donde X es el valor del cuarto pago por cancelar dentro de un año.
RELACIÓN ENTRE TASAS NOMINALES: UNA VENCIDA Y LA OTRA ANTICIPADA
No obstante que en la calculadora fi nanciera se puede pasar de una tasa nominal vencida a una tasa nominal anticipada equivalente y viceversa, también se puede realizar esta operación a partir de la si- guiente expresión, cuya deducción puede ser un buen ejercicio para que la desarrolle aquella persona interesada en profundizar en las deducciones fi nancieras. La expresión es:
donde: invm = es una tasa nominal vencida que capitaliza m veces al año
inap = es una tasa nominal anticipada que capitaliza p veces al año
y las dos tasas son equivalentes.
EJEMPLO
Hallar la tasa TA equivalente al 21% SV.
En este caso se tiene que: invm = 21% SV, donde m = 2; se trata de hallar inap donde p = 4.
Utilizando la expresión anterior se tiene que:
Es decir, 19,48% TA.
EJEMPLO
Hallar la tasa MV equivalente al 14% BA.
En este caso se tiene que: inap = 14% BA., donde p = 6; se trata de hallar invm
para m = 12.
Entonces, utilizando la expresión anterior se tiene que:
102
003 matematicas.indd 102
Es decir, que el 14% BA es equivalente al 14.25% MV. Se puede comprobar utilizando la calcula- dora fi nanciera.
La expresión anterior también se puede utilizar para hallar equivalencias entre tasas efectivas anuales donde una es anticipada y la otra es vencida.
EJEMPLO
Hallar la tasa efectiva anual vencida equivalente al 23% anual anticipada. Para este caso se tiene: inap = 23%,
donde p = 1; se busca la tasa invm para m = 1.
Entonces se establece la relación:
y se obtiene invm = 0,2987.
Es decir, la tasa anual vencida del 29,87% es equivalente al 23% AA.
Esta equivalencia también se puede establecer a partir de la expresión número 3 del formulario que aparece al fi nal del texto.
En efecto:
Como aplicación práctica, el estudiante deberá comprobar la validez de las relaciones siguientes entre tasas nominales anticipadas y su equivalente efectivo anual, sobre información que comúnmen- te encontramos en instituciones bancarias (lo que se acostumbra llamar “el tablero económico”).
i) Operaciones pasivas internas
Tasa nominal Tasa efectiva
CDT a 90 días TA 23,94% 28%
CDT a 180 días TA 22,46% 26%
CDT a 360 días TA 22,46% 26%
ii) Rentabilidad diaria para saldos mayores de:
Tasa nominal Tasa efectiva
30.000 hasta 10.000.000 DA 23,90% 27%
10.000.001 hasta 50.000.000 DA 22,32% 25%
50.000.001 hasta 100.000.000 DA 21,11% 23,5%
Ssuperiores a 100.000.000 DA 20,29% 22,50%
iii) DTF
El DTF (depósito a término fi jo) es una tasa muy utilizada en el sistema fi nanciero colombiano. Se calcula como el promedio ponderado de las diferentes tasas de interés de captación utilizadas por los bancos, corporaciones fi nancieras, corporaciones de ahorro y vivienda y compañías de fi nanciamiento comer- cial, para calcular los intereses que reconocerán a los certifi cados de depósito a término (CDT). El cálculo del DTF como un promedio ponderado se hace siguiendo los pasos que se enuncian a continuación:
103
003 matematicas.indd 103
• Recolectar para cada una de las entidades fi nancieras descritas anteriormente el valor de la tasa de interés que reconoce por los CDT y la cantidad de dinero o recursos que el inversionista tiene depositados en CDT.
• Multiplicar el valor de la tasa de interés por la cantidad de recursos, haciendo esto para cada
entidad por separado, y sumar los resultados obtenidos.
• Dividir la suma obtenida anteriormente entre la suma de los recursos depositados en CDT.
• El valor así obtenido corresponde al DTF que se utilizará en la siguiente semana; esta tasa es cal-
culada por el Banco de la República semanalmente a partir de la información suministrada por la Superintendencia Bancaria.
Así, por ejemplo, para el siguiente caso en el que los recursos están en millones de pesos:
Entidad fi nanciera Tasa de interés
del CDT (TV) Recursos en CDT Total recurso x tasa Banco el 5,5% 1.300 7.150 Corporación fi nanciera el 5% 980 4.900
Corporación de ahorro y vivienda el 7,6% 1.420 10.792
Compañía de fi nanciamilento comercial el 6,8% 860 5.848
Total 4.560 28.690
Entonces:
Equivalente a: DTF = 6,19% TA.
La tasa DTF también se utiliza, sumándole algunos puntos, para determinar el costo fi nanciero de un crédito en algunas líneas especiales de crédito, como por ejemplo las tasas de redescuento en pe- sos para empresas vinculadas al comercio exterior. Así, se habla de que para un crédito con vigencia de dos hasta tres años se cobrará una tasa del DTF (EA) + 2,20 (EA), y así el costo fi nanciero dependerá del valor que tenga el DTF en la fecha correspondiente.
A continuación se presenta una tabla que tiene como fuente el Banco de la República y que muestra la tasa efectiva anual y algunas nominales equivalentes tanto para el DTF como para la TCC, en dos semanas consecutivas de junio del año 2006.
Aquí se muestran dos formas como se publican estas tasas cada semana en medios diferentes, donde se puede observar la equivalencia entre los términos utilizados para expresar o denotar las tasas nominales.
Tasa de interés semanal
Junio 19 Junio 12 Junio 25 Junio 18 DTF EA 6,13 6,01 DTF TA 5,91 5,79 DTF TV 5,99 5,88 DTF SA 5,86 5,75 DTF SV 6,04 5,92 TCC EA 6,51 6,79 TCC TA 6,26 6,52 TCC TV 6,36 6,62 TCC SA 6.21 6,46 TCC SV 6,41 6,68 CDT 180 6,60 6,72 CDT 360 5,66 6,15
Fuente: Banco de la República.
104
003 matematicas.indd 104
Tasa de interés (%)
ACT. ANT. ACT. ANT.
DTF EFECTIVO ANUAL 6,13 6,01 TCC EFECTIVO ANUAL 6,51 6,79
DTF TRIMESTRE ANTIC. 5,91 5,79 TCC T1RIMESTRE ANTIC. 6,26 6,52
DTF TRIMESTRE VENC. 5,99 5,88 TCC TRIMESTRE VENC. 6,36 6,62
DTF SEMESTRE ANTIC. 5,86 5,75 TCC SEMETRE ANTIC. 6,21 6,46
DTF SEMESTRE VENC. 6,04 5,92 TCC SEMESTRE VENC. 6,41 6,68
INTERBANCARIA (EA) 6,30 6,25 INTERBANCARIA (nominal) 6,11 6,06
El lector debe comprobar la equivalencia entre la TEA y las nominales que aparecen en la tabla, tanto para el DTF como para la TCC, al mismo tiempo que complementar la tabla con las tasas nomi- nales en otros períodos, es decir, calcular las tasas BV (bimestre vencido), BA (bimestre anticipado), MV (mes vencido) y MA (mes anticipado).
iv) TCC
La TCC es la tasa de captación de las corporaciones fi nancieras y corresponde a la tasa que reconocen estas instituciones a los depositantes por los recursos captados. A esta tasa se le conoce también con el nombre de tasa pasiva, para indicar que los depósitos constituyen una deuda de la entidad con terceros que son los depositantes.
La TCC es una tasa promedio de captación por recursos obtenidos por las corporaciones fi nan- cieras privadas por medio de CDT, por lo general a noventa días y expresada en diferentes modalida- des, ya sea nominal o efectiva y anticipada o vencida.
En la tabla anterior se puede ver esta tasa en forma efectiva anual y algunas de sus equivalencias en tasas nominales.