• No se han encontrado resultados

Análisis para el diseño de divisores ópticos para aplicaciones FTTH usando el método SPPS

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2017

Share "Análisis para el diseño de divisores ópticos para aplicaciones FTTH usando el método SPPS"

Copied!
79
0
0

Texto completo

(1)

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

UNIDAD PROFESIONAL ADOLFO LÓPEZ MATEOS

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN MAESTRÍA EN CIENCIAS EN INGENIERÍA DE

TELECOMUNICACIONES

ANÁLISIS PARA EL DISEÑO DE DIVISORES

ÓPTICOS PARA APLICACIONES FTTH USANDO

EL MÉTODO SPPS

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRA EN CIENCIAS EN INGENIERÍA DE

TELECOMUNICACIONES

P R E S E N T A

ING. IRINA CRESPO HUITRÓN

DIRECTOR DE TESIS:

DR. RAÚL CASTILLO PÉREZ

(2)
(3)
(4)

III

AGRADECIMIENTOS

En especial a ese bello ángel que ilumina mi camino, que siempre ha estado conmigo en todas las etapas de mi vida, gracias por su amor y su apoyo incondicional, gracias mamá por guiarme hasta aquí.

A mis hermanos David, Guillermo, Omar, Ulises y a Alma Cerón que han sido un motor para que yo siga adelante y han logrado robarme una sonrisa en los momentos más difíciles.

A Isaías por contar siempre con su compañía y con su amor, gracias por hacerme saber que eres feliz con cada uno de mis logros.

Al Dr. Raúl Castillo en el cual siempre vi a un ser admirable, responsable, apasionado por su trabajo y lleno de mucha paciencia, gracias por ser un gran Maestro.

A mis amigos Dulce Salas, Elsa Cerón, Ricardo Jiménez, Enedina Flores, que se alegraron cuando inicié este proyecto y siempre tuvieron una palabra de aliento para que yo continuara.

A mis amigos de la maestría Solesito, Ivonne Alvarado, Carlitos Soria, Miguel Daniel, Loyda Flores, Enrique Velazco, Luis Gustavo siempre estuvimos juntos ayudándonos como familia, gracias por su apoyo.

(5)

IV

ÍNDICE

ÍNDICE ... IV GLOSARIO ... VI RELACIÓN DE FIGURAS... VIII RELACION DE TABLAS ... X OBJETIVO ... XI JUSTIFICACIÓN ... XII RESUMEN ... XIV ABSTRACT ... XV

INTRODUCCIÓN ... 1

LOS DIVISORES ÓPTICOS EN FTTH ... 4

CAPÍTULO 1. 1.1 Introducción ... 4

1.2 Red Óptica Pasiva (PON) ... 4

1.3 FTTH ... 9

1.4 Elementos de la red FTTH... 11

1.5 Arquitectura ODN ... 12

1.6 Arquitectura punto a multipunto ODN ... 13

1.7 Divisores ópticos (Optical splitters) ... 14

CURVAS DE REFLECTANCIA Y TRANSMITANCIA ... 20

CAPÍTULO 2. 2.1 Introducción ... 20

2.2 Coeficientes de Reflectancia y Transmitancia... 20

2.3 Formulación y solución analítica del problema ... 23

2.4 Capas no homogéneas ... 27

2.5 La aproximación WKB ... 28

2.6 ALGUNAS SOLUCIONES EXACTAS ... 30

2.6.1 Capa Lineal ... 30

2.6.2 Capa Exponencial ... 32

(6)

V

MÉTODO SPPS ... 34

CAPÍTULO 3. 3.1 Introducción ... 34

3.2 Una representación de soluciones de la Ecuación de Sturm-Liouville. ... 34

3.3 Método numérico para el cálculo de la reflectancia y transmitancia ... 38

PROPUESTAS DE DIVISORES ÓPTICOS ... 42

CAPÍTULO 4. 4.1 Introducción ... 42

4.2 Método de modos acoplados ... 43

4.3 Gráficas resultantes... 44

CONCLUSIONES ... 50

CAPÍTULO 5. 5.1 Aportaciones del Trabajo de Tesis ... 51

REFERENCIAS ... 52

(7)

VI

GLOSARIO

FTTH (Fiber to the Home)

Red de acceso, definida como aquella que, desde un punto de presencia del operador hasta la casa del subscriptor, está soportada por cable y equipos de fibra óptica.

