Ejercicios del tema 6: cinemática
Relatividad de movimientos
1) La ecuación vectorial de un móvil es: 𝑟 𝑡 = 3𝑡 − 2 𝑖 + 5𝑡 + 1 𝑗 . a) Ecuaciones paramétricas del movimiento.
b) Ecuación de la trayectoria del movimiento. c) Desplazamiento en los dos primeros segundos.
Un segundo sistema de referencia, con sus ejes paralelos al primero, se mueve con respecto al primer sistema de referencia según la ecuación vectorial 𝑂𝑂′ 𝑡 = 𝑡 𝑖 + 6𝑡 𝑗 .
d) Ecuación de la trayectoria del móvil con respecto a este segundo sistema de referencia.
e) Desplazamiento en los dos primeros segundos con respecto a este segundo sistema de referencia.
Sol: 𝑥 = 3𝑡 − 2𝑦 = 5𝑡 + 1 ; b) 𝑦 =53𝑥 +133 ; c) ∆𝑟 ≈ 11,66 𝑚 ; d) 𝑦′ = −12𝑥′ ; e) ∆𝑟 ′ ≈ 4,47 𝑚.
Ecuaciones de movimientos
2) La ecuación vectorial de un movimiento es 𝑟 𝑡 = 2𝑡 + 3 𝑖 + 𝑡2− 4 𝑗 . a) Encuentra las ecuaciones paramétricas del movimiento.
b) Determina la ecuación de la trayectoria.
c) Calcula el desplazamiento en los tres primeros segundos.
Sol: a) 𝑥 = 2𝑡 + 3𝑦 = 𝑡2− 4 ; b) 𝑦 =14𝑥2−32𝑥 −74 ; c) ∆𝑟 ≈ 10,82 𝑚.
3) La posición de una partícula viene determinada por las ecuaciones paramétricas, en unidades del SI: 𝑥 = 3𝑡2
𝑦 = 5(𝑡2− 7)
Determinar la ecuación de la trayectoria, las aceleraciones tangencial y normal y el radio de curvatura de la trayectoria.
Sol a) 𝑦 =53𝑥 − 35 ; b) 𝑎𝑡= 11,66 𝑚/𝑠2 ; c) 𝑎𝑛 = 0 ; d) 𝑅 = ∞ → trayectoria rectilínea.
4) Las ecuaciones paramétricas que describen el movimiento de una partícula son, en unidades del SI, las siguientes: 𝑥 = 𝑡 − 1
𝑦 = 𝑡2+ 2𝑡 − 1
Se pide:
a) Vector de posición de la partícula. b) Ecuación de la trayectoria.
c) Distancia, medida desde el origen, a la que se encuentra la partícula a los 2 s de iniciado el movimiento. d) Velocidad media entre los instantes t = 0 y t = 2 s.
e) Velocidad y aceleración de la partícula en cualquier instante. f) Tipo de movimiento que tendrá la partícula.
g) Módulos de la velocidad y de la aceleración en función del tiempo.
Sol: a) 𝑟 𝑡 = 𝑡 − 1 𝑖 + 𝑡2+ 2𝑡 − 1 𝑗 ; b) 𝑦 = 𝑥2+ 4𝑥 + 2 ; c) 𝑟 2 ≈ 7,07 𝑚 ; d) 𝑣 𝑚 2 = 𝑖 + 4𝑗 ; e) 𝑣 𝑡 = 𝑖 + (2𝑡 + 2)𝑗 ; 𝑎 𝑡 = 2𝑗 ; f) movimiento parabólico, con el mínimo en (-2 , -2); g) 𝑣 𝑡 = 4𝑡2+ 8𝑡 + 5;
𝑎 𝑡 = 2 𝑚/𝑠2.
5) La ecuación del movimiento de un móvil, expresadas las magnitudes en el SI, es: 𝑟 = 2𝑡2− 7 𝑖 + 3
2𝑡2+ 14 𝑗 Se pide:
a) Ecuación de la trayectoria. b) Posición inicial del móvil.
e) Componentes intrínsecas de la aceleración para t = 1 s. f) Radio de curvatura de la trayectoria para t = 1 s.
Sol: a) 𝑦 =34𝑥 +774; b) 𝑟 0 = −7𝑖 + 14𝑗 ; c) 𝑣 𝑚 3 = 6𝑖 +92𝑗 ; d) 𝑣 𝑡 = 4𝑡𝑖 + 3𝑡𝑗 ; 𝑎 𝑡 = 4𝑖 + 3𝑗 ; e) 𝑎𝑡 1 = 5 𝑚/𝑠; 𝑎𝑛 = 0; f) 𝑅 = ∞ → trayectoria rectilínea.
6) La posición de una partícula en el plano viene dada por la ecuación: 𝑟 𝑡 = 𝑡2− 6 𝑖 + 3𝑡2𝑗 (𝑆. 𝐼. )
Se pide:
a) Ecuación de la trayectoria. b) Posición inicial de la partícula. c) Velocidad media entre t = 2 y t = 3 s.
d) Velocidad instantánea para t = 2 s y su módulo. e) Aceleración en cualquier instante.
f) Componentes intrínsecas de la aceleración para cualquier instante. g) Radio de curvatura de la trayectoria para t = 2 s.
