INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMÍA
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
ANÁLISIS COMPARATIVO DE LAS
METODOLOGÍAS MODERNAS PARA LA
VALUACIÓN DE OPCIONES SOBRE DIVISAS
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:
MAESTRO EN CIENCIAS ECONÓMICAS
P R E S E N T A
RUTH ORTIZ ZARCO
Agradecimientos
A
mi director de tesis, el doctor Miguel flores Ortega, por depositar su confianza en mí, y dedicar su tiempo y esfuerzo en la orientación demi tesis
A
mis padres, como unapequeña muestra del enorme amor y agradecimiento que siento hacia ellos, por dedicar
su vida entera a formarnos a mis hermanos y a mí.
A
mi esposo Jorge, por quedurante mis estudios de maestría, estuvo presente en
todo momento y dispuesto a darme su apoyo, paciencia,
confianza y amor.
A
mis amigas, Angélica yAlejandra; por su compañerismo y su ayuda a lo
largo de los estudios de maestría, pues fueron parte importante en la culminación
de esta.
A
Dios, por obsequiarme elmaravilloso don de la vida, acompañarme en cada
momento de ella; y permitirme hoy un logro más.
A
todos los profesores queintervinieron en mi formación profesional, como un agradecimiento por haber compartido sus conocimientos y
experiencias.
A
mis hermanos, con muchoamor; por su apoyo y compañía a lo largo de mi
vida.
A
mi hijo, pues se convirtióen uno de los principales motivos para culminar esta etapa de mi vida de manera
satisfactoria.
A
los doctores, HumbertoRíos y Gerardo Ángeles, porque al desempeñar su papel como directores de la
sección, se mostraron accesibles ante toda circunstancia y me brindaron
su apoyo siempre que lo necesité.
A
l Instituto Politécnico Nacional, por brindarme unaÍndice
Agradecimientos…………...………..……….……….I Índice general……….……….II Índice de figuras y gráficas…………..…..………IV
Índice de tablas………….………...…V
Glosario…..…….……….……..………VI
Resumen………...………...…X Abstract……….……...…XII Introducción…..……….…...XIII Capítulo 1. Futuros y opciones como herramientas financieras
1.1 La importancia de la ciencia financiera y de los productos derivados,
en el mundo actual………...……….………1
1.1.1 Relevancia de la ciencia financiera y de la administración de riesgo………..1
1.1.2 Importancia de los productos derivados………...3
1.2 Evolución de la teoría financiera………...5
1.3 Mercado de divisas……….….10
1.4 Futuros y opciones sobre divisas……….………....12
1.4.1 Futuros sobre divisas………...……….…..13
1.4.2 Opciones sobre divisas………...…………....14
1.4.3 Vínculo entre el mercado de divisas y el mercado financiero………15
Capítulo 2. Herramientas teóricas multidisciplinarías para valuar productos derivados 2.1 La probabilidad y los procesos estocásticos como herramienta financiera…..……...…17
2.1.1 Experimento aleatorio, espacio muestral y σ-álgebra………...……….17
2.1.2 Función de distribución y función de densidad………....………..18
2.1.3 Proceso estocástico y filtración………..19
2.1.4 El concepto de valor esperado………....20
2.1.5 Proceso estocástico martingala………...…20
2.1.6 Teorema de Girsanov………...………..21
2.2 Movimiento browniano, movimiento geométrico browniano y proceso de Wiener………...…22
2.2.1 Movimiento browniano y proceso de Wiener…….………...………22
2.2.2 Movimiento geométrico browniano…….………...………...23
2.2.3 Filtraciones del movimiento browniano……….…24
2.3 El cálculo estocástico en la valuación de productos derivados………..…….25
2.3.1 Caminata aleatoria……….25
2.3.2 Integral y diferencial estocásticas………..26
2.3.3 Lema de Itô………...……….27
Capítulo 3. Análisis de los métodos modernos para valuar futuros y opciones sobre divisas 3.1 Enfoque probabilista…….……….……….29 3.2 Ecuación de calor…………...……….……31 3.3 Portafolios replicantes……….……34 3.4 Teorema de Girsanov………...………..……….36
3.5 Pago continuo de dividendos………..………..……..…38
3.6 Ecuaciones diferenciales parciales………..…40
3.6.1 Precios del activo subyacente y de la opción……….40
3.6.2 Equilibrio de mercado…..………..……….………...42
3.6.3 Obtención alternativa de la fórmula de Black y Scholes………...44
3.6.4 Solución de la ecuación diferencial parcial de Black y Scholes………46
3.7 Tabla comparativa y análisis de los seis enfoques………..……54
Capítulo 4. Determinación del precio de una opción europea de compra sobre una divisa 4.1 Opciones del dólar de Estados Unidos de América………….……….60
4.1.1 Características del contrato de opción sobre el dólar norteamericano en el MexDer………...……….61
4.1.2 Mecanismo de negociación del contrato de opción sobre el dólar norteamericano en el MexDer………...………...62
4.1.3 Características y procedimiento de negociación………62
4.2 Determinación del precio de una opción sobre divisas por el enfoque de ecuaciones diferenciales………...…………..63
4.2.1 Identificación de variables……….………63
4.2.2 Obtención del precio teórico de una opción europea de compra....………...……63
4.3 Equilibrio, sobrevaluación o subvaluación de la opción……….………70
4.4 Efecto de la variación de la tasa de interés en la fórmula de Black y Scholes...…….…75
Conclusiones………..……….….81
Índice de figuras y gráficos
Figura 1.
Distintos instrumentos derivados………...4 Figura 2.
Clasificación de los futuros sobre divisas……….13 Gráfica 1.
Equilibrio, pérdidas y ganancias de la opción de compra del 15 de septiembre de 2008...69 Gráfica 2.
Equilibrio, pérdidas y ganancias de la opción de compra del 15 de diciembre de 2008…...70 Gráfica 3.
Equilibrio, pérdidas y ganancias de la opción de compra del 13 de marzo de 2009.………70 Gráfica 4.
Equilibrio, pérdidas y ganancias de la opción de compra del 14 de junio de 2009……...71 Gráfica 5.
Equilibrio, pérdidas y ganancias de la opción de compra del 14 de septiembre de 2009...71 Gráfica 6.
Equilibrio, pérdidas y ganancias de la opción de compra del 14 de diciembre de 2009...72 Gráfica 7.
Índice de tablas
Tabla 1. Análisis comparativo de los seis enfoques modernos para la valuación
de opciones sobre divisas ……….…53
Tabla 2. Datos para valuar una opción europea de compra sobre el dólar norteamericano……….………..………...62
Tabla 3. Valuación de la opción de compra del 15 de septiembre de 2008………..63
Tabla 4. Valuación de la opción de compra del 15 de diciembre de 2008………64
Tabla 5. Valuación de la opción de compra del 13 de marzo de 2009……….….65
Tabla 6. Valuación de la opción de compra del 15 de junio de 2009………..…….66
Tabla 7. Valuación de la opción de compra del 14 de septiembre de 2009………..…67
Tabla 8. Valuación de la opción de compra del 14 de diciembre de 2009………....68
Tabla 9. Valuación de la opción de compra del 12 de marzo de 2010………..…68
Tabla 10. Efecto de las variaciones de la tasa de interés en la valuación de la opción del 15 de septiembre de 2008………73
Tabla 11. Efecto de las variaciones de la volatilidad en la valuación de la opción del 15 de septiembre de 2008………....74
Tabla 12. Efecto de las variaciones de la tasa de interés en la valuación de la opción del 15 de diciembre de 2008……….…………75
Tabla 13. Efecto de las variaciones de la volatilidad en la valuación de la opción del 15 de diciembre de 2008.……….75
Tabla 14. Efecto de las variaciones de la tasa de interés en la valuación de la opción del 13 de marzo de 2009………...76
Tabla 15. Efecto de las variaciones de la volatilidad en la valuación de la opción del 13 de marzo de 2009.………..77
Glosario
Acción: Cada una de las partes en que se considera dividido el capital social de una sociedad anónima o de una sociedad en comandita por acciones. Título de crédito que sirve para acreditar y transmitir la calidad y los derechos de socio, en esta clase de sociedades. La acción posee tres valores: nominal, contable y de mercado. El valor nominal es aquél que resulta de dividir el capital social entre el número de acciones de la empresa en un determinado momento. El valor contable de una acción es aquél que resulta de dividir el capital contable entre el número de acciones de la empresa en un determinado momento. El valor de mercado es aquél que la oferta y la demanda determinan en cierto momento y con cierto volumen de operaciones.
