EL IMPACTO DE LA TEORIA DE LA RELATIVIDAD
13. Van Fraasscn
Ahora querríamos tener respuesta a la pregunta: ¿cuál es la lectura del otro reloj C' cuando coincide con Z? (En otras palabras, ¿cuál es la coordenada temporal t' de Z en el sistema S 'l) Esta es una cuestión empírica, a la que no se puede dar respuesta sobre la base de nuestros postulados previos.
La respuesta que da la teoría de la relatividad especial se podría expresar así:
34) Postulado de la duración: un reloj mide los inter valos espacio-temporales a lo largo de su propia línea de universo.
Puesto que C ' da la lectura 0 cuando coincide con 0 y la lectura /' cuando coincide con Z, esto quiere decir que /' — 0 — t' es la magnitud del intervalo espacio-temporal entre 0 y Z. Medido en el sistema S, este intervalo tiene la magnitud \ f t- — d-. Así en el caso expuesto en la figura 3, el postulado de la duración significa que
que, teniendo en cuenta 33, nos da t \ / 1 — v". Puesto que según nuestra convención c = 1, esta consecuencia coincide con la hipótesis de la dilación temporal de Lorentz (véase apar tado 2b).
Advirtamos que el postulado llevaría a contradicciones si los intervalos espacio-temporales a lo largo de las líneas de universos tuvieran valores diferentes en diferentes sistemas de referencia. El postulado dice que la magnitud de uno de estos intervalos entre dos puntos sobre una única línea de universo (de un sistema inercial) es la misma en cada sistema de refe rencia. La afirmación de invariancia más general —la de que la magnitud de cualquier intervalo espacio-temporal es el mismo en todos los sistemas de referencia— es una conse cuencia de las transformaciones de Lorentz, que deducimos en el apartado 5.
Con todo, la figura 3 sólo ilustra una situación: el caso en el que C y C' no están en reposo relativo uno con respecto
al otro. Si están en reposo relativo mutuo y separados espa cialmente, sus líneas de universo nunca se cortarán. Por tanto, 110 podemos hallar un acontecimiento O perteneciente a ambas líneas de universo que pueda servir de origen a ambos siste mas de referencia. En ese caso, ¿cuál es la relación de f con ti Emítanse señales desde A (acontecimientos E y F) que lleguen a A ' (acontecimientos Y y Z); sea t(Y) = t y t{Z) = t + a. En este caso el postulado de duración afirma que | t'(Z) — — t'{Y ) es la magnitud del intervalo espacio-temporal entre
Y y Z. Medida en el sistema S esta magnitud es V (t + a — t)2 — (d — el)2 = V« 2 = a
En otras palabras,
\ t \ Z ) - t \ Y ) \ = \ t { Z ) - t ( Y ) \
para cualquier par de acontecimientos Y y Z sobre la línea de universo del reloj C . Si suponemos que los dos relojes con cuerdan en la «dirección» [sentido] del tiempo [es decir,
t(Y) < t(Z) si y sólo si t'(Y ) t (2^)], entonces se puede tam bién expresar así:
Hay un factor constante k tal que, para cualquier acon tecimiento X en la línea de universo de C , t'(X ) = = t(X) + k.
En esc caso, podemos decir que C y C' están sincronizados si y sólo si este factor es cero.
5. L A S TR A N SF O R M A C IO N E S D E L O R E N T Z
COMO UNA CONSECUENCIA
DE LO S SUPUESTOS DE E IN S T E IN 11
Un reloj rígidamente unido a un cuerpo mide un intervalo de tiempo propio a lo largo de la línea de universo de ese cuerpo. En la figura 3 vemos señalados tres de estos inter valos: OE, OF, y OZ. (El primero y el segundo medidos por
el reloj C y el tercero por el reloj C'.) Como E, Z y F son la emisión, la reflexión y la vuelta de una señal luminosa, los vamos a designar de la siguiente manera:
{OE) primer intervalo de emisión
(O Z) primer intervalo de recepción
(OZ) segundo intervalo de emisión (OF) segundo intervalo de recepción
Empleamos esta terminología porque, por lo que concierne a estas consideraciones, Z podría ser tanto la recepción de una señal (emisión E) como la emisión de una segunda señal (recepción F). Intentaremos mostrar que la razón de intervalo de recepción a intervalo de emisión es la misma para ambos casos. Puesto que O tiene la coordenada temporal 0 en todos los casos, tenemos:
, . t \ Z ) t(F)
36) Lema I —
t(E) t'(Z)
Sirviéndonos de las convenciones del apartado 4c [/(£)
t — d\ í(F) = t + d\ t(Z) = f], tenemos:
37) t ’ _ t + d
t — d t'
que es exactamente lo mismo que
38) ( t y = (t + d ) ( t — d)
por tanto, lo mismo que
39) (i')2 = í2 — d 2
Pero es evidente que 39 es consecuencia directa del pos tulado de la duración; por tanto, nuestro lema está probado. Probaremos ahora que esta razón es una función sólo de la velocidad relativa v. Esto quiere decir que será la misma
para cualquier señal de un recorrido (ida o vuelta) enviada
de A a A ' o de A ' a A.
t(E) V I — v
Volviendo a hacer uso de nuestras convenciones, podemos expresarlo así:
4 i) — ! L - = ^ i ± l
t — d V1 — v
El postulado de la duración nos permite expresar la parte izquierda así:
por tanto,
t — d V t — d
Ahora podemos hacer uso de nuestro resultado anterior 33 para expresar d como vt; sustituyendo, pues, en el miembro de la derecha de 43
44) ' f t + vt =
t — d V t — vt V r(l — v)
Simplificando el factor V / de los miembros de la derecha, deducimos 41; nuestro segundo lema, pues, está probado. Estos dos lemas harán que la deducción de las transforma ciones de Lorentz sea muy sencilla.1-
Como de costumbre, nos limitaremos a acontecimientos en el plano X -T , así como de inmediato tenemos las trans formaciones
V(f — d) jt + d)
t — d
y = y z' = z
La única consecuencia de esta limitación es la de evitar complicaciones innecesarias. Consideremos, pues, un aconte cimiento W con coordenadas (?,.*,y , e n S y (t',x',y',z') en S'. Trazamos también los recorridos de las señales luminosas que unen A, A ' y W (véase figura 4). Igual que antes, introdu cimos por convención dos símbolos d y d' y tenemos:
45) d = \/2 [t(F i) — í(En)] d' = 1 /2 [/'(F,) — t (/?,)] t(E,) = t — d t(F J = t + d t'(E2) — t ’ — d' t'(h \) = t' + d'
E igual que antes deducimos la distancia espacial de A
y de A ' a W, y, por tanto, sus coordenadas espaciales
46) x = d
x ' = d'
Nuestra tarea es ahora expresar (' y jc' en términos de t y x. Lo hacemos utilizando los lemas 1 y 2 concernientes a la razón del intervalo de recepción al intervalo de emisión:
Para la señal E¡E-r.
_ V I + v
t'(E,) VI — v
Para la señal F^F2\
t{Ft) _ V I + V
t'(Fz) V I — v
Usando 45 y 46 estas igualdades se pueden expresar en forma equivalente
47) t' — x' = (t — x) 1 + V-
V I — v
48) í' + x ' = (t + x) — 1- ~ - V
Sumando miembro a miembro estas igualdades obtenemos: 49) (/' — x') + ( f + x') , V I + v V I — v = 0 — ---+ (í + x) ■
v i—v
vr+
que es precisamente: 50) 2t' = 21 ~ 2xv V 1 — v-Dividiendo los dos miembros por 2 obtenemos la trans formación de Lorentz para la coordenada temporal (véase apartado 2c)
51) < - xv
Por otra parte, restando miembro a miembro la igual dad 47 de la 48, obtenemos
52) 2 * = (< + *) - ( > - * ) ■ -Vl - + v
V I + v V I — v
que, después de dividir por 2, da la transformación de Lorentz para la coordenada x (véase apartado 2c)
53) x- * - v'
V I ---v3
Hemos mostrado, pues, que se pueden deducir las trans formaciones de Lorentz a partir del postulado de duración (en el contexto de otros supuestos de Einstein).
6. ESPACIO-TIEM PO
Y LOS D IA G R A M A S DE M IN K O W SK I
En la forma clásica de operar con el espacio, a cada acon tecimiento se le asignaban tres números reales (x,y,z) como sus coordenadas espaciales. Por tanto, el espacio lógico en el que, clásicamente, se representaban todas las relaciones espa ciales es el conjunto de todas las ternas de números reales. La asignación de coordenadas incluye, naturalmente, la elec ción de un origen y de unas unidades, de la orientación del eje de las X, etc. En otras palabras, implica la elección de un sistema de referencia.
Nosotros hemos estado siguiendo el procedimiento de asignar a cada acontecimiento cuatro números reales (t,x,y,z) como sus coordenadas espacio-temporales. Así pues, para nosotros, el espacio lógico en el que se representan todas las relaciones espacio-temporales es el conjunto de todas las cuaternas de números reales. Una asignación de coordenadas espacio-temporales implica la elección de un sistema de refe rencia total, y nosotros estamos centrando nuestra atención sólo en aquellos para los que esta elección es un sistema iner cial. Hemos estipulado, además, que la asignación de coorde nadas habría de satisfacer la convención de Einstein e = 1 /2 y la convención (para unidades de medida) c = 1.
Las diversas magnitudes que se pueden medir en un sis tema de referencia dado pueden ser las mismas en todos los sistemas (invariantes) o variar de sistema a sistema (relativas). Por ejemplo, dos acontecimientos separados espacialmente pueden ser simultáneos en un sistema y no serlo en otro. Hemos aclarado este punto con el ejemplo del conductor y del jefe de estación (relatividad de la simultaneidad). La magnitud invariante más importante es el intervalo espacio- temporal s entre dos acontecimientos. Este intervalo viene dado por la ecuación s2 — t 2 — d'\ siendo t la diferencia entre los tiempos de los dos acontecimientos, y d la distancia espacial entre ellos. Aquí t y d están medidos en un sistema de referencia dado S y sabemos que la simultaneidad es rela tiva, es decir, que la magnitud de t variará de un sistema de referencia a otro. Pero la magnitud de s no variará. Esto
tiene como corolario inmediato que la magnitud d varía de un sistema a otro (relatividad de la longitud).
Se pueden representar las relaciones espacio-temporales en un diagrama de M inkowski.13 Los acontecimientos en la historia de un cuerpo A están representados por puntos sobre la línea vertical (continua), la línea de universo de A. Esta línea de universo constituye también el eje del tiempo del sistema de referencia de A. Elegimos en ella un punto como origen y trazamos por él una línea horizontal para representar una de las dimensiones espaciales. Los rayos de luz coinci dentes con este origen aparecen como líneas (continuas) for mando un ángulo de 45° con estos ejes. Las líneas discon tinuas representan los ejes de espacio y tiempo de otro sis tema de referencia en movimiento respecto al sistema de referencia de A.
Los rayos de luz que pasan por el punto O dividen el diagrama en tres zonas: futuro absoluto, pasado absoluto y
zona espacial absoluta (véase figura 5). La zona espacial abso
luta se puede caracterizar de dos maneras:
a) E está en la zona espacial absoluta de O si y sólo si es
imposible que una señal tenga su partida coincidente con E y su llegada coincidente con O, o viceversa.
b) E está en la zona espacial absoluta de O si y sólo si
el cuadrado del intervalo espacio-temporal entre E y O es negativo.
Aquí a expresa el carácter limitador de la velocidad de la luz. Por otra parte, b define la zona en términos de la relación invariante dada por el intervalo espacio-temporal. Dice que ! d | es mayor que 11 1 para tales acontecimientos: su separación es de género espacio. Para decirlo de otra manera: hay algún sistema de referencia alternativo S' tal que O y E están ambos sobre el eje de las X (son simultáneos en 5')-
El pasado absoluto y el futuro absoluto constituyen el
cono de luz de O. Un acontecimiento en el cono de luz de O
tiene una separación de O de género tiem po■ es decir, en algún sistema alternativo S' acontecen en el mismo lugar pero no en el mismo tiempo. Más aún, no hay ningún sistema
T ful absc \ A zona espacial ( ) \ / / / / uro / ►luto / / N *V / / / / / / / / / / / / 1 y / E __ ^ " í / --— absol uta X \ \ \ \ \ \ \ \ N , \ ado >luío
alternativo S' en el que sean simultáneos este aconteci miento y O.
1. Cf., p. ej., C a k m i c h a e l , R. D.: The T heory o f R elativily, Wilcy, Nueva York, 1913, pp. 10-13; B o h m , D.: The Special theory o f R elativity, W. A. Benjamín, Nueva York. 1966, cap. IV. Se puede encontrar el artículo original de Einstein en L o r e n t z , H. A. el al.: The Principie o f R elativily, A C ollection o f Original M em oirs, Dover, Nueva York. 1952.
2. Cf. B o h m , o.c., c a p . V. 3. Ibíd.,cap. VI.
4. Ib íd .,cap. VII.