2. DE LAS UNIDADES DE MEDIDA Y LAS COORDENADAS
2.3. Unidades angulares.
Las unidades angulares más utilizadas son los grados
sexagesimales y los grados centesimales. Para la graduación
sexagesimal se considera la circunferencia dividida en 360 partes iguales denominadas grados, cada grado se compone de 60 minutos, y cada minuto en 60 segundos, siendo la notación de un ángulo medido en grados sexagesimales la siguiente:
35º14’23”
Para la graduación centesimal, que se emplea con más frecuencia, se divide la circunferencia en 400 partes, cada una es un grado centesimal, también denominado gon, cada uno de estos en 100 minutos, y cada minuto en 100 segundos. La notación de un ángulo en grados centesimales es:
15g58m63s o bien 15,5863g
Otra medida utilizada de ángulos es el radián. Radián es el ángulo cuya longitud de arco es la misma que el radio de la circunferencia a la que pertenece. El ángulo expresado en radianes se determina matemáticamente:
r
L
a=
expresión en la que (r) es el radio y (L) la longitud del arco. Una circunferencia tiene una longitud de 2πr, si el arco del radian tiene la misma longitud que el radio r, entonces se obtiene: 360º=2π radianes. Esto significa que el radián no se deriva de ninguna otra unidad de medida. El uso de esta unidad de medida es muy conveniente en los cálculos teóricos por la comodidad de su manejo, pero en las mediciones prácticas no se utiliza porque tiene una relación irracional con el ángulo completo (360°) y no existe ningún instrumento que esté graduado en radianes para medir ángulos, ni tampoco existe patrón alguno para la reproducción del valor del radián, por tanto, normalmente, en el campo práctico, los ángulos se miden en grados, centesimales o sexagesimales. La relación entre el valor de un ángulo plano
expresado en radianes y aquel expresado en grados sexagesimales es la siguiente:
π
º
180
1rad
=
por tanto, si calculamos este cociente, hallamos que el valor de un radián es aproximadamente: 57°17’45’’, y en grados centesimales: 63g66m20s , ó 63,6620g.
Una unidad angular curiosa es la milésima militar o milésima
artillera. La milésima militar se define como el ángulo menor de
un triángulo rectángulo cuya proporción entre el cateto menor y el cateto mayor es 1/1000. Esta medida angular, es la que equivale, aproximadamente, a 1/6400 de la circunferencia, y por tanto, 1º=17,6 milésimas militares.
2.4. Ángulos.
En topografía se consideran básicamente dos tipos de ángulos:
ángulos horizontales, es decir, los que forman dos rectas
contenidas en plano horizontal, y ángulos verticales, obviamente formado por rectas contenidas en un plano vertical. Entre los ángulos horizontales está el rumbo y el azimut.
El rumbo de una línea es el ángulo horizontal agudo (<90°) que forma con un meridiano de referencia, generalmente el Norte magnético, aunque podría utilizarse igualmente el Norte geográfico. Si no se dispone de información sobre ninguno de los dos se suele trabajar con un meridiano, o línea de Norte arbitraria. Se llama contrarrumbo o rumbo inverso de una alineación AB, al rumbo de la alineación BA, contraria por tanto a la AB.
Como se observa en la Figura 2.3, los rumbos se miden desde el Norte (línea ON) o desde el Sur (línea OS), en el sentido de las manecillas del reloj si la línea a la que se le desea conocer el rumbo se encuentra sobre el cuadrante NOE o el SOW; o en el sentido contrario si corresponde al cuadrante NOW o al SOE. Como el ángulo que se mide en los rumbos es menor que 90° debe especificarse a qué cuadrante corresponde cada rumbo.
N S W E a b c d 30° 45° 60° 30° RUMBOS N S W E a b c d 30° AZIMUTES 150° 240° 315°
Por ejemplo en la figura las líneas mostradas tienen los siguientes rumbos: Línea RUMBO OA N30°E OB S30°E OC S60°W OD N45°W
Como se puede observar en la notación del rumbo se escribe primero la componente N ó S del cuadrante, seguida de la amplitud del ángulo y por último la componente E u W.
