción esperada, porque de lo contrario tendríamos un rendimiento real negativo.
4 E J E M P L O
En la compra de una casa se pagan $100 000 y los restantes $300 000 se liquidarán dentro de 3 años. ¿Cuál es el valor presente de la casa si el dueño puede obtener un rendimiento anual de 20% compuesto trimestralmente?
VF ⫽ 300 000, R ⫽ 20%, m ⫽ 4, t ⫽ 3 años.
Solución: El valor presente de la casa es $100 000 más el valor presente de $300 000 dentro de
3 años: VP
casa100 000 300000 10.2 4 ¥ § ¦ ´ ¶ µ 3 s 4 100 000 167 051.23 267 051.23
Respuesta: Para el dueño, el valor presente de la casa es de $267 051.23.
5 E J E M P L O
Nos proponen una inversión que cuesta $100 000 y dentro de 2 años producirá un ingreso de $200 000. Se espera que durante los próximos 2 años la infl ación promedio será de 45% anual. ¿Conviene hacer la inversión?
VP ⫽ 100 000, VF ⫽ 200 000, R ⫽ ?, E(i) ⫽ 45%, t ⫽ 2
Solución: La solución consiste en comparar el costo presente de la inversión con el valor pre-
sente del ingreso producido por la inversión dentro de 2 años y después despejar de la ecuación la tasa de descuento que, en este caso, se llama tasa interna de retorno (TIR)1 o rendimiento al vencimiento.
100 200 1 R
2
Para despejar R, multiplicamos ambos lados de la ecuación por (1 ⫹ R)2 y dividimos entre 100.
(1 ⫹ R) 2⫽ 2
1 La TIR es la tasa de descuento que iguala el valor presente de los fl ujos de efectivo futuros con el costo presente de
la inversión.
Ahora, sacamos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación y despejamos R: 1 ⫹ R ⫽ 21/2 ⫽ 1.4142 ⇒ R ⫽ 41.42%
Respuesta: El rendimiento de la inversión es menor que la infl ación esperada, lo que implica un
rendimiento negativo. La inversión no debe hacerse.
Para calcular el rendimiento real aplicamos la ecuación de Fisher:
r R i
1 i
0.4142 0.45
1.45 0.0247 2.47% El rendimiento negativo de la inversión es de ⫺2.47%.2
Observación: El método de Fisher reduce el valor absoluto de la tasa de interés real, independien-
temente de si ésta es positiva o negativa.
2 Utilizando el método aproximado, diríamos que la tasa real es de ⫺3.6%. 6
E J E M P L O
Un bono sin cupones que promete pagar $100 en 5 años cuesta $70. ¿Cuál es el rendimiento al vencimiento del bono?
VP ⫽ 70, VF ⫽ 100, t ⫽ 5, R ⫽ ?
Solución:
70 100 1 R
5
Para despejar R, multiplicamos ambos lados de la ecuación por (1 ⫹ R)5 y dividimos entre 70. (1 ⫹ R)5⫽ 1.4286
1 ⫹ R ⫽ 1.42860.2⫽ 1.0739 ⇒ R ⫽ 7.39% Respuesta: El rendimiento al vencimiento del bono comprado a $70 es de 7.39%.
¿Cuánto pagaría por el bono del ejemplo 6, si su rendimiento requerido para ese tipo de bonos fuese de 8%?
V 100
1.085 68.0583
Rendimiento al vencimiento de un bono es el rendimiento calculado con base en el precio
de mercado del bono y sus fl ujos de efectivo esperados.
Rendimiento requerido es la tasa de descuento que el inversionista usa para calcular el
Plazo fraccionario
Cuando el plazo es fraccionario, seguimos el procedimiento exactamente igual que en el caso de plazo entero.
7 E J E M P L O
Se descuenta en un banco un documento de $5 000 con vencimiento a 3 meses. El documento produce 2% mensual. El banco lo descuenta con una tasa de 23% anual, compuesta anualmente. ¿Cuál es la cantidad que se recibe?
VP ⫽ 5 000, R1⫽ 0.04 mensual, t ⫽ 3 meses o 0.25 años.
Solución:
a) El monto futuro del principal original es:
VF ⫽ VP (1 ⫹ R)t⫽ 5 000(1.02)3⫽ 5 306.04
b) El banco descuenta esta cantidad con la tasa anual de 23%, siendo el plazo ¼ de un año:
VP VF
1 R
t
5 624.32
1.230.25 5 038.42
Respuesta: Se reciben $5 038.42. Esto signifi ca que el banco descuenta el documento con una
tasa menor que la tasa de rendimiento del documento.
Para calcular el rendimiento anual efectivo del documento, simplemente anualizamos la tasa mensual de 2%:
(1.02)12⫺ 1 ⫽ 0.2682 ⫽ 26.82%
El rendimiento efectivo del documento es mayor que la tasa de descuento compuesto del banco, por lo que el banco tiene que pagarnos más que el valor nominal.
Descuento continuo
En fi nanzas avanzadas se utiliza con frecuencia el descuento continuo. La fórmula del valor presente con el descuento continuo se deriva de la fórmula del crecimiento exponencial con- tinuo: VF ⫽ VPeRt de donde: VPVF eRt VFe Rt VALORPRESENTE 99