Activo financiero: Se caracteriza por estar expresado y ser representativo en moneda corriente actual. Su monto se fija por contrato y origina a sus tenedores un aumento o disminución en el poder de compra según tengan o no una redituabilidad por encima de la inflación.
Activo subyacente: Activo que, en los mercados de productos derivados, está sujeto a un contrato normalizado y es el objeto de intercambio. Es decir, es aquel activo sobre el que se efectúa la negociación de un activo derivado.
Administración financiera: Técnica que tiene por objeto la obtención de recursos financieros que requiere una empresa, incluyendo el control y adecuado uso de los mismos, así como el control y protección de los activos de la empresa. Algunos autores consideran que debe comprender las siguientes actividades: planificación y control financiero; administración del capital de trabajo; inversiones en activo fijo y decisiones sobre estructura de capital.
Arbitraje: Operaciones simultáneas de compra y venta de un mismo activo, en diferentes mercados, con la finalidad de obtener beneficios inmediatos aprovechando las discrepancias de precios fruto de las ineficiencias existentes en los mercados. En el mercado de opciones y otros productos derivados, el arbitraje implica una estrategia que combina la compra de un contrato que se considera subvaluado y la venta de otro considerado sobrevaluado; vinculados a dos activos subyacentes relacionados; esperando obtener un beneficio libre de riesgo, sin que medie una inversión.
Asigna: Fideicomiso administrado por Bancomer S.A., identificado como Asigna, Compensación y Liquidación, cuyo fin es el de compensar y liquidar contratos de futuros y contratos de opciones, y para actuar como contraparte en cada operación que se celebre en MexDer.
Aversión al riesgo: Supuesto que suele hacerse en finanzas respecto al comportamiento de los inversores: se supone que a los inversores no les gusta el riesgo, por tanto para que alguien acepte asumir un mayor riesgo al realizar una inversión deberá esperar un mayor rendimiento de la misma.
Boletín: Es el medio de difusión de la información de mercado generada en las sesiones de negociación de la bolsa, así como de la información relativa a los activos subyacentes, a los socios liquidadores y operadores, y a la cámara de compensación.
Call: Opción de compra que otorga a su propietario el derecho de comprar el activo subyacente negociado a una fecha de vencimiento determinada.
Cámara de compensación: Entidad que se encarga de centralizar y organizar los pagos y cobros dentro del mercado. Evita el movimiento físico de los títulos y proporciona agilidad al sistema. Es la institución establecida por los bancos del sistema y administrada por el Banco de México para intercambiar cheques y efectos comerciales a cargo de cada uno de ellos, liquidándose los saldos resultantes del conjunto de operaciones. De esta manera, los bancos mantienen un contacto permanente para liquidar los efectos comerciales que representen movimientos del fondo y/o cartera, compensando los créditos recíprocos y satisfaciéndose en dinero únicamente las diferencias. Disminuye, de este modo, el movimiento innecesario de numerario y, al suprimir los pagos directos, facilita las liquidaciones y evita riesgos y pérdidas de tiempo.
Cobertura: Es una operación que pretende reducir los distintos riesgos de una inversión. Los productos derivados son utilizados habitualmente con este fin.
Commodity: Término anglosajón que se aplica a todo producto vendido a granel, a menudo se vende en los mercados financieros. Los más comunes son el oro, el café, el petróleo, etc.
Contrato de futuro: Contrato estandarizado en plazo, monto, cantidad y calidad, entre otros, para comprar o vender un activo subyacente, a un cierto precio, cuya liquidación se realizará en una fecha futura. Si en el contrato de futuro se pacta el pago por diferencias, no se realizará la entrega del activo subyacente. De acuerdo con el subyacente es como se determina el tipo de futuro, así se tiene que un futuro sobre divisas se está refiriendo a que el valor subyacente objeto del contrato es una cantidad determinada de cierta moneda extranjera.
Contrato de opción: Contrato estandarizado, en el cual el comprador, mediante el pago de una prima, adquiere del vendedor el derecho, pero no la obligación, de comprar (call) o vender (put) un activo subyacente a un precio pactado (precio de ejercicio) en una fecha futura, y el vendedor se obliga a vender o comprar, según corresponda, el activo subyacente al precio convenido. El comprador puede ejercer dicho derecho, según se haya acordado en el contrato respectivo. Si en el contrato de opción se pacta el pago por diferencias, no se realizará la entrega del activo subyacente.
Contrato forward: El realizado por dos partes que acuerdan comprar o vender un artículo específico en una fecha futura. Difiere de un futuro en que es contratado directamente entre las partes, sin intervención de una cámara de compensación y sólo puede realizarse hasta su vencimiento.
Cotización: Precio de mercado de un activo.
Cupón cero: Característica de los títulos de renta fija que no pagan intereses durante la vida del título, suelen ser a corto plazo y emitirse al descuento.
Cupón: Proviene de los antiguos títulos físicos de donde había que recortar un cupón para cobrar los dividendos o derechos de suscripción. Hoy en día se denominan así los pagos o intereses que paga un título valor.
Derivados: Familia o conjunto de instrumentos financieros, implementados a partir de 1972, cuya principal característica es que están vinculados a un valor subyacente o de referencia (títulos representativos de capital o de deuda, índices, tasas, y otros instrumentos financieros). Los productos derivados surgieron como instrumentos de cobertura ante fluctuaciones de precio en productos agroindustriales (commodities), en condiciones de elevada volatilidad. Los principales derivados financieros son: futuros, opciones sobre futuros, warrants y swaps.
Desviación estándar: Característica de una muestra o población que cuantifica su dispersión o variabilidad. Tiene las mismas unidades que la variable. la desviación típica es invariante con respecto al origen de la distribución. Su cuadrado es la varianza.
Distribución normal: Distribución teórica de probabilidad que se usa tanto en la estadística aplicada como en la teórica. Aparece en la práctica con mucha frecuencia como consecuencia del importante resultado que establece el teorema central del límite. Tiene una forma en forma de campana, y viene caracterizada por únicamente dos valores: la media y la varianza.
Divisa: Medio de cambio cifrado en una moneda distinta a la nacional o doméstica
Especulación: Actuación consistente en asumir conscientemente un riesgo superior al corriente con la esperanza de obtener un beneficio superior al medio que se obtiene normalmente en una operación comercial o financiera. La especulación se ejerce en torno a la compra y venta de cualquier categoría de bienes de consumo, primeras materias, títulos, valores, divisas, etc.
Fecha de liquidación: Es el día hábil en que son exigibles las obligaciones derivadas de un contrato conforme a las condiciones generales de contratación.
Fecha de vencimiento: Es el día hábil en que expira el plazo de un contrato conforme a las condiciones generales de contratación.
Filtración: Conjunto de información disponible, compuesta por las σ-álgebras que son útiles para la investigación.
Liquidaciones diarias: Sumas de dinero que deban solicitarse, recibirse y entregarse diariamente, según corresponda, y que resulten de la valuación diaria que realice la cámara de compensación por aportaciones iniciales mínimas, fondo de compensación y por variaciones en el precio de cierre de cada contrato abierto, con respecto al precio de cierre del día hábil inmediato anterior o, en su caso, con respecto al precio de concertación.