Se llama azimut (o acimut) de una alineación, al ángulo formado por ella y el eje de las ordenadas, medido desde el eje positivo en sentido contrario a las agujas del reloj. También es usual medir el azimut desde el Norte (sea verdadero, magnético o arbitrario), pero a veces se usa el Sur como referencia. Se llama contraazimut o azimut inverso de una alineación AB, al azimut de la alineación BA, contraria por tanto a la AB.
Los azimutes varían desde 0° hasta 360° y no se requiere indicar el cuadrante que ocupa la línea observada. Para el caso de la figura, las mismas líneas para las que se había encontrado el rumbo tienen el siguiente azimut:
Línea AZIMUT
OA 30° OB 150° OC 240° OD 315°
Creemos necesario detenernos en este punto para aclarar algunos detalles de la diferencia entre rumbo y azimut, ya que en algunos textos, la única diferencia es que el primero se refiere a la medida angular de una alineación con respecto al Nm, y el segundo con respecto al Ng. Esto no es así, o al menos no es exactamente así. Por la forma de medir el rumbo y de expresarlo (siempre con
respecto a un Norte), además de que es un término asociado a la navegación, normalmente se ha referido al Nm, que se suele usar cuando nos orientamos, lógicamente con una brújula. Por la forma asimismo de medir el azimut y de expresarlo con respecto a un eje de coordenadas, además de ser una medida angular asociada más con la topografía o la geografía, se relaciona este concepto con el Ng, que normalmente es usado para orientar el eje de ordenadas de nuestro sistema cartesiano. Consideraremos
siempre pues la diferencia entre rumbo y azimut tal como se ha
definido anteriormente, y la forma de medir ambas magnitudes tal como se refleja en la Figura 2.3, y en cualquier caso es siempre más importante conocer el concepto que encierra la definición de un término, así como su manejo, que el propio término en sí mismo.
Cuando se desea conocer la dirección de una línea se puede estacionar el aparato para medirla en cualquiera de sus puntos extremos, y es por esto que aparecen los definidos anteriormente conceptos de rumbo y azimut inversos (también contra-rumbo o contra-azimut) a los observados desde el punto contrario al inicial. Para que quede más claro, si en el ejemplo de la Figura 1.2.2. se midieron primero los rumbos y azimutes desde el punto O (líneas OA, OB, OC y OD), el contra-rumbo y contra-azimut de cada línea corresponde a la dirección medida en sentido opuesto, desde cada punto hasta O (líneas AO, BO, CO y DO).
Cuando se trata de rumbos, para conocer el inverso, simplemente se cambian las letras que indican el cuadrante por las opuestas (N <-> S y E <-> W). De manera que para la figura se tiene:
Línea RUMBO CONTRA-RUMBO
OA N30°E S30°W
OB S30°E N30°W
OC S60°W N60°E
OD N45°W S45°E
Por el contrario, si se trata de azimutes (Figura 2.4), el inverso se calcula sumándole 180° al original si éste es menor o igual a 180°, o restándole los 180° en caso de ser mayor:
Contra-Azimut = Azimut ± 180°
Figura 2.4.
Para la Figura 2.3, se observan los azimutes inversos:
Línea AZIMUT CONTRA-AZIMUT
OA 30° 30°+180° = 210° OB 150° 150°+180° = 330° OC 240° 240°-180° = 60° OD 315° 315°-180° = 135°
Al igual que las magnitudes directas, en ningún caso un rumbo (o un rumbo inverso) puede ser mayor a 90°, ni un azimut (o contra- azimut) mayor a 360°.
Para calcular azimutes a partir de rumbos es necesario tener en cuenta el cuadrante en el que se encuentra la línea. Observando la figura anterior se puede deducir la siguiente tabla:
Cuadrante Azimut a partir del rumbo
NE Igual al rumbo (sin las letras)
SE 180° - Rumbo
SW 180° + Rumbo
NW 360° - Rumbo
Se puede comprobar revisando los valores que aparecen en la Figura 2.3.
La conversión de azimutes a rumbos, la deducimos observando también la Figura 2.3. en la que se ve que el cuadrante de la línea depende del valor del azimut así:
Azimut Cuadrante Rumbo
0° - 90° NE N ‘Azimut’ E 90° - 180° SE S ‘180° - Azimut’ E 180° - 270° SW S ‘Azimut - 180°’ W 270° - 360° NW N ‘360° - Azimut’ W
Para calcular rumbos o azimutes en una poligonal primero definamos este concepto. Una poligonal, sea abierta o cerrada, es una sucesión de distancias y direcciones (rumbo o azimut) formadas por la unión de los puntos en los que se instaló el aparato que se usó para medirlas, puntos que solemos llamar
estaciones. Cuando se ubica el instrumento en una estación se
puede medir directamente el azimut de la siguiente línea a levantar (si se conoce la dirección del N o si se “sostiene” el contra-azimut de la línea anterior), sin embargo, en ocasiones se mide el ángulo correspondiente entre las dos líneas que se cruzan en el punto de estación (marcando “ceros” en el ángulo horizontal del instrumento cuando se mira al punto anterior), a este último ángulo se le va a llamar “ángulo observado”.
Si el ángulo observado se mide hacia la derecha (en el sentido de las manecillas del reloj, que es el mismo en el que se miden los azimutes) se puede calcular el azimut de la siguiente línea con la siguiente expresión:
Azimut línea siguiente = Contra-azimut de la línea anterior + Ángulo observado
Se debe aclarar que si el resultado es mayor a 360° simplemente se le resta este valor.
Figura 2.5.
En la Figura 2.5 se observa que si el azimut conocido corresponde al de la línea AB (ángulo NAB), el contra-azimut es el ángulo NBA. El ángulo observado, medido en el sentido de las manecillas del reloj con el instrumento estacionado en el punto B es el ángulo ABC. El azimut que se desea conocer es el de la línea BC (ángulo NBC). Por lo tanto se tiene la siguiente expresión:
Azimut BC = Contra-Azimut AB + Ángulo observado en B Azimut BC = <NBA + <ABC
Como es evidente que el resultado será mayor que 360° (en este caso en particular) entonces el azimut de la línea BC será:
Esta expresión es válida sólo si el ángulo observado está medido en el mismo sentido del azimut (derecha), sin importar si es interno o externo.
Si seguimos el orden de cálculo de los azimutes de una poligonal en sentido contrario de las agujas del reloj, tendremos (Figura 2.5) que, siendo el azimut de BC el ángulo NBC, el azimut de CB será el ángulo:
Azimut CB = Acimut BC + 180º
Una vez calculado este valor, sólo tendremos que aplicar la expresión:
Azimut BA = Azimut CB+CBA
siendo CBA el ángulo entre ambas alineaciones, si el valor resultante es mayor de 180º, restaremos este valor, si es mayor de 180º, lo sumaremos, por tanto la expresión completa sería:
Azimut BA = Azimut CB+CBA± 180°
y efectuaremos esta operación con todas las alineaciones de la poligonal. En una poligonal cerrada, es conveniente volver a calcular el primer azimut como si fuera el último, aunque ya conozcamos su valor, como comprobación
En cuanto a los ángulos verticales podemos considerar:
• Ángulo cenital: Se toma como referencia la parte positiva
de la vertical del pto. Estos ángulos oscilan entre 0º y
180º.
• Ángulo nadiral: Se toma como referencia la parte
negativa de la vertical del pto. Varían de 0º a 180º.
• Pendiente: Se toma como referencia a la horizontal del punto y pueden ser de "elevación" (por encima de la horizontal), o de "depresión" (por debajo de la horizontal).
2.5 Coordenadas
La localización geográfica de un punto se puede realizar, básicamente detallando sus coordenadas geográficas, de acuerdo con los diferentes sistemas que existen, de los que estudiaremos los dos siguientes:
• Coordenadas geográficas en formato longitud – latitud • Coordenadas (x, y) UTM (Universal Transversa Mercator) El sistema de coordenadas geográficas longitud-latitud, es un sistema de coordenadas angulares y está referido a un objeto tridimensional como es la superficie de la tierra, el sistema de coordenadas planas o rectangulares están diseñados para referirse a una representación en dos dimensiones, como es el mapa o plano que representa la superficie de la tierra.
