Valor en Riesgo (VaR por sus siglas en inglés, Value at Risk)

Una de las principales herramientas utilizadas para cuantificar riesgo de mercado es la metodología VaR y es utilizada por instituciones financieras para evaluar riesgos

o por reguladores para establecer requerimientos de capital (Wu, 2016)

Podemos definir al VaR como “la peor pérdida esperada en un intervalo de tiempo

determinado bajo condiciones normales de mercado ante un nivel de confianza dado” (Jorion, 2000), es decir, el VaR representa el peor escenario posible para un portafolio, dadas condiciones normales de mercado en un horizonte de tiempo y un nivel de confianza determinados.

En este apartado utilizamos la definición matemática de VaR de Li (2016) y Wu

(2016). Sea (Ω, ℱ, 𝑃) un espacio de probabilidad. Supongamos que estamos

interesados en el riesgo de una posición financiera para los siguientes 𝑠 periodos

partiendo del tiempo 𝑡, es decir, el riesgo de pasar de 𝑡 a 𝑡 + 𝑠. Sea Δ𝑉(𝑠) una

variable aleatoria que es igual al cambio del portafolio de empezar en el tiempo 𝑡 y

terminar el tiempo 𝑡 + 𝑠. Denotamos la función de distribución acumulada de Δ𝑉(𝑠)

Definimos el VaR de una posición larga6 _{sobre el horizonte temporal objetivo} 𝑠 _con

un nivel de confianza 𝛼 ∈ (0,1) como

𝛼 = ℙ[Δ𝑉(𝑠) ≤ 𝑉𝑎𝑅] = 𝐹_𝑠(𝑉𝑎𝑅) (8)

Alternativamente, podemos definir el VaR desde el punto de vista de una posición corta7

1 − 𝛼 = ℙ[Δ𝑉(𝑠) ≥ 𝑉𝑎𝑅] = 1 − ℙ[Δ𝑉(𝑠) ≤ 𝑉𝑎𝑅] = 1 − 𝐹_𝑠(𝑉𝑎𝑅) (9)

La diferencia entre las ecuaciones (8) y (9)es que están centradas en los diferentes

lados de la cola de la función de distribución acumulada 𝐹𝑠(𝑉𝑎𝑅).

Para el titular de una posición larga, su pérdida ocurre cuando Δ𝑉(𝑠) < 0; mientras

que, para el titular de una posición corta, su pérdida ocurre cuando el valor de su

portafolio se incrementa, es decir, Δ𝑉(𝑠) > 0. Por lo tanto, cuando se analice desde

el punto de vista de una posición larga nos centraremos en la cola izquierda del

𝐹𝑠(𝑉𝑎𝑅) y en la cola derecha cuando sea desde el punto de vista de una posición

corta.

También, definiremos la 𝑝 −cuantil de 𝐹_𝑠(𝑥) para cualquier nivel de confianza 𝛼 ∈

(0,1) dado

𝑉𝑎𝑅𝑝 = 𝑥𝑝 = inf { 𝑥 𝐹⁄ 𝑠(𝑥) ≥ 𝛼}

Donde:

inf = El número real más pequeño

𝑥_𝑝 = 𝑉𝑎𝑅_𝑝 si 𝐹_𝑠(𝑉𝑎𝑅) es conocido.

Por lo tanto, el comportamiento de la cola de la función de distribución acumulada

de 𝐹𝑠(𝑥) o su cuantil es condición necesaria para calcular el VaR.

6 _{Se denomina posición larga cuando un inversor compra un activo con la esperanza de que su precio se incremente} para venderlo mas caro. El beneficio surge cuando el precio realmente se incrementa.

7 _{Se denomina posición corta cuando un inversor tiene expectativa de que el precio de un activo se incremente, entonces} vende el activo con la esperanza de recomprarlo más barato posteriormente. El beneficio surge cuando el precio realmente disminuye.

Gráfico N° 2

Representación gráfica del VaR

El VaR tiene elementos claves necesarios para su cálculo, siendo estos los siguientes:

i) Tiempo, tal como el horizonte temporal 𝑠.

ii) El valor de mercado del portafolio 𝑉.

iii) La condición normal del mercado (o intervalo de confianza). Tal como, un nivel

de confianza de 𝛼 ∈ (0,1).

iv) La frecuencia de la información.

v) La función de distribución acumulada de 𝐹_𝑠(𝑉𝑎𝑅) o sus cuantiles.

