Prueba Diagnóstica

Para llevar a cabo la presente investigación se realizó una prueba diagnóstica aplicada a los estudiantes de los grados 5-1 y 5-2 con el objeto de identificar las posibles debilidades que se presentaron en la interpretación de problemas matemáticos que involucren las cuatro operaciones básicas, partiendo de un análisis basado en los pasos del método Polya. Para ello, se entregó a cada estudiante una prueba que contaba con cinco problemas de situaciones reales y en cada uno se pretendía que el estudiante interpretara los datos del problema relacionándolo con sus saberes previos, buscara la operación adecuada para llegar a la solución y diera la respuesta de forma individual y sin la orientación del docente.

Una vez obtenidos los resultados en esta prueba diagnóstica se realizó nuevamente el cuestionario con el fin de evaluar la efectividad de la propuesta metodológica (secuencia didáctica) y mostrar los avances de los estudiantes comparando la prueba diagnóstica y la prueba final.

3.5.1. Hallazgos encontrados en la prueba diagnóstica.

A continuación, se describen los hallazgos encontrados en cada una de los problemas aplicados en la Prueba Diagnóstica Tablas 2 a la 6, donde se evidencian algunas dificultades para resolver problemas matemáticos que involucren las cuatro operaciones básicas. Del total de los hallazgos se seleccionaron tres (3) casos relevantes cuyas características muestran las dificultades o aciertos al resolver un problema teniendo en cuenta cada paso del método Polya. Los criterios de selección de estos casos se realizaron partiendo de aquellas situaciones que se repitieron con mayor frecuencia y que fueron una constante durante la Prueba Diagnóstica, pero después de aplicar la Secuencia Didáctica se observaron avances significativos en la Prueba Final.

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Análisis de resultados

Problema 1: Según Polya para conocer si se llevó a cabo el primer pasó del método, el estudiante debía interpretar los datos del problema correctamente y entender el enunciado relacionándolo con sus saberes previos para llegar a la solución. Teniendo en cuenta lo anterior, al aplicar la prueba diagnóstica se presentaron tres casos puntuales: Caso 1: los estudiantes identificaron la suma como operación, pero no interpretaron los datos del problema para hallar la solución correcta de acuerdo a las cantidades requeridas, por tanto, no solucionaron adecuadamente los otros ítems que necesariamente requerían de la solución correcta del ítem a).

Caso 2: el estudiante no tomó en cuenta las cantidades que se necesitaban de los artículos y realizó operaciones con el valor unitario de cada uno de ellos, razón por la cual no obtuvo la respuesta correcta. Caso 3: entendió los datos del problema, pero no realizó correctamente el algoritmo, pues no organizó las cantidades de acuerdo a su valor posicional, por lo tanto, obtuvo la respuesta incorrecta, los hallazgos se encuentran en la Tabla 2.

Tabla 2:

Hallazgos Prueba Diagnóstica en la Pregunta 1

Pregunta Casos e ilustraciones

Objetivo: Aplicar el algoritmo de la suma para hallar el total de artículos teniendo el precio de uno

Figura 4:Problema 1

Los estudiantes no tienen en cuenta el valor por unidad de los artículos para hallar el total, según la cantidad requerida.

Caso 1, ilustración 1 ilustración 2

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Tabla 2: Hallazgos Prueba Diagnóstica en la Pregunta 1(continuación)

Pregunta Casos e ilustraciones

Caso 2, ilustración 1

Caso 3, ilustración 1

Caso 1 ilustración 1 y 2, caso 2, ilustración 1 y caso 3, ilustración 1. Corresponder a las respuestas del problema 1 de la prueba diagnóstica, ítems a), b), c) y d).

48 Figura 5: Problema 2

Problema 2. Se identificaron los siguientes casos: Caso 1: Los estudiantes no interpretaron correctamente los datos ni identificaron la operación (resta) por lo tanto no se realizaron el primer y segundo paso del método Polya. En el Caso 2, la principal dificultad se encontró al momento de realizar la operación pues los estudiantes colocaron las cifras sin tener en cuenta que la resta no es conmutativa por lo que a la cantidad menor le sustrajeron la mayor, esto indica que presentaron debilidades en el segundo, tercero y cuarto paso del método Polya.

