1
USO DE CABRI PARA LA ENSEÑANZA DE LA SIMETRÍA AXIAL
JUAN DIEGO CRUZ RODRIGUEZ
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BASICA CON ENFASIS EN MATEMÁTICAS
BOGOTÁ
2
USO DE CABRI PARA LA ENSEÑANZA DE LA SIMETRÍA AXIAL
JUAN DIEGO CRUZ RODRIGUEZ
Trabajo de grado presentado como requisito para obtener el título de
LICENCIADO EN MATEMÁTICAS
Director
MARTÍN ACOSTA GEMPELER
Doctor en Ciencias de la Educación
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BASICA CON ENFASIS EN MATEMÁTICAS
BOGOTÁ
3
Agradecimientos
Este trabajo de tesis fue realizado en la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, es un esfuerzo en el cual, directa o indirectamente participaron distintas personas, opinando, corrigiendo, apoyando, teniendo paciencia entre otras cosas. Este trabajo me ha permitido aprovechar la competencia y experiencia de diferentes personas a las cuales me gustaría agradecer.
En primer lugar, a mi director de tesis, Dr. Martin Eduardo Gempler, mi más amplio agradecimiento por haberme confiado este trabajo, por su paciencia y su valiosa dirección.
Al Prof. Jaime Fonseca, un especial agradecimiento por su disposición a colaborar con el desarrollo de este proceso, prestando espacios de su clase y de su tiempo para realizar la sustentación de este proyecto. Además por ser un excelente guía durante mí proceso a convertirme en profesor de matemáticas.
Por último quería a agradecer a mi familia por el apoyo y la paciencia de todos estos años para así poder culminar mis estudios universitarios. No obstante doy gracias a dios pues soy testigo que muchas de las cosas que se dieron para que esto fuera posible se debe a él.
4 Contenido
Introducción ... 6
Objetivo general ... 8
Objetivos específicos ... 8
Justificación ... 9
Descripción ... 10
Marco Teórico ... 11
La teoría de situaciones didácticas ... 11
Aprendizaje por adaptación ... 11
Situación Didáctica vs Situación A-Didáctica ... 12
Saber Vs Conocimiento ... 13
Proceso de Validación ... 14
Proceso de devolución ... 14
Proceso de institucionalización ... 14
Cabri como medio para el aprendizaje por adaptación ... 14
Metodología ... 16
Ingeniería Didáctica ... 16
Análisis preliminar ... 16
Diseño ... 16
Experimentación ... 16
Análisis a posteriori ... 16
Población ... 17
Recolección de datos ... 17
Actividad 3 (Análisis) ... 18
Análisis actividad 3 (Moviendo los triángulos) ... 18
Análisis serie 3-1, 3-2, 3-3 ... 24
Análisis serie 3-4 y 3-5 ... 30
Análisis Actividad 3 (Sin mover los triángulos) ... 32
Análisis conjunto series 3-1 ,3-2, 3-3 ... 34
Análisis 3-4 y 3-6 ... 38
Análisis Actividad 3 (Puesta en común y serie 3-7) ... 39
5
Actividad 4 (Análisis) ... 51
Análisis estrategia medir distancias (Serie 4-1 y 4-4) ... 59
Análisis estrategia lado AB paralelo (Serie 4-1 y 4-6) ... 67
Análisis Estrategia ocultar mostrar (Series 4-2 y 4-3) ... 74
Conclusiones... 76
Conclusiones generales ... 76
Dificultades en gestión ... 76
Referencias Bibliográficas ... 78
Anexos ... 78
Anexo A ... 78
ANÁLISIS A-PRIORI ACTIVIDADES SIMETRÍA AXIAL ... 78
Anexo B ... 117
6 Introducción
En la última década la incorporación de la tecnología en el currículo ha sido de gran preocupación para los investigadores en educación, pues se piensa en un vínculo entre las matemáticas y la tecnología. Según Murillo (2005), la integración y la utilización de la tecnología en el proceso educativo de las matemáticas es un asunto que hace tiempo viene ocupando el trabajo de los investigadores en Educación Matemática, intentando determinar los posibles beneficios que su utilización conlleva en conjunto con los diseños metodológicos y entornos multimedia de aprendizaje de tal manera que se produzcan mejoras en los procesos de aprendizaje. Fiallo (2015), afirma que la vinculación de las Tecnologías Digitales en el aula de clase es un proceso complejo que requiere acompañamiento constante además de una preparación adecuada de tal manera que se alcance la actividad matemática esperada.
Una de las ramas de las matemáticas beneficiada con la incorporación de la tecnología es la geometría; de acuerdo al MEN (2004), los software de Geometría Dinámica cambian la forma de enseñanza de la geometría puesto que permiten la implementación de actividades totalmente nuevas para esta área.
Atendiendo a lo anterior en la Universidad Industrial de Santander se creó un grupo de investigación en educación Matemática (EDUMAT-UIS) y la universidad Distrital ha desarrollado un proyecto se encuentran involucrados dos colegios de Bucaramanga, uno en Cajicá, docentes investigadores (coordinadoras de grupo) y estudiantes de Licenciatura en Matemáticas, cada integrante se une al grupo por diferentes razones; sin embargo los estudiantes se vinculan con el fin de desarrollar su trabajo de grado. Este proyecto se basa en una serie de actividades que se encuentran fundamentadas teóricamente desde la teoría de Situaciones Didácticas y metodológicamente desde el proceso ingeniería didáctica. Nuestro trabajo consiste en la trascripción de videos de la implementación en Cajicá y el correspondiente análisis a- posteriori
Para llevar a cabo esta investigación se expondrá la estructura del documento.
En la primera parte se encuentra la fundamentación teórica y los dos ejes de investigación, el primero de ellos la teoría de situaciones didácticas en la que se fundamenta cada una de las actividades y el segundo las características de Cabri como medio didáctico.
Para la segunda parte se expone la metodología de este trabajo (Ingeniería Didáctica) y sus conceptos más relevantes, además de mostrar cual fue nuestro objeto de estudio.
7
8
Objetivo general
Analizar la implementación de las actividades 3 y 4 para la enseñanza de la simetría axial en un grado sexto del colegio Pompilio Martínez, para identificar los aprendizajes por adaptación que se produjeron y las dificultades de gestión de las actividades por parte de la profesora.
Objetivos específicos
1) Efectuar la trascripción de los videos de clase
2) Identificar los episodios en los que se produjo aprendizaje por adaptación
9 Justificación
La inclusión de las tecnologías informáticas en la vida social y cultural del ser humano ha aumentado a gran escala y en el campo de las matemáticas no es la excepción pues se han desarrollado software especializados tanto para la práctica como para su enseñanza, además investigaciones muestran el gran potencial de estas tecnologías para el aprendizaje (Lagrange J.B, Artigue M., Laborde C. & Trouche L. (2003). Tanto en Colombia como en otros países se han realizados esfuerzos para difundir tecnología informática con internet para enseñar matemáticas, pero se han encontrado diferentes dificultades (Acosta, 2010a, Haspekian, 2005).
El grupo EDUMAT-UIS identificó dos de los principales problemas que dificultan esa incorporación de nuevas tecnologías en el currículo de matemáticas; La ausencia de actividades de clase que utilicen al máximo el potencial de las tecnologías que cubran todo el currículo en matemáticas; 2) La falta de instrucción didáctica que promueva el uso de la tecnología en la teoría y en la práctica, con el fin que los profesores trasformen sus clases.
Con la idea de aportar a la superación de estas dificultades se creó el PIUSGD de donde se diseñaron una serie de actividades de clase para la enseñanza de la geometría, específicamente simetría axial para el grado sexto basándose en el modelo didáctico de la Teoría de Situaciones Didácticas (Acosta 2010). Estas actividades fueron implementadas tanto en la zona metropolitana de Bucaramanga como en el municipio de Cajicá y se considera que la generalización de estas actividades al resto del terreno nacional e internacional mostraría un gran avance en la Educación Matemática.
10 Descripción
En este documento se presentara el análisis a posteriori de unas actividades enfocadas a la simetría axial, las cuales fueron planteadas por el director del proyecto y diseñadas en el software Cabri II Plus. Estas actividades fueron aplicadas en el año 2013 a todos los niños de grado sexto del Colegio Pompilio Martínez. Haciendo uso de la Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) se evaluó el aprendizaje de los estudiantes con respecto a simetría axial confrontando el análisis a priori con las evidencias fílmicas de la actividad 3 y 4 en una pareja de estudiantes.
El análisis a priori realizado por Pérez (2011) adjunto en los anexos, contiene hipótesis de los posibles caminos de solución de los estudiantes a las actividades propuestas en Cabri, las retroacciones del medio y el aprendizaje por adaptación que obtendrá cada estudiante de acuerdo con su interacción con el software.
11 Marco Teórico
La teoría de situaciones didácticas
Este trabajo se desarrollara bajo la Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) de Guy Brousseau el cual servirá como marco teórico y del mismo modo será una herramienta de análisis de tal manera que podamos realizar un contraste entre la TSD y lo que sucedió en cada actividad que se llevo a cabo. Atendiendo a lo anterior se procederá a exponer los principales conceptos de esta teoría (TSD).
Aprendizaje por adaptación
Como afirma Patricia Sadovsky (2005) que cita a Brousseau (1986), la idea del aprendizaje por adaptación se da como resultado de la concepción constructivista de Brousseau quien declara que el sujeto produce conocimiento después de haberse adaptado a un medio resistente con el que interactúa.
12
Carreño y Díaz (2014) cita a Martin E. Acosta (2010) quien afirma que:
El primer elemento del aprendizaje por adaptación en una intención del sujeto;
es decir, el sujeto tienen una necesidad, un propósito, un objetivo. Para alcanzar
esa intención, el sujeto realiza una acción sobre el medio. El medio reacciona a
la acción del sujeto; esta reacción recibe el nombre de retroacción. El sujeto
interpreta esta retroacción del medio, que adquiere un sentido para él y así puede validar o invalidar la acción, es decir, puede decir si la acción realizada le
sirvió para alcanzar su intención o no. Esta validación puede tomar dos valores:
validación negativa, en cuyo caso el sujeto abandona la acción realizada y comienza un nuevo ciclo de interacción con una acción diferente; o validación positiva, en cuyo caso el sujeto refuerza la acción, es decir la integra como una respuesta automática a su intención.
De los cinco elementos mencionados anteriormente son únicamente observables la acción y la retroacción, puesto que los restantes son internos del sujeto, aunque también son observables los efectos de la validación (cambio o refuerzo de la acción), los cuales son señales de aprendizaje.
Según Corzo y Delgado (2010) el medio es un ente que el profesor puede manipular con el fin de llegar a obtener los objetivos de aprendizaje esperados. Este debe tener las siguientes características:
1) Ser exterior al estudiante: El estudiante debe reconocerle una existencia objetiva 2) Ser material: El estudiante puede interactuar con él por medio de acciones 3) No debe tener ninguna intención: no debe ser percibido como una persona 4) Imponer restricciones a la acción: no cualquier acción es posible
En conclusión se puede decir que un aprendizaje por adaptación se da cuando un sujeto, al interactuar con un medio, cambia o refuerza sus acciones para alcanzar sus objetivos.
Situación Didáctica vs Situación A-Didáctica
13 Saber Vs Conocimiento
Según Carreño y Díaz (2014), para la Teoría de Situaciones Didácticas el saber y el conocimiento son conceptos distintos:
El conocimiento es fruto de una experiencia, y por lo tanto es personal y contextualizado. Cada sujeto tiene un conocimiento diferente, marcado por su experiencia personal y por el contexto de la misma. Por su parte, el saber es impersonal y descontextualizado, por lo tanto se opone al conocimiento. El saber es un “saber sabio”, porque es producto de una comunidad con autoridad reconocida y por ende es institucional.
Se podría concluir que el conocimiento se da como resultado de un ciclo de aprendizaje por adaptación, completando de esta manera lo que llamamos situación a-didáctica; la cual es la estrategia que usa el profesor para que el estudiante construya determinado conocimiento personal y contextualizado y de esta manera pueda realizar la institucionalización que consiste en: “explicitar las relaciones entre el conocimiento construido por los estudiantes y el saber” (Carreño, 2014, p 24).
14
directamente el saber, los estudiantes no tendrán una experiencia con cual relacionar dicho saber lo que tendrá como consecuencia una pérdida del sentido.
Según tales Ramón (2015) que cita a Margolinas (1993), al analizar la enseñanza debemos prestar atención a tres procesos esenciales: proceso de validación, proceso de devolución y proceso de institucionalización.
Proceso de Validación
Es aquel que abarca los cinco elementos de interacción del sujeto con el medio. Incluye todo lo que hace o piensa el estudiante, que le posibilita concluir si lo que hizo está bien o mal. Como la validación es indispensable para el aprendizaje por adaptación, el profesor debe acompañar y guiar el proceso de validación.
Proceso de devolución
Es el proceso de acompañamiento que realiza el profesor al proceso de devolución del estudiante. El profesor debe cuidar y favorecer la interacción del sujeto con el medio e impedir que dicho proceso se interrumpa. Por esta razón tiene que estar presente en la fase a-didáctica con el fin de hacer comprender el problema a los estudiantes, mostrarles las posibilidades de acción y hacer tomar conciencia al estudiante de las retroacciones del medio. Sin embargo no debe olvidar que tiene que cuidar del proceso de validación absteniéndose de dar juicios sobe el trabajo del estudiante o proporcionar alguna idea de las acciones que permiten la solución del problema.
Proceso de institucionalización
De acuerdo a Margolinas (1993), la institucionalización da inicio desde la presentación del problema y tiene dos momentos importantes: La fase de balance y la fase de institucionalización. La fase de balance es aquella donde el profesor busca los conocimientos conseguidos en la fase a-didáctica y llega a acuerdos sobre los procedimientos correctos o incorrectos. En la fase de institucionalización el profesor da a conocer el saber matemático, poniéndolo en relación con las experiencias obtenidas en la fase a-didáctica y con los acuerdos logrados en el balance. El propósito principal en el proceso de institucionalización es: “independizar gradualmente la validación del medio material, para lograr que los alumnos puedan validar utilizando el saber” (Ramón, 2015, p 16)
Cabri como medio para el aprendizaje por adaptación
15
saber geométrico que se quiere enseñar, y que está a la base de la programación del software. (p 17)
Para que haya un aprendizaje por adaptación según Carreño y Díaz (2014) que citan a Margolinas (2006), el profesor debe abstenerse de intervenir señalando los errores de los estudiantes confiando plenamente en el medio, pues este generará las retroacciones necesarias para que el estudiante mismo encuentre sus errores.
Cabri realiza dos tipos de retro-acciones según Acosta, Monroy y Rueda (2010):
1) Acción construir: Haciendo uso de las herramientas de Cabri, se puede pedir a Cabri que dibuje en la pantalla diferentes objetos geométricos (rectas, segmentos, círculos, polígonos, etc.) con relaciones entre ellos (pertenencia, perpendicularidad, paralelismo, etc.). La retroacción correspondiente a construir es un dibujo estático en la pantalla, que corresponde a lo que se le pidió que construyera. Ejemplo: si se
selecciona la herramienta segmento y se hacen dos clics en la pantalla, aparece un
segmento de recta limitado por dos puntos.
2) Acción arrastrar: La herramienta apuntador permite asir los objetos ya construidos y
16 Metodología
Ingeniería Didáctica
Según Carreño y Díaz (2014)
La ingeniería didáctica es una metodología de investigación de la escuela francesa que hace una confrontación entre un análisis a priori y un análisis a posteriori. El análisis a priori es un conjunto de hipótesis sobre el aprendizaje que se puede lograr considerando a un estudiante y controlando un conjunto de variables didácticas en el funcionamiento del medio con el cual el estudiante va a interactuar para resolver un problema. El análisis a posteriori es la confrontación de esas hipótesis con los datos recogidos de un experimento aplicado a una población determinada. ( p 29)
Como lo aclara Artigue (1995), una ingeniería didáctica tiene 4 fases a considerar:
Análisis preliminar
Este hace referencia al análisis del saber, a las concepciones de los estudiantes, dificultades, hipótesis y el contexto sobre el que se desarrollara la situación a-didáctica. Para esta fase se analizan y determinan todos los factores que intervienen en el sistema didáctico y las relaciones entre ellos.
Diseño
Para Carreño y Díaz (2014) en esta fase el investigador es el encargado de tomar la decisión de actuar sobre variables del sistema que no estén fijadas por las restricciones. Se conocen dos tipos de variables:
Variables macro-didácticas o globales y Variables micro-didácticas o locales, las cuales desde Artigue (1995) “Ambas variables pueden ser generales o bien independientes del contenido didáctico en el que se enfoca la enseñanza” aunque la segunda va enfocada más a la gestión y secuencia de clase.
Experimentación
En esta fase la actividad diseñada se aplica tal cual esta especificada en el análisis a prori. Para esta fase el investigador controla las actividades además de tomar registro de los sucesos, puesto que los datos que se obtengan serán la base de la siguiente etapa (Análisis a posteriori).
Análisis a posteriori
17
Este trabajo de grado consiste en desarrollar la cuarta fase
Población
La experimentación se realizó en grado sexto del I.E.D Pompilio Martínez de Cajicá, aproximadamente a 35 estudiantes a los cuales se les aplicaron 4 actividades de simetría axial. Las actividades se realizaron en la sala de informática y con la dirección del profesor de matemáticas.
Para este caso la profesora Marta de matemáticas fue instruida por parte de los autores del trabajo a lo largo de la experimentación, con el fin de lograr un manejo adecuado tanto de las actividades como de la metodología de trabajo. Cabe aclarar que en este documento solo se encuentran las trascripciones y el respectivo análisis de las actividades 3 y 4 para simetría axial.
Recolección de datos
18 Actividad 3 (Análisis)
Análisis actividad 3 (Moviendo los triángulos)
Imagen Cita Textual
1.
Posición Inicial
2.
(El estudiante inicia tomando el extremo M del segmento y moviendo el cursor hacia la derecha y alarga el segmento y lo deja en posición diagonal en el espacio que hay entre los dos triángulos. Luego toma el segmento desde el extremo N y subiendo el cursor modifica la posición del segmento dejándolo aparentemente superpuesto con el lado AB del triángulo rojo.
19 3.
20 Serie 3-2
4.
21
5. (El estudiante inicia tomando el
segmento en la posición que aparece y haciendo clic en el centro de del
segmento mueve el cursor
trasladándolo al espacio que hay entre los dos triángulos. Luego en la posición que se encuentra el segmento mueve el cursor de arriba
hacia abajo haciendo que el
segmento se mueva de arriba hacia abajo.)
22
6. (Por último el estudiante sigue
realizando el mismo movimiento de arriba hacia abajo con el segmento en posición diagonal y de esta manera parece en su pantalla el letrero muy bien).
Serie 3-3
7.
Primer pantallazo
8.
24 9.
(Luego toma el segmento desde su parte central y moviendo el cursor traslada el segmento al espacio que hay entre los dos triángulos. Luego sin soltar el segmento empieza a hacer movimientos de derecha a izquierda hasta que en su pantalla aparece el letrero muy bien)
Análisis serie 3-1, 3-2, 3-3
25
Atendiendo a lo anterior se puede decir que hubo un aprendizaje por adaptación puesto que el estudiante hace un refuerzo de la acción paralela para completar las 3 primeras series.
Imagen Cita Textual
29.
Es estudiante se dirige a archivo, elige serie 3-4 y aparece el siguiente pantallazo.
(El estudiante toma el segmento desde su parte central y moviendo el cursor hacia abajo, baja un poco el segmento, luego hace clic sobre el extremo M del segmento y moviendo el cursor hacia abajo intenta dejar el segmento paralelo al lado AB del triángulo rojo.)
(Seguidamente toma el segmento desde su parte central y moviendo el cursor hacia arriba sube el segmento y lo deja en el espacio que hay entre los dos triángulos)
30.
26 31.
(Ahora sin soltar el segmento empieza a mover el cursor de arriba
hacia abajo)[Aparentemente el
estudiante está buscando que aparezca el letrero muy bien]
32.
Continua tomando el extremo N del segmento y moviendo el cursor empieza a cambiar la posición del segmento dejando el extremo M quieto.
[El estudiante toma el extremo N del segmento y moviendo el cursor mueve el segmento hacia diferentes direcciones, pero dejando siempre quieto el extremo M]
(El estudiante dejando estático el extremo M del segmento
27 33.
Ahora toma el segmento desee el extremo M y moviendo el cursor mueve el segmento hacia diferentes lugares manteniendo el extremo N del segmento estático)
34.
(Por último toma el segmento desde el centro y moviendo el cursor posiciona el segmento en otro lugar entre el espacio que hay entre los dos triángulos.
35.
Por último deja estático el extremo N del segmento, toma el extremo M y empieza a mover el cursor suavemente de derecha a izquierda hasta que en su pantalla apare ce el letrero muy bien.)
[En esta serie el estudiante posiciona en dos lugares diferentes el segmento dentro del espacio que hay entre los dos triángulos para poder llegar a encontrar la simetría ]
28 36.
(Estudiante se dirige a archivo elige abrir y selecciona serie 3-5 y aparece el siguiente pantallazo)
37.
(El estudiante toma el segmento desde su extremo M y moviendo el cursor hacia arriba deja el segmento en posición vertical, luego tomándolo desde su centro y moviendo el cursor hacia la derecha pone el segmento en el espacio que hay entre los dos triángulos manteniendo la verticalidad)
38.
(Toma el segmento desde su centro y moviendo el cursor hacia la izquierda, mueve el segmento un poco a la izquierda sin salirse del espacio que hay entre los dos triángulos, continua tomando el extremo M del segmento y moviendo el cursor hacia la derecha deja el segmento en posición diagonal )
29
39. (Luego toma el segmento desde su parte
central y moviendo el cursor hacia la izquierda traslada el segmento un poco hacia la izquierda)
(Continuando toma el extremo N del segmento y dejando estático el extremo M mueve el cursor de derecha a izquierda)[A aparentemente busca que aparezca el letrero muy bien con estos movimientos mencionados anteriormente]
40.
(Toma el segmento desde su parte central y moviendo el cursor hacia diferentes posiciones traslada el segmento y luego suelta el cursor sin salirse del espacio que hay entre los dos triángulos)
[El estudiante toma el segmento desde su centro e intenta trasladarlo si salirse del espacio que hay entre los dos triángulos, pero lo que hace es tomarlo y soltarlo aparentemente buscando que aparezca el letrero muy bien]
[La profesora interviene, busca en el computador el grabador de voz, lo activa y le pregunta al estudiante Como hace para encontrar el espejo entre los dos triángulos]
[Estudiante responde, miro los dos triángulos como están y calculo donde poner el segmento ….. pero lo contrario, yo miro los dos triángulos pongo el segmento y muevo así despacito hasta que me aparezca el muy bien ]
30
relación para poderlo hacer o algo que le indique como hacerlo o una pista.]
Estudiante se queda callado y dice que el segmento debe ponerlo entre los dos triángulos siempre
Profesora dice, eso es importante eso es lo que debería estar anotando, si encuentra algo más que este teniendo en cuenta anótelo.
(Por último el estudiante toma el segmento desde el extremo M y moviendo el cursor hacia la izquierda y dejando estático el otro extremo, en su pantalla aparece el letrero muy bien)
Análisis serie 3-4 y 3-5
Teniendo en cuenta la cita textual de la serie 3-4, es posible evidenciar que al principio el estudiante intenta hacer uso de la estrategia acción paralela, intentando dejar el segmento paralelo al lado AB del triángulo rojo y luego trasladar el segmento al espacio que hay entre los dos triángulos, pero al no aparecer el letrero invalida esta acción.
Por último el estudiante después de muchos intentos hace movimientos al azar sin mostrar una estrategia clara para dar solución a la tarea, pero al final logra dar respuesta a la serie 3-4 a partir del uso de la acción 1 presentada en el análisis a priori, puesto que después de cambiar la inclinación del segmento varias veces y hacer uso de la acción 1 después de cada cambio de inclinación del segmento logra que aparezca el letrero Muy Bien.
Con respecto a la serie 3-5, se puede decir que el estudiante después de poner el segmento en el espacio que hay entre los dos triángulos hace uso de la acción paralela para llegar a dar respuesta la tarea, pero al no aparecer el letrero muy bien invalida la acción, luego recurre a empezar a modificar la inclinación del segmento para después hacer uso de la acción 1 y llegar a dar a la serie 3-5.
31
32 Análisis Actividad 3 (Sin mover los triángulos)
Acá se toma desde la línea 3 de la transcripción, donde el estudiante hace uso de una estrategia que veremos a continuación con la cual da solución la tarea.
3.
Serie 3-1
(Luego toma el extremo N del segmento que esta verticalmente y lo pone de forma horizontal en el espacio que hay entre los triángulos, seguido de esto toma el segmento desde su parte central y lo traslada más o menos al centro del espacio entre los triángulos, luego toma el extremo N del segmento que esta horizontalmente y lo mueve de arriba hacia abajo. Mientras hace el movimiento mencionado anterior mente de arriba y abajo, en ese intervalo le va a pareciendo la palabra muy bien. )
33
Acá se toma desde la línea 5 de la transcripción, donde el estudiante hace uso de una estrategia que veremos a continuación con la cual da solución la tarea.
5.
Serie 3-2
Luego el estudiante toma el segmento desde su parte central y traslada este segmento al espacio entre los dos triángulos, enseguida toma el segmento desde su parte central y baja un poco de tal manera que queda el segmento más cerca al vértice C* del triángulo verde.
34
Acá se toma desde la línea 7 de la transcripción, donde el estudiante hace uso de una estrategia que veremos a continuación con la cual da solución la tarea.
7.
Serie 3-3
(El estudiante toma el segmento desde su parte central, y moviendo el cursor traslada el segmento hacia el espacio que hay entre los dos triángulos, luego toma el segmento desde el extremo M y dando clic sobre este mueve el segmento de tal manera que queda en posición vertical sobre el triángulo rojo, luego toma el segmento desde su parte central y lo traslada quedando el segmento vertical entre el espacio de los dos triángulos.)
(Ahora toma el segmento desde el extremo M y haciendo un pequeño movimiento con el cursor hacia la derecha el segmento que aparentemente en posición vertical. Por último toma el segmento del extremo N y lo mueve un poco hacia la derecha hasta que en su pantalla aparece un letrero diciendo muy bien.)
Análisis conjunto series 3-1 ,3-2, 3-3
35
Atendiendo a lo anterior se puede decir que para el trabajo con estas tres series, el estudiante tuvo un aprendizaje por adaptación puesto que después de validar la primera acción (acción 1) el hizo un refuerzo de la misma para completar la tarea en las 2 siguientes series.
Serie 3-4 Cita textual
El estudiante desde la línea 8 a la 12 hace uso de la misma estrategia que uso en la tres series anteriores. Desde la fila 12 el estudiante empieza a usar una nueva
estrategia. La cita textual comprende solo el uso de esta nueva estrategia y como con esta llega a la solución de la tarea.
8.
[Estas serán la convecciones que se usaran para esta actividad]
12. (Señala con el cursor el extremo M del
36 13.
(Luego toma el segmento por el extremo N y moviendo el cursor hacia arriba superpone el segmento sobre el lado mayor del triángulo verde)
37 Serie 3-6
Cita Textual
El estudiante desde la línea 14 empieza usar una nueva estrategia que uso por primera vez en la serie 3-4. La cita textual comprende solo el uso de esta nueva estrategia y como con esta llega a la solución de la tarea.
14.
[Estas serán la convecciones que se usaran para esta actividad]
15.
(Luego el estudiante toma el vértice C del triángulo rojo y moviendo el cursor hacia la derecha rota el triángulo más o menos 45 grados)
[Intenta rotar los triángulos de tal manera que intenta cuadrar el lado mayor del triángulo rojo con el lado mayor del triángulo verde y mantener el segmento entre el espacio de los dos triángulos]
38 16.
(Ahora toma el segmento desde su parte central e inicia a mover el cursor de arriba hacia abajo repetidamente lo cual hace que el segmento se mueve también de arriba hacia abajo en el espacio que ahí entre los triángulos y deja quieto el segmento cuando este se encuentra sobre los vértices C y C*)
[El estudiante intenta acomodar el segmento en el espacio que hay entre los dos triángulos, pero esta vez pone el segmento sobre los dos vértices C y C* puesto que por la posición los vértices están uno sobre el otro.]
(Luego ya teniendo el segmento sobre los vértices C y C*, toma el extremo N del segmento y moviendo el cursor hacia arriba y hacia abajo modifica la inclinación del segmento hasta que en su pantalla aparece el letrero Muy bien).
Análisis 3-4 y 3-6
El análisis de estas dos series se hará conjunto puesto que para estas dos series se piensa que hubo uso de una misma estrategia a diferencia que para la serie 3-4 se gesta y para la serie 3-6 ya es aplicada.
39
segmento pero mientras realiza esta acción aparece la palabra muy bien en su pantalla.
Por lo anterior se piensa que el estudiante ha encontrado una nueva estrategia la cual consiste en dejar el segmento paralelo a uno de los lados del triángulo verde (Lado A*B*) de tal forma que dicho segmento mantenga la misma inclinación y luego empezar a desplazar los triángulos hasta que aparezca el letrero “muy bien”, pero para dar solución a esta serie después de hacer uso de esta nueva estrategia el estudiante recurre a modificar un poco la inclinación y de esta manera aparece el letrero “muy bien”
Para la serie 3-6 el estudiante traslada el segmento al espacio que hay entre los dos triángulos, luego rota los triángulos e intenta hacer coincidir las hipotenusas de estos con sus respectivos vértices, de tal manera que el segmento quede entre el espacio que hay al juntar las hipotenusas o sobre alguna de ellas. Seguidamente al momento de realizar esta acción el estudiante recurre a modificar un poco la inclinación del segmento hasta que aparece el letrero muy bien.
Atendiendo a lo anterior, es posible evidenciar que para estas dos series el estudiante hace uso de una misma estrategia para completar las tareas, pero en la serie 3-4 tiene una primera aproximación de nueva estrategia y para la serie 3-6 la profundiza y la usa para llegar a la respuesta. Con respecto a la estrategia presentada en la serie 3-4 se podría decir que no se encuentra prevista en el análisis a priori puesto que es como una acción reciproca de la acción 2 del análisis a priori. Pero la acción de hacer coincidir las hipotenusas y los vértices de los triángulos y entre ellas tener el segmento, corresponde a la acción 2 presentada por el análisis a priori. Entonces por lo anterior se puede evidenciar que hubo un refuerzo por parte del estudiante de una nueva estrategia para completar la tarea, por tanto se puede decir que hubo un aprendizaje por adaptación.
Análisis Actividad 3 (Puesta en común y serie 3-7)
La metodología utilizada por la profesora para trabajar la puesta en común consistía en proponer una de la series trabajadas por los niños (Serie de la 3-1 a 3-6, sin mover los triángulos) y pasar a uno de los estudiantes con un marcador para que dibujara el segmento que representara el espejo entre los dos triángulos. Luego elegía a otro estudiante al azar para que pasara y ubicara el segmento nuevamente pero esta vez usando el software, de tal manera que se pudiera hacer un contraste entre la ubicación del segmento que hizo el primer estudiante y la ubicación que realizo el segundo estudiante.
40
Ahora con respecto al trabajo que se debió tener en la puesta en común se puede decir que fue deficiente puesto que a medida que la profesora pasaba los estudiantes, ellos arrojaban ciertas respuestas en las cuales la profesora debía haber intervenido. Es decir algunas de las respuestas de los estudiantes podían ayudar a dar una mejor comprensión de la actividad, pero la profesora paso por alto intervenir, lo cual conlleva a que no se aclaren dudas y queden muchos vacíos.
41 Por ejemplo:
El estudiante pasa a dibujar el segmento que representa el espejo entre los dos triángulos y en la cita textual solo se pone la explicación que da el estudiante con respecto a la estrategia que uso para poner el segmento
12
Eduard: Tuve en cuenta la punta de estos triángulos va a la mitad.
[El estudiante señala los vértices B y B* de los respectivos triángulos]
La punta de los triángulos tiene una mitad que en ella se debe colocar
Profesora: Todos están de acuerdo con lo que acaba de decir Eduar
Estudiantes: Si, si señora
Eduar: Aquí hay unas puntas y en la mitad de esas dos siempre debe ir una línea recta, según el ángulo que tengan los triángulos
[Señala los vértices B y B* de los triángulos con el fin de explicar a sus compañeros]
42 13
Profesora: Eduard está diciendo que él tuvo en cuenta la mitad entre esas dos puntas.
Profesora: ¿Cómo se llaman esas dos puntas?
[Señala los vértices B y B* de los triángulos con el fin de explicar a sus compañeros]
[El estudiante señala tanto los vértices del triángulo como las hipotenusas de los mismos, es decir él tuvo en cuenta los vértices B y B* y la inclinación que tenían las hipotenusas de los triángulos para ubicar el segmento]
Profesora: Eduard está diciendo que él tuvo en cuenta la mitad entre esas dos puntas.
Profesora: ¿Cómo se llaman esas dos puntas?
Estudiantes: Vértices
Profesora: Entonces el segmento va entre las puntas del vértice.
Profesora: ¿Cómo pueden calcular esa mitad?
Estudiantes: Viendo los vértices y entre los dos ahí.
43
Uno de los estudiantes es pasado al tablero a dibujar el segmento y toma como estrategia tener en cuenta un par de vértices como referencia para ubicar el segmento. Acá la profesora debió haber intervenido y mostrar un contraejemplo donde un segmento pase por un par de vértices y no sea el segmento que represente el espejo entre los dos triángulos, de tal manera que los estudiantes se den cuenta que no solo es necesario tener en cuenta un par de vértices si no que se necesita tener en cuenta 3 pares de vértices.
44 4. Carol Estefanía
Pasa Carol Estefanía al tablero y dibuja con el marcador un segmento en el espacio que hay entre los dos triángulos)
Profesora: Miremos que ella va a trazar un segmento y luego nos va a describir que hizo
Profesora: ¿Qué tuvieron en cuenta ustedes para trazar el segmento? o ¿Cuándo movieron el segmento que hicieron?
Profesora: ¿Qué tuvieron en cuenta ustedes para trazar el segmento?
Carol: Teníamos en cuenta que los triángulos quedaran casi juntos y ubicar el segmento al pie de ellos.
(La profesora se dirige a archivo y elige la serie 3-1 y aparece el siguiente pantallazo)
Para este caso la docente pasa a una estudiante a ubicar el segmento y le plantea la pregunta “¿Qué tuvieron en cuenta ustedes para trazar el segmento? “Y la estudiante responde “Teníamos en cuenta que los triángulos quedaran casi juntos y ubicar el segmento al pie de ellos”. A partir de esta respuesta la docente debió haber seguido indagando sobre la respuesta de su estudiante, y preguntarle casi juntos que los lados del triángulo, o los vértices.
45
la inclinación que debe tener el segmento y solo hablan de la posición de un punto que es la mitad entre los 2 vértices más cercanos pero no hablan de la inclinación, entonces la profesora debía haber intervenido o bien para explicitar que hay que tener en cuenta la inclinación y por lo tanto para que ellos digan como determinan esa inclinación o bien para mostrar que no es suficiente con considerar un punto.
Por conclusión la profesora no siguió el diseño de la actividad propuesta en el análisis a priori hay que recordar que en el análisis a priori al terminar la puesta en común la conclusión de esta debe ser que hay que considerar por lo menos dos parejas de vértices correspondientes y hacer que el segmento pase por la mitad de ellos, conclusión a la que no se llegó para esta puesta en común. (Decir que los estudiantes pasaron al tablero pero no hubo una observación que mostrara si estaba correcto o incorrecto lo que hicieron en el tablero).Concluimos que la puesta en común es una actividad difícil de llevar a cabo por los profesores y que la docente procedió de acuerdo a su interpretación del trabajo que había que desarrollar.
Análisis serie 3-7
46
Acá se muestra toda la trascripción de la serie 3-7, puesto que es importante evidenciar como se llevó a cabo esta serie.
14.
(Profesora se dirige a archivo y elige la serie 3-7 y parece el siguiente pantallazo)
Profesora: Resulta que en la tarea dos ya no me dan el segmento. Dice la tarea dos que debemos ubicar un segmento entre estos dos triángulos que represente el espejo.
15.
Profesora: Acá vemos una serie de herramientas, entonces la herramienta que vamos a utilizar es esta tercera que dice SEGMENTO, y vamos a ubicar un segmento de tal forma que cumpla las condiciones que ustedes dijeron. Que sea el espejo entre los dos triángulos. Bueno ¿Pero será que con eso ya es suficiente para que me quede en la mitad?
47 16.
Profesora: Entonces miremos si yo mueve este punto ¿qué pasa?
Profesora ( toma el punto que esta sobre circunferencia y lo mueve, y al mover ese punto el triángulo verde se empieza a desplazar)
Estudiante: Se mueve el triángulo verde
17.
Profesora: Bueno pero con eso no sabemos si ese segmento quedo en la mitad cierto
Estudiantes: no
Profesora: En este caso lo que hay que hacer es lo siguiente: Como no sabemos si realmente ese segmento me representa el espejo
(Profesora toma el segmento desde su parte central y moviendo el cursor de arriba hacia abajo traslada el segmento sin salirse del espacio que hay entre los dos triángulos)
[Con el movimiento mencionado
48 18.
Profesora: Se debería mover el segmento con los triángulos
Profesora: ¿Y punto medio entre que lo voy a hacer?
Estudiantes: Entre los dos triángulos
Profesora: ¿Y para hacerlo como debo hacer? , entre los dos vértices.
(La profesora se dirige a herramientas y elige punto medio, luego hace clic sobre el vértice B del triángulo rojo y clic sobre el vértice B* del triángulo verde y parece un punto entre los vértices B y B*que selecciono)
19.
Y pregunta: ¿Con un solo punto será suficiente?
Estudiantes: Si
Estudiante: Si ahora solo es poner la línea encima, el segmento encima.
Profesora: Necesitamos otro por acá, voy a ubicar otro por acá, o sea puntos correspondientes.
49
en el espacio que hay entre los dos triángulos]
(Profesora se dirige a herramientas elige segmento y usando los 3 puntos mencionados anteriormente pasa el segmento por los tres)
20. (La profesora selecciona el punto que
esta sobre la circunferencia y lo mueve, mientras hace este movimiento)
Profesora: ¿Qué pasa con ese segmento?
Estudiantes: Se mueve junto con el triángulo verde
Profesora: Voy explicando 3
herramientas, una para hacer el segmento, otra para hacer el punto medio, pero yo voy a comprobar también si realmente ese segmento me da la simetría del triángulo, entonces voy a buscar una que dice simetría axial, entonces señalo este triángulo y este segmento y me sale otro triangulito, efectivamente si me cambio de color es porque es simétrico. Eso quiere decir que me quedo bien el segmento.
50
triángulo verde)
Estudiante: ¿Si cambia de color es porque quedo bien?
Profesora: Exacto
Profesora: La próxima clase ustedes van a hacer la construcción
De esta manera termina la puesta en común y la serie 3-7
Análisis
Esta serie fue abordada por la docente no como una actividad en la cual los estudiantes tenían que llegar por necesidad a usar las herramientas que ofrece el software, sino más bien fue utilizada para explicar de qué manera las herramientas del software nos ayudan a construir un segmento que represente el espejo de los triángulos.
Entonces se puede decir que en esta serie hubo un aprendizaje por imposición puesto que la docente no dejó que sus estudiantes exploraran el software sino que impuso las herramientas y no dejó que sus estudiantes experimentaran la necesidad de usarlas o de buscar otro elemento que les ayudara a completar la tarea.
51 Actividad 4 (Análisis)
Cuadrar a ojo triangulo verde y medir distancias
Serie 4-1
3 Primer pantallazo
4 Estudiante: Considerando que la recta
representa un espejo, mover el triángulo verde hasta ser el reflejo del triángulo rojo por ese espejo
52
5 ( Toma el vértice B y mueve hacia abajo
el triángulo)
[Aparentemente el estudiante intenta dejar el triángulo verde a la misma distancia del triángulo rojo con respecto a la recta.]
Estudiante: Por ahí yo creo
6 (Selecciona la herramienta punto y
dibuja un punto sobre la recta)
7
(Selecciona la herramienta distancia y longitud y mide desde el vértice B del triángulo verde hasta el punto construido sobre la recta, y aparece el valor 2.55 cm. Enseguida hace clic en el vértice B* y en el punto que construyó sobre la recta aparece el valor 2.59 cm)
53
8 Estudiante 2: Venga le ayudo
[Posiblemente el estudiante 2 toma el mouse]
(Toma el vértice B y mueve el triángulo hacia abajo)
[Como ya tienen las medidas de las distancias buscan que las distancias sean iguales]
54
9 Estudiante2 (Dibuja un segundo punto
sobre la recta y luego traza un segmento desde A hasta el punto sobre la recta, luego desde A* hasta el mismo punto sobre la recta. Enseguida traza un segmento desde B hasta el primer punto sobre la recta, luego desde B* hasta este mismo punto)
10 (Mide las distancias entre esos puntos
55 11
(Toma el vértice A y gira el triángulo hasta que las medidas coinciden)
12 Estudiante 1: Profe mire
[Estudiantes charlan acerca del
56 13
Estudiante 1 ( Mueve el computador y lo desenfoca de la pantalla)
Estudiante 2: Toca abrirlo otra vez
(Los estudiantes abren de nuevo la serie 4-1 y es la imagen que se presenta)
Serie 4,4
50 [El estudiante abre la serie 4-4, aparece
57
51 Estudiante1 (Toma el vértice B y mueve
el triángulo al otro semiplano)
52 (Luego toma el vértice A y rota el
triángulo )
53 (Toma el vértice B y traslada un poco el
58
54 Estudiante 1 (Dibuja un punto sobre la
recta )
55 (Toma la distancia desde el punto sobre
la recta hasta el vértice A* y aparece la medida, luego toma la medida desde el punto sobre la recta hasta el vértice A y aparece la medida)
56 (Toma el vértice B y moviendo el cursor
suavemente un poco hacia abajo y luego hacia la izquierda, aparece el letrero “muy bien “ en su pantalla)
59
Análisis estrategia medir distancias (Serie 4-1 y 4-4)
En estos dos extractos puede verse que el estudiante desplaza el triángulo verde al triángulo rojo con respecto a la recta, lo gira para ponerlo en posición contraria y ajustar perceptivamente las distancias del triángulo a la recta para que sean iguales alas del triángulo rojo a la recta, como el letrero muy bien no aparece el estudiante utiliza la herramienta distancia longitud para medir las distancias de uno a más puntos de los triángulos a la recta. En el caso de la serie 4-4 la estrategia le permite solucionar el problema mientras que en las otras series no.
Esta estrategia no se encuentra prevista en el análisis a priori, pues en el análisis a priori se establece que la única herramienta disponible es el arrastre. No es una estrategia valida por que no considera la perpendicularidad de los segmentos entre puntos correspondientes con respecto al eje de simetría. En la serie 4-4 la posición vertical del eje de simetría y la posición del triángulo rojo (con un cateto paralelo al eje de simetría y otro perpendicular), facilitaron la obtención perceptiva de la perpendicularidad.
60 Lado AB paralelo
Estudiante 1 ( Mueve el computador y lo desenfoca de la pantalla)
Estudiante1: se borró, será que no guardo eso
Estudiante 2: Toca abrirlo otra vez
(Los estudiantes abren de nuevo la serie 4-1 y es la imagen que se presenta)
14 Estudiante 2: Ahora yo. Usted ya hizo
mucho.
61 15
Profesora: Dibujan la figura 4-1 y cómo la hicieron, escriben aquí qué estrategias utilizaron para la solución y qué encontraron ¿vale?
16 (Toma el vértice B y baja el triángulo)
17 (Toma el vértice B y traslada el triángulo
de tal manera que el lado AB quede superpuesto sobre la recta. Luego mueve el vértice A hasta ponerlo sobre la recta)
62
18 (Toma el vértice B y sube el triángulo)
19 Estudiante 2
63 20
(Toma el vértice B y empieza a mover el triángulo hacia arriba, luego toma la medida del lado AB y aparece el número 2.12cm)
[Aparentemente intenta que las medidas que hay entre la recta y los vértices del triángulo rojo sean las mismas que entre la recta y los vértices del triángulo verde]
[Como tenia seleccionada la herramienta distancia, al hacer clic sobre el vértice B mide la longitud del lado AB]
21 Estudiante 1: Casi. Le queda más subido
64
22 (Mueve el vértices A hasta que las
medidas quedan iguales)
[Sin embargo no aparece el “muy bien”]
23 (Mide la distancia del vértice C del
65
24 (Selecciona la herramienta simetría axial
y hace clic en el triángulo verde y luego en la recta)
Estudiante 1: Desde el punto no, que desde el punto no.
(Aparece un triángulo verde sobre el triángulo rojo).
Estudiantes: Uyyyyyyy casi un poquito que nos faltó.
Estudiante 1: Profe ya nos quedó y ya usamos simetría axial y todo.
Estudiante 2: Venga intentemos otra vez
25 (Abren de nuevo la serie 4-1)
66
95 [Los estudiantes abren la serie 4-6, les
aparece el siguiente pantallazo]
96 (Toma el vértice B del triángulo verde y
moviendo el cursor traslada el triángulo hacia abajo)
67
98 (Toma el vértice A y moviendo el cursor
rota el triángulo, luego tomando el vértice B traslada el triángulo dejando cerca el lado AC a la recta)
[Aparentemente el estudiante intenta dejar el lado AC del triángulo verde paralelo a la recta]
Análisis estrategia lado AB paralelo (Serie 4-1 y 4-6)
En estos extractos podemos observar como el estudiante acomoda el triángulo verde haciendo coincidir uno de sus lados con el eje de simetría y luego lo aleja para obtener la equidistancia de los puntos correspondientes al eje. Al igual que la
estrategia anterior el estudiante hace uso de la herramienta distancia y longitud para
obtener esa equidistancia.
68 Ocultar Mostrar
34 (Abren la serie 4-2)
(Posición inicial)
[Discuten sobre quién desarrolló la primera serie y a quién le correspondería la segunda]
35 Estudiante 1
(Dibuja un punto en la recta y mide la distancia que hay entre el punto y el vértice A del triángulo verde)
69
36 (Abren de nuevo la serie 4-2 )
(Selecciona la herramienta ocultar/mostrar y
aparece el simétrico del triángulo rojo en punteado)
37
(Toma el vértice A y gira el triángulo, luego toma el vértice B y baja el triángulo hasta hacer coincidir el vértice B con el vértice correspondiente del triángulo punteado)
38 (Toma el vértice A y gira el triángulo)
(Un estudiante señala la pantalla)
Estudiante 1: Toca que lo ponga acá
[Aparentemente se refiere a que el lado AC del triángulo verde no coincide con el lado del triángulo punteado]
70
39 (Toma la medida desde el vértice B del
triángulo verde hasta la recta y la del vértice B* hasta la recta)
40 Estudiante 1: Pero es que tiene que estar
más lejos
41 (Toma vértice B y sube el triángulo hasta
71
42 (Miden las distancias del vértice A a la recta
y del vértice A* a la recta)
(Dibujan un punto sobre la recta y miden la distancia desde el vértice A al punto sobre la recta y de A* hasta el punto en la recta)
43 (Toma el vértice A del triángulo verde y
moviendo primero hacia arriba y luego hacia abajo rotan un poco el triángulo hasta que es su pantalla aparece el letrero “muy bien”)
72
44 [Serie 4-3 pantalla inicial]
45 (Selecciona la herramienta ocultar/mostrar y
73
46 (Toma el vértice B traslada el triángulo)
47 (Rota el triángulo y lo superpone al triángulo
punteado)
74
48 Estudiante 1 (Dibuja un punto sobre la recta
y toman las medidas correspondientes a la distancia entre el vértice A y el punto sobre la recta y la distancia del vértice A* hasta el punto sobre la recta)
Estudiante: Uyyy esta re lejos
[Él estudiante hace referencia a que las medidas son bastante diferentes]
49 (Toma el vértice B y mueve el cursor hacia
abajo y mientras hace este movimiento aparece el letrero “muy bien” en su pantalla)
Análisis Estrategia ocultar mostrar (Series 4-2 y 4-3)
En estos extractos vemos como el estudiante muestra los objetos ocultos de la construcción y acomoda el triángulo verde de manera que el vértice B coincida con el vértice correspondiente del triángulo que está oculto. De esta manera obtiene la perpendicularidad del segmento BB* con respecto a la recta. Luego gira el triángulo alrededor del punto B buscando la equidistancia de los puntos correspondientes a la recta. En algunos casos los estudiantes utilizan las medidas de las distancias.
Esta estrategia no se encuentra prevista en el análisis a priori debido a que utiliza la
herramienta ocultar/mostrar. Es una estrategia exitosa pues les permite a los
75
correspondientes con respecto a la recta. Sin embargo los estudiantes no toman conciencia de esta propiedad.
76 Conclusiones
Teniendo en cuenta que nuestro objetivo principal es analizar la implementación de las actividades 3 y 4 para la enseñanza de la simetría axial en un grado sexto del colegio Pompilio Martínez, para identificar los aprendizajes por adaptación que se produjeron y las dificultades de gestión de las actividades por parte de la profesora, basaremos este segmento del trabajo en los resultados obtenidos a lo largo de la investigación; para esto dividiremos el capítulo en 2 secciones: en la primera de ellas presentaremos las conclusiones generales del objetivo principal del proyecto, en un segundo momento se mostraran unas reflexiones en cuanto al trabajo de la profesora en el momento de implementar las actividades.
Conclusiones generales
Después de realizar un análisis de las situaciones de clase se puede decir que tanto las actividades como el medio cumplieron con el objetivo de posibilitar un aprendizaje por adaptación. Por ejemplo, gracias al trabajo que se desarrolló en la actividad 3, los estudiantes aprendieron que el eje es equidistante de los puntos correspondientes de los dos triángulos y utilizaron este conocimiento durante la actividad 4. Aunque en la actividad 4 no encontramos evidencia de que los estudiantes adquirieran un aprendizaje por adaptación sobre la necesidad de que los segmentos entre puntos correspondientes sean perpendiculares al eje de simetría, este hecho se debió a un error de gestión por parte de la profesora, quien dejó disponibles herramientas que permitían resolver las tareas sin utilizar o tomar conciencia de esa perpendicularidad.
Por otro lado, después de analizar las actividades fue posible ver que algunas de las acciones de los estudiantes y de la profesora no estaban previstas en el análisis a priori, como por ejemplo, en la actividad 3 los estudiantes exhiben una estrategia que consiste en superponer el segmento que representa el espejo a un lado de uno de los triángulos y luego desplazarlo para buscar la equidistancia. Esta estrategia no estaba prevista en el análisis a priori, sin embargo las retroacciones del software permitieron su invalidación.
Dificultades en gestión
77
Por otra parte una segunda decisión inadecuada de la docente consistió en no controlar las herramientas disponibles pues esto hace que los estudiantes tengan otras
formas de completar las tareas y se pierda el objetivo de la actividad. Por ejemplo, en
la actividad 4 la herramienta ocultar mostrar se encontraba disponible, lo cual ayudó a
que los estudiantes completaran la tarea sin tener en cuenta la propiedad de perpendicularidad. Además, en la actividad 4 los estudiante hicieron uso de medidas que en algunos casos estaban en contradicción con la retroacción del letrero “muy bien” (Línea 43 actividad 4). Esta situación no es deseable, pues se presentan dos retroacciones del medio que se contradicen.
Por último, en la puesta en común (actividad 3 series 3-1 - 3-6) puede apreciarse que la gestión de la profesora se limita a hacer pasar a los estudiantes a exponer su trabajo, sin intervenir para hacer tomar conciencia de las propiedades geométricas necesarias para resolver los problemas ni para lograr acuerdos grupales sobre dichas propiedades. Por ejemplo, la docente no propone contraejemplos que lleven a los alumnos a invalidar las estrategias de solución que son claramente insuficientes. Esta dificultad de gestión por parte de la docente es en parte resultado de una insuficiencia del análisis a priori de la puesta en común, en el que solo se hicieron recomendaciones sobre la gestión socio-afectiva. Se pone en evidencia así, la necesidad de incluir recomendaciones de gestión cognitiva y del saber.
78
Referencias Bibliográficas
Acosta, M., Monroy, L., & Rueda, K. (2010).SITUACIONES A-DIDACTICAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA SIMETRIA AXIAL UTILIZANDO CABRI COMO MEDIO. INTEGRACION, Vol.28 (numero2), pág. 173-189
Acosta, M. (en prensa). MARCO TEÓRICO DEL PROYECTO INSTITUCIONAL DE USO DE SOFTWARE DE GEOMETRÍA DINÁMICA.
Artigue, M. D. (1995). INGENIERIA DIDÁCTICA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA Bogotá: Iberoamérica.
Margolinas, C. (2009).LA IMPORTANCIADE LO VERDADERO Y LO FALSO EN LA CLASE DE MATEMÁTICAS. (Primera edición en español; Acosta M.E. y Fiallo J.E.
MEN. M. d. (2004).PENSAMIENTO GEOMÉTRICO Y TEGNOLOGÍAS COMPUTACIONALES. Bucaramanga: Enlaces Editores.
Pérez, L., Quiñones, J. (2012) ANÁLISIS A-PRIORI ACTIVIDADES DE SIMETRÍA AXIAL.
Documento no publicado del subgrupo Nuevas Tecnologías EDUMAT-UIS
Parada, S., & Fiallo, J. (2012) UNA MIRADA CON PROFESORES DE SANTANDER (COLOMBIA) SOBRE EL USO DE TEGNOLOGIAS EN CLASE DE MATEMÁTICAS. (Ed) Memoria Congreso iberoamericano de Aprendizaje Mediado por Tecnología. Universidad Nacional Autónoma de México.
Murillo, R. (2005). IMPLEMENTACIÓN DEL SOFWARE DE GEOMETRÍA DINÁMICA EN LA ENSEÑANZA DE LA ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA. Universidad de Granada
Anexos
Anexo A
79
En este informe presentamos un análisis de una secuencia de cuatro actividades de clase, alrededor del concepto de simetría axial. Cada actividad está compuesta de series, y en cada una de las series se les pedirá a los estudiantes que realicen tareas específicas. Para cada serie hay un archivo con una figura, hecha en Cabri II plus, sobre la que los estudiantes trabajarán para desarrollar las tareas (Los estudiantes no necesariamente deben saber manejar el programa).
La secuencia está planteada para que los alumnos se familiaricen con algunos fenómenos que caracterizan la simetría axial, de modo que esto les permita predecir o anticipar las posiciones de los objetos simétricos, dados ciertos elementos de la simetría. Para que identifiquen el eje, lo ubiquen de manera perceptiva y posteriormente sean capaces de construirlo, además que puedan construir alguno de los componentes de la simetría dados los otros; por ejemplo, dado un triángulo y el eje de simetría, construir el simétrico.
Además, en cada actividad, las series tienen una secuencia que detallaremos a medida que avancemos en el documento. Para ello analizaremos una a una las actividades, haciendo una descripción, especificando los objetivos, precisando las tareas y lo que esperamos que los estudiantes hagan.
Actividad 1
Saber en juego
Una simetría axial es una transformación geométrica, es decir una correspondencia entre parejas de puntos del plano. Decimos que dos puntos del plano A y A’ son simétricos con respecto a una recta e (llamada eje de simetría) si y sólo si e es mediatriz del segmento AA’. Esta condición implica que el segmento AA’ debe ser perpendicular a e y que e debe pasar por el punto medio de AA’. También se deduce que A y A’ deben quedar en semiplanos opuestos con respecto a e. Por lo tanto, si dos figuras (por ejemplo polígonos) son simétricas con respecto a e, deben tener orientaciones contrarias con respecto a e, ya que la distancia de cada punto a e debe ser igual a la distancia de su homólogo a e.
Una simetría axial es una isometría, puesto que conserva la forma y el tamaño de las figuras; es decir, si dos figuras son simétricas con respecto a un eje, entonces son congruentes.
Objetivo
80
dependencia de una con respecto a la otra, los movimientos contrarios con respecto al eje (Los alumnos podrían asimilarlo como un espejo imaginario). Esto implica que logren identificar el eje de simetría y predecir su ubicación.
Descripción del medio
Para esta actividad, se trabaja con 12 figuras, en cada una de las cuales hay 6 triángulos con los vértices ocultos, tres rojos y tres verdes, simétricos con respecto a un eje que permanece oculto. Los tres triángulos rojos tienen diferentes formas, cada triángulo verde es congruente con un triángulo rojo. En las figuras numeradas 1 a 1-6, aparece también un círculo; en las figuras numeradas 1-1a a 1-6a aparecen tres círculos cada uno con un punto sobre él. La diferencia entre las seis series es la orientación (inclinación) del eje. Las 12 figuras se presentan a continuación.
Serie 1-1 Serie 1-1ª
1-2 1-2a
81
1-4 1-4a
1-5 1-5a
82
De acuerdo con las características del software, los triángulos verdes no se pueden arrastrar directamente, dada la dependencia de éstos con respecto a los rojos, lo cual no es una propiedad específica de la simetría, sino una particularidad del programa; pero los triángulos rojos sí se pueden arrastrar agarrándolos por un lado o un vértice, permitiendo llevarlos libremente a cualquier lugar de la pantalla sin que cambien su forma y tamaño, para ello basta hacer clic sostenido sobre el triángulo y arrastrar. Adicionalmente, al arrastrar los triángulos rojos, los verdes se mueven de manera que conservan la simetría. Del mismo modo, los círculos de las series 1-1 a 1-6 no se pueden arrastrar, mientras que los de las series 1-1a a 1-6a se pueden mover libremente agarrándolos por el punto que aparece sobre ellos.
En todas las series, la única herramienta de Cabri disponible es el apuntador.
Descripción de la actividad
Se quiere que los estudiantes descubran los siguientes fenómenos visuales:
Si dos figuras son simétricas, una depende de la otra. Es decir, una podrá
arrastrarse directamente en la pantalla, pero la otra no, sin embargo se moverá cuando la primera se mueva. En particular, se quiere que los alumnos descubran que los triángulos verdes no se pueden arrastrar y los rojos si, y que al arrastrar uno delgado se mueve uno grueso.
Si dos figuras son simétricas, tienen movimientos contrarios con respecto al eje