Mercado de futuros: Mercado en el que puede formalizarse un contrato para el suministro de mercancías o activos financieros, en una fecha futura predeterminada.
MexDer: Sociedad anónima denominada Mercado Mexicano de Derivados, S.A. de C.V., que tiene por objeto proveer las instalaciones y demás servicios para que se coticen y negocien los contratos de futuros y contratos de opciones.
Over the counter (OTC): Término que se utiliza para denominar a todas aquellas operaciones o productos que se negocian fuera de una bolsa organizada de valores. En Estados Unidos existe un mercado conocido como OTC en el cual se negocian bonos, productos derivados y acciones de empresas, el cual tiene requisitos de cotización más flexibles que las grandes bolsas de valores. En México se refiere principalmente a la compra-venta a futuro de dólares, tasas de interés y otros instrumentos autorizados, que se realizan directamente entre participantes e intermediarios, entendiéndose como participantes a las personas físicas nacionales y extranjeras y los intermediarios a las instituciones de crédito o casas de bolsa que obtienen autorización por escrito del Banco de México para realizar operaciones de compra-venta con otros intermediarios y participantes. Posición corta: Posición que mantiene un inversionista que se compromete a vender un bien subyacente, mediante un contrato financiero. Número de contratos de cada una de las series respecto de las cuales el cliente actúa como vendedor.
Posición larga: Posición que mantiene el comprador de un futuro número de contratos de cada una de las Series, respecto de los cuales el cliente actúa como comprador.
Precio de ejercicio: En el mercado de opciones, es el precio al que se podrá ejercer el derecho sobre el subyacente en la fecha de vencimiento.
Precio de liquidación al vencimiento: Precio de referencia que da a conocer MexDer y con base al cual Asigna realiza la liquidación de los contratos de futuros y/o contratos de opciones en la fecha de liquidación. El precio de liquidación al vencimiento se determina por unidad de activo subyacente.
Precio futuro: Precio por unidad de activo subyacente acordado en un contrato de futuro en la fecha de celebración. Este se ajustará diariamente para efecto de reflejar las pérdidas y ganancias.
Probabilidad: Asignación de un número entre cero y uno a cada resultado experimental. Productos derivados: Familia o conjunto de instrumentos financieros, cuya principal característica es que están vinculados a un valor subyacente o de referencia. Los principales
productos derivados son los futuros, las opciones, los warrants, las opciones sobre futuros y los swaps.
Put: Opción de venta que otorga a su propietario el derecho a vender el activo subyacente negociado en una fecha de vencimiento determinada
Riesgo de mercado: Es el que afecta al tenedor de cualquier tipo de valor, ante las fluctuaciones de precio ocasionadas por los movimientos normales del mercado. Se deriva de cambios en los precios de los activos y pasivos financieros (o volatilidades) y se mide a través de los cambios en el valor de las posiciones abiertas. Incluye el riesgo base, el cual se presenta cuando se rompe o cambia la relación entre los productos utilizados para cubrirse mutuamente, y el riesgo gamma, ocasionado por relaciones no lineales entre los subyacentes y el precio o valor del producto derivado
Socio liquidador: Fideicomiso que participa en el patrimonio de la cámara de compensación, teniendo como finalidad celebrar y liquidar, por cuenta propia o de clientes, contratos de futuros y contratos de opciones operados en bolsa.
Tasa de interés: Porcentaje de rendimiento (para el inversionista) o costo (para el emisor), respecto al capital comprometido por un instrumento de deuda.
Tipo de cambio: Precio de la moneda de un país expresado en términos de la moneda de otro país.
Valuación: Acción y efecto de señalar a una cosa el valor correspondiente a su estimación; ponerle precio.
Variable aleatoria: Variable que toma un número finito o infinito de valores, de forma que no cubre todos los posibles valores numéricos entre dos dados, en contraposición de las continuas.
Variable: Objeto matemático que puede tomar diferentes valores. Generalmente asociado a propiedades o características de las unidades de la muestra. Lo contrario de variable es constante.
Variable continua: Aquella que puede tomar una infinidad de valores, de forma que dados dos valores cualesquiera, también pueda tomar cualquier valor entre dichos valores.
Varianza: Característica de una muestra o población que cuantifica su dispersión o variabilidad. La varianza tiene unidades al cuadrado de la variable. Su raíz cuadrada positiva es la desviación típica. La varianza muestral es un estimador sesgado de la varianza poblacional.
Resumen
En esta tesis se presentan los aspectos teóricos necesarios para hacer un análisis comparativo de las metodologías modernas que se utilizan para valuar opciones financieras, el trabajo se enfoca al caso de las opciones sobre divisas y en particular al dólar norteamericano; el análisis parte de los conceptos fundamentales de estadística, física, cálculo estocástico, finanzas, economía y matemáticas, para después realizar el análisis individual de cada una de las metodologías y comprender la interacción multidisciplinaria que se realiza al incorporar las herramientas teóricas de cada disciplina y utilizarlas para la valuación de productos derivados.
Con un enfoque que va de lo particular a lo general, inductivo, se presenta la revisión conceptual de los seis enfoques teóricos que se utilizan para desarrollar la formulación del método de valuación de opciones que presentaron Black y Scholes; su modelo es el referente obligado en la literatura relativa a la valuación de opciones. En el análisis comparativo de los seis procedimientos se examinaron en principio los supuestos de los que parte cada metodología, se identifican los elementos teóricos comunes y se describen las diferencias teóricas; en cada caso se analiza el grado de complejidad en la obtención de resultados.
El análisis parte del modelo de referencia, que es el desarrollado por Fischer Black, Myron Scholes y Robert Merton publicado en 1973, el cual fue laureado con el premio nobel en 1997. El modelo produce una ecuación diferencial parcial de segundo orden de la cual se pueden obtener múltiples soluciones, que dependen de las condiciones iníciales y de frontera. En la práctica las condiciones iníciales y de frontera se utilizan para modelar los instrumentos financieros disponibles en el mercado de derivados. Dentro de los resultados que aporta la tesis esta la comprensión de la teoría bajo los distintos enfoques que tienen diferente complejidad y varían en rapidez en la que se logra la deducción del modelo y la sencillez con la que se trabajan los conceptos teóricos, lo cual permite la integración conceptual de diferentes disciplinas como la física, las matemáticas, el cálculo estocástico, las finanzas, la estadística y la economía para comprender a los productos derivados.
El trabajo incluye la aplicación del modelo para la valuación de opciones sobre el dólar norteamericano, los resultados se validan para distintos precios de ejercicio y el cálculo se realiza con el enfoque de ecuaciones diferenciales parciales de Black Scholes, los resultados se comparan con los que publica el MexDer, por medio de un análisis retrospectivo, se obtienen las pérdidas y ganancias a fin de saber si el mercado está equilibrado o existe una sobrevaluación o subvaluación del derivado. Adicionalmente se hace un análisis para observar el efecto de la tasa de interés libre de riesgo, que se identificó como la variable que mayor efecto tiene en la valuación de opciones sobre divisas y se presentan los resultados más relevantes.
Abstract
This thesis presents the theoretical aspects needed to make a comparative analysis of modern methodologies used to value financial options, the work focuses on the case of options on currency and in particular the U.S. dollar, the analysis of the concepts fundamental statistical, physics, stochastic calculus, finance, economics and mathematics, and then perform the individual analysis of each of the methodologies and multidisciplinary understanding the interaction that takes place by incorporating the theoretical tools of each discipline and use for the valuation of goods derivatives.