Divisor óptico (Optical Splitter)

Distribuye la señal a dos o más salidas. Se utiliza comúnmente para distribuir las señales en sus respectivos puertos de salida, o puede aceptar una señal de luz única y distribuirla a varios puertos de salida.

FTTx

Generalización para varias configuraciones de despliegue de fibra óptica de acceso de banda ancha sustituyendo total o parcialmente el cobre (cable coaxial o par trenzado).

SPPS (Spectral Parameter Power Series)

Series de Potencias de Parámetro Espectral. Método que permite la construcción de soluciones para ecuaciones elípticas con base en potencias formales basadas en un procedimiento de integración recursiva.

Reflectancia Relación entre la potencia reflejada Pr y la potencia incidente Pi en un puerto dado de un componente pasivo, para determinadas condiciones de composición espectral.

Transmitancia Porcentaje de luz que pasa (fracción de la luz transmitida). Los valores de transmitancia varían de 0 a 1 y también puede ser expresada en porciento (0 a 100%).

Índice de refracción Una medida que determina la reducción de la velocidad de la luz al propagarse en un medio. El índice de refracción n está definido como el cociente de la velocidad c de un fenómeno ondulatorio como luz en el medio de referencia respecto a la velocidad de fase vp

(8)

VII ODN (Optical Distribution

Network)

Arquitectura que distribuye las señales a los subscriptores, emitidas desde la Oficina Central (CO) por medio de fibras y dispositivos ópticos. Comprende además los siguientes elementos: una Terminación de Línea Óptica (OLT) y una Unidad de Red Óptica (ONU).

OLT (Optical Line Terminal) Filtra el tráfico que va dirigido hacia su grupo de abonados y lo demultiplexa, ya que la línea desde la ONU (Unidad de Red Óptica) hasta cada abonado es individual. Del mismo modo, en sentido ascendente la ONU se encarga de recoger las señales de todos los abonados a los que presta servicio y multiplexarlas, componiendo la señal que se envía a la OLT. Constituye el punto de interfaz entre la oficina central (CO) y la red de distribución.

ONU (Optical Network Unit) Recibe la señal completa y la separa en las señales que van dirigidas a cada uno de los abonados, haciendo el mecanismo de demultiplexación de señales.

PON Es una red óptica pasiva. La fibra óptica se ramifica

(9)

VIII

RELACIÓN

DE

FIGURAS

Figura 1-1. Estructura general de una red PON [25]. ... 5 Figura 1-2. Configuraciones de una red FTTx. ... 6 Figura 1-3. Tecnologías más destacadas a nivel mundial que ofrecen servicios de banda ancha [38]. ... 9 Figura 1-4. Implementación Típica de una red PON... 12 Figura 1-5. Configuración de red punto a multipunto [25]. ... 13 Figura 1-6. a) Distribución óptica con un splitter óptico pasivo, b) distribución óptica con un multiplexor y demultiplexor de longitud de onda [25]. ... 14 Figura 1-7. Topología de una red PON ramificada (1:N splitter). ... 15 Figura 1-8. Splitter en forma de Y o splitter 1×2 [12]. ... 15 Figura 2-1. Transmitancia y Reflectancia de dos splitters ideales 50/50, longitudes de onda de 1310 y 1550 nm y con un ancho espectral de ±40 nm. ... 21 Figura 2-2. Transmitancia y Reflectancia de dos splitters ideales, longitudes de onda central de 1310 y 1550 nm y con un ancho espectral de ±40 nm. ... 21 Figura 2-3. Transmitancia y Reflectancia de un splitter ideal 40/60 y un intervalo de longitudes de onda de 1260-1650 nm. ... 22 Figura 2-4. Representación geométrica del perfil de índice de refracción. ... 24 Figura 2-5. Onda Incidente, reflejada y transmisión de las ondas. ... 26 Figura 2-6. Índice de perfiles de algunas capas no homogéneas: L = lineal, E = exponencial, H = hiperbólica. ... 31 Figura 3-1. Error absoluto para u1 (curva continua) y u2 (curva punteada) en comparación con soluciones exactas para un perfil lineal correspondiente a los siguientes valores: n1 = 1.0, n(0) = 1.6, n(d) = 2.7 y n2 = 1.8. ... 40 Figura 4-1. Curvas de Reflectancia y Transmitancia con longitud de onda central. ... 44 Figura 4-2. Curvas de Reflectancia y Transmitancia con una longitud de onda central de 850 nm y con un ancho espectral de ±10 nm. Se usó n2 = 2.3, n4 = 0.02, k = 6.75×106 y d = 184 nm. ... 45 Figura 4-3.Curvas de Reflectancia y Transmitancia con una longitud de onda central de 1310 nm y con un ancho espectral de ±20 nm. Se usó n2 = 1.25, n4 = 0.009, k = 4.52106 y

