3. Preferencias en Sistemas Argumentativos Estructurados
3.3. Sistema Argumentativo de Prakken y Sartor
Existen en la literatura de argumentaci´on, sistemas que utilizan criterios para com- parar argumentos que asumen un orden de prioridad expl´ıcito entre reglas de programa. Algunos de estos sistemas utilizan preferencias est´aticas entre reglas, preferencias fijadas al momento de especificar la teor´ıa de argumentaci´on, o din´amicas, i.e., preferencias de- rivadas como conclusiones dentro del sistema que argumenta [DSTW04]. Inspirados en el razonamiento legal, Prakken y Sartor [PS97] presentan un sistema argumentativo donde los conflictos entre argumentos son resueltos con una relaci´on de prioridad entre reglas. En el formalismo desarrollado a continuaci´on, los autores proponen dos enfoques: uno que utiliza prioridades fijas entre las reglas del programa, y otro con prioridades rebatibles.
3.3.1.
Enfoque con prioridades fijas
En [PS97], el sistema desarrollado usa el lenguaje de la programaci´on en l´ogica exten- dida. Por lo tanto, la informaci´on de entrada est´a constituida por una teor´ıa ordenada Γ = (S,D,>), dondeS es un conjunto de reglas estrictas,Dun conjunto de reglas rebatibles, y >un orden parcial estricto sobreD. En el lenguaje,¬ representa la negaci´on cl´asica (o fuerte) mientras que ∼ codifica una clase de negaci´on por falla (o d´ebil). Las reglas son denotadas
r:L0 ∧ . . .∧Lj ∧ ∼Lk ∧. . .∧ ∼Lm ⇒Ln,
donder es el nombre de la regla, y cada Li (0≤i≤n) es un literal fuerte que puede estar precedido por el s´ımbolo “¬” de la negaci´on fuerte, o un literal d´ebil o suposici´on
si toma la forma ∼Lk, donde Lk es un literal fuerte y“∼” es el s´ımbolo de la negaci´on
Ln consecuente. Sint´acticamente, las reglas estrictas difieren de las rebatibles en que no pueden contener suposiciones y est´an denotadas con el conectivo “→” en lugar de “⇒”.
Un argumento es una secuencia finita A= [r1, r2, . . . , rn] de instancias fijas de reglas que satisfacen las siguientes dos condiciones:
1. para cada i (0≤i ≤n), y para cada Lj en el antecedente de ri existe un k < i tal queLj es el consecuente derk, y
2. no existen dos reglas rebatibles en la secuencia A con el mismo consecuente.
Un argumento A0 es un subargumento de A si y solo si A0 es una subsecuencia de A. En el caso queA0 6=A,A0 es un subargumento propio. Cada consecuencia de una regla en
Aes una conclusi´on deA, y cada literalLes unasuposici´on deAsi y solo si∼Laparece en alguna regla en A, donde L denota el complemento de L con respecto a la negaci´on fuerte. Un argumento es estricto si y solo si no contiene reglas rebatibles, de lo contrario es rebatible.
La presencia de suposiciones en una regla da lugar a dos tipos de conflictos entre ar- gumentos. Un argumentoA1 ataca a otro argumentoA2 si y solo si existen dos secuencias S1y S2 de reglas estrictas tal queA1+S11 es un argumento con conclusi´onL, y se cumple
que:
1. A2+S2 es un argumento con conclusi´on L, o
2. A2 es un argumento con una suposici´onL.
Habiendo definido cu´ando un argumento est´a en conflicto con otro, lo siguiente con- siste en describir un m´etodo para compararlos a fin de establecer la relaci´on de derrota. A partir de la noci´on de ataque mencionada previamente, la relaci´on de derrota se enuncia en t´erminos desocavamiento (en ingl´es,undercutting) yrefutaci´on (en ingl´es,rebutting). Si dos argumentos en conflicto tienen conclusiones complementarias y se induce una prefe- rencia de uno sobre el otro, entonces estamos en presencia de una derrota por refutaci´on. En este caso las prioridades entre las reglas rebatiblesD se deben considerar en la com- paraci´on de los argumentos.
La preferencia entre argumentos se basa en la comparaci´on de los conjuntos de re- glas rebatibles que contribuyen a la derivaci´on de las conclusiones de los argumentos en conflicto, i.e., aquellas reglas relevantes para el conflicto. Sea A un argumento y S un
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conjunto de reglas estrictas tal que A+S es un argumento con conclusi´onL. El conjunto de reglas relevantes a Len el argumento A+S se define de la siguiente manera:
Si L es el consecuente de una regla rebatible en A, entonces ´esta es la ´unica regla relevante.
Si A es rebatible y L es el consecuente de una regla estricta, entonces el conjunto de reglas relevantes se obtiene a partir de la uni´on del conjunto de reglas relevantes a cada literal que se encuentra en el antecedente de dicha regla estricta.
Finalmente, el siguiente criterio de prioridad extiende el orden entre pares de reglas a pares de conjuntos de reglas. Dado dos conjuntos de reglas rebatibles R y R0, R > R0 si y solo si, ∃r0 ∈ R0 tal que ∀r ∈ R se cumple que r > r0. Este criterio ser´a utilizado para
preferir un argumento sobre otro en la noci´on de refutaci´on que se describe a continuaci´on. Un argumento A1 refuta a un argumento A2 si y solo si los dos argumentos tienen
conclusiones complementarias, y no se cumple que el conjunto de reglas relevantes
R0 a la conclusi´on del segundo argumento tenga prioridad sobre el conjunto de reglas relevantes R a la conclusi´on del primero, i.e., R0 ≯R.
Un argumentoA1 socava a un argumento A2 si el primero tiene una conclusi´on que
es el complemento de una suposici´on del segundo.
Se dice que un argumento es coherente si no se ataca a s´ı mismo. Un conjunto de argumentos es libre de conflicto si no contiene argumentos que se ataquen mutuamente. En este punto se est´a en condiciones de formalizar la noci´on de derrota. Un argumento
A1 derrota aA2 si y solo si:
1. A1 es un argumento vac´ıo, yA2 no es coherente, o bien
2. A1 socava aA2, o bien
3. A1 refuta aA2 y A2 no socava a A1.
Se dir´a queA1 derrota estrictamente aA2 si y solo siA1 derrota a A2 yA2 no derrota
a A1.
Ejemplo 3.2. A continuaci´on se ilustra la relaci´on de derrota entre los argumentos cons- truidos a partir del siguiente conjunto de reglas:
r0: ⇒a r1: a ⇒b r2: ∼b ⇒c r3: ⇒ ¬a
Si r3 > r0, el argumento A1 = [r0, r1] derrota por socavamiento a A2 = [r2] y A3 = [r3]
derrota a A1, refutando a su subargumento propio A0 = [r0].
A pesar de conseguir una soluci´on apropiada al problema del conflicto entre argumen- tos, los autores manifiestan que asumir un orden fijo sobre las reglas es una alternativa que con frecuencia es poco realista en el razonamiento legal. Por ejemplo, en el razonamiento legal los est´andares para decidir ante un conflicto est´an a su vez sujetos a un debate. Esto da lugar a un segundo enfoque, en el cual los autores redefinen el formalismo para permitir la construcci´on de argumentos sobre las prioridades. De esta forma, las prioridades son rebatibles y dejan de ser fijas.
3.3.2.
Enfoque con prioridades rebatibles
En primer lugar, se extiende el lenguaje con un predicado especial B, donde r2 B r1
expresa que la reglar2 tiene prioridad sobre r1. En consecuencia ya no es necesario incluir
al orden> como el tercer componente de una teor´ıa ordenada y ´esta se redefine como un par Γ = (S, D). ComoBdenota un orden parcial estricto, se agrega asimismo al conjunto de reglas estrictas S un conjunto de axiomas de manera tal que el orden sobre las reglas es un orden parcial estricto.
t1 : (z B y) ∧ (y Bx) → (z Bx) t2 : (y Bx) ∧ ¬ (zB x) → ¬ (zB y) t3 : (z B y) ∧ ¬ (zB x) → ¬(y B x) t4 : (y Bx) → ¬ (x B y)
Los autores mencionan que el orden de la teor´ıa debe ser determinado por todos los argumentos justificados que contengan informaci´on sobre las prioridades, esto es, (r, r0)∈ >si y solo si existe un argumento justificado pararBr0. En consecuencia el ordenamiento
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sobre las reglas se obtiene paso a paso junto con los argumentos justificados y var´ıa a medida que se obtienen nuevas conclusiones.
SiArgs es un conjunto de argumentos, entonces >Args ={r > r0|rBr0 es una conclu-
si´on de alg´unA1 ∈Args}. Entonces se dir´a que A1 (estrictamente)Args-derrota aA2 en
base a una teor´ıa ordenada Γ = (S, D) si y s´olo siA1 (estrictamente) derrota aA2 en base
a (S, D, >Args). En el segundo caso, la noci´on de derrota corresponde a la previamente
definida para el enfoque con prioridades fijas.
Un argumento A ser´a aceptable con respecto a un conjunto Args de argumentos si y solo si todos los argumentos Args-derrotantes para A son estrictamente Args-derrotados por alg´un argumento enArgs. La definici´on de argumentos aceptables nos lleva a la noci´on deargumentos justificados, es decir aquellos argumentos que resultan ser aceptables luego de realizar todas las comparaciones posibles entre pares de argumentos.
En ambos enfoques presentados, el conjunto J ustArgsΓ de todos los argumentos jus-
tificados para una teor´ıa ordenada Γ se define en t´erminos de un operador de punto fijo, denominado la funci´on caracter´ıstica de la teor´ıa ordenada. Si Γ = (S, D) es una teor´ıa ordenada,T ⊂ArgsΓyCargsΓes el conjunto de todos los subconjuntos libres de conflicto
de ArgsΓ, entonces la funci´on caracter´ıstica de Γ, destinada al enfoque con prioridades rebatibles, se define como:
GΓ :CargsΓ −→2ArgsΓ
GΓ(T) = {A ∈ArgsΓ| A es aceptable con respecto a T}
En el formalismo se demuestra que el operador GΓ, al estar restringido a conjuntos de
argumentos libre de conflicto, verifica la propiedad de monoton´ıa. Esta propiedad asegura la existencia del menor punto fijo de GΓ, que ser´a utilizado para describir el conjunto
de argumentos justificados. Por otra parte, los autores muestran como capturar la defi- nici´on de J ustArgsΓ de una manera constructiva, comenzando desde el conjunto vac´ıo,
definiendo la siguiente secuencia de subconjuntos de ArgsΓ.
G1 =G Γ(∅) Gi+1 =Gi∪G
Γ(Gi)
Se puede demostrar que para un Γ finito, se cumple que S∞
i=0(G
i) =J ustArgs
Γ.
Ejemplo 3.3. Para ilustrar c´omo razonar sobre las prioridades entre reglas se considera una teor´ıa(S, D)tal queS contiene los axiomas de prioridad para asegurar las prioridades
de transitividad y asimetr´ıa y D est´a compuesto por las reglas r0, r1, r2, y r3 presentadas
en el Ejemplo 3.2 m´as las siguientes reglas rebatibles:
r4: ⇒r3 Br0 r5: ⇒r0 Br3 r6: ⇒r4 Br5 G1 = {[r
6]} y entonces >G1= {r4 > r5}. En la pr´oxima iteraci´on podemos resolver el
conflicto entre [r4] y [r5], y [r4] estrictamente G1-derrota a [r5] y en consecuencia G2 = G1∪ {[r4]}. Ahora, >G2=>G1 ∪{r3 > r0}.
Para concluir, es importante mencionar que la principal contribuci´on de este trabajo yace en el uso de prioridades rebatibles. Esta caracter´ıstica posibilita debatir sobre el orden de preferencia entre los argumentos. Por otra parte, en cualquiera de los dos enfoques propuestos la fuerza de los argumentos se infiere desde la fuerza de las reglas con las cuales los argumentos est´an construidos. En particular, ´esto hace que no se tenga en cuenta la totalidad del argumento, y en consecuencia el criterio de prioridad sobre reglas utilizado no funciona correctamente en gran variedad de situaciones.