INTERÉS COMPUESTO
3.5 Valores presente y futuro
En la sección 3.3 se nombraron las principales clases de interés; sin embargo, debido a que en la actuali- dad el interés que más se utiliza es el compuesto, el desarrollo de los temas de este libro se hará alrededor de esta clase de interés, sin pasar por alto el interés continuo, que tendría su aplicación hacia el futuro.
Dos conceptos básicos en matemáticas fi nancieras son los que hacen referencia al valor presente y valor futuro de una o varias sumas de dinero. Debido a la estrecha relación que existe entre los dos conceptos anteriores, no importa cuál se defi ne primero, de aquí en adelante calcularemos primero el valor futuro y luego el valor presente, pues en la mayoría de casos utilizaremos las ecuaciones de diferencia fi nita, que operan en sentido de izquierda a derecha en el tiempo.
DEFINICIÓN 3.3
Dada una suma de dinero $ P hoy, se llama valor futuro de P al cabo de n períodos y con una tasa de interés del i% por período al valor $ F que en esa fecha sea equivalente a $ P de hoy.
El concepto equivalencia desempeña un papel de gran importancia en las matemáticas fi nancieras, tanto que en la casi totalidad de problemas de esta materia lo que se busca es la equivalencia fi nan- ciera o equilibrio entre los ingresos y los egresos, cuando ellos tienen lugar en puntos diferentes.
En matemáticas fi nancieras este concepto corresponde al equilibrio en otras disciplinas como economía, contabilidad, física y ciencias sociales.
Vamos a obtener una expresión que nos permita hallar F cuando se conocen la cantidad P, la tasa de interés del i% por período y el número n de períodos.
En el diagrama de fl ujo de caja siguiente se representa el caso general de una suma invertida de $ P hoy y su valor futuro F dentro de n períodos. Para obtener F analizaremos los valores en un período cualquiera [t, t + 1].
Sean:
Ft = el valor futuro de P al fi nal del período t.
Ft + 1 = el valor futuro de P al fi nal del período t + 1.
Como la tasa de interés por pe- ríodo es el i%, podemos establecer la siguiente relación entre los dos valores futuros anteriores: FIGURA 3.3 2.000.000 2.500.000 2.300.000 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 meses 5.000.000 FIGURA 3.4 P n Ft Ft+1 t+1 t 81 003 matematicas.indd 81 003 matematicas.indd 81 17/08/2007 18:41:5217/08/2007 18:41:52
Ft+1= Ft+ iFt
y se interpreta como que el valor futuro al fi nal del período t + 1 es igual al valor futuro o cantidad
acumulada al fi nal del anterior (es decir, Ft), más los intereses devengados por esta cantidad durante
el período. La expresión anterior es equivalente a:
Ft+1= (1 + i)Ft , con F0= P
que corresponde a una ecuación de diferencia fi nita cuya solución, según la sección 2.5, es:
Ft= P(1 + i)t
Y esta función, calculada en el punto n (fi nal de n períodos), nos da:
F = P(1 + i)n (3-3)
que corresponde a la fórmula para hallar el valor futuro de una cantidad P al cabo de n períodos con una tasa de interés del i% por período.
El factor (1+i)n se denota por (F/P, i%, n) y se conoce con el nombre de factor de acumulación en
pago único. Esta expresión se lee: “F dados P, i% y n”.
Existen las tablas de interés que contienen este factor acumulado para algunos valores del i% y algunos valores de n; sin embargo, con el uso de la calculadora este factor puede hallarse rápidamen- te para cualquier valor del i% y de n.
Podemos expresar entonces la fórmula (3-3) de la manera siguiente:
F = P(F / P, i%, n)
y esta será la forma como encontraremos representado el valor futuro de aquí en adelante cuando corresponda a un pago único.
EJEMPLO 3.5
Una persona deposita hoy la suma de $ 500.000 en una cuenta de ahorros que paga un interés del 2% mensual. Hallar la cantidad total acumulada dentro de cinco años en la cuenta de ahorros.
Solución
Según los datos del problema, tenemos:
P = $ 500.000; i% = 2% mensual; n = 60 meses; F = ?
