Tabla comparativa y análisis de los seis enfoques

Tabla 1. Análisis comparativo de los seis enfoques modernos para la valuación de opciones sobre divisas.

ENFOQUE PROBABILISTA

SUPUESTOS DEL MODELO

Volatilidad constante.

El precio del activo subyacente es conducido por un movimiento geométrico browniano.

Existencia de un mercado de crédito, con una tasa de interés constante a todos los plazos.

Valuación neutral al riesgo.

Distribución lognormal del activo subyacente.

HERRAMIENTAS TEÓRICAS

Movimiento geométrico browniano. Reglas básicas de cálculo diferencial estocástico.

Lema de Itô.

Variable aleatoria estocástica. Filtraciones.

Reglas de cálculo diferencial.

Ecuación diferencial de primer orden con condición inicial. Espacio y medida de probabilidad.

Función de variable aleatoria. Probabilidad condicional.

Función de distribución. Función de densidad.

ENFOQUE DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES SUPUESTOS DEL MODELO

El precio del activo subyacente es conducido por el movimiento geométrico browniano.

Volatilidad constante.

Existencia de un mercado de crédito, con tasa de interés constante a todos los plazos.

Ausencia de arbitraje. Función de la prima de la opción. Cambio marginal en la prima de la opción.

La venta en corto es permitida. Los mercados están en equilibrio.

El activo subyacente no paga dividendos durante la vida del contrato.

HERRAMIENTAS TEÓRICAS

Movimiento geométrico browniano. Variable aleatoria estocástica.

Proceso de Wiener. Filtraciones.

Reglas del cálculo diferencial estocástico. Reglas del cálculo diferencial.

Reglas del cálculo integral. Lema de Itô.

Portafolio.

Ecuación diferencial de primer orden con condición inicial. Ecuación diferencial parcial de segundo orden de Black y Scholes.

Equilibrio general. Condición de paridad put-call.

ENFOQUE DE ECUACIÓN DE DIFUSION DE CALOR

SUPUESTOS DEL MODELO

Condiciones iniciales, finales y de frontera.

Obtención de la ecuación diferencial parcial de Black y Scholes, mediante la solución de la ecuación de difusión de calor.

HERRAMIENTAS TEÓRICAS

Ecuación de difusión de calor. Problema de Cauchy homogéneo.

Función de distribución acumulada de una variable normal estándar. Reglas del cálculo diferencial.

Condiciones iniciales, finales y de frontera. Ecuación diferencial parcial de Black y Scholes.

ENFOQUE DE PORTAFOLIOS REPLICANTES SUPUESTOS DEL MODELO

El activo subyacente y la opción se negocian en forma continua. Cobertura dinámica.

El precio del activo subyacente es modelado por el movimiento geométrico browniano.

Volatilidad constante.

Existencia de un mercado de crédito, cuya tasa de interés es constante. Portafolio autofinanciable.

Portafolio replicante del valor del activo subyacente. Condiciones finales y de frontera.

HERRAMIENTAS TEÓRICAS

Movimiento geométrico browniano. Variable aleatoria estocástica.

Filtraciones.

Reglas del cálculo diferencial estocástico. Reglas del cálculo diferencial.

Lema de Itô.

Ecuación diferencial parcial de primer orden con condición inicial. Tiempo discreto y continuo.

Procesos estocásticos. Portafolios autofinanciados.

Portafolios replicantes. Equilibrio general.

Cobertura delta.

ENFOQUE DE PAGO CONTINUO DE DIVIDENDOS

SUPUESTOS DEL MODELO

El activo subyacente paga dividendos.

Los dividendos se pagan de manera continua a una tasa constante conocida.

El precio del activo subyacente sigue un movimiento geométrico browniano.

Existencia de un mercado alternativo de crédito. Ausencia de arbitraje. Neutralidad al riesgo. HERRAMIENTAS TEÓRICAS

Espacio fijo de probabilidad. Filtración.

Función de densidad condicional del movimiento geométrico browniano.

Movimiento geométrico browniano. Política de dividendos.