With an approach that goes from the particular to the general conceptual review presents six theoretical approaches used to develop the formulation of option-pricing method that showed Black and Scholes model is its point of reference in the literature on the valuation of options. In the comparative analysis of the six procedures are discussed in principle that the assumptions of each methodology part, identifies the common theoretical elements and describes the theoretical differences, in each case he examines the degree of complexity in the results.
The analysis of the reference model, which is developed by Fischer Black, Myron Scholes and Robert Merton published in 1973, which was awarded the Nobel prize in 1997. The model produces a partial differential equation of second order which you can get multiple solutions, depending on the initial and boundary conditions. In practice, the initial and boundary conditions are used to model financial instruments available in the derivatives market. Within the results provided by the thesis is the understanding of the theory under the various approaches that have different complexity and range in speed is achieved in which the deduction of the model and simplicity with which the theoretical work, which allows conceptual integration of different disciplines such as physics, mathematics, stochastic calculus, finance, statistics and economics to understand the products.
The work includes applying the model for valuing options on the U.S. dollar, the results are validated for different exercise prices and the calculation is made with the approach of partial differential equations, Black Scholes, the results are compared with published the MexDer, through a retrospective analysis, we obtain the gain or loss to know whether the market is balanced or there is an overvaluation or undervaluation of the derivative. Additionally, an analysis to observe the effect of interest rate risk free, which was identified as the variable that has the greatest effect on the valuation of currency options and presents the most relevant results.
Introducción
En los últimos años, el mundo ha sido testigo de una revolución financiera reflejada en los cambios en las instituciones financieras y en los mercados de capitales, que ha promovido la innovación de instrumentos financieros, tanto a nivel nacional como a nivel internacional; despierta en mi un interés particular por desarrollar el presente trabajo de tesis por el gran crecimiento de los mercados financieros y en especial el de los productos derivados, que nacieron con el objetivo de cobertura ante los riesgos, y frente a la relevancia que para México representa contar con productos derivados que coticen en la bolsa de derivados, para así promover un marco de estabilidad macroeconómica al facilitar el manejo del riesgo tanto a los intermediarios financieros, como a los agentes económicos; este tema además de interesante es sumamente importante y relevante para el mercado financiero nacional.
El objetivo de la tesis es analizar de comparativamente, el desarrollo de los seis enfoques metodológicos con los que se deduce el modelo de Black y Scholes, que es utilizado para calcular el precio de los contratos de futuros y opciones de compra o venta sobre diversos activos subyacentes. Este trabajo utiliza como activo subyacente el precio futuro de una divisa, el dólar norteamericano; tal análisis permitirá comparar los enfoques entre sí y señalar los supuestos, sustentos teóricos, herramientas multidisciplinarías, y grado de complejidad de cada uno de los métodos. Se elije como activo subyacente a las divisas, ya que debido a la globalización la mayoría de los países en todo el mundo, son economías abiertas que para interactuar entre sí requieren el uso de divisas, y una fuerte variación en el precio de estas puede llevar a los agentes involucrados en las transacciones comerciales a obtener enormes pérdidas, por lo tanto los futuros y opciones sobre divisas son el instrumento perfecto para cubrirse ante tal riesgo.
Dada la complejidad matemática del tema seleccionado en este trabajo, un objetivo adicional es mostrar de forma didáctica y sencilla la teoría que sustenta el modelo de valuación de opciones y futuros. El desarrollo de los seis enfoques metodológicos, es de interés por el hecho de ser una útil y una poderosa herramienta para todas las instituciones financieras, empresas nacionales y transnacionales y por supuesto para todos aquellos profesionistas del área financiera con una visión global. Este análisis permitirá una mejor comprensión del modelo de valuación de futuros y opciones, además de entender los supuestos y el enlace y de los de las diversas ciencias que fundamentan la metodología de la valuación y que son: economía, estadística, matemáticas, física y por supuesto las finanzas.
El modelo matemático de mayor importancia para la valuación de instrumentos derivados, es el desarrollado por Fisher Black, Myron Scholes y Robert C. Merton; quienes utilizando las técnicas de análisis estocástico, lograron la obtención del modelo perfecto para valuar una opción europea que no paga dividendos y así encontrar su precio, cuando el precio del activo subyacente tiene un comportamiento geométrico browniano, tal modelo es una ecuación diferencial parcial de segundo orden, cuyas soluciones están en función de sus condiciones iniciales y de frontera y corresponden a los productos derivados disponibles en el mercado.
La hipótesis de esta investigación es que, si se utiliza el enfoque metodológico de ecuaciones diferenciales parciales para la valuación de contratos de opción sobre divisas, se obtiene una ventaja en relación a la utilización de los otros cinco enfoques, que son: el enfoque probabilista, la ecuación de calor, los portafolios replicantes, el teorema de Girsanov y el de pago continuo de dividendos, entonces, se tiene la ventaja de utilizar la intuición de economía financiera, ya que el enfoque es un resultado de equilibrio general, por lo tanto las ecuaciones resultantes no requieren para su solución de herramientas matemáticas sofisticadas y pone énfasis en las ideas esenciales en que descansa la administración de riesgos.
El modelo de Black y Scholes, tiene una fuerte influencia en la forma en que los intermediarios financieros valoran y realizan coberturas con los productos derivados, por lo tanto es claro que este modelo es una pieza fundamental en el crecimiento de la economía financiera y por lo tanto del mercado financiero.
El contenido de esta tesis se desarrolla en cuatro capítulos. El primero, analiza la importancia de la ciencia financiera con aplicación en la vida diaria; se hace una reseña histórica de los avances teóricos de las finanzas necesarios para la comprensión de los productos derivados y sus aplicaciones; también se describe de manera específica los aspectos relevantes del mercado de divisas, futuros y opciones que se utilizan en el mercado de divisas.
El segundo capítulo presenta el marco teórico en que se basan los seis enfoques metodológicos tratados en el trabajo y que son necesarios para sustentar la interacción entre las diversas ciencias con los productos derivados; por lo que se hace referencia a aspectos del cálculo estocástico, se analiza el lema de Itô, la ecuación de difusión de calor, el teorema de Girsanov, el movimiento geométrico browniano, entre otros substanciales instrumentos para la valuación de opciones y futuros sobre divisas.
En el tercer capítulo, se dedica al desarrollo de los seis enfoques metodológicos para la determinación que son: probabilístico, ecuaciones diferenciales parciales, ecuación de difusión de calor, portafolios replicantes, teorema de Girsanov y pago continuo de dividendos. En cada caso se obtiene la ecuación que permite obtener el precio teórico con que se valúan las opciones o bien los futuros financieros. Además se incluye una tabla que resume los aspectos relevantes de cada método.
Por último, el capítulo cuatro incluye la valuación de los contratos de opción de compra sobre el dólar norteamericano utilizando un conjunto de precios de ejercicio, se utiliza el enfoque de ecuaciones diferenciales parciales de Black y Scholes y el resultado se compara con el publicado por el MexDer; por tratarse de un análisis de retrospectiva, se obtienen las pérdidas ó ganancias a fin de saber si el mercado está equilibrado o existe una sobrevaluación o subvaluación del derivado. Se analizan los siguientes contratos de opción de compra: el de septiembre de 2008, diciembre de 2008, marzo de 2009, junio de 2009, septiembre de 2009, diciembre de 2009 y marzo de 2009. Por otra parte se demuestra que al valuar mediante la ecuación diferencial parcial de Black y Scholes, el parámetro que más influencia tiene en la determinación del precio del producto derivado es la tasa de interés libre de riesgo.
Capítulo 1. Futuros como herramienta financiera
En este capítulo se desarrollan cinco puntos básicos: el primero consiste en mencionar la importancia de la ciencia financiera y de los productos derivados en la vida diaria, el segundo es una reseña histórica de los avances teóricos de la ciencia financiera, el tercero menciona los aspectos más importantes del mercado de divisas, el cuarto hace referencia a los futuros y opciones sobre divisas y el quinto analiza el vínculo entre el mercado de derivados y los mercados financieros.