Aplicando la fórmula (3-3) obtenemos el siguiente resultado:
F = $ 500.000(F / P, 2%, 60) = $ 1.640.515
que representa la cantidad total (capital más intereses) acumulada al cabo de cinco años. La inter- pretación de este resultado es que si el dinero rinde el 2% mensual a lo largo de los cinco años, es equivalente a tener hoy $ 500.000 y a tener $ 1.640.515 dentro de cinco años.
Vamos a considerar ahora la situación recíproca, es decir, aquella en la que, dada una suma futura de dine- ro, debamos hallar su equivalente hoy. Esto origina el concepto de valor presente como se defi ne enseguida.
DEFINICIÓN 3.4
Dada una cantidad de dinero $ F al fi nal de n períodos, se llama valor presente de F con tasa de interés del i% por período a la cantidad $ P que hoy equivale a F.
En el caso del ejemplo 3.5, tenemos que $ 1.640.515 es el valor futuro de $ 500.000, y según la defi nición 3.4, $ 500.000 es el valor presente de $ 1.640.515 en el tiempo considerado en el ejemplo y a una tasa del 2% mensual.
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Como podemos observar, esta defi nición es la recíproca de la defi nición 3-3, así que según la ecuación (3-3) la cantidad P es igual a:
(3-4)
El factor (1 + i)-n se denota por (P/F, i%, n) y se conoce con el nombre de factor de descuento o
factor de valor presente para pago único.
EJEMPLO 3.6
Una persona tiene una obligación por cancelar dentro de dos años y medio por valor de $ 629.270, con una tasa de interés del 2,5% mensual. Si esta persona desea cancelar la deuda hoy, ¿cuál es el valor de este pago?
Solución
Según los datos del ejemplo, tenemos:
F = $ 629.270; i = 2,5% mensual; n = 30 meses; P = ?
Aplicando la fórmula (3-4), tenemos:
P = $ 629.270 (P / F, 2,5, 30) = 300.000
Este valor se interpreta diciendo que con una tasa de interés del 2,5% mensual es equi -
valente para el deudor pagar hoy $ 300.000 o $ 629.270 dentro de dos años y medio. Similar equivalencia tiene para el acreedor.
Desde el punto de vista gráfi co, y de acuerdo con el diagrama anterior, podemos afi rmar que el
factor ( , i%, n) sirve para llevar una cantidad de izquierda a derecha n períodos cuando la tasa sea
del i% por período, y el factor ( , i%, n) para llevar una cantidad de derecha a izquierda, en las mismas
condiciones anteriores.
Sin embargo, no siempre en los problemas prácticos o de la vida real la fórmula o expresión (3-3) puede aplicarse directamente. Por ejemplo, cuando en una operación fi nanciera interviene, además de la tasa de interés, una tasa de retención o de descuento (esto es de gran aplicación hoy en día).
EJEMPLO 3.7
Si usted invierte hoy $ 4.000.000 en una institución que paga una tasa de interés del 3% mensual pero a su vez hace una retención cada mes del 2% sobre intereses devengados, hallar la suma que tendrá acumulada usted dentro de dos años y medio.
Solución
Si denotamos por St el saldo total acumulado al fi nal del mes t después de la retención, y por St + 1
similar para el mes t + 1, entonces se cumple que:
o sea:
St+1 = 1,0294St con S0 = $ 4.000.000 Entonces:
St = (1,0294)t(4.000.000):
es el total acumulado al fi nal del mes t, de tal manera que:
S30 = (1,0294)30(4.000.000) = $ 9.540.803
es el total acumulado al cabo de treinta meses (dos años y medio).
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Como pudo observarse en este ejemplo, la tasa real devengada cada mes no es la diferencia entre la tasa de interés y la tasa de retención, como podría pensarse.
El estudiante debe resolver el ejemplo anterior con la condición de que no se aplique la retención.
EJEMPLO 3.8
Resolver el ejemplo 3.7, pero con la condición de que la retención se aplique sobre el total acumulado al fi nal del mes anterior.
Solución
Con la misma notación del ejemplo 3.7, tenemos:
St+1 = St+ 0,03St − 0,02St
o sea:
S
t+1 = (1,01)St S0 = 4.000.000
De tal manera que resolviendo esta ecuación llegamos a:
St = (1,01)t(4.000.000)
Y así el total al cabo de dos años y medio será:
S
30 = (1,01)
30(4.000.000) = $ 5.391.396
Como puede observarse en este ejemplo, la tasa real de rendimiento del dinero es la diferencia entre la tasa de interés mensual y la tasa de retención mensual.
EJEMPLO 3.9
En el ejemplo 3.7, suponer que la retención se hace cada mes sobre el total acumulado ese mes des- pués de cargados los intereses. Hallar el total acumulado al cabo de dos años y medio.
Solución
Con la misma notación del ejemplo 3.7, se cumple al fi nal del mes t + 1 que:
o sea:
St+1 = 1,0094St, con S0 = $ 4.000.000
Por tanto, resolviendo esta ecuación llegamos a:
St = (1,0094)t(4.000.000)
y en dos años y medio tenemos:
S30 = (1,0094)30(4.000.000) = $ 5.296.134
Podemos darnos cuenta de que en cada uno de los tres ejemplos anteriores la expresión fi nal para calcular el total acumulado al cabo de los dos años y medio es una expresión similar a la dada en la fórmula (3-3), pero en cada caso para una tasa diferente. Estos problemas son comunes en la vida diaria de las operaciones fi nancieras.
Cuando en un ejemplo de caja intervienen varios valores en tiempos diferentes, que es el caso típico para el fl ujo de caja de un proyecto, el valor presente total se obtiene por la suma de los valores presentes de cada uno de los valores que intervienen. De manera similar puede obtenerse el valor futuro total; es decir:
P total = Σ (valores presentes parciales) F total = Σ (valores futuros parciales)
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Observación
Una de las reglas básicas de las matemáticas fi nancieras es que solamente pueden relacionarse (+, −, =, <) cantidades que estén en el mismo punto.
EJEMPLO 3.10
Una persona hace los siguientes depósitos en una cuenta de ahorros que paga el 2,5% mensual: $ 30.000 dentro de tres meses, $ 42.000 dentro de cinco meses y $ 28.000 dentro de un año.
a) Hallar la cantidad total acumulada en la cuenta de ahorros dentro de un año.
b) ¿Qué depósito único hoy es equivalente a los tres depósitos realizados?
Solución
El diagrama de fl ujo de caja para este ejemplo es el 3.5.
a) La cantidad total acumulada den-
tro de un año corresponde al va- lor futuro en esa fecha de los tres depósitos realizados. Entonces, con una tasa del 2,5% mensual, tenemos:
F = 30.000(F/P, 2,5%, 9) + 42.000 (F/P, 2,5%, 7) + 28.000 = $ 115.390
Esta es la cantidad que la persona tendrá dentro de un año en la cuenta de ahorros.
b) El depósito único hoy (punto 0) equivalente a los tres depósitos es el valor presente de estos
depósitos; de tal manera que tenemos:
P = 30.000(P/F, 2,5%, 3) + 42.000(P/F, 2,5%, 5) + 28.000(P/F, 2,5%, 12) = $ 85.799
Este mismo valor también puede obtenerse como el valor presente de $ 115.390 de la parte (a); en efecto: P = 115.390(P/F, 2,5%, 12) = 85.799
El lector debe justifi car la razón por la cual se obtiene el mismo valor.
En el ejemplo anterior, podemos afi rmar que las tres situaciones siguientes son equivalentes:
i) Los depósitos de $ 30.000, $ 42.000 y $ 28.000 en sus fechas correspondientes.
ii) El valor de $ 115.390 dentro de un año.
iii) El valor de $ 85.799 hoy.
En general podemos afi rmar que, dado un fl ujo de caja cualquiera, es independiente el punto que elijamos para establecer el equilibrio entre ingresos y egresos, siempre y cuando la tasa de interés sea la misma tanto para los ingresos como para los egresos. Este punto que se escoge para equilibrar el fl ujo de caja se conoce comúnmente con el nombre de punto focal.
EJEMPLO 3.11
Financiar una deuda de hoy por valor de $ 1.200.000 a un año, en cuatro pa- gos así: $ 400.000 dentro de dos me- ses, $ 500.000 dentro de seis meses, $ 100.000 dentro de diez meses y el resto dentro de un año, sabiendo que el acree- dor cobra un interés del 3% mensual.
El diagrama de fl ujo de caja para este caso es el siguiente: