10 teo derivabilidad I FM am

Repartido teórico de Matemática I 3º Físico Matemática Derivabilidad

Observa los siguientes bosquejos.

i) Indica para que casos la recta es tangente a la curva.

Obs.:Para que la recta r sea tangente a la curva C en un punto P de la misma, es necesario que r pase por el punto P C, pero no suficiente.

Consideremos en el gráfico de una función f , dos puntos P (fijo) y Q (variable) de coordenadas ( , ( ))a f a y( , ( ))x f x respectivamente.

a. El punto

Q

se “mueve” sobre el gráfico de

f

hacia el punto

P

.

tiende tiende sobre la curva

entonces

xa QP

b. La recta PQ varía pasando siempre por el punto fijo P tendiendo angularmente a una recta límite

t

, que sería la tangente al gráfico de f en P.

PQ



tiende



t

c. El ángulo determinado por la recta PQcon el eje Ox tendrá por límite el ángulo que forma la recta tangente al gráfico en P con el eje Ox. coef. angular recta PQtiendet(tg. en P).

ii) Determina mPQ (coeficiente angular de la recta PQ).

iii) Calcula el límite de mPQ cuando

x

tiende a

a

.

Obs.: En lo que sigue supondremos que el punto

a

es interior al dominio de la función

f

.

Definición: f : A



R, AR,

a

interior a A

Una función

f

se dice derivable en

x



a

si solo si existe y es finito lim ( ) ( )

x a

f x f a x a





 .

Notación: Al límite anterior lo llamaremos derivada de f en

x



a

y lo notaremos f a'( ).

Es decir

( )

( )

'( )

lim

x a

f x

f a

f a

x a









. Ejercicios:

1) Para f / ( )f x  x 3, calcular: a)

2

( ) (2)

lim

2

x

f x f x





 b) f '(2)

2) a) Calcular f '(0)siendo f / ( )f x x2

Repartido teórico de Matemática I 3º Físico Matemática Derivabilidad

RECTA TANGENTE AL GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN

Definición: Sea

f

derivable en

x



a

, llamaremos recta tangente al gráfico de

f

en el punto

P a f a

( , ( ))

, a la recta que pasa por P y tiene por coeficiente angular a la derivada de la función f en

x



a

.

Ecuación de la recta tangente: y f a( ) f a x a'( )(  )

3) Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f / ( )f x x2en el punto de abscisa 3.

4) Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f / ( )f x 1 x

 en x1.

5) Sea

f

/ ( )

f x



x

, investigar si f es derivable en x0

6) Sea

/ ( )

2

₃

2;

1

2;

1

x

si x

f

f x

x

si x







 







, investigar si f es derivable en x1.

 La función

f

es derivable en

a

por la derecha, si existe y es finito lim ( ) ( )

x a

f x f a x a





 

Notación: lim ( ) ( )

x a

f x f a x a







 = f a'( )



 La función f es derivable en

a

por la izquierda, si existe y es finito

lim

( )

( )

x a

f x

f a

x a









Notación: lim ( ) ( )

x a

f x f a x a







 = f a'( )



Definición: Si f es continua en

x



a

y no derivable

x



a

, diremos que f presenta un punto singular en

x



a

Caso 1:

( ) ( )

lim

x a

f x f a m x a





 _

 y

( ) ( )

lim '

x a

f x f a m x a





 _

 con mm'

Caso 2:

( )

( )

lim

x a

f x

f a

x a







_{ }



y

( )

( )

lim

x a

f x

f a

x a







_{ }



o

( )

( )

lim

x a

f x

f a

x a







_{ }



y

( )

( )

lim

x a

f x

f a

x a





Repartido teórico de Matemática I 3º Físico Matemática Derivabilidad

Caso 3:

( )

( )

lim

x a

f x

f a

x a







 



y

( )

( )

lim

x a

f x

f a

x a







 



o

( )

( )

lim

x a

f x

f a

x a







 



y

( )

( )

lim

x a

f x

f a

x a







 



Relación entre continuidad y derivabilidad.

Teorema: f es derivable en

x



a

 f es contínua en

x



a

Observación : El recíproco del teorema anterior no se cumple. Dar ejemplos.

FUNCIÓN DERIVADA

Dada la función f , llamaremos función derivada de f (la notaremos ( f ’)) a la función que, a cada

x

(donde f es derivable), le hace corresponder

f x

'( )

.

(El dominio de la función f ´esta incluido o coincide con el dominio de f )

Sea AR, f : A R

B=



x x

,



A f

/ es derivable en

x



Definición: f : B R

x



0

(

)

( )

lim

h

f x

h

f x

h



 

si existe y es finito.

Aplicación:Cálculo de la función derivada de f / ( )f x x2

'( )

f x =

0

( ) ( )

lim

h

f x h f x h



 



2 2

0

(

)

lim

h

x

h

x

h







=

2 2 2

0

2

lim

h

x

hx

h

x

h









=

2 0

2

lim

h

xh h

h





=

0

lim 2 2

h x h x

'( )

2 ,

f x

x

x

R





 

Ejercicio:

7) Calcular las funciones derivadas de las siguientes funciones:

Repartido teórico de Matemática I 3º Físico Matemática Derivabilidad

Operaciones con funciones derivables:

Teorema 1:

f

y

g

son funciones derivables en

x



a

i)

f



g

es derivable en

x



a

ii) (f g) '( )a  f a'( )g a'( )

Teorema 2: f y g son funciones derivables en

x



a

i) f g. es derivable en

x



a

ii)

( . ) '( )

f g

a



f a g a

'( ). ( )



f a g a

( ). '( )

Teorema 3: f y g son funciones derivables en

x



a

con g a( ) 0 i)

f

g

es derivable en

x



a

ii)





2

'( ). ( )

( ). '( )

'( )

( )

f

f a g a

f a g a

a

g

g a

 

_



 

 

Teorema 4:

Regla de la cadena (derivabilidad de la función compuesta)

derivable en

derivable en

( )

g

x

a

f

x

g a











_

) ( ) derivable en

) ( ) '( ) '( ( )). '( )

i fog x a

ii fog a f g a g a





Demostración 1:

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) '( ) lim lim

x a def suma func x a

f g x f g a f x g x f a g a f g a

x a x a

 

     

  

 

'( ) '( )

lg lim

( ) ( ) ( ) ( )

lim '( ) '( )

f a g a

por ser f deriv en x a por ser g deriv en x a

x a Á ebra

de

f x f a g x g a

f a g a

x a x a

 



 

 

   

 

Demostración 2:

( . )( ) ( . )( )

( ). ( )

( ). ( )

( ). ( )

( ). ( )

( . ) '( )

lim

lim

x a def mult func x a

f g x

f g a

f x g x

f a g x

f a g x

f a g a

f g

a

x a

x a

 

















'( )

'( ) '( )

lg lim

( ) ( ) ( ) ( )

lim . ( ) ( ). '

g a pues

f a _{g cont en x a g deriv en x a} g a por ser f deriv en x a por ser g deriv en x a

x a Á ebra

de

f x f a g x g a

g x f a f

x a x a

  

 

 _

 

 

  

  ( ). ( )a g a  f a g a( ). '( )

Demostración 3:

( )

( )

( ). ( )

( ). ( )

( )

( )

( )

( )

( ). ( )

'( )

lim

lim

lim

x a def div func x a x a

f

f

f x

f a

f x g a

f a g x

x

a

g

g

f

g x

g a

g x g a

a

g



x a



x a



x a

 

_

 

_



 

 

 

_{ }

_{ }







 

_

_

_

Repartido teórico de Matemática I 3º Físico Matemática Derivabilidad









( ). ( )

( ). ( )

( ). ( )

( ). ( )

( ). ( )

( ). ( )

(

)

(

)

lim

lim

( ). ( )

( ). ( )

x a x a

f x g a

f a g x

f x g a

f a g a

f a g a

f a g a

x

a

x

a

g x g a

g x g a

 





























( )

( )

( )

( )

. ( )

( ).

(

)

(

)

lim

( ). ( )

x a

f x

f a

g x

g a

g a

f a

x a

x a

g x g a



















2

'( ). ( )

( ). '( )

( )

justificar teos aplicados

f a g a

f a g a

g a





Demostración 4:



( )





( )



(

)( ) (

)( )

( )

( )

(

) '( )

lim

lim

.

'( ( )). '( )

( )

( )

x a def comp func x a

f g x

f g a

fog x

fog a

g x

g a

fog

a

f g a

g a

x a

g x

g a

x a

  















_



 









 





( ) ( )

( ),

( )

( )

( )

( )

lim

lim

'( ( ))

( )

( )

( )

( ) ( )

lim

'( )

x a y g a f deriv y f a

x a

y

g x si x

a

y

g a pues g deriv en x

a

continua en x

a

f g x

f g a

f y

f g a

f g a

g x

g a

y

g a

g x

g a

g deriv en x

a

g a

x a

  





 

  















_

_



_

_





_

 





_



Aplicaciones:

( )

h x h x'( )

( ( ))

g x



( )

g x

e

( ( ))