d = 524 nm. ... 46 Figura 4-4. Curvas de Reflectancia y Transmitancia con una longitud de onda central de 1310 nm y con un ancho espectral de ±10 nm. Se usó n2 = 2.4, n4 = 0.027, k = 4.39106 y d

(10)

IX Figura 4-6. Curvas de Reflectancia y Transmitancia con una longitud de onda central de 1310 nm y con un ancho espectral de ±20 nm. Se usó n2 = 2.05, n4 = 0.013, k = 3.85106 y

d = 378 nm. ... 48 Figura 4-7. Curvas de Reflectancia y Transmitancia con una longitud de onda central de 1310 nm y con un ancho espectral de ±40 nm. Se usó n2 = 1.5, n4 = 0.009, k = 3.85106 y d

(11)

X

RELACION

DE

TABLAS

(12)

XI

OBJETIVO

(13)

XII

JUSTIFICACIÓN

Existen múltiples aplicaciones donde se busca, en función de cierta longitud de onda considerada, hacer que una onda luminosa sea en cierta medida bloqueada o dejada pasar por un dispositivo. Prácticamente en todos los sistemas ópticos modernos se hace uso de dispositivos basados en capas ópticas no homogéneas. En las telecomunicaciones, por ejemplo, este tipo de medios pueden utilizarse como capas antireflejantes, polarizadores, filtros y capas dicroicas en pantallas personales, monitores de computadoras y televisores. Son cada vez más las aplicaciones que se encuentran para los medios ópticos no homogéneos, como el desarrollo de láseres semiconductores, dispositivos de compensación de dispersión, guías de onda ópticas, sistemas ópticos de CD y DVD, y en redes de fibras ópticas [7]. Especialmente en este último campo, tienen aplicación en las redes FTTH (Fiber To The Home, fibra óptica hasta el hogar).

Estas redes actualmente han tenido un importante despliegue en distintos países debido a su excelente viabilidad económica. Esto es posible a través del llamado modelo de red compartida. Al compartir los elementos más caros, como la infraestructura de red y los costos de la construcción civil, entre varios suscriptores, esto permite que la fibra óptica llegue económicamente a cada suscriptor o cliente. Otra de sus cualidades es que proporcionan banda ancha de alta capacidad [26].

El crecimiento en la implementación de estas redes es una de las razones por las cuales se hace importante el análisis de todos y cada uno de los elementos que las constituyen, y de particular interés en nuestro caso será analizar un divisor óptico (splitter), componente imprescindible para este tipo de red [46], para optimizar y mejorar su rendimiento.

(14)
(15)

XIV

RESUMEN

El progresivo despliegue de la arquitectura de FTTH (Fiber To The Home, fibra óptica hasta el hogar) ha hecho que con el fin de desarrollar todo su potencial, se busque mejorar a todos y cada uno de sus componentes. Un componente necesario para este tipo de red son los divisores ópticos (splitters). En este trabajo se denomina splitters o divisores ópticos a los dispositivos que permiten dividir una señal óptica de entrada en N ramas de salida. En ellas se distribuye la potencia óptica en una forma predeterminada, sin ninguna amplificación, conmutación ni ningún otro tipo de modulación activa. Se considera que estos elementos tienen pérdidas bajas debido a que se plantean capas delgadas que en nuestro caso van de unos 13 m a unos 151 m de espesor.