Sol: a) 𝑦 = 3𝑥 + 18; b) 𝑟 0 = −6𝑖 ; c) 𝑣 𝑚 2 → 3 = 5𝑖 + 15𝑗 ; d) 𝑣 2 = 4𝑖 + 12𝑗 ; 𝑣(2) ≈ 12,65; e) 𝑎 𝑡 = 2𝑖 + 6𝑗 ; f) 𝑎𝑡 = 40 ≈ 6,32 𝑚/𝑠2; 𝑎𝑛= 0; g) 𝑅 = ∞ → trayectoria rectilínea.
7) El movimiento de un móvil queda descrito por la siguiente ecuación del movimiento: 𝑟 𝑡 = 1 + 𝑡 𝑖 + 2 − 𝑡2 𝑗 (𝑆. 𝐼. )
a) ¿De qué tipo de movimiento se trata?
b) Calcular los módulos de la velocidad y de la aceleración en función del tiempo. c) ¿Existirá aceleración tangencial?
Sol: a) Movimiento parabólico, 𝑦 = −𝑥2+ 2𝑥 + 1; b) 𝑣 𝑡 = 1 + 4𝑡2; 𝑎 2 = 2 𝑚/𝑠2; c) Sí, 𝑎𝑡 = 1+4𝑡4𝑡 2.
Dos móviles
8) Un hombre anda por la playa a 3,6 km/h. Entonces, pasa junto a él una bella mujer, que corre a la velocidad constante de 10,8 km/h. El hombre, torpe de reflejos, tarda 1 s en reaccionar, y comienza a acelerar a razón de 1 m·s-2 para alcanzarla. Se pide:
a) Tiempo que tarda el hombre en alcanzar a la mujer. b) Distancia que recorre.
c) Velocidad de cada uno en ese instante.
Sol: a) 5,83 s desde que se cruzan; b) 17,49 desde que se cruzan; c) 𝑣ℎ = 5,83 𝑚/𝑠; 𝑣𝑚 = 3 𝑚/𝑠.
9) Un hombre ve el autobús que debe tomar en la parada y corre hacia él a la velocidad constante de 6 m/s. Cuando se encuentra a 10 m del autobús, éste arranca con una aceleración de 0,5 m·s-2. Calcular la posición en que se encuentran y el tiempo que tarda el hombre en ello.
Sol: Desde que el autobús arranca, el hombre lo alcanza en 1,80 s. El hombre recorre 10,8 m medidos desde donde él estaba en el momento que empieza a acelerar el autobús.
10) Un coche arranca cuando un semáforo se pone en verde con una aceleración constante de 0,3 m·s-2. En ese momento es adelantado por una moto que se desplaza a la velocidad constante de 36 km·h-1. ¿Qué tiempo tardará el coche en alcanzar a la moto? ¿Qué velocidad tendrá en ese momento?
Sol: Lo alcanza en 66,67 s, llevando una velocidad de 20 m/s.
11) Un conejo corre hacia su madriguera a la velocidad de 72 km/h. Cuando se encuentra a 200 m de ella, un perro, situado 40 m más atrás, sale en su persecución, recorriendo 90 m con la aceleración de 5 m/s2 y continuando luego con velocidad constante. ¿Salvará su piel el conejo?
12) Un coche de policía pretende alcanzar a otro coche que marcha con una velocidad de 72 km/h. El coche de policía arranca desde el reposo a razón de 2 m/s2. ¿Cuándo y dónde alcanzará al otro coche, si se pone en marcha dos segundos después de que pase junto a él?
Sol: Lo alcanza a los 23,83 s desde que se cruzan, y lo harán en la posición 476,6 m desde que arranca el coche de policía.
13) Un guepardo corre a 50 km/h; para intentar cazar a su presa, que está a 100 m, comienza a acelerar a razón de 3 m/s2. La presa comienza entonces a acelerar a 2 m/s2. ¿Qué distancia recorre el guepardo hasta que la alcanza? ¿Qué velocidad tendrá cada uno en ese momento?
Sol: El guepardo recorre 123,43 m hasta alcanzarla, y las velocidades serán: 𝑣𝐺≈ 136,6 𝑘𝑚/ℎ y 𝑣𝑃 ≈ 57,7 𝑘𝑚/ℎ.
14) Un galgo, que corre a la velocidad constante de 60 km/h, ve una liebre a 2 km delante de él que se aleja a la velocidad constante de 80 km/h. El galgo acelera entonces a 2 m/s2. ¿Conseguirá atrapar a la liebre en un tramo recto de 5 km?
Sol: Sí, la alcanza a los 3,057 km.
Caída vertical
15) Desde una azotea de 20 m de altura se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad de 25 m/s. Un segundo más tarde, desde el suelo, se lanza otra piedra, también verticalmente hacia arriba, con una velocidad de 30 m·s-1. Calcular el tiempo que tardan en encontrarse, a qué altura se produce el encuentro y la velocidad de cada piedra en ese instante. g = 10 m· s-2.