Portafolio combinado de subyacentes y opciones. Lema de Ito.

ENFOQUE PROBABILISTA

SUPUESTOS DEL MODELO

El precio del activo subyacente sigue un movimiento geométrico browniano.

El precio del activo subyacente es expresado en términos de un numerario.

Neutralidad al riesgo.

Volatilidad del activo subyacente constante. Ausencia de oportunidades de arbitraje.

HERRAMIENTAS TEÓRICA

Valor esperado condicional a la información presente. Movimiento geométrico browniano.

Teorema de Girsanov. Martingala. Cambio de numerario.

Portafolios replicantes y autofinanciables. Espacio de probabilidad.

Ecuación diferencial parcial de Black y Scholes.

Fuente: Elaboración propia

La tabla 1, muestra claramente la existencia tanto de diferencias como coincidencias entre los seis métodos; las cuales se presentan no solo en lo referente al enfoque teórico de cada modelos y a los datos disponibles para cada uno de ellos, sino al grado de complejidad debido a la intervención multidisciplinaria, operacional y conceptual en que se desarrolla cada uno de los métodos, al igual que cada uso o aplicación tanto de los supuestos como de los resultados obtenidos.

El grado de dificultad teórico y matemático, difiere en cada método; la complejidad matemática esta relacionada con las herramientas multidisciplinarias que intervienen en el desarrollo de cada modelo; cabe mencionar que las disciplinas que intervienen en la solución y modelado de la valuación de los productos derivados tratados en este trabajo son básicamente: la economía, física, matemáticas financieras, probabilidad, procesos estocásticos, algebra, cálculo estocástico, cálculo diferencial, cálculo integral, ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales parciales.

La complejidad de cada uno de los métodos puede ser definida, tomando en cuenta las herramientas teóricas particulares y el marco multidisciplinario, requeridos en la valuación de los productos derivados por cada uno de los métodos. En cuanto al enfoque probabilístico, su complejidad radica en lo abstracto de la teoría en que se sustenta y por otra parte en la interacción de múltiples disciplinas.

En el enfoque de la ecuación de difusión de calor, lo complicado, radica en la combinación de disímiles áreas como la física y los cálculos integral y diferencial entre otras, aplicadas a la transformación de la ecuación diferencial parcial de Black y Scholes en la ecuación de difusión de calor.

En el enfoque de portafolios replicantes, encontramos que la dinámica entre los supuestos y las variadas disciplinas que convergen en el, son la parte que da la dificultad a este método, Ahora en el teorema de Girsanov, la dificultad aparece al introducir numerarios y martingalas, para el cálculo de la prima de la opción como un valor esperado condicional. En cuanto al enfoque del pago continuo de dividendos, en este caso no resulta útil puesto que los contratos derivados sobre divisas no son activos subyacentes que requieran de un pago continuo de dividendos, y su complejidad resalta al tener que incluir una política de dividendos. Por último, el enfoque de ecuaciones diferenciales parciales maneja operaciones sencillas y no requiere el uso de herramientas matemáticas sofisticadas, además de un elevado grado de intuición financiera, con un resultado basado en el equilibrio general que resume la esencia de la administración de riesgos.

Como se mencionó, los seis enfoques metodológicos se basan en elementos teóricos comunes. Cabe mencionar que no en todos los métodos los supuestos implicados, se expresan de manera explícita; por ejemplo al valuar mediante el enfoque de ecuación de difusión de calor, por el hecho de que el supuesto sea la ecuación diferencial parcial de Black y Scholes, se hacen inherentes a la metodología los supuestos básicos del modelo de Black y Scholes y es por eso que hay supuestos y herramientas teóricas comunes, las cuales son:

 El precio del activo subyacente es conducido por el movimiento geométrico browniano, por lo que el precio es lognormal y los rendimientos normales. Este supuesto trabaja con una variable aleatoria estocástica, espacio y medida de probabilidad, caminata aleatoria y movimiento browniano y filtraciones.

 La volatilidad del activo subyacente se mantiene constante a través del tiempo

 Existe un sistema bancario en el cual los agentes pueden prestar y pedir prestado a una tasa de interés constante a todos los plazos y libre de riesgo.