Aquí se determinan las curvas de reflectancia y transmitancia a través del análisis del perfil del índice de refracción de un dispositivo basado en una capa delgada no homogénea. Se busca que estas curvas se aproximen a las ventanas ópticas, ancho espectral y razón de acoplamiento que los proveedores y recomendaciones especifican como características más comunes para describir un splitter.

(16)

XV

ABSTRACT

The progressive deployment of the FTTH (Fiber to the Home) architecture implies that with the goal of developing all of its potential, improvements for all and every one of its components are sought. Optical splitters are mandatory components for this kind of network. Splitters are devices that allow to divide an optical input signal into N output branches. In them optical power is distributed in a predetermined manner, without any amplification, switching or any other kind of active modulation. It is considered that these elements have low losses due to the fact that thin layers are proposed, which in our case are in the range from 13 m to 151 m thick.

Here reflectance and transmittance curves are determined through the analysis of a refractive index profile of a device based on a thin inhomogeneous layer. We look for curves approaching to the optical windows, spectral width and coupling rates that providers and recommendations specify as the most common characteristics splitters commercially available should have.

(17)

1

INTRODUCCIÓN

El creciente despliegue de las redes de acceso FTTH (fiber to the home, fibra óptica hasta el hogar) es una de las razones por las cuales se hace necesario el análisis del diseño de los divisores ópticos (splitters), componentes necesarios para este tipo de red, ya que es creciente el interés en optimizar su rendimiento.

La red FTTH es capaz de transmitir datos con una mayor capacidad en comparación con la tecnología basada en cables de cobre [17]. La red FTTH juega un papel importante en la reducción y la solución del problema de los cuellos de botella del acceso final que se presentan en las redes de acceso de banda ancha y más específicamente en la red de acceso óptica [46]. Hoy en día, la red FTTH es reconocida como la solución más reciente para varios tipos de servicios de comunicación y multimedia, incluyendo teléfono, acceso a Internet de alta velocidad, televisión digital por cable (CATV) y video [34].

La red PON (Passive Optical Network, Red Óptica Pasiva), es la arquitectura en la que se basa FTTH. Consta de una OLT, ubicada en las dependencias del operador, y las ONT (Optical Network Terminal) que son básicamente cualquier dispositivo que convierta señales ópticas en señales eléctricas. Estas últimas se encuentran situadas en el domicilio del usuario y también son llamadas ONUs (Optical Network Units).Para conectar la OLT con la ONU con datos, se emplea un cable de fibra óptica y splitters para subdividir la señal óptica por distintas rutas físicas.

La manera más clásica de ver un divisor óptico es cuando se lleva la señal que va por una fibra a otras dos salidas. La intensidad de la luz que emerge de esas dos fibras no tiene por qué quedar dividida en dos partes iguales, sino que de acuerdo con el tipo de modelo, puede repartirse en proporciones diferentes entre ambas. Estas salidas tendrán siempre las mismas características, en cuyo caso nos encontramos con un divisor óptico pasivo, el cual es recomendado para este tipo de redes.

(18)

2 como a su ancho de banda. En el mercado existen splitters con diferentes números de puertos de entrada y de salida. En este trabajo nos basaremos en el esquema más simple donde sólo hay una entrada y dos salidas, mismo que puede usarse posteriormente para generar arreglos más complejos.

Los splitters son importantes porque, dependiendo de su capacidad, permiten tasas de datos descendentes de hasta 50 Mbps para 200 usuarios, por lo que estos dispositivos son ampliamente apreciados para la instalación de redes de alta capacidad de ancho de banda.

Para la fabricación de divisores ópticos puede utilizarse, por ejemplo, la técnica convencional de un acoplador fundido. Pero también existen métodos basados en una capa no homogénea que tienen bajo costo de fabricación y un excelente rendimiento en comparación con las técnicas comunes. Por tal motivo aquí se propone el uso de tales capas.

El análisis para el diseño de los splitters se llevará a cabo con el método SPPS, el cual nos permite analizar perfiles arbitrarios (a diferencia de otros métodos), y entonces se podrá utilizar para mejorar los diseños de los splitters en términos de sus parámetros ópticos más relevantes operacionalmente.