Caso 3, se llegó al primer paso del método, pero no desarrolló de forma correcta los otros tres, debido a que no tomo los valores adecuados por consiguiente la respuesta fue incorrecta.

Tabla 3:

Hallazgos Prueba Diagnóstica en la Pregunta 2

Pregunta Casos e ilustraciones

Objetivo: Identificar el algoritmo de la resta al interpretar los datos del problema teniendo en cuenta las cantidades.

Los estudiantes no interpretaron los datos del problema, ni identificaron el algoritmo de la resta, o presentan dificultades para restar ya que no tienen en cuenta que la resta no es Conmutativa.

Caso 1, ilustración 1 ilustración 2

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Tabla 3: Hallazgos Prueba Diagnóstica en la Pregunta 2 (Continuación)

Pregunta Casos e ilustraciones

Caso 2, ilustración 1

Caso 3, ilustración 1

Caso 1 ilustración 1 y 2, caso 2, ilustración 1 y caso 3, ilustración 1. Corresponde a las respuestas del problema 2

de la prueba diagnóstica, ítems a), b), c) y d).

Problema 3: Caso 1: interpretó de forma incorrecta los datos del problema y aplicó de forma inadecuada el algoritmo. Caso 2: el estudiante utilizó la suma como única solución al problema, esto debido al poco dominio para recordar las tablas de multiplicar. Caso 3: interpretó de forma lógica los datos y realizó adecuadamente el algoritmo, pero la respuesta fue incorrecta, porque no tuvo en cuenta las cantidades de los artículos y su valor unitario, al relacionar los tres casos con el método Polya se puede deducir lo siguiente: teniendo en cuenta que la interpretación

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de un problema es el primer paso del método Polya, el estudiante debió identificar los datos del problema y resumir la idea central de esta manera podría llegar a los siguientes pasos, que le permiten aplicar el algoritmo correcto para llegar a la solución del problema, de acuerdo a esto se observa que en ninguno de los tres casos se aplicó el método Polya.

Tabla 4:

Hallazgos Prueba Diagnóstica en la Pregunta 3

Pregunta Casos e ilustraciones

Objetivo. Identificar el algoritmo de la multiplicación al interpretar los datos del problema.

Figura 6: Problema 3

Las dificultades encontradas, se generalizan en que no tomaron en cuenta los datos del problema para aplicar correctamente el algoritmo de la multiplicación, de acuerdo a esto se presentaron tres casos:

Caso 1, ilustración 1

Caso 2, ilustración 1

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Tabla 4: Hallazgos Prueba Diagnóstica en la Pregunta 3 (continuación)

Pregunta Casos e ilustraciones

Caso 3, ilustración 1

Caso 1 ilustración 1, caso 2, ilustración 1 y caso 3,

ilustración 1. Corresponde a las respuestas del problema 3 de la prueba diagnóstica, ítems a) y b).

Problema 4: Caso 1: recurrieron a la suma como única solución al problema y no utilizaron el algoritmo correcto (división), de acuerdo a lo descrito por Polya, en este caso no se llevó a cabo la interpretación correcta de los datos del problema y como resultado no se realizaron los siguientes pasos del método. Caso 2: identificó el algoritmo, interpretó incorrectamente los datos y no obtuvo la solución adecuada al problema, es decir el estudiante solo realizó el paso 3 de Polya. Para el Caso 3: no se cumplió ningún paso del método Polya debido a que se les dificulto interpretar los datos del problema, no se identificó el algoritmo adecuado y recurrieron a la multiplicación en lugar de la división, por lo tanto, no se obtuvo la solución correcta.

Tabla 5:

Hallazgos Prueba Diagnóstica en la Pregunta 4

Pregunta Casos e ilustraciones

Objetivo: Identificar el algoritmo de la división al interpretar los datos del problema.

En el problema los estudiantes no tuvieron en cuenta los datos para aplicar correctamente el algoritmo de la división.

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Tabla 5: Hallazgos Prueba Diagnóstica en la Pregunta 4 (continuación)

Pregunta Casos e ilustraciones

.