1.1 La importancia de la ciencia financiera y de los productos derivados, en el mundo actual.
Pese a que el crecimiento de los productos derivados se intensificó durante las décadas de 1980 y 1990, la historia registra la existencia de este tipo de instrumentos desde el siglo XII, cuando los vendedores de ciertos productos firmaban contratos o letras de cambio que prometían la entrega de la mercancía al comprador en una fecha futura. En la actualidad prácticamente ningún individuo, empresa o proyecto con enfoque de negocios, escapa a los fuertes impactos que provocan las fluctuaciones de los tipos de cambio, las tasas de interés y los precios de las acciones y de las materias primas, entre otras variables; por lo tanto día a día cobra mayor importancia el desarrollo de los productos derivados financieros.
1.1.1 Relevancia de la ciencia financiera y de la administración de riesgos.
La ciencia financiera, es la rama de la economía, que estudia como en una sociedad los individuos o agentes, intercambian activos y riesgos financieros, bajo condiciones de escasez. De esta forma el estudio del riesgo, es una ciencia cuyas características son: racionalidad y objetividad, parte de los hechos y siempre regresa a ellos, trasciende a los hechos, es analítica y especializada, define sus propios conceptos y términos, comunicable, explica los hechos mediante leyes generales y las leyes a través de principios y por último es una ciencia provisional.
La administración de riesgos financieros es una rama especializada de las finanzas, que se dedica al manejo o cobertura de los riesgos financieros. Primero es necesario conocer el significado de la palabra riesgo; la cual tiene sus raíces en el latín risicare que significa atreverse, y en el griego rizha que significa navegar por un acantilado para alcanzar la costa, por lo que tomar un riesgo es decidirse a navegar por un acantilado, con el objetivo de alcanzar la costa.
Philippe Jorion1 define el riesgo, en términos generales como la incertidumbre sobre los
flujos futuros o resultados futuros. El incremento en la volatilidad de las principales variables financieras ha creado un nuevo campo, la ingeniería financiera, cuyo objetivo es proporcionar alternativas creativas para protegerse contra los riesgos financieros, o para especular con ellos, los productos derivados brindan un mecanismo a través del cual las instituciones pueden cubrirse eficientemente de los riesgos financieros; y es justamente,
que en respuesta a la necesidad de administrar y cubrir los riesgos financieros, los mercados de derivados han registrado un crecimiento explosivo.
La importancia de la ciencia financiera se refleja claramente en el hecho, de que actualmente ningún individuo, empresa, gobierno o proyecto con enfoque de negocios, escapa a los fuertes impactos que provocan las fluctuaciones del tipo de cambio, las tasas de interés y los precios de las acciones, y las materias primas, entre muchas otras variables. En otras palabras, la ciencia financiera, permite a los agentes económicos reducir los efectos de los diversos tipos de riesgos, cabe señalar que entre los más comunes y generales se encuentran: el riesgo de mercado, derivado de los precios de los activos y pasivos financieros; el riesgo de crédito, que surge cuando las contrapartes están poco dispuestas o imposibilitadas para cumplir sus obligaciones contractuales; el riesgo de liquidez, que surge cuando una transacción no puede ser conducida a los precios prevalecientes en el mercado, debido a una baja operatividad en el mercado; el riesgo operacional, que consiste en las pérdidas potenciales resultantes de sistemas inadecuados, fallas administrativas, controles defectuosos, fraude, o error humano; el riesgo legal, que se presenta cuando una contraparte no tiene la autoridad legal o regulatoria para realizar una transacción; el riesgo de transacción; el de traducción y el económico.
De acuerdo con García Padilla una adecuada cobertura de riesgos, debe considerar los siguientes elementos2:
Determinación de las exposiciones más importantes al riesgo en la unidad de análisis. Cuantificación de los costos asociados a riesgos que ya han sido identificados.
Elegir la postura que se quiera tomar: evitar el riesgo; prevención y control de pérdidas; retención del riesgo y finalmente, la transferencia del riesgo.
Implementar la decisión tomada
Evaluar y revisar periódicamente las decisiones.
La administración de riesgos de mercado y de crédito con productos derivados, ha mostrado un crecimiento importante, impulsado por el acelerado desarrollo de las tecnologías de la información, lo cual, a su vez, ha facilitado su operación y diversificación. Así las bolsas en que se negocian y cotizan productos derivados listados y los mercados sobre mostrador proporcionan mayores alternativas de inversión y de cobertura con más y mejor información,
Las técnicas e instrumentos financieros permitieron la expansión en el tiempo y el espacio de las actividades de inversión y comercialización. Sin ellas, nunca hubieran sido posibles ni el crecimiento ni la globalización económica. A lo largo de los siglos, ha ido en aumento la especialización de las instituciones financieras y de las finanzas, culminando en la aparición de un verdadero sistema financiero.
Dembinski y Ponti3 establecen que el sistema financiero cumple tres funciones principales:
Asegura el flujo de pagos del que depende el normal funcionamiento de la actividad económica. Al hacerlo, el sistema financiero ayuda al dinero a operar como medio de pago.
Asegura que los recursos monetarios disponibles se usen efectivamente en toda la economía al poner el exceso de liquidez de algunos agentes a disposición de otros actores que tienen planes de comercialización o inversión, pero que carecen de la liquidez necesaria. Al hacerlo, el sistema financiero permite que el dinero opere como un verdadero depósito de riqueza.
Crea bienes financieros, es decir, contratos transferibles con derechos y obligaciones; y estima los riesgos inherentes a los contratos, fija sus precios y facilita su intercambio. Al fijar precios a los bienes, el sistema financiero amplía la función del dinero como patrón de valor a una categoría específica de operaciones.
1.1.2 Importancia de los productos derivados.
Un producto financiero derivado es un instrumento o contrato cuyo valor depende del valor de uno o varios activos financieros denominados subyacentes, tales como tipos de cambio, monedas, tasas de interés, índices accionarios, commodities, instrumentos de deuda, etc. Por tanto, el valor del producto derivado existe por su dependencia del valor o precio del activo subyacente4.
La importancia de los productos derivados, descansa en el hecho de que todo contrato derivado tiene por objeto brindar la posibilidad de transferir el riesgo. Los mercados de futuros surgieron inicialmente vinculados a la operación del mercado de productos agropecuarios, tales como el arroz, la manteca, la soja y el petróleo, entre otros; pero con el paso del tiempo se expandieron hacia instrumentos financieros como divisas, tasas de interés, acciones, índices bursátiles, entre otros.
El principal objetivo de los mercados de futuros es proporcionar cobertura ante cambios desfavorables en el precio como consecuencia de una variable económica. Esto se logra mediante un mecanismo que hace posible que quienes quieran eliminar riesgo puedan transferirlo a quienes estén dispuestos a asumirlo. Hoy en día, la cobertura es un hecho cotidiano. Los seguros para automóviles, propiedades e incluso para las cosechas, ante desastres naturales como el granizo; están ampliamente difundidos. Este tipo de cobertura es una estrategia defensiva que se realiza con el fin de lograr protección contra pérdidas en
el valor de los bienes, causados por daños o destrucción total de los mismos5.
El punto clave es recordar que la cobertura en opciones es una herramienta empleada para minimizar el riesgo que se produce cuando las cotizaciones se mueven en forma adversa. De acuerdo con Alfonso de Lara, los productos derivados se llevan a cabo con tres
3 H. Dembinski, Paul y Marina Ponti; 2002, ¿Por qué las finanzas son de interés para el bien común?, Suiza, Italia,
http://www.henciclopedia.org.uy/autores/Dembinski/Finanzas.htm.
