Teor´ıa de enga˜ no

En el caso de un AG cuyos individuos est´an codificados de forma binaria, la teor´ıa de enga˜no se encarga de estudiar aquellos problemas en los que el encontrar el ´optimo intentando juntar por separado los bits que lo forman, a lo que se suele llamarsebuilding blocks hypothesis o hip´otesis de los bloques constituyentes, lleva a un resultado que no es el ´optimo, fen´omeno al que se llamaenga˜no. El estudio del enga˜no es importante ya

−0.5 0 0.5 (a)

Evaluación de máximos locales

Frecuencia

−0.5 0 0.5

(b)

Evaluación de máximos locales

Distancia de Hamming

al máximo global

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (c)

Pasos entre máximos locales

Frecuencia

Figura 5.8: (a) Distribuci´on de frecuencias de la evaluaci´on de los m´aximos locales, (b) distribuci´on de las evaluaciones de los m´aximos locales versus su distancia de Hamming al m´aximo global, (c) distribuci´on de frecuencias de la cantidad de pasos dados antes de encontrar un m´aximo local; todos para el problema de la figura 5.1.

que se piensa que en la mayor´ıa de los problemas de optimizaci´on de inter´es suele darse en cierto grado el efecto no lineal de que la soluci´on final es diferente a la simple uni´on de las partes (Whitley, 1991).

Las siguientes definiciones de teor´ıa de enga˜no fueron tomadas de Valenzuela (2004):

Un esquema o hiperplano H es un bloque constituyente de una poblaci´on dentro de un AG definido por un patr´on de bits en el alfabeto {0,1,∗}, donde el asterisco equivale a un comod´ın, que engloba a un conjunto de cadenas de bits que tienen el mismo patr´on de ceros y unos. La evaluaci´on

f(H) de un esquema es el promedio del valor de f en todos los puntos que pertenecen a H, mientras que su varianza se denota por σ2(H). El orden de un esquemaH denotado poro(H) es el n´umero de posiciones en los que no tiene un∗, a las que se llaman posiciones definidas.

Una competencia primaria de esquemas equivale al conjunto de esquemas que tienen la misma cantidad de asteriscos en exactamente las mismas posi- ciones, cuyo orden es el de los esquemas implicados en ella y que puede definirse en el alfabeto {f,∗} donde f representa una posici´on definida. El ganador global de una competencia primaria de esquemas es el esquema que tiene la mejor evaluaci´on.

Se dice que un esquema H1 contiene a otro H2 denotado por H1 ⊃ H2

si el orden de H1 es menor que el de H2, H1 tiene asteriscos en todas las

posiciones que H2 tiene asteriscos, y las posiciones definidas de H1 tienen

el mismo valor que H2 tiene en las mismas posiciones. Por ejemplo, sean

−0.4 −0.2 0 (a)

Evaluación de máximos locales

Frecuencia

−1 −0.5 0 0.5

(b)

Evaluación de máximos locales

Mín. dist. de Hamming a máximos globales

−10 0 10 20 30

(c)

Pasos entre máximos locales

Frecuencia

Figura 5.9: (a) Distribuci´on de frecuencias de la evaluaci´on de los m´aximos locales, (b) distribuci´on de las evaluaciones de los m´aximos locales versus su m´ınima distancia de Hamming a uno de los 351 m´aximos globales , (c) distribuci´on de frecuencias de la cantidad de pasos dados antes de encontrar un m´aximo local; todos para el problema de la figura 5.3.

Se dice que una competencia de esquemas C1 de orden o(C1) es relevante

a otra competencia C2 con o(C2) > o(C1) si los esquemas que pertenecen

a C2 est´an contenidos colectivamente en los esquemas que pertenecen a

C1, lo que se denota por C1 ⊐ C2. Por ejemplo sean C1 = ∗f ∗ f ∗ ∗ = {∗0 ∗ 0 ∗ ∗, ∗0 ∗ 1 ∗ ∗, ∗1 ∗ 0 ∗ ∗, ∗1 ∗ 1 ∗ ∗} y C2 = f f ∗ f ∗ ∗ = {0 0 ∗ 0 ∗ ∗, 0 0 ∗ 1 ∗ ∗, . . . , 1 1 ∗ 1 ∗ ∗}, entonces C1 es relevante C2.