Figura 7: Problema 4

Caso 1 ilustración1 Caso 2, ilustración 1

Caso 3, ilustración 1

Caso 1 ilustración 1, caso 2, ilustración 1 y caso 3, ilustración 1: Corresponde a las respuesta del problema 4 de la prueba diagnóstica, ítems a) y b).

Según Polya, en el paso 1 del método el estudiante deberá entender el problema, además identificar los datos y el algoritmo adecuado para llegar a la respuesta correcta, en el Caso 1 se pudo observar que el estudiante no interpreto los datos, ni lo que solicito cada ítem, también presento dificultad al resolver problemas que involucraran las cuatro operaciones, pues no identificó el algoritmo adecuado para encontrar la solución. Para el Caso 2 interpretó de forma incorrecta los datos, pero identificó las operaciones y utilizó el algoritmo adecuado. Caso 3 el estudiante identificó la operación para cada ítem, pero no resolvió adecuadamente el algoritmo.

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Tabla 6:

Hallazgos Prueba Diagnóstica en la Pregunta 5

Pregunta Casos e ilustraciones

Objetivo: Identificar el tipo de algoritmo que debe aplicar a un problema que involucra las cuatro operaciones.

Figura 8: Problema 5

En el problema los estudiantes no interpretaron los datos del problema y no identificaron las operaciones adecuadas para resolver cada ítem.

Caso 1, ilustración 1.

Caso 2, ilustración 1

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Tabla 6: Hallazgos Prueba Diagnóstica en la Pregunta 5 (continuación)

Pregunta Casos e ilustraciones

Caso 3, ilustración 1

Caso 1 ilustración 1, caso 2, ilustración 1 y caso 3, ilustración 1. Corresponde a las respuestas del problema 5, ítems a), b), c), d) y e).

Según Polya, en el paso 1 del método el estudiante deberá entender el problema, además identificar los datos y el algoritmo adecuado para llegar a la respuesta correcta, en el Caso 1 se pudo observar que el estudiante no interpreto los datos, ni lo que solicito cada ítem, también presento dificultad al resolver problemas que involucraran las cuatro operaciones, pues no identificaron el algoritmo adecuado para encontrar la solución. Para el Caso 2 interpreto de forma incorrecta los datos pero identificó las operaciones y utilizó el algoritmo adecuado. Caso 3

el estudiante identificó la operación para cada ítem pero no resolvió adecuadamente el algoritmo.

Después de detectar las dificultades en la prueba diagnóstica, se seleccionaron tres entrevistas realizadas a los estudiantes (E6, E28 y E37), quienes fueron seleccionados de acuerdo a su desempeño en la realización de las actividades de la prueba, con el objetivo de conocer las razones por las cuales presentaron ciertas fallas al interpretar y resolver el problema 5 que involucran las cuatro operaciones.

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A la pregunta: Por qué al resolver el ítem a, que se refiere a: ¿Cuántas monedas de la colección de la abuela hay en cada cofre, usted realizó una resta?, el estudiante E37 respondió:

Profe, yo hice una resta porque pensé que en los tres cofres había 200 monedas en cada uno, ósea 600 y 6000 de la abuela menos 600 pues me da 5400 monedas, eso fue lo que hice.

La respuesta dada por el estudiante indica que de acuerdo a los pasos de Polya, no entendió el problema, por lo tanto, no realizó la operación correspondiente. Se concluye que al existir una dificultad para interpretar los datos del problema es imposible llevar a cabo los demás pasos del método.

Al preguntar a E6 sobre el ítem c, ¿Cuántas monedas hay en cada cofre?, su respuesta fue 2000 monedas, por lo que se le pregunta: ¿Cuál fue el procedimiento que usted siguió para dar esa respuesta?: E6, responde: Vea profe, lo hice así, como dice que hay 6000 monedas distribuidas en tres cofres yo dividí 6000 entre 3 y me dio 2000. El docente agrega: ¿usted tomó en cuenta que además de las 6000 monedas de la colección de la abuela, en cada cofre había otra cantidad de monedas de plata y de bronce? E6 manifiesta: ah! Si profe se me olvido, no leí bien.