Sol: (En la resolución del ejercicio he tomado la gravedad 9,8 m/s2). Las piedras se encuentran a los 3,71 desde que se lanzó la primera piedra. Se encuentran a 45,31 m de altura. Las velocidades son: 𝑣1≈ −11,36 𝑚/𝑠 (va bajando)
y 𝑣2≈ 3,44 𝑚/𝑠 (va subiendo).
16) Dejamos caer una piedra desde la baranda de un puente de 50 m de altura. Un segundo más tarde lanzamos una segunda piedra hacia abajo a 20 m/s. Determinar si la segunda piedra alcanzará a la primera antes de llegar al suelo. g = 10 m·s-2.
Sol: Sí la alcanza. A una altura de 38,75 m.
17) Desde lo alto de una torre de altura h se deja caer un objeto. ¿A qué distancia del suelo tendrá una velocidad igual a la mitad de la que tiene cuando llega al suelo? g = 10 m· s-2.
Sol: 34ℎ.
18) Se lanza desde el suelo hacia arriba un objeto al mismo tiempo que se deja caer otro desde una altura de 45 m. ¿Con qué velocidad se debe lanzar el primero para que los dos lleguen al suelo al mismo tiempo? g = 10 m· s-2.
Sol: Se debe lanzar a 9 𝑚/𝑠. 19) Desde un punto situado a 10 m de altura se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad de 50 m/s. Dos segundos más tarde se lanza un balón desde el suelo con una velocidad de 150 m/s. Cal cular:
a) Tiempo que tardan en cruzarse. b) Altura sobre el suelo a la que se encuentran. c) Velocidad de cada objeto en ese instante. g = 10 m· s-2.
Sol: a) 2,75 s desde que se lanza la piedra; b) 109,69 m de altura; c) vp=22,5 m/s y vb=142,5 m/s (los dos cuerpos suben). 20) Desde un precipicio se lanza verticalmente hacia abajo una piedra con una velocidad de 5 m/s. El sonido de la piedra al chocar con el suelo se oye a los 6,5 s del lanzamiento. ¿Cuál es la altura desde la que se lanzó? La velocidad de propagación del sonido en el aire es 340 m/s. g = 10 m· s-2.
acera moviéndose en línea recta a 12 km/h justo hacia el punto de impacto de la maceta, e inicialmente a 4,5 m de él. ¿Le caerá la maceta en lo alto de la cabeza? En caso negativo, ¿dónde estará el atleta en el momento del impacto de la maceta con la acera? En caso afirmativo, determinar la velocidad del impacto. g = 10 m· s-2.
Sol: No le cae la maceta en la cabeza. Cuando la maceta llega a la altura de la cabeza, ésta está a 1,43 m de distancia. Cuando la maceta impacta contra el suelo, la persona está a 0,5 m de distancia.
22) Una piedra de 1 kg se deja caer desde un acantilado de 10 m de altura. Medio segundo más tarde se lanza hacia arriba, desde la base del acantilado, una pelota con una velocidad de 15 m·s-1. Se pide: a) Tiempo que tardan en encontrarse. b) Velocidad de cada objeto (módulo, dirección y sentido) en ese instante. g = 10 m· s-2.
a) 0,9385 s desde que se landa la piedra, b) vpiedra = -9,38 m/s (bajando); vpelota = 10,63 m/s (subiendo).
23) Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. Un segundo después se dispara, también desde el suelo, un segundo proyectil con la misma velocidad en la misma dirección y sentido. Determinar: a) Altura a la que se encuentran ambos proyectiles. b) Tiempo que tardan en encontrarse. c) Velocidad de cada uno en dicho momento. g = 10 m· s-2.
Sol: a) 18,75 m; b) 2,5 desde que se lanza el primer cuerpo; c) v1 = -5 m/s (baja); v2 = 5 m/s (sube).
24) Justo cuando un globo aerostático estaba situado a 19 m del suelo moviéndose constantemente hacia arriba con una velocidad de 1,8 m/s se suelta un saco de lastre. Cuando el saco llega al suelo, ¿a qué altura estará el globo? g = 10 m· s-2.
Sol: 22,85 m.
MCU
25) Un CD gira a razón de 300 rpm mientras reproduce una canción de 4,5 minutos. Si su diámetro es de 12 cm, calcular:
a) Velocidad lineal de un punto de su periferia y de otro que dista 2 cm del centro. b) Desplazamiento angular efectuado por cada uno de esos puntos durante la canción. c) Desplazamiento lineal de ambos puntos en ese mismo intervalo de tiempo.
d) Período y frecuencia del movimiento.
e) Nº de vueltas que describe el tocadiscos durante una canción de 4,5 min.
f) Aceleraciones normal y tangencial de los puntos de su periferia en ese mismo intervalo de tiempo.
Sol: a) v1≈1,88 m/s, v2≈0,63 m/s; b) 8.482,30 rad; c) s1≈508,94 m; s2≈169,65 m; d) T=0,2 s; ν=5 Hz; e) 1350 vueltas; f) at1=0; at2=0; an1=58,91 m/s; an2=19,85 m/s.