En este trabajo se busca desarrollar perfiles de índice de refracción para una capa no homogénea que permitan caracterizar el rendimiento del divisor óptico especificando parámetros tales como su ancho de banda, longitud de onda central, capacidad para permitir el paso de un determinado porcentaje de potencia y con ciertos niveles de pérdidas, etcétera.

Particularmente aquí se propone su uso para el diseño y análisis de divisores ópticos, pero igualmente el análisis y el método propuesto pueden ser utilizados para el desarrollo de filtros ópticos, láseres basados en rejillas de Bragg, compensadores de dispersión, guías de onda, sensores, etcétera.

(19)
(20)

4

LOS

DIVISORES

ÓPTICOS

EN

FTTH

CAPÍTULO 1.

1.1

I

NTRODUCCIÓN

La industria de las comunicaciones ha experimentado cambios dramáticos durante la última década desde la llegada de internet y del acceso de banda ancha. Se ha presentado una creciente demanda de servicios en línea y aplicaciones de Internet, creando un mercado sostenible para las redes de acceso con anchos de banda cada vez mayores. Actualmente los usuarios pueden suponer que los servicios futuros serán más entretenidos y visualmente atractivos. La prestación de servicios de triple play (voz, datos y video) se ha convertido en un requisito para las redes de acceso de hoy [33, 9]. A continuación se describirán las redes de acceso FTTx, de donde se deriva la red de acceso FTTH. Ésta tiene como principal característica estar basada en un red PON, motivo por lo cual sus elementos serán especificados. Por último se describirá a más detalle el divisor óptico, ampliamente apreciado para la instalación de redes de alta capacidad.

1.2

R

ED

Ó

PTICA

P

ASIVA

(PON)

Las redes ópticas pasivas (PONs, Passive Optical Networks) pueden proporcionar servicios de banda ancha de manera rentable. Las PONs son redes de acceso ópticas que se extienden desde una oficina central del operador a viviendas individuales, edificios de apartamentos y oficinas de negocios. Las PONs se caracterizan generalmente por la ausencia de componentes activos, con la excepción de los sitios en los que son colocados la Terminación de Línea Óptica (OLT, Optical Line Termination) y la ONU/ONT (Optical Network Unit/Termination, Unidad/Terminación de Red Óptica).

(21)

5 requiere una larga distancia entre la OLT y la ONU. La red PON se basa generalmente en una topología en forma de árbol. La estructura general de una red PON se muestra en la Figura 1 [25].

FIGURA 1-1. ESTRUCTURA GENERAL DE UNA RED PON [25].

La red PON incluye un terminal OLT que normalmente se instala en la oficina central (CO, Central Office). La OLT es la interfaz entre todos los usuarios conectados a la red PON y la red metropolitana que conecta las centrales locales de una ciudad o región [3].

Los usuarios tienen acceso a los servicios ofrecidos por la red a través de la terminal de red (NT, Network Terminal), y a la red de fibra óptica a través de la ONU/ONT.

[image:21.612.164.439.139.400.2]
(22)

6 La red PON se muestra en la Figura 1-1. Es completamente pasiva y la distancia máxima entre el terminal OLT y la Unidad ONU se limita típicamente a unos 20 km con las relaciones de división más comunes. Sin embargo, también hay soluciones que incluyen el despliegue de elementos activos en la estructura de la red (por ejemplo, amplificadores ópticos). Esto ocurre cuando es necesario lograr un alcance más grande (por ejemplo, hasta 60 km) o para reducir el número de sitios de concentración de la CO, o para conectar un mayor número de usuarios a un solo puerto OLT (por ejemplo, cuando se requiere un presupuesto de potencia más alto debido a una mayor proporción de división). A este tipo de soluciones se les llama “red PON de largo alcance” [25].

FTTx o Fiber-To-The-x, es el término genérico que suele aplicarse a una red PON que

[image:22.612.89.522.355.548.2]

provee conectividad de banda ancha a hogares y negocios. La “x” indica qué tan cerca del usuario está el elemento final de la fibra.

FIGURA 1-2. CONFIGURACIONES DE UNA RED FTTX.

El término FTTx es una generalización para varias configuraciones de despliegue de fibra, como se observa en la Figura 1-2. En dicha figura pueden verse las configuraciones más comunes, las cuales se describen a continuación.