El procedimiento que el estudiante desarrollo en el ítem c, demuestra que no analizó detenidamente los datos del problema para dar la respuesta, aunque aplicó correctamente los pasos 2, 3 y 4 de Polya, de nuevo la dificultad se presentó en la interpretación del problema.

Se pregunta a E28: ¿para resolver el problema cinco que procedimiento realizó? Responde E28: Bueno, pues yo primero leí y me imagine, que era lo que tenía que hacer, entonces yo para ir contestando las preguntas, pensé: bueno yo que operación hago aquí y empecé a resolver así: para el ejercicio a, yo dividí 6000 que eran todas las monedas de la colección entre 3 porque eran 3 cofres, para el b, multiplique 200 por 2 porque era el doble y luego al resultado lo multiplique por 3, luego para el c, sume todas las monedas, para el d, multipliqué lo que me dio de las monedas por los 3 cofres y para el último que era el e, lo que hice fue restar lo que tenía la abuela menos lo que le dio a la nieta, y así me dio todo, bueno eso creo.

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El docente agrega: usted tenía todo muy claro sobre las operaciones que debía utilizar en cada pregunta del problema, entonces ¿Por qué los resultados en cada una de las operaciones estaban incorrectos? El estudiante responde con gestos de asombro, ¡ay!, profesora yo creo que fue por al afán de irnos rápido porque ya iban a tocar el timbre y mi mamá me estaba esperando, pero yo sé hacer las operaciones bien.

Analizando lo anterior, y tomando como referencia el Método Polya, se puede deducir que el E28, resolvió el problema cinco, aplicando los pasos de Polya. A partir de esto se observó que algunos estudiantes de ambos grados resolvieron problemas ya que tenían presente los conocimientos previos necesarios y las dificultades encontradas fueron mínimas. Mientras que la mayoría de estudiantes de los dos grupos presentaron problemas para interpretar e identificar del algoritmo adecuado.

Conclusiones de la prueba diagnóstica

1. Es evidente que existe una dificultad para interpretar los datos de un problema debido a diferentes factores que pueden influir, como son: poca comprensión lectora, falta de concentración, poca disponibilidad de parte del estudiante y falta de conocimientos previos para resolver algoritmos.

2. La apatía que se tiene hacia la lectura hace que algunos estudiantes sientan pereza cuando se enfrentan a un problema y contestan rápidamente sin una interpretación lógica por lo que la solución en muchos casos no es la adecuada.

3. Al resumir la idea central de un problema creen en la suma como único camino para llegar a la solución. Un requisito básico en el estudiante de grado quinto es tener dominio en el manejo de las tablas de multiplicar, esta es una de las dificultades más notorias pues les impide realizar aquellas operaciones que requieran de su uso, por tal razón cuando el estudiante se enfrenta a esta clase de problemas aunque sepa que debe aplicar una multiplicación emplea la suma.

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4. Cuando se enfrentan a un problema que combina varias operaciones confunden los datos y se les dificulta identificar el procedimiento correcto y la operación adecuada en cada paso.

5. Algunos estudiantes aplican de manera incorrecta el algoritmo de la resta y de la división pues en primera instancia al aplicar la resta en la resolución de un problema utilizan la cantidad menor para sustraer la cantidad mayor, el proceso de la división requiere principalmente de conocimientos previos en resta y multiplicación por esta razón al no tenerlos presentes les impide realizar la división de forma correcta.

Partiendo de los resultados obtenidos en la prueba diagnóstica se llevó a cabo la intervención en el aula con una secuencia didáctica que permitió fortalecer la interpretación de problemas matemáticos aplicando las cuatro operaciones básicas a través de la organización de “La Fiesta de Tinito”, llevando a cabo una serie de actividades que motivaron a los estudiantes a resolver problemas aplicando los pasos del método Polya, lo que permitió fortalecer las debilidades detectadas en la prueba diagnóstica como se evidencia en los resultados obtenidos en la prueba final mostrados a continuación.