4ITAM, Productos derivados, 2004, México, 2004, http://derecho.itam.mx/facultad/materiales/proftc/Del%20Cueto/Derecho
%20Financiero/PRODUCTOS%20DERIVADOS.ppt#650.
5Billafañe Blog, Alfredo; 2008, Productos derivados, Buenos Aires, http://profvillafane.blogspot.com
finalidades básicas, la de cobertura, la especulación y el aprovechamiento de oportunidades de arbitraje6.
Operaciones de cobertura: Los productos derivados, clasificados en la figura 1; son útiles para el agente económico que desea mitigar o cubrir el riesgo de variaciones o cambios en los precios de los activos que dicho agente tiene en el mercado de contado o de físicos; por ejemplo, la persona tiene o va a tener el bien subyacente en el futuro, ya sea petróleo, gas, naranjas, trigo, etc. y lo venderá en un futuro. Con la operación quiere asegurar un precio fijo hoy para la operación de mañana. Dentro de las operaciones de cobertura se encuentran dos tipos: La cobertura vendedora es utilizada por quienes tratan de proteger el precio de una venta del bien que realizarán con posterioridad, es decir, por aquellos que temen una caída futura del precio del bien; y la cobertura compradora es empleada por quienes buscan establecer el precio de una compra de un bien que efectuarán posteriormente, es decir, por aquellos que temen un aumento de las cotizaciones.
Operaciones especulativas: en este caso el agente económico no desea reducir o cancelar riesgos. Por el contrario el especulador realiza una apuesta direccional en los movimientos del precio de un producto derivado para obtener una ganancia o rendimiento acorde con el precio que asume. Esta actividad es muy útil en los mercados organizados, ya que a mayor número de especuladores, mayor liquidez. En otras palabras, la persona que contrata el futuro sólo busca especular con la evolución de su precio desde la fecha de la contratación hasta el vencimiento del mismo.
Las oportunidades de arbitraje, se presentan cuando al realizar una operación en los mercados financieros para obtener una ganancia a valor presente, esto ocurre sin riesgo, se logra al aprovechar alguna imperfección detectada en los mercados. El arbitraje más simple consiste en comprar y vender simultáneamente un mismo activo en dos mercados distintos, para asegurar una utilidad.
Figura 1. Distintos instrumentos derivados
Fuente: Elaboración propia
6 De Lara, Alfonso; 2008, Productos derivados financieros: Instrumentos, valuación y cobertura de riesgos, México, Editorial Limusa, 1
ed.
Productos derivados
Negociados en la bolsa
De mostrador Over the counter, OTC
Instrumentos estructurados -Futuros -Opciones -Bonos -Swaps -Forwards -Opciones OTC Notas estructuradas
Los instrumentos derivados negociados en la bolsa de derivados, o bien en mercados organizados, tienen como principales características:
Normalización de los contratos negociados, en cuanto a: activo subyacente, tamaño u objeto del contrato, fecha de vencimiento, forma de liquidar el contrato al vencimiento. Son contratos impersonalizados.
Existencia de una Cámara de Compensación, la cual establece un sistema de garantías, cuyos ejes básicos son: depósitos de garantía, liquidación diaria de las pérdidas y ganancias, determina diariamente los depósitos de garantía por posiciones abiertas, liquida los contratos al vencimiento.
Por otra parte, los productos derivados negociados en los mercados sobre mostrador, tienen las siguientes características:
Usualmente se llevan a cabo entre dos instituciones financieras o entre alguna institución financiera y uno de sus clientes corporativos
Son acuerdos hechos a la medida en cuanto a las necesidades específicas de las partes: tipo de subyacente, tamaño, fecha de vencimiento y forma de liquidación del documento. Liquidación al vencimiento del contrato.
Actualmente los productos derivados, son negociados en los mercados de forma continua y con una movilidad casi perfecta. El tamaño que han alcanzado lo productos derivados es considerable, y en gran medida, se debe a la flexibilidad que estos instrumentos proporcionan a sus usuarios para entrar o salir rápidamente del mercado debido a su liquidez, ya que siempre es posible encontrar compradores y vendedores, y al apalancamiento que estros presentan, dado que la inversión inicial que requieren los
productos derivados es muy pequeña comparada con la requerida por otros documentos7.
Además cuando las transacciones se efectúan con derivados listados en las bolsas de derivados, el riesgo se reduce al mínimo, gracias a la asociación del mercado con la cámara de compensación y liquidación que garantiza el cumplimiento de las obligaciones adquiridas mediante la cuenta de márgenes o aportaciones iniciales. De esta forma, los productos derivados listados permiten llevar a cabo una administración adecuada del riesgo con bajos costos de transacción8.
1.1.3 Evolución de la teoría financiera.
La historia comienza en 1927, cuando un botánico ingles de nombre Robert Brown, al examinar bajo el microscopio unas partículas de polen de 0.0001 centímetros de una planta llamada Clarkia Pulchella, suspendidas en agua, observó un movimiento errático y continuo; el cuál con el paso del tiempo se conoció como movimiento geométrico browniano, que actualmente es una de las bases en la construcción de los modelos de riesgos financieros y económicos.
7 Grinblatt, Mark y Sheridan Titman; 2003, Mercados financieros y estrategia empresarial, México, Mc. Graw Hill, 2e.
8 Venegas Martínez, Francisco; 2004, Administración coherente de riesgos con futuros del Mexder. Trabajo de investigación ganador del
segundo lugar del premio nacional del MEXDER 2004. Mercado Mexicano de Derivados, S.A. de C.V. Publicado en la dirección electrónica: www.mexder.com/MEX/premio.html
En un principio Brown pensó que las partículas tenían movimiento propio e incluso vida. Posteriormente el fenómeno se asocio no solo con las partículas de polen si no también con partículas de materia inorgánica, como polvo fino de algunos minerales, entre ellos el vidrio, el carbón, y la roca. Debido a lo atractivo del tema, las investigaciones en el área se multiplicaron en un intento de explicar el fenómeno, con causas muy diversas, tales como: atracción y repulsión entre partículas suspendidas, inestabilidad del equilibrio del líquido en el que las partículas se encontraban suspendidas, la acción capilar de las partículas e incluso la presencia de burbujas minúsculas en el líquido o en las partículas. Sin embargo muchas de las posibilidades anteriores se rechazaron de inmediato y otras aparecieron sin una buena explicación.
La importancia del proceso estocástico llamado movimiento browniano o proceso de Wiener radica, en que es un modelo maestro en diversas ramas de la ciencia y de singular importancia para las finanzas, ya que prácticamente todos los modelos a tiempo continuo que se utilizan en las finanzas modernas se basan en este proceso, esto se debe a que a partir de él se construyen modelos de precios de activos y de tasas.
En 1880, Thorvald N. Thiele, describe por primera vez, matemáticamente el movimiento browniano en un documento sobre el método de los mínimos cuadrados. Seguido independientemente en 1990 por Louis Bachellier en su tesis doctoral. Sin embargo, fue el estudio de Albert Einstein en su artículo de 1905 sobre el movimiento requerido por la teoría cinética molecular del calor de pequeñas partículas suspendidas en un líquido estacionario; el que mostró la solución a los físicos, como una forma indirecta de confirmar
la existencia de átomos y moléculas.9
Durante dos siglos no se encontró una causa satisfactoria del movimiento browniano, fue hasta el siglo XX cuando se demostró que el movimiento irregular de las partículas de polen se debía al golpeteo aleatorio de las moléculas invisibles de agua sobre las partículas de polen. En 1905 el físico judío alemán Einstein escribe 3 artículos seminales en física sobre el efecto fotoeléctrico, la relatividad especial y la mecánica estadística; por el primero la academia sueca le otorgo en 1921 el premio Novel, por el segundo obtuvo el reconocimiento de unificar la mecánica clásica con la electrodinámica y por el tercero la satisfacción de haber resuelto un problema, que llevaba casi dos siglos sin respuesta: el movimiento browniano.
En 1923, Norbert Wiener fue el primero en demostrar rigurosamente la existencia del proceso estocástico movimiento browniano definido como: W(0)=0, es decir, el proceso comienza en cero; para t>s, el desplazamiento W(t)-W(s) es independiente de la historia Hs del proceso hasta tiempo s; y sigue la distribución normal con media cero y varianza t-s. Adicionalmente, podemos construirlo de tal forma que para todos los elementos aleatorios w, W(w,t) sea continuo, como función del tiempo. En estos casos se dice que el proceso tiene trayectorias continuas10.
9 Szatzschneider, Wojciech; 2008, Movimiento Browniano, Revista Mexicana de Economía Y Finanzas: Mexican Journal of Economics
El judío Albert Einstein fue quien proporciono la explicación y formulación matemática del movimiento browniano, de la cual se deriva que la desviación estándar del desplazamiento de una partícula suspendida en un líquido en un tiempo dado, es proporcional a la raíz cuadrada de dicho tiempo. Es importante señalar que Bachelier, como más adelante lo veremos, se adelantó a Einstein con una formulación matemática del movimiento browniano, tan elegante como la de Einstein, abordando un problema completamente diferente al del movimiento errático de partículas de polen suspendidas en agua. Al igual que Einstein, Smoluchowski utilizo el movimiento browniano para describir el movimiento de una molécula al chocar con otras, esto quedó demostrado con todo rigor matemático en los años 60 para algunos modelos sencillos y partiendo de un estado de equilibro.
En 1900 el francés Louis Bachelier realizó un avance sustancial en la comprensión del movimiento del precio de los activos. Su tesis doctoral en la Sorbona de París, llevaba el título de La teoría de la especulación. En ese trabajo, Bachelier:
Sentó las bases sobre las cuales más tarde se desarrollaría una teoría comprensiva de la
probabilidad.
Anticipó investigaciones de Einstein sobre el movimiento de las partículas cuando están
sujetas a un shock aleatorio en el espacio.
Desarrolló el concepto de proceso estocástico.
Llevó adelante los primeros intentos sistemáticos de valuar opciones y futuros.
Logra que las finanzas sean vistas como una ciencia sujeta al rigor matemático.
Introdujo conceptos tales como: movimiento geométrico browniano, proceso markoviano,
esperanza condicional y martingala, los cuales más adelante fueron redescubiertos por eminentes matemáticos.
Otras aportaciones fueron: primera fórmula de valuación d un contrato de opción, primera
representación gráfica del precio de un contrato de opción, formulación de mercados eficientes y primera definición cuantitativa del riesgo de mercado.
El objetivo de Bachelier era, ofrecer una fórmula que exprese la probabilidad de una fluctuación en el mercado. Es decir, la probabilidad de un movimiento a la alza o a la baja. La primera parte de su tesis contiene una descripción de los productos derivados disponibles en el mercado francés en su tiempo, tales como contratos forward y opciones. Posteriormente, desarrolla un modelo probabilista del movimiento del precio de un activo y establece el principio de valuación de que la esperanza condicional de la ganancia del especulador es cero. El término condicional se refiere a que la información actual es tomada como dada. Implícitamente, acepta en este principio que el mercado valúa activos utilizando martingalas, así mismo establece que el precio evoluciona como un proceso de
Markov homogéneo al tiempo11.
También muestra que la función de densidad asociada a este proceso satisface la condición conocida actualmente como ecuación Chapman-Kolmogorov y verifica que la densidad
11 C. Hull, John; 2002, Introducción a los mercados de futuros y opciones, trad. Vicente Morales López del Castillo, España, Prentice
gaussiana con varianza creciente linealmente en el tiempo es solución de esta ecuación. No
discute la unicidad, pero da algunos argumentos para confirmar su conclusión12.
Es importante destacar que Bachelier muestra que la familia de funciones de densidad asociadas al proceso que conduce el precio satisface la ecuación de calor. Por último, el modelo probabilista que describe el movimiento del precio de un activo es aplicado para varios tipos de opciones francesas cuyas primas se pagan al vencimiento. El razonamiento de Bachelier no es muy riguroso, pero sus argumentos intuitivos son excelentes y, básicamente, correctos.
El modelo que desarrolló tiene un activo sin riesgo B = (Bt)t≤T , que cumple Bt ≡ 1, y un activo con riesgo que cumple St = S0 + μt +σWt, t ≤ T, donde (Wt)t≥0 es un movimiento browniano estándar en un espacio de probabilidad (Ω,F, P) y T es la fecha de vencimiento de la opción y μ y σ son constantes reales que representan la deriva y la volatilidad, respectivamente.
Una de las limitaciones de Bachelier aparece en el momento en que St puede ser negativo, dado que eso no refleja correctamente la vida real. Este inconveniente es enmendado en 1965 por Paul Antony Samuelson, quien recibió el premio Nobel de economía en el año de 1970, por su obra “Fundamentos de análisis económico” publicada en 1947, en la cual establece la formulación matemática de muchos de los conceptos esenciales de la economía moderna.
Es en el año de 1960, cuando Paul Samuelson visita la Sorbona de París; lee la tesis de Bachelier y la toma como base para su trabajo sobre valuación de warrants, publicado en 1965, en el cual introduce el concepto de movimiento económico browniano, lo que actualmente se conoce como movimiento geométrico browniano. Cuando Samuelson resuelve el problema de Bachelier eliminando la posibilidad de que un activo subyacente tenga precios negativos, se crean nuevos inconvenientes con la aparición de parámetros desconocidos.
En el artículo de Samuelson, donde el precio del activo subyacente es conducido por el movimiento geométrico browniano y el precio de la opción se calcula como el valor presente de la esperanza del pago al vencimiento, el valor de la opción depende de dos parámetros desconocidos. El primero de esos parámetros es el rendimiento medio esperado del subyacente el cual es un parámetro de tendencia relacionado con las preferencias al riesgo de los agentes, y el segundo es el rendimiento que pagan las opciones que se utilizan
para traer a valor presente el pago esperado de la opción al vencimiento.13
A principios de la década de los setentas, Fisher Black y Myron Scholes, publicaron su articulo The pricing of options and corporate Liabilities. En su investigación, bajo condiciones de equilibrio, es decir condiciones de no arbitraje, desarrollaron un modelo
12 L. Bernstein, Peter; 2007, Capital Ideas Evolving: The Improbable Origins of Modern Wall Street, Wiley and Sons, California, 282
páginas.
13 Venegas Martínez, Francisco; 2002, La administración Financiera y sus herramientas, México, Ejecutivos de Finanzas, Vol. 31, No.
para valuar opciones europeas sobre una acción que no paga dividendos, cuya dinámica es conducida por el movimiento geométrico browniano, como el modelo de Samuelson. En esta investigación afortunadamente los parámetros desconocidos considerados en el trabajo de Samuelson, ya no aparecen en el precio de la opción. En el mismo artículo Black y Scholes proporcionan una derivación alternativa de su fórmula de valuación empleando el
modelo CAPM (Capital Asset Pricing Model) en una versión en tiempo continuo14.
Black y Scholes obtiene una ecuación diferencial parcial de segundo orden o bien una ecuación parabólica y lineal cuya solución es el precio de una opción europea. La condición final para esta ecuación es el valor intrínseco del instrumento. Actualmente esta ecuación es bastante popular en el sector financiero y representa la base para valuar muy diversos productos derivados, ya que para diferentes condiciones de frontera, sus soluciones representan los precios de muchos derivados financieros que se encuentran disponibles en el mercado.
Los supuestos básicos o bien las condiciones ideales de los mercados de acciones y opciones, del modelo de Black y Scholes, se mencionan en el primer tema del capítulo 2. Bajo tales supuestos, el precio de la opción únicamente va a depender del precio actual de la acción, del tiempo de vencimiento y d un conjunto de parámetros conocidos. De igual manera, con base en dichos supuestos es posible crear una estrategia de cobertura perfecta y dinámica, que consiste en una posición larga en la acción y una posición corta en la opción. El valor de una opción europea de compra, es claramente función de los diferentes parámetros que intervienen en los términos del contrato, tales como: el precio de ejercicio, la fecha de vencimiento, el precio de contado de la acción en el momento en que se establece el contrato, la volatilidad y la tasa de interés. Por lo anterior, el precio de la opción se escribe: c c S t K T
t, ; , , , r
.Donde:
c Precio de la opción europea de compra
t
S Precio spot del activo subyacente, al tiempo t
K Precio de ejercicio t Tiempo inicial T Tiempo final
Volatilidad
r Tasa de interés libre de riesgo
Sin duda, es también importante destacar el artículo de Robert Merton, Theory of Rational Option Pricing publicado en 1973 en el Bell Journal of Economics and Management Science, se presentan resultados similares a los de Black y Scholes con varias extensiones. Merton continuó su trabajo sobre valuación de opciones en una serie de artículos verdaderamente impresionantes, por sus excepcionales contribuciones a lo que hoy se
14 Venegas Martínez, Francisco; 2004, Administración coherente de riesgos con futuros del Mexder. Trabajo de investigación ganador del
segundo lugar del premio nacional del MEXDER 2004. Mercado Mexicano de Derivados, S.A. de C.V. Publicado en la dirección electrónica: www.mexder.com/MEX/premio.html.
conoce como matemáticas financieras en tiempo continuo, Robert Merton y Myron Scholes
se hicieron acreedores al premio Novel en 199715.
En consideración a las contribuciones de Merton, el modelo Black y Scholes, bien podría llamarse Modelo de Black, Merton y Scholes. Es también justo mencionar que Robert Merton y Fisher Black se han distinguido por la cantidad y calidad de sus contribuciones tanto en las finanzas como en la economía.
1.2 Mercado de divisas.
Antes de hablar de los futuros y de las opciones sobre divisas, es necesario hacer un breve análisis del mercado de divisas, con el objetivo de comprender mejor sus aspectos elementales.
“El movimiento de los activos financieros y los bienes y servicios que se muestra en la balanza de pagos tiene lugar entre muchos países, cada uno con su propia moneda. La interacción económica solo puede ocurrir en este caso si hay un vínculo específico entre las monedas, de manera que el valor de una transacción dada puede determinarse por ambas partes en sus monedas respectivas. Este vínculo importante es el tipo de cambio de las
divisas.”16 El párrafo anterior resume adecuadamente lo que es el mercado de divisas.
Para comenzar, es importante comprender que el tipo de cambio es simplemente el precio de una moneda respecto a otra. Este precio puede considerarse como el resultado de la interacción de las fuerzas de oferta y demanda de la moneda extranjera en cualquier periodo particular; la red mundial de mercados y entidades que manejan el cambio de monedas extranjeras se conoce como mercado de divisas, en el cual las transacciones actuales para entrega inmediata se realizan en el mercado al contado, y los contratos para comprar o vender monedas para entrega futura se realizan en los mercados forward y de futuros. Como todo mercado, el de divisas puede ser analizado tanto por el lado de la demanda como por el lado de la oferta; comenzando por el lado de la demanda, se tiene que las personas participan en el mercado de divisas por diversas razones; una de las principales, es que la gente desea tener moneda extranjera para comprar bienes y servicios de otro país, para enviar una donación o pagos de ingresos de inversión en el exterior, para abrir una cuenta bancaria extranjera, o comprar acciones o bonos extranjeros, o adquirir la propiedad directa sobre capital real y una tercera razón por la cual los individuos demandan divisas es para evitar pérdidas u obtener utilidades que podrían surgir de las variaciones en el tipo de cambio de la divisa, cabe señalar que este tipo de actividad de toma de riesgo se conoce como especulación en moneda extranjera, mientras que la actividad emprendida para evitar el riesgo asociado con las variaciones en el tipo de cambio se conoce como cobertura financiera. Por lo tanto la demanda total de una moneda extranjera en cualquier momento en el transcurso del tiempo refleja estas tres demandas subyacentes: la demanda de bienes y servicios extranjeros, la demanda de inversión extranjera y la basada en las actividades de toma de riesgo o de evasión del riesgo17.
15 Daniel Alliera, Carlos Héctor; 2007, Estudio y aplicaciones de Black y Scholes, Buenos Aires, Ed. Limusa. Argentina. 16 Appleyard R, Dennis Fiel y Alfred j.; 2003, Economía Internacional, Colombia, Mc. Graw Hill, 4e.
Por lo que respecta a la oferta, se tiene que el ofrecimiento de moneda extranjera del país doméstico resulta, en primera instancia, de extranjeros que compran las exportaciones domésticas de bienes y servicios o que realizan transferencias unilaterales o pagos de ingresos de inversión al país doméstico; una segunda fuente surge de la inversión extranjera en el país doméstico; finalmente las actividades internacionales de especulación y cobertura financiera puede ser una tercera fuente de oferta. Concluyendo, la oferta total de divisas en cualquier periodo consta de estas tres fuentes.
Las operaciones de mercado diario o actual, reciben el nombre de mercado de contado; los bancos comerciales grandes tienen un papel central porque la compra y la venta de la moneda involucra, con mayor frecuencia, el débito y crédito de las diversas cuentas bancarias en casa o en el exterior. De hecho, la mayoría de las transacciones en moneda extranjera tiene lugar a través del débito y del crédito de las cuentas bancarias, sin que haya transferencia física de las monedas entre las fronteras del país. En consecuencia, la mayor parte de las transacciones se presenta en el mercado al por mayor en el cual estos bancos comercian entre sí, el mercado interbancario. En este mercado, los agentes de divisas, quienes reciben una pequeña comisión por acordar negociaciones entre compradores y vendedores, realizan un gran porcentaje de este comercio interbancario. La compra y venta de divisas por parte de lo bancos comerciales en el mercado interbancario que no se hace a través de agentes de divisas, si no directamente con otros bancos, se denomina comercio interbancario.
Es importante señalar, que la unificación del tipo de cambio de divisas sin considerar la ubicación geográfica ocurre debido al arbitraje, que se refiere al proceso mediante el cual un individuo compra un producto que en este caso son las divisas, en un mercado de precios bajos para su venta en un mercado de precios altos, con el fin de obtener una utilidad. En el proceso el precio es presionado a la alza en el mercado de precio bajo y hacia abajo en el mercado de precios alto. Esta actividad continuará hasta que los precios en los dos mercados sean iguales, o hasta que difieran solamente en los costos de las transacciones involucradas.
En un mundo de muchas monedas diferentes, también existe la posibilidad de realizar arbitraje si los tipos de cambio son inconsistentes entre las monedas, este es por ejemplo, el llamado arbitraje triangular que comprende una inconsistencia entre tres monedas, y produce una igualdad de tipos cruzados, lo cual significa que los tres tipos de cambio son consistentes entre sí. Quienes realizan arbitraje están observando constantemente las inconsistencias que pueda haber en el mercado de divisas, y de inmediato compran y venden divisas para aprovechar esta situación. Por lo tanto, depende del proceso de arbitraje para mantener un valor similar de la moneda individual en mercados diferentes y
para asegurar que son consistentes todos los tipos cruzados entre las monedas18.
Hasta este momento, el análisis del mercado de divisas se ha centrado en el mercado de divisas corriente o al contado. En alguna parte del mundo se compran o se venden divisas en todo momento. Por lo tanto, los tipos de cambio están sujetos a variaciones en cualquier momento. Aunque un individuo puede adquirir cantidades relativamente pequeñas de