FTTH (Fiber To The Home, fibra hasta el hogar)

(23)

7 FTTB (Fiber To The Building, fibra hasta el edificio, negocio o sótano)

 Se refiere a la entrega de la fibra óptica desde una central hasta el edificio de un usuario corporativo o de negocios.

 La diferencia entre FTTB y FTTH es que típicamente los negocios demandan mayor ancho de banda sobre una gran parte del día a diferencia de los usuarios domésticos.

FTTC/FTTK( Fiber To The Curb/Kerb, closet o armario)

 Se refiere a correr una línea de fibra óptica desde una central a un switch de comunicación localizado a 300 metros del hogar o a la empresa del usuario. Un cable coaxial, par trenzado de cobre o algún otro modo de transmisión es utilizado para conectar desde el equipo de fibra al edificio del cliente.

FTTN (Fiber To The Neighborhood, fibra hasta el barrio o nodo)

 Se refiere a una arquitectura de red óptica pasiva donde el área restante desde el

nodo destino a un individuo, a menudo llamado servicio “última milla", se puede

lograr con cobre u otros tipos de alambre. Sistemas de FTTN a menudo utilizan cable coaxial o par trenzado con el fin de lograr la entrega de servicios de triple play (voz, datos y video) a múltiples clientes. El nodo suele estar más lejos de los abonados que en FTTH y FTTB

FTTO (Fiber To The Office, fibra hasta la oficina)

 Es lo mismo que FTTB, en donde un camino de fibra óptica es previsto por toda la ruta hacia el negocio del usuario.

FTTP (Fiber To The Premises, fibra hasta la unidad habitacional)

 Se convierte en el término predominante que acompaña a varios conceptos FTTx. A través de las arquitecturas FTTP se incluyen implementaciones FTTB y FTTH [2].

(24)

8 En un contexto global, actualmente Asia presenta el mayor crecimiento de número de líneas FTTx, mientras que las de DSL se considera que tienen un tiempo de vida menor, además de que éstas tienden a tener costos de gestión más elevados. Las estructuras HFC (Hybrid Fibre-Coaxial, híbrida coaxial-fibra), comúnmente desplegadas por los operadores de televisión por cable CATV (Community Antenna Television, Televisión por cable), al agregar servicios de datos (TV por cable, datos, teléfono), no se consideran tan atractivas. Esto sobre todo debido a los grandes OPEX (Operating expense, gastos operativos) / CAPEX (CAPital EXpenditures, gastos de capital) que se deben considerar para tener una red en estado óptimo, ya que se invierte continuamente en su mantenimiento. Los operadores de Telecomunicaciones de Asia han comprendido que es esencial introducir tecnologías de redes FTTx, las cuales se basan en la utilización de cables de fibra óptica y sistemas de distribución ópticos. Han hecho una transición de DSL a FTTx. Una vez hecho esto, se tiene en cada hogar una conexión de banda ancha, con datos bidireccionales, con enlaces de al menos 100 Mbps. Este ancho de banda es suficiente para varios canales de televisión de alta definición (HD, High Definition), Internet de alta velocidad, varios servicios de video e incluso el servicio telefónico estándar (POTS, Plain Old Telephone Service) puede implementarse como Voz sobre internet basada en un protocolo IP (VoIP, Voice over Internet Protocol) [24].

El mercado asiático presenta el mayor despliegue de FTTx en el mundo, teniendo en los Emiratos Árabes Unidos (EAU) un despliegue de 71.96% de penetración de fibra óptica en los hogares (FTTH). Así mismo, otros países asiáticos encabezan los mayores porcentajes de penetración de FTTH, como es el caso de Corea del Sur con 69.54% y Singapur con 22.64% [38].

(25)

9 los procesos de liberación. Hoy en día, FTTH se ha convertido en la tecnología preferida de los ILEC (Incumbent Local Exchange Carriers), las cuales son compañías telefónicas ya existentes en las épocas de los monopolios (como por ejemplo las Baby Bells [3]) las cuales suelen implementar esta tecnología en las viviendas recién construidas, edificios de oficinas o complejos comerciales. Canadá, por otra parte, a pesar de su baja densidad de población, sigue siendo uno de los líderes mundiales en penetración de banda ancha, debido principalmente a centenares de establecimientos que han implementado la banda ancha y a programas impulsados por el gobierno [24].