Resultados Prueba Final

Para la prueba final se utilizó el mismo cuestionario empleado durante la Prueba Diagnóstica, el cual está diseñado con cinco problemas de situaciones reales que de acuerdo a Blanco (1993, p.12) “se trata de plantear actividades lo más cercanas posibles a situaciones reales que requieran el uso de habilidades, conceptos y procesos matemáticos”, es decir son problemas que los estudiantes relacionan con sus vivencias y que pueden interpretar fácilmente. Se seleccionaron problemas con estas características pues tenían un lenguaje fácil de comprender, estaban al alcance de los conocimientos de los estudiantes y despertaban la motivación por las situaciones planteadas, ya que les permitían relacionarlos con sus saberes previos.

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Después de realizarse las actividades de la secuencia didáctica, se aplicó la Prueba Final con el objetivo de analizar los avances de los estudiantes en cuanto a la interpretación de problemas que involucren las cuatro operaciones básicas, tomando como referencia los pasos del Método Polya (1945) en la resolución de problemas de situaciones reales.

Para realizar el análisis de esta prueba, se relacionaron los resultados obtenidos, las entrevistaron a los estudiantes y los descriptores de cada paso del método Polya y resolución de problemas matemáticos.

Las entrevistas se realizaron a los E28, E6 y E37, quienes representan tres grupos en los que se dividieron los grados 5-1 y 5-2 al aplicar la prueba diagnóstica de acuerdo a los resultados obtenidos.

E28, representa aquellos estudiantes que inicialmente presentaron algunas dificultades debido a la rapidez en la realización de la prueba, pero tienen buena interpretación de los problemas y el manejo correcto de las operaciones básicas.

Otro grupo de estudiantes se encuentra representado por E6, quienes presentaron dudas en cuanto a la interpretación y requirieron orientación en las actividades de la secuencia didáctica y en el desarrollo de la parte algorítmica.

Y un tercer grupo está representado por E37, al que pertenece aquellos estudiantes que no obtuvieron buenos resultados al aplicar la prueba diagnóstica por debilidades en la parte interpretativa y del algoritmo, pero que en la prueba final mostraron avances significativos.

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En la entrevista a E28 se le preguntó: en el problema cinco de la prueba diagnóstica usted presentó algunas dificultades en la aplicación de los algoritmos, luego al compararlo con la prueba final, el problema se encuentra correctamente solucionado, ¿cuál cree usted que fue la dificultad inicial? Responde E28: Profe, al comienzo el problema estaba un poquito enredado porque tenía muchos datos y yo si entendí, pero hice mal las operaciones porque quería terminar de primera pero luego cuando lo volví a hacer en la prueba final, leí detenidamente y me aseguré de las operaciones que debía hacer y que me quedaran bien.

Se pregunta a E28: de acuerdo a los que usted acaba de mencionar, ¿qué cree que es lo más importante para resolver un problema matemático? Responde E28: Profe, yo pienso que lo más importante es leer bien, o sea entender todo lo que dice el problema y que se debe hacer. Para poder no equivocarme en la operación.

La respuesta de E28 da a entender que después de realizar la Prueba Final está aplicando los pasos del Método Polya, pues resalta la importancia del primer paso que es: entender el problema, que según los descriptores (tabla 1): se resumen el enunciado de la situación problema relacionándolo con sus vivencias, se familiariza con él, lo interioriza y estimula la memoria recordando experiencias similares, lo que da pie a que pueda realizar los demás pasos. Basado en lo anterior se concluye que E28 tuvo un avance significativo en cuanto a la resolución de problemas.

Entre los problemas presentados en la prueba final, el problema 5 causó mayor dificultad en el grupo de estudiantes representados por E6 debido a que involucraba las cuatro operaciones básicas y el estudiante debía identificar la operación correcta para cada ítem del problema.

Se pregunta a E6: en el problema cinco, usted inicialmente presentó errores en el desarrollo de los ítems, ¿cómo logro resolver el problema correctamente en la prueba final? E6

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responde: Profesora, vea, yo leí muchas veces el problema, como cinco veces y de todos modos le pedí su ayuda por eso me demore tanto en resolverlo, aunque todavía me confundo, ya pude entender cuáles son las operaciones que tengo que hacer y cuando es una suma, una resta, una