Cada una de estas dos formas de localización geográfica de un punto debe cumplir con los siguientes requisitos:
• Que el punto sea único
• Que quede perfectamente identificado el sistema de proyección empleado en localizar el punto
Se define la longitud (λ) de un punto (P), como el valor del diedro formado por el plano meridiano que pasa por (P) y el meridiano de origen. El meridiano que universalmente se toma como origen es el meridiano 0º o meridiano de Greenwich. La designación de la longitud lleva aparejada la designación de la posición espacial del punto con respecto al meridiano de origen, así se designa posición Oeste (W) cuando está a la izquierda del meridiano origen y Este (E) cuando está situado a la derecha. Los valores posibles de la longitud varían según la siguiente expresión:
180ºW<λ<0º> λ>180ºE
Se denomina latitud geográfica (ω) de un punto (P)al ángulo formado por la vertical que pasa por dicho punto, con el plano del ecuador, contenido en el plano meridiano que pasa por dicho punto. Los valores de la latitud siempre oscilan según la siguiente expresión:
Ya que su valor se expresa de acuerdo con el hemisferio en que se encuentra el punto, norte (N) o sur (S).
Este sistema de expresión de coordenadas longitud – latitud, utiliza la expresión de los ángulos en grados sexagesimales, y sus orígenes de son como se ha dicho, el meridiano 0º o meridiano de Greenwich y el Ecuador. 0º 20º 40º 60º 20º 40º 60º Longitudes Latitudes Figura 2.6.
Este sistema de coordenadas tiene como gran inconveniente el uso del sistema sexagesimal lo cual dificulta los cálculos; por otra parte tiene la ventaja de que proporciona un sistema único de referencia válido para toda la superficie terrestre.
En España no siempre se ha usado el meridiano de Greenwich como referencia u origen, ya que como la mayoría de los países tenía su meridiano 0º, que era el que pasaba por Madrid. Aunque este sistema está en desuso, para corregir las longitudes que estén basadas en el meridiano de Madrid, si nos encontramos con ellas, basta con modificarlas en –3º 41’15”.
Las coordenadas de España peninsular, incluyendo Baleares, están comprendidas entre los siguientes valores:
Longitud 35,82ºN 43,80ºN
eje ecuador centro 18º 12º 6º 0º 44º 40º 36º 32º 28º 24º T S R O P 28 29 30 31
El sistema de coordenadas UTM proviene del nombre de la proyección usada (Universal Transversa Mercator) y se introduce de forma generalizada al ser adoptada en la década de 1940 como sistema estándar por el Servicio de Defensa de Estados Unidos y como gran ventaja presenta el sustituir el uso de los grados por los metros.
Figura 2.7.
El sistema UTM divide la Tierra en 60 husos de 6º de longitud, la zona de proyección de la UTM se define entre los paralelos 80º S y 84º N. Cada huso se numera con un número entre el 1 y el 60, estando el primer huso limitado entre las longitudes 180° y 174° W y centrado en el meridiano 177º W. Cada huso tiene asignado un meridiano central, que es donde se sitúa el origen de coordenadas, junto con el ecuador. Los husos se numeran en orden ascendente hacia el este. Por ejemplo, la Península Ibérica está situada en los husos 31 al 29, y Canarias está situada en el huso 28. En el sistema de coordenadas geográfico, las longitudes se representan tradicionalmente con valores que van desde los - 180º hasta casi 180º (intervalo [-180º, 180]); el valor de longitud 180º no se corresponde con el huso UTM 60, sino con el 1, porque en ese sistema 180º equivale a -180º.
También divide la Tierra en 20 zonas de 8º Grados de Latitud, que se denominan con letras desde la C hasta la X excluyendo las letras "I" y "O", por su parecido con los números uno (1) y cero (0), respectivamente. Puesto que es un sistema norteamericano (estadounidense), tampoco se utiliza la letra "Ñ". La zona C coincide con el intervalo de latitudes que va desde 80º S (o -80º
latitud) hasta 72º S (o -72º latitud). Las zonas polares no están consideradas en este sistema de referencia. Para definir un punto en cualquiera de los polos, se usa el sistema de coordenadas UPS. Si una zona tiene una letra igual o mayor que la N, la zona está en el hemisferio norte, mientras que está en el sur si su letra es menor que la "N".
Huso 30
Hemisferio Norte
84
N N60
40
N20
N0
N84
N N60
40
N20
N0
N6
W3
W0
WM
er
id
ia
no
c
en
tr
al
d
el
h
us
o
3º
W
origen origen x=500,000 m y= 0 m Figura 2.8.Cada cuadrícula UTM se define mediante el número del huso y la letra de la Zona, por ejemplo la ciudad española de Granada se encuentra en la cuadrícula 30S, y Logroño en la 30T. La rejilla es regular salvo en 2 zonas, ambas en el hemisferio norte; la primera es la zona 32V, que contiene el suroeste de Noruega; esta zona fue extendida para que abarcara también la costa occidental
de este país, a costa de la zona 31V, que fue acortada. La segunda excepción se encuentra aún más al norte, en la zona que se conoce como Svalbard.
Una de las particularidades del sistema UTM es que cada uso tiene su propio sistema de coordenadas expresado en metros con respecto al origen en la intersección del meridiano central con la línea de ecuador, para evitar los números negativos en el eje X a este punto se le da un valor de X=500.000 m / Y=0 m.
Resumiendo cuando damos unas coordenadas UTM estamos dando unas distancias en metros al punto de referencia en el ecuador y siempre se han de acompañar con la información de la zona.
Con el origen de coordenadas del sistema UTM y a causa de la proyección efectuada, las distancias entre meridianos disminuyen según nos acercamos a los polos.
La notación que se usa para designar las coordenadas UTM es: la designación del huso y la zona, es la designación de su ordenada (x) y su abcisa (y) en metros con su orientación (E,W y N,S), completándose la información con la identificación del dátum. En topografía, y cuándo nos referimos a un espacio concreto podemos utilizar también sistemas de coordenadas, esta vez con los puntos de origen o referencias propias de nuestro trabajo, obra o campo de actuación, estas coordenadas pueden ser polares o cartesianas.
El sistema de coordenadas cartesianas es en el que cada punto está definido por su distancia a la abscisa y a la ordenada, el sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición en el plano viene determinado por un ángulo y una distancia. El sistema de coordenadas polares resulta especialmente útil en situaciones donde la relación entre dos puntos es más fácil de expresar en términos de ángulos y distancias, y sobre todo de medir con los sistemas de que se ha dispuesto tradicionalmente, mientras que en el sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares estas mismas relaciones deben ser expresadas mediante fórmulas trigonométricas.
y
O
x
Las coordenadas polares de un punto son dos: la coordenada
radial y la coordenada angular. La coordenada radial de un
punto (P), que es comúnmente simbolizada por (r) ó (ρ) expresa la distancia del punto (P) al punto (O) central del sistema conocido como polo, y que es equivalente al origen de coordenadas en el sistema cartesiano. La coordenada angular, también conocida como ángulo polar o ángulo acimutal, y usualmente simbolizada por (φ) ó (t) expresa el ángulo positivo, medido en sentido antihorario, desde el eje polar, equivalente al eje de abscisas del sistema cartesiano.
P(x,y) ó (r, φ) r φ
Figura 2.9: Coordenadas cartesianas y polares.
Si trazamos el eje de abscisas coincidiendo con el eje polar y perpendicularmente a este eje por (O) trazamos el eje de ordenadas, (Figura 2.9) se deducirán las siguientes relaciones:
• El paso de las coordenadas polares a las cartesianas viene dado por:
ϕ
cos
⋅
= r
x
ϕ
sen
r
y=
⋅
• El paso de las coordenadas cartesianas a las polares:
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