Con todo lo anterior se llega a la siguiente definici´on:

Enga˜no Dada una competencia primaria de esquemasC1 que es relevante a otra com-

petencia primaria de esquemas C2, el ganador global H1 de C1 no contiene al

ganador global H2 de C2. Se dice que un problema tiene enga˜no de orden N

cuando hay enga˜no debido a un par de competencias primarias de esquemas de ´ordenesN y N −1.

A un problema con enga˜no suele llam´arsele problema enga˜noso.

Las conclusiones usuales a las que se llega mediante teor´ıa de enga˜no son que la dificultad que presenta un problema enga˜noso para ser resuelto por un AG es propor- cional a:

Orden y cantidad de enga˜nos que tiene.

Varianza de los esquemas implicados en los enga˜nos.

Distancia existente entre las posiciones definidas de las competencias primarias de orden alto que definen a los enga˜nos, a lo que suele llamarselinkage.

−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 (a)

Evaluación de máximos locales

Frecuencia

−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2

(b)

Evaluación de máximos locales

Mín. dist. de Hamming a máximos globales

−10 0 10 20 30

(c)

Pasos entre máximos locales

Frecuencia

Figura 5.10: (a) Distribuci´on de frecuencias de la evaluaci´on de los m´aximos locales, (b) distribuci´on de las evaluaciones de los m´aximos locales versus su m´ınima distancia de Hamming a uno de los dos m´aximos globales , (c) distribuci´on de frecuencias de la cantidad de pasos dados antes de encontrar un m´aximo local; todos para el problema de la figura 5.5.

Para el caso de los cuatro problemas encontrados por el ACI mostrados en este cap´ıtulo todos resultaron ser enga˜nosos con el m´aximo orden de enga˜no posible: 20. Las tablas 5.2, 5.3, 5.4 y 5.5 muestran para cada ganador de cada competencia de 19 bits de cada problema, sus evaluaciones y la diferencia entre los dos valores con que se obtienen, el n´umero de bits en que no coinciden con el ´optimo global —generando enga˜no— y la m´axima distancia entre estos bits. En el caso en que no existe un s´olo ´optimo global los valores dados de las dos ´ultimas variables son los m´ınimos con respecto a todos los ´optimos globales.

Lo que las tablas muestran es que para los problemas mostrados ni el orden de enga˜no ni la cantidad de enga˜nos dan informaci´on sobre por qu´e unos problemas fueron m´as dif´ıciles para el AG. La cantidad de ganadores de competencias de 19 bits sin en- ga˜no con respecto a alguno de los ´optimos globales en los casos en que el AG perdi´o son mayores que en el problema en que gan´o, incluso mayores que en el problema en que no particip´o, lo cual dice que teniendo disponible la opci´on de obtener problemas con m´as enga˜nos el ACI fue en la direcci´on opuesta. Ni las diferencias entre las evaluaciones con que se calcula la de cada ganador de 19 bits ni la m´axima distancia existente entre las posiciones definidas de las competencias que definen a los enga˜nos parecen explicar esta tendencia.

En la siguiente secci´on se revisan otras dos variables que, de acuerdo a Goldberg (2002), influyen en hacer que un problema sea dif´ıcil de resolver utilizando un AG: escalamiento y multimodalidad.

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 (a)

Evaluación de máximos locales

Frecuencia

−0.2 0 0.2 0.4 0.6

(b)

Evaluación de máximos locales

Distancia de Hamming

al máximo global

0 1 2 3 4 5 6 (c)

Pasos entre máximos locales

Frecuencia

Figura 5.11: (a) Distribuci´on de frecuencias de la evaluaci´on de los m´aximos locales, (b) distribuci´on de las evaluaciones de los m´aximos locales versus su distancia de Hamming al m´aximo global, (c) distribuci´on de frecuencias de la cantidad de pasos dados antes de encontrar un m´aximo local; todos para el problema de la figura 5.6.