Este concepto aplicado al portafolio de deuda, explica el monto adicional que eventualmente podría pagarse por efecto de las variaciones en las tasas de interés o los tipos de cambio que afectan el costo y servicio de la deuda pública.

Implementar el modelo VaR consiste en generar una función de distribución de los retornos del portafolio, para la cual se asume: i) una distribución normal (VaR paramétrico), ii) ajustando su distribución a partir de los retornos históricos (VaR histórico) o, iii) mediante una simulación de Montecarlo (VaR montecarlo).

a) Método Varianzas – Covarianzas (𝑉𝑎𝑅_𝑉−𝐶)8

Método paramétrico basado en los supuestos de normalidad en la distribución de los rendimientos del portafolio y de linealidad entre los factores de riesgo del mercado. El valor en riesgo del portafolio o pérdida esperada se calcula en función del valor

esperado de los retornos, la volatilidad del portafolio (desviación estándar) y la matriz

de varianzas-covarianzas9_.

𝑉𝑎𝑅𝑉−𝐶(𝛼, 𝑇) = 𝛼 ⋅ 𝑉 ⋅ √[𝜔 ⋅ 𝜎 ⋅ 𝐶 ⋅ 𝜎 ⋅ 𝜔′] = √𝑉𝑎𝑅1×𝑛⋅ 𝐶𝑛×𝑛⋅ 𝑉𝑎𝑅𝑛×1 (10)

Donde:

𝑉𝑎𝑅𝑛×1 = representa el vector de los VaR individuales para cada activo del portafolio.

𝑉 = portafolio

𝐶 = Matriz de correlaciones del portafolio

Su principal ventaja es que fácil y rápido de calcular; mientras que sus desventajas son: i) no captura eventos extremos, ii) los activos en el mundo real son no lineales.

b) VaR Histórico10

Este método es no paramétrico, como su nombre lo dice, utiliza datos históricos para calcular el VaR partiendo del supuesto de que la variación futura de los precios de mercado se distribuirá de la misma manera que lo hizo en el pasado.

𝑉𝑎𝑅_𝐻(𝛼, 𝑇) = 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙(1 − 𝛼) ⋅ √𝑇 ⋅ 𝑉 (11)

Donde:

𝑉𝑎𝑅_𝐻(𝛼, 𝑇) = Valor en riesgo con 𝛼 por ciento de certeza para un horizonte de tiempo

de 𝑇 días.

𝑉 = valor del portafolio

𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙(1 − 𝛼) = percentil al 1 − 𝛼%

𝑇 = Horizonte temporal en días

Su principal ventaja es que no depende de ningún supuesto sobre la distribución de las variables de mercado; por lo tanto, es aplicable tanto a carteras lineales como no

lineales; mientras que su principal desventaja es que supone que todos los posibles

cambios futuros en los precios de mercado ya se han observado en el pasado, es decir, ningún evento que no haya ocurrido en el pasado podrá ocurrir en el futuro.

9 _{Para calcular volatilidades y correlaciones de los rendimientos de los precios de mercado utiliza información histórica.} 10 _{Se recomienda utilizar cuando la información histórica es representativa del riesgo presente en el portafolio y cuando}

c) VaR Montecarlo

Este método es una combinación de los dos métodos anteriores, y simula los potenciales movimientos del valor de un portafolio mediante la construcción de múltiples escenarios, para lo cual puede utilizar información histórica, incluidos parámetros estadísticos como la volatilidad y la correlación o también se puede estimar independientemente de los datos históricos.

Este método consiste en dos pasos, primero se determina el proceso estocástico de los precios de mercado y se utiliza datos históricos para determinar volatilidades y correlaciones de los factores de riesgo. El segundo paso es obtener las posibles sendas (mediante simulación) con el objetivo de trazar una distribución de posibles resultados sobre los cuales se puede obtener estimadores entre ellos el Valor en

Riesgo (Dowd, 1998).

El método es bastante flexible en el sentido en el que no existen pasos o una metodología exacta para su modelamiento, sin embargo, esto también es lo que lo hace una metodología sujeta a un alto riesgo de modelo.