26) Las ruedas mayores de un tractor tienen un radio de 1 m, y las pequeñas, de 50 cm. Si éstas giran a 250 rpm, determinar la velocidad angular de las ruedas mayores y la velocidad a la que se mueve el tractor.
Sol: v=13,09 m/s; ω=13,09 rad/s.
27) La distancia entre la Tierra y la Luna es de 384000 km. La Luna tarda 28 días en dar la vuelta a la Tierra. Hallar: a) Velocidad angular de la Luna.
b) Aceleración a la que está sometida. c) Frecuencia de su movimiento.
d) Ángulo que girará, expresado en vueltas, en 10 días.
Sol: a) ω≈2,6·10-6 rad/s; a≈2,6·10-3 m/s2; c) ν≈4,1·10-7 Hz; d) 0,357 vueltas.
28) Un ciclista recorre 10260 m en 45 min a velocidad constante. Si el diámetro de las ruedas de su bicicleta es de 80 cm, se pide:
a) Velocidad angular de las ruedas.
b) Velocidad de un punto situado en la periferia y de otro situado a 10 cm del borde.
d) Período y frecuencia del movimiento de las ruedas.
e) Ángulo que habrán girado las ruedas durante 5 min, y distancia que habrán recorrido durante ese tiempo.
Sol: a) ω=9,5 rad/s; b) v1=3,8 m/s; v2=2,85 m/s; c) a1=3,61 m/s2; a2=27,08 m/s2; d) T≈0,66 s; ν≈1,52 Hz; e) θ=2850 rad; l=1140 m.
29) En una pista circular de 100 m de diámetro, dos ciclistas se encuentran, en el momento de comenzar a contar el tiempo, en la misma posición con velocidades 15 m/s y 12,5 m/s, recorriendo la pista en sentidos contrarios. ¿En qué instante y en qué posición angular se produce el encuentro?
Sol: 11,4 s.
MCUA
30) Un volante de 1 m de diámetro gira a 900/𝜋 rpm. Sobre él actúa un freno, que lo detiene en 5 s. Se pide: a) Nº de vueltas que da el volante hasta que se detiene.
b) Aceleración angular con la que frena.
c) Aceleración tangencial en la periferia del volante.
d) Aceleración normal en la periferia del volante cuando gira a 10 rad/s. e) Velocidad de un punto situado en la periferia cuando han transcurrido 3 s.
Sol: a) 11,94 vueltas; b) α=-6 rad/s2; c) at=-3 m/s2; d) an=50 m/s2; e) v=6 m/s.
31) Un disco de 50 cm de radio que gira a 23 rpm se detiene tras describir 2,72 vueltas. Determinar sus aceleraciones angular y tangencial, el tiempo que tardará en detenerse y sus velocidades angular y lineal a los 2 s.
Sol: α≈-0,17 rad/s2; at≈-0,085 m/s2; t≈14,17 s; ω(2)≈2,07 rad/s; v(2)≈1,04 m/s.
32) Un volante de 20 cm de radio parte del reposo, y gira a razón de 300 rpm después de haber descrito 100 vueltas. Calcular el tiempo necesario para ello, su aceleración tangencial en el borde del volante y su aceleración normal a 5 cm del centro.
Sol: t=40 s; at≈0,157 m/s2; an≈49,34 m/s2 una vez se ha alcanzado la velocidad máxima.
33) Un disco de 28 cm de radio inicialmente en reposo alcanza las 190 rpm en 10 s. Determinar: a) Aceleraciones angular y lineal.
b) Número de vueltas que describe.
c) Aceleración normal de un punto de su periferia a los 5 s y a los 10 s de iniciado el movimiento.
Sol: a) α≈1,99 rad/s; at≈0,56 m/s2; b) 15,84 vueltas; c) an1≈27,72 m/s2; an2≈110,88 m/s2.
34) La velocidad angular de un volante de 50 cm de diámetro disminuye uniformemente de 900 a 800 rpm en 5 s. Calcular:
a) Aceleración angular del movimiento. b) Nº de vueltas que da en esos 5 s.
c) Tiempo que tardará en detenerse a partir de dicho instante.
Sol: a) α≈-2,09 rad/s2; b) 70,83 vueltas; c) t=45 s. 35) Un ventilador gira a 360 rpm. En un momento dado se desenchufa de la corriente y tarda 35 s en pararse. a) ¿Qué aceleración angular tiene? b) ¿Con qué velocidad gira 15 s después de apagarlo? c) ¿Cuántas vueltas da hasta que se para?
Sol: a) α≈-1,08 rad/s2; b) ω≈21,50 rad/s; c) 104,7 vueltas.
36) Un tractor inicialmente en reposo alcanza la rapidez de 50 km/h en 44 s. El diámetro de sus ruedas es de 86 y 190 cm, respectivamente. Calcular: a) Distancia recorrida por el tractor durante dicho tiempo y nº de vueltas que han dado las ruedas delanteras. b) Velocidad angular que poseen las ruedas traseras al cabo de los 44 s. Expresar el resultado en rpm.
Composición de movimientos
37) Una barca se mueve a 5 m/s con respecto al agua de un río cuya agua baja a 2 m/s. a) ¿A qué velocidad neta irá la barca si se mueve perpendicularmente a la corriente del agua? ¿Qué ángulo se desviará de su rumbo? b) Si el barquero pretende cruzar el río viajando en línea recta sin desviarse de la línea perpendicular a la orilla, haciendo que el trayecto sea el más corto posible, ¿qué rumbo afrontará la barca? ¿A qué velocidad neta irá?
Sol: a) 5,39 m/s con respecto al suelo, con una desviación de la perpendicular a la orilla de 21,8°; b) Su rumbo deberá desviarse 23,6° de la perpendicular a la orilla. La velocidad neta con respecto a la orilla será 4,6 m/s.
38) Un piragüista a bordo de su piragua quiere cruzar un río de 50 m de ancho que posee una corriente de 3 m/s. La velocidad que el piragüista imprime a la piragua es de 5 m/s perpendicular a la corriente. Se pide: a) Tipo de trayectoria que describe. b) Distancia que recorre. c) Tiempo que tardará en cruzar el río. d) Distancia que es arrastrado río abajo.
Sol: a) Colocando el SR con el eje x coincidiendo con la orilla, con el sentido positivo hacia dónde va la corriente del agua, y con el eje y perpendicular a la orilla, apuntando hacia la otra orilla, y por último, poniendo el origen en el punto de salida del barco: 𝑦 =53𝑥 (MRU); b) 58,3 m; c) 10 s; d) 30 m.
39) En un río de 100 m de anchura hay dos embarcaderos situados uno enfrente al otro. Desde uno de ellos parte una barca, en dirección al otro embarcadero, a 2 m/s. La velocidad de la corriente es de 1 m/s. Determinar a qué distancia del segundo embarcadero tocará tierra y qué tiempo tardará en cruzar el río. ¿En qué dirección debería remar para que la barca avanzara realmente en dirección perpendicular a la orilla?
Sol: 50 m; 50 s; con un ángulo hacia la corriente de 30°.
40) Un barquero quiere cruzar un río de 120 m de anchura; para ello va a remar perpendicularmente a la corriente. Si la velocidad que imprime a la barca es de 2 m/s respecto a la corriente y el agua del río desciende a 1 m/s, se pide: a) Velocidad con que se mueve la barca con respecto a la orilla del río. b) Tiempo que tardará en cruzar el río. c) Punto de la orilla opuesta en que desembarcará.
Sol: a) Colocando el SR con el eje x coincidiendo con la orilla, con el sentido positivo hacia dónde va la corriente del agua, y con el eje y perpendicular a la orilla, apuntando hacia la otra orilla, y por último, poniendo el origen en el punto de salida del barco: 𝑣 = 𝑖 + 2𝑗 ; b) 60 s; c) 60m.
41) Un barco efectúa el servicio de pasajeros entre dos ciudades A y B, situadas en la misma ribera de un río y separadas por una distancia de 75 km. Se supone que la velocidad propia del barco y la de la corriente del río son constantes. Si en ir de A a B tarda 3 horas y en volver de B a A invierte 5 horas, deducir la velocidad del barco y la de la corriente.
Sol: vb = 20 km/h; vr = 5 km/h.
42) Un avión que vuela con rumbo norte a 600 km/h se ve sometido a un viento de dirección este que sopla a 20 km/h. a) ¿Qué ángulo se desviará de su rumbo? b) Al cabo de 1,5 h de viaje, ¿cuál será el desplazamiento respecto a la trayectoria inicial?
Sol: a) 1,9°; b) 30 km.
43) Se deja caer una pelota desde una ventana a 30 m de altura. Una ráfaga de viento fuerte sopla horizontalmente con una velocidad de 5 m/s. a) Describir la trayectoria que seguirá la pelota. b) Escribir las ecuaciones de su posición y de su velocidad, así como la ecuación de su trayectoria. c) Calcular el tiempo que tardará en llegar al suelo. d) Determinar la desviación experimentada al llegar al suelo respecto de la línea vertical inicial. g = 10 m· s-2.
Sol: a) Será un movimiento de caída libre del tipo tiro horizontal; b) Colocando el SR con su origen en el suelo, con su eje y hacia arriba y el eje x apuntando en la dirección del viento: 𝑟 𝑡 = 5𝑡 𝑖 + (30 − 5𝑡2); 𝑣 𝑡 = 5𝑖 − 10𝑡𝑗 ;
𝑦 = 30 −1
5𝑥
44) Un paracaidista con su paracaídas desciende verticalmente a una velocidad constante de 20 m/s. Cuando está a una altura de 600 m comienza a soplar el viento horizontalmente a 3 m/s. Determinar: a) Vector velocidad total del paracaidista. b) Tiempo que tarda en llegar al suelo. c) Desviación horizontal experimentada a causa del viento. g = 10 m· s-2.
Sol: a) Colocando el SR con su origen en el suelo, con su eje y hacia arriba y el eje x apuntando en la dirección del viento: 𝑣 𝑡 = 3𝑖 − 20𝑡𝑗 ; b) 30 s; c) 90 m.
Tiro parabólico
45) Una catapulta lanza una piedra que alcanza una altura máxima de 40 m y un alcance de 190 m. ¿Con qué velocidad inicial fue lanzada? ¿Qué ángulo forma dicha velocidad con la horizontal g = 10 m· s-2.
Sol: v ≈ 43,9 m/s ; θ ≈ 40,1°.
46) Una pelota rueda sobre una mesa horizontal de 1,5 m de altura, cayendo por el borde de la misma. Si choca con el suelo a una distancia de 1,8 m, medidos horizontalmente desde el borde de la mesa: a) ¿Cuál es la velocidad con que cayó de la mesa? b) ¿Cuál es la ecuación del movimiento de la pelota? ¿Y la ecuación de la trayectoria? c) ¿Con qué velocidad (módulo, dirección y sentido) llega la pelota al suelo? g = 10 m· s-2.
Sol: a) 3,29 m/s; b) Poniendo el SR en el suelo al filo de la mesa: 𝑟 𝑡 = 3,29 𝑡 𝑖 + 1,5 − 5 𝑡2 𝑗 ; 𝑦 = −0,46 𝑥2+
1,5; c) v ≈ 6,4 m/s; ángulo medido desde la horizontal hacia abajo: θ ≈ 59,1°.
47) Un jugador lanza desde el suelo una pelota con una velocidad de 14,5 m/s que forma un ángulo de 37° con la horizontal. Un segundo jugador, que se encuentra a 30,5 m de distancia del primero en la dirección del lanzamiento, inicia simultáneamente al lanzamiento su carrera para atrapar la pelota justo cuando ésta vaya a llegar al suelo. Determinar con qué aceleración deberá comenzar a moverse, y qué velocidad tiene en el momento de capturar la pelota. g = 10 m· s-2.
Sol: a ≈ 6,68 m/s2 hacia el jugador que lanza; v ≈ 11,69 m/s.
48) Un futbolista realiza un lanzamiento de balón con un ángulo de 30° con el suelo y con una velocidad de 20 m/s. Calcular: a) Vector de posición del balón a los 2 s del lanzamiento. b) Vector velocidad del balón a los 2 s del lanzamiento. En ese instante, ¿el balón está subiendo o bajando? c) Un segundo jugador corre con velocidad constante hacia el balón en el momento del lanzamiento. Si se encuentra a 30 m y lo alcanza justo cuando éste va a tocar el suelo, ¿a qué velocidad corría? g = 10 m· s-2.
Sol: a) 𝑟 2 = 34,64 𝑖 ; b) 𝑣 2 = 17,32 𝑖 − 10 𝑗 ; c) 2,32 m/s.
49) Un avión de aprovisionamiento vuela horizontalmente a 5000 m de altura a 720 km/h. Se desea dejar caer un paquete sobre una isla. Se pide: a) Vector de posición del paquete y ecuación de su trayectoria. b) Distancia a la que debe soltar el paquete para que caiga en la isla. c) Velocidad del paquete (módulo, dirección y sentido) cuando llega al suelo. g = 10 m· s-2.
Sol: a) Ponemos el SR en el suelo, haciendo que en el momento en el que el avión suelta el paquete x = 0.
𝑟 𝑡 = 200 𝑡 𝑖 + 5000 − 5 𝑡2 𝑗 ; 𝑦 = −𝑥2
40; b) 6324 m; c) v ≈ 374,14 m/s con un ángulo de 57,7° bajo la horizontal.
50) Desde la cima de un acantilado se lanza horizontalmente un proyectil y se observa que tarda 3 s en tocar el agua en un punto que dista 60 m de la base del acantilado. Calcular: a) Altura del acantilado. b) Velocidad con que se lanzó el proyectil. c) Ecuación de la trayectoria. d) Velocidad con que llega al agua. g = 10 m· s-2.
Sol: a) 45 m; b) 20 m/s; c) 𝑦 = −𝑥802− 90; d) 𝑣 3 = 20𝑖 − 30𝑗 .
51) Se lanza desde el suelo una pelota bajo un ángulo de 30° con la horizontal y cae en la terraza de un edificio situado a 30 m de distancia. Si la terraza está a 10 m de altura, calcular la velocidad con que se lanzó. g = 10 m· s-2.
52) Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 500 m/s batiendo un objetivo situado a 1200 m en la misma horizontal del punto de lanzamiento. Calcular el ángulo de elevación. g = 10 m· s-2.
Sol: θ ≈ 1,38°.
53) En un instante determinado dos aviones están situados en la misma vertical, uno de ellos al cuádruple de altura que el otro. Los dos pretenden bombardear el mismo objetivo. ¿Cuál ha de ser la velocidad del más alto, si la del más bajo es de 400 m/s? g = 10 m· s-2.
Sol: 200 m/s.
54) Un jugador de fútbol se dispone a lanzar una falta a balón parado. La barrera formada por jugadores del equipo contrario tiene una altura de 1,80 m y está situada a 9 m del punto de lanzamiento del balón. El jugador es capaz de hacer el lanzamiento con una rapidez de 25 m·s-1. Determinar qué ángulo mínimo ha de tener el lanzamiento para poder superar la barrera. g = 10 m· s-2.
Sol: θ ≈ 15,51°.
55) Un operario que está arreglando un tejado inclinado 19° por debajo de la horizontal resbala y cae por él. El borde del tejado está situado a 7,7 m sobre el suelo y el impacto se produce en la acera a 1,8 m de la pared de la casa. ¿Con qué velocidad inició el operario su caída? Escribir la ecuación de la posición (o del movimiento) del operario en su caída. g = 10 m· s-2.
Sol: v ≈ 1,19 m/s; poniendo el SR en el suelo y pegado a la pared de la casa: 𝑟 𝑡 ≈ 1,13𝑡 𝑖 + 7,7 − 0,39 𝑡 − 5 𝑡2 𝑗 .
56) En un tiro al plato, el dispositivo que los lanza verticalmente con una rapidez de 12 m/s está situado a 50 m del disparador. Las balas salen de la escopeta con una velocidad de 34 m·s-1. Admitiendo que el disparo y el lanzamiento suceden a la vez:
a) Determinar bajo qué ángulo hay que disparar para conseguir el impacto con el plato. b) ¿A qué altura sobre el suelo se produce ese impacto?
c) En el caso en que la persona se retrasa en el disparo y no hace impacto, ¿qué altura máxima alcanzaría la bala y adónde llegaría? g = 10 m· s-2.
Sol: a) θ ≈ 20,67°; b) 6,51 m; c) altura máxima: 7,2 m; alcance máximo: 76,35 m.
57) El récord mundial de salto de longitud fue conseguido por el norteamericano Mike Powell en los mundiales de atletismo de Tokio en 1991, saltando 8,95 m. Admitiendo que el ángulo del salto fue el del máximo alcance (45°): a) ¿Cuál fue la velocidad inicial en el momento del salto?
b) ¿Qué altura máxima alcanzó?
c) ¿Cuál fue la ecuación de la trayectoria de tan mítico salto g = 10 m· s-2.
Sol: a) v ≈ 9,46 m/s; b) 2,24 m; c) 𝑦 = 𝑥 − 0,1117 𝑥2.
58) Un cazador, cuya escopeta es capaz de lanzar perdigones a 110 m/s, está sentado en su puesto de caza en el campo. A 80 m de donde se encuentra, una perdiz levanta el vuelo verticalmente con una rapidez de 12 m/s. Justo en ese mismo momento, el avispado cazador lanza con su escopeta. ¿Bajo qué ángulo con la horizontal ha de hacer el disparo para abatir a la perdiz? ¿Qué velocidad llevaba la perdiz en el momento del impacto? Considerar despreciable la estatura del cazador, y admitir que tras el impulso inicial la perdiz se mue ve sin más acción que la de la gravedad. g = 10 m· s-2.
Sol: 6.26°; 4,68 m/s.
presa cae la roca? ¿Con qué velocidad? g = 10 m· s-2.
Sol: 50 m/s; cae a 50 m del pie de la presa; 𝑣 3 = 50 𝑖 − 30 𝑗 𝑚/𝑠.
60) Desde la misma base de una montaña, cuya larga ladera posee una inclinación de 15°, se disparan balas de un cañón con una rapidez de 170 m/s y una inclinación de 20° respecto de la ladera. Determinar en qué punto caen las balas así lanzadas y con qué velocidad llegan al suelo de la montaña. Considerar g = 10 m· s-2.
Sol: Si ponemos el SR en el punto de lanzamiento, las balas caen en el punto (3225,2 , -864,2) m, con una velocidad de (58,1 , -143,8) m/s.
61) Un motorista intenta saltar un río (ver figura a la derecha). Sabiendo que el día de su intento no hacía aire: a) ¿Qué velocidad mínima necesita el motorista en su punto de salida para alcanzar sin peligro la ribera opuesta? b) Si en un segundo intento sólo consigue la mitad del valor anterior de la velocidad, ¿dónde se pega el batacazo? g = 10 m· s-2.
Sol: a) 20,40 m/s; b) cae al fondo a una distancia de 32,75 m.
62) Conforme un barco se acerca al muelle a 45 cm/s es necesario lanzarle una pieza importante para que pueda atracar. Dicha pieza se lanza a 15 m·s-1 con un ángulo de 60° por encima de la horizontal desde lo alto de una torre, 8,75 m por encima de la cubierta del barco (ver figura a la izquierda). Para que la pieza caiga justo enfrente del barco, ¿a qué distancia D del muelle deberá estar el barco cuando se lance el equipo, ignorando la resistencia del aire? g = 10 m· s-2.
Sol: D = 25,07 m.
63) Utilizamos una manguera para llenar un recipiente cilíndrico de diámetro D y altura 2D, tal y como se indica en la figura de la derecha. ¿Para qué intervalo de velocidades el agua entrará en el recipiente? Expresarlas en función de D. g = 10 m· s-2.
Sol: 𝑣𝑂 𝑚í𝑛 = 90𝐷 𝑚/𝑠; 𝑣𝑂 𝑚á𝑥 = 98𝐷 𝑚/𝑠.
64) ¿De qué forma se puede alcanzar un mismo blanco con dos ángulos de tiro diferentes?
Sol: Si al lanzar con un ángulo θ se alcanza un blanco, al lanzarlo con 90- θ, también lo hará. Es decir, los ángulos son complementarios.
MAS
65) Una partícula realiza un movimiento armónico simple sobre el eje X de amplitud 5 cm y frecuencia 2 Hz. En el instante inicial pasa por la posición de equilibrio hacia valores de X negativos. Escriba la ecuación del movimiento y razone cuándo es máxima velocidad y la máxima aceleración.
Sol: 𝑥 𝑡 = 5 · cos 4𝜋𝑡 + 𝜋 𝑐𝑚; 𝑣 𝑡 = −20𝜋 · sin( 4𝜋𝑡 + 𝜋) 𝑐𝑚/𝑠, es máxima cuando sin( 4𝜋𝑡 + 𝜋) = ±1;
𝑎 𝑡 = −80𝜋2· cos 4𝜋𝑡 + 𝜋 𝑐𝑚/𝑠2, es máxima cuando cos 4𝜋𝑡 + 𝜋 = ±1.
66) Una partícula realiza un movimiento armónico simple sobre el eje Y de 4 Hz. En el instante inicial tiene su elongación máxima de 3 cm en la parte positiva del eje Y. Determina la ecuación de la posición, velocidad y aceleración de este MAS en función del tiempo.
Sol: 𝑦 𝑡 = 3 · cos 8𝜋𝑡 𝑐𝑚; 𝑣 𝑡 = −24𝜋 · sin( 8𝜋𝑡) 𝑐𝑚/𝑠; 𝑎 𝑡 = −192𝜋2· cos 8𝜋𝑡 𝑐𝑚/𝑠2
67) Un cuerpo oscila con un MAS de 6,5 cm de amplitud y 0,35 s de periodo. En el instante inicial se encuentra con una elongación negativa a una distancia de 2 cm y moviéndose hacia el centro de equilibrio. Determina qué posición en función del tiempo.
68) Un cuerpo realiza un movimiento vibratorio armónico simple. a) Escriba la ecuación de movimiento si la aceleración máxima es 5π2cm·s-2, el periodo de las oscilaciones 2 s y la elongación del cuerpo al iniciarse el movimiento es la máxima e igual a 2,5 cm. b) Represente gráficamente la elongación y la velocidad en función del tiempo y comente la gráfica.
Sol: 𝑥 𝑡 = 2,5 · cos 𝜋𝑡 𝑐𝑚; 𝑣 𝑡 = −2,5𝜋 · sin(𝜋𝑡) 𝑐𝑚/𝑠; 𝑎 𝑡 = −2,5𝜋2· cos(𝜋𝑡) 𝑐𝑚/𝑠2
69) La velocidad máxima de un cuerpo con MAS es de 20 m/s. Si en el instante inicial se encuentra con una elongación 8 cm y velocidad igual a cero. Escribe la ecuación de la posición del MAS e indica la velocidad en el instante 2 s.
Sol: 𝑥 𝑡 = 8 · cos 250𝑡 𝑐𝑚; 𝑣 2 ≈ 935,54 𝑚/𝑠 .
70) Un cuerpo describe un MAS de velocidad máxima 12 m/s y aceleración máxima 30 m/s2. Si inicialmente se encuentra a un cuarto de su elongación máxima en la parte positiva alejándose del punto de equilibrio, ¿dónde estará al cabo de 10 s?
Sol: 575 cm.
71) Un cuerpo con MAS tiene una amplitud de 12 cm. En el instante 3 s tiene una posición de -8,5 cm acercándose al punto de equilibrio, mientras que en el instante 5 s está en el punto 11,6 cm. ¿Dónde estaba en el instante 1,5 s?
Sol: 11,0 cm. 72) Un cuerpo oscila con MAS de 5 cm de amplitud. Inicialmente está en la posición 4 cm moviéndose con sentido positivo. En el instante 0,5 s pasa por segunda vez por la posición -2 cm. Esta vez su sentido es hacia el sentido positivo. Determina la ecuación de este movimiento.
Sol: 𝑥 𝑡 ≈ 5 · cos 9,8888 · 𝑡 − 0,6435 𝑐𝑚 o también 𝑥 𝑡 ≈ 5 · cos −9,8888 · 𝑡 + 0,6435
73) Un cuerpo con MAS se mueve con una amplitud de 1 cm. En el instante 1 s está en la posición 0,87 cm moviéndose en el sentido positivo. Después de ese instante, la primera vez que pasa por la posición de equilibrio, lo hace con el sentido negativo, y ocurre en el instante 1,2 s. Encuentra la ecuación del movimiento.