Europa está generalmente atrás de Asia en términos de despliegue de FTTx. Sus principales exponentes son Lituania, ubicada al norte de Europa, con una incursión de 31.3% y Rusia (la parte que pertenece a Europa), que tiene 13.78% de FTTH [38]. La actual situación en Europa se atribuye principalmente a la existencia de una alta calidad en el cobre y en la infraestructura, lo que permite el despliegue de ADSL / ADSL + VDSL casi en cualquier lugar, proporcionando alternativas mucho más atractivas que la apertura de zanjas en el despliegue de la fibra y la creación de una nueva infraestructura de red [24].

En la Figura 1-3 se presenta el porcentaje que ocupan a nivel mundial las tecnologías FTTH y FTTx (según datos obtenidos por organizaciones internacionales, [38]).

[image:25.612.187.460.496.650.2]
(26)

10

1.3

FTTH

La red óptica pasiva (PON) es una tecnología económicamente viable para proporcionar banda ultra-ancha a las redes de acceso FTTH. Sus primeros despliegues se cuentan a

principios de los 90’s. Se han unido operadores de telecomunicaciones, compañías ya establecidas de líneas telefónicas, fabricantes de equipo, etcétera, para desarrollar estándares que permitan tener una referencia para el control de procesos, técnicas de medida y comunicación.

(27)
[image:27.612.118.497.166.544.2]

11

TABLA 1-1. EVOLUCIÓN DE LA RED PON.

BPON GPON EPON

Ancho de banda del flujo descendente

622 Mbps/1.2 Gbps

2.4 Gbps 1.2 Gbps

Ancho de banda del flujo ascendente

155 Mbps/622 Mbps

1.2 Gbps 1.2 Gbps

Máx ONTS 32 128 256

Soporte Multicast

Agregado en la enmienda de Mayo de 2005 de

la FSAN

Soporte Nativo Soporte Nativo

Control de estándares FSAN/Operadores (ITU-T G.983) FSAN/Operadores (ITU-T G.984) IEEE

1.4

E

LEMENTOS DE LA RED

FTTH

(28)
[image:28.612.187.416.130.259.2]

12 arquitectura están descritos por el estándar G.984.x de la ITU-T (Unión Internacional de Telecomunicaciones) [30, 40, 41].

FIGURA 1-4. IMPLEMENTACIÓN TÍPICA DE UNA RED PON.

1.5

A

RQUITECTURA

ODN

Las arquitecturas de ODN más utilizadas incluyen punto a punto (P2P) y de punto a multipunto (P2MP), cada una con ventajas y desventajas específicas. La arquitectura de punto a multipunto parece ser en este momento la preferida en la mayoría de los casos, sobre todo por su menor costo.

(29)

13

1.6

A

RQUITECTURA PUNTO A MULTIPUNTO

ODN

[image:29.612.129.485.158.406.2]

La configuración básica de una arquitectura de punto a multipunto ODN se muestra en la Figura 1-5.

FIGURA 1-5. CONFIGURACIÓN DE RED PUNTO A MULTIPUNTO [25].

En la arquitectura ODN de punto a multipunto se coloca un componente de ramificación óptico entre el terminal OLT y varias unidades ONU, conectadas de esta manera a la OLT. Como consecuencia, la cantidad de fibra necesaria es menor en comparación con la arquitectura punto-a-punto.

Las Redes de acceso óptico basadas en una arquitectura ODN punto-a-multipunto se denominan generalmente redes ópticas pasivas (PONs).

(30)

14 dos o más componentes ópticos de ramificación en cascada.

1.7

D

IVISORES ÓPTICOS

(O

PTICAL SPLITTERS

)

Dos tipos de componentes ópticos de ramificación se pueden utilizar en un ODN. Un tipo tiene un multiplexor y demultiplexor de longitud de onda, el otro no.

[image:30.612.131.491.367.572.2]

Un componente de distribución óptica (no selectivo en longitud de onda) es un componente pasivo sin un multiplexor de longitud de onda ