Una simetría axial es una transformación geométrica, es decir una correspondencia entre parejas de puntos del plano. Decimos que dos puntos del plano A y A’ son simétricos con respecto a una recta e (llamada eje de simetría) si y sólo si e es mediatriz del segmento AA’. Esta condición implica que el segmento AA’ debe ser perpendicular a e y que e debe pasar por el punto medio de AA’. También se deduce que A y A’ deben quedar en semiplanos opuestos con respecto a e. Por lo tanto, si dos figuras (por ejemplo polígonos) son simétricas con respecto a e, deben tener orientaciones contrarias con respecto a e, ya que la distancia de cada punto a e debe ser igual a la distancia de su homólogo a e.
Una simetría axial es una isometría, puesto que conserva la forma y el tamaño de las figuras; es decir, si dos figuras son simétricas con respecto a un eje, entonces son congruentes.
Objetivo
La finalidad de esta actividad es que los alumnos se familiaricen con algunos fenómenos visuales concernientes al movimiento de figuras simétricas, tales como la
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dependencia de una con respecto a la otra, los movimientos contrarios con respecto al eje (Los alumnos podrían asimilarlo como un espejo imaginario). Esto implica que logren identificar el eje de simetría y predecir su ubicación.
Descripción del medio
Para esta actividad, se trabaja con 12 figuras, en cada una de las cuales hay 6 triángulos con los vértices ocultos, tres rojos y tres verdes, simétricos con respecto a un eje que permanece oculto. Los tres triángulos rojos tienen diferentes formas, cada triángulo verde es congruente con un triángulo rojo. En las figuras numeradas 1-1 a 1- 6, aparece también un círculo; en las figuras numeradas 1-1a a 1-6a aparecen tres círculos cada uno con un punto sobre él. La diferencia entre las seis series es la orientación (inclinación) del eje. Las 12 figuras se presentan a continuación.
Serie 1-1 Serie 1-1ª
1-2 1-2a
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1-4 1-4a
1-5 1-5a
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De acuerdo con las características del software, los triángulos verdes no se pueden arrastrar directamente, dada la dependencia de éstos con respecto a los rojos, lo cual no es una propiedad específica de la simetría, sino una particularidad del programa; pero los triángulos rojos sí se pueden arrastrar agarrándolos por un lado o un vértice, permitiendo llevarlos libremente a cualquier lugar de la pantalla sin que cambien su forma y tamaño, para ello basta hacer clic sostenido sobre el triángulo y arrastrar. Adicionalmente, al arrastrar los triángulos rojos, los verdes se mueven de manera que conservan la simetría. Del mismo modo, los círculos de las series 1-1 a 1-6 no se pueden arrastrar, mientras que los de las series 1-1a a 1-6a se pueden mover libremente agarrándolos por el punto que aparece sobre ellos.
En todas las series, la única herramienta de Cabri disponible es el apuntador.
Descripción de la actividad
Se quiere que los estudiantes descubran los siguientes fenómenos visuales:
Si dos figuras son simétricas, una depende de la otra. Es decir, una podrá
arrastrarse directamente en la pantalla, pero la otra no, sin embargo se moverá cuando la primera se mueva. En particular, se quiere que los alumnos descubran que los triángulos verdes no se pueden arrastrar y los rojos si, y que al arrastrar uno delgado se mueve uno grueso.
Si dos figuras son simétricas, tienen movimientos contrarios con respecto al eje
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rojo y el verde correspondiente tienen movimientos contrarios con respecto al eje se simetría.
Si dos figuras son simétricas, se tocan en el eje de simetría. Específicamente, se
quiere que los estudiantes descubran que hay lugares en los que el triángulo rojo se superpone con el verde (su simétrico).
Dos figuras simétricas coinciden a lo largo de una recta llamada eje de simetría.
Queremos que los alumnos constaten que las distintas posiciones en las que se superponen un triángulo rojo y su simétrico están a lo largo de una recta.
Para alcanzar los objetivos propuestos, y para que los alumnos identifiquen esos fenómenos visuales y se familiaricen con ellos, se les pedirá que realicen cuatro tareas.
Presentamos a continuación en detalle las acciones que se prevé que los alumnos efectúen, las retroacciones correspondientes que recibirían por parte del medio, las interpretaciones y validaciones que se esperan del alumno luego de la respuesta del medio.
Primera tarea: llevar los triángulos rojos dentro del círculo
El propósito de esta tarea es que los alumnos usen el arrastre para tratar de mover los triángulos. Se espera que agarren los triángulos rojos directamente y los metan dentro del círculo. No deberían tener ninguna dificultad para hacerlo. Al desplazar los triángulos rojos, se darán cuenta de que los verdes también se mueven, y que en algún momento se superponen con los rojos. Es de suma importancia que los alumnos descubran por sí solos cómo funciona la figura, de modo que el profesor debe limitar sus intervenciones, es decir, sólo intervendrá para evitar que los estudiantes abandonen la tarea o para recordar la misma.
Análisis a-priori
Intención: llevar los triángulos rojos dentro del círculo. Acción 1: agarrar un triángulo rojo para llevarlo al círculo. Retroacción 1: el triángulo se mueve.