Los supuestos comunes de los seis enfoques metodológicos, para nada indican que los seis planteen el problema de la misma forma y mucho menos que lo resuelvan de igual manera. Por lo cual, es preciso establecer las siguientes diferencias:

 En el caso del enfoque probabilista, los supuestos anteriores y su correspondiente teoría son utilizados para modelar la función de densidad del precio del activo subyacente, mientras que los enfoques de ecuaciones diferenciales parciales y portafolios replicantes autofinanciables, utilizan dichos supuestos para modelar dos portafolios que permiten llegar a la ecuación diferencial parcial de Black y Scholes.

 El enfoque probabilista obtiene el precio teórico de la opción europea de compra, la cual es solución a la ecuación diferencial parcial lineal de Black y Scholes, pero no modela tal ecuación, mientras que en los enfoques de ecuaciones diferenciales parciales y portafolios replicantes autofinanciables si modela dicha ecuación, cuya solución es el precio teórico del instrumento derivado tratado.

 La ecuación diferencial parcial de Black y Scholes es modelada tanto por el enfoque de ecuaciones diferenciales parciales como el enfoque de portafolios replicantes y autofinanciables y el enfoque de pago continuo de dividendos. Mientras que el precio teórico de la opción de compra que es la solución de esa ecuación se obtiene mediante los enfoques probabilista, teorema de Girsanov, ecuaciones diferenciales parciales, ecuación de difusión de calor.

 En el enfoque probabilista los supuestos son actores en la modelación de una función de densidad, mientras que en el enfoque de ecuaciones diferenciales parciales, los supuestos son sustento de un portafolio combinado de una acción de un determinado subyacente y una opción sobre el mismo subyacente; en el caso del enfoque de portafolios replicantes y autofinanciables los supuestos fundamentan una estrategia cuyos componentes son procesos estocásticos que representan las cantidades de una acción y de un depósito bancario que deben de replicar en todo momento el precio de una opción.

 Mientras que el enfoque de ecuaciones diferenciales parciales modela la ecuación diferencial parcial de Black y Scholes mediante la construcción de un portafolio con una cierta cantidad de un subyacente más otra cierta cantidad de una opción sobre dicho subyacente y pide que las cantidades sean tales que se elimine el riesgo del portafolio; el enfoque de portafolios replicantes y autofinanciables construye el portafolio con una determinada cantidad de un activo con riesgo que es el subyacente mas otra determinada cantidad de un activo sin riesgo que es un depósito bancario y pide que esas cantidades sean procesos estocásticos que hagan que en todo momento el portafolio replique el valor de la opción.

 En el enfoque probabilista el precio teórico de una opción de compra europea, se calcula mediante el valor esperado del valor presente del valor intrínseco, y el precio de venta es obtenido con la condición de paridad call - put. En el enfoque de ecuaciones diferenciales parciales se da solución a la ecuación diferencial de Black y Scholes, haciendo algunos cambios de variables. En el enfoque del teorema de Girsanov, el precio de una opción sobre una acción, expresado en términos de un numerario, se transforma en una martingala bajo una nueva medida de probabilidad equivalente, neutral al riesgo, definida sobre el espacio muestral original, después bajo esta nueva medida de probabilidad, se calcula la prima de la opción como un valor esperado, condicional a la información presente, del valor intrínseco del contrato. Y en cuanto al enfoque de difusión de calor, se transforma la ecuación de Black y Scholes junto con su condición de frontera, por medio de cambios de variables se llega a su solución.

 El enfoque de pago continuo de dividendos, a diferencia de los demás, se encarga de un caso particular sobre un activo subyacente que paga dividendos de manera continua a una tasa de interés constante y conocida.

 Por último, debe quedar claro, que los seis enfoques metodológicos tienen un rango de dificultad distinto, lo cual se deriva de los procesos matemáticos y de los conceptos multidiciplinarios de que cada enfoque hace uso.

Capítulo 4. Determinación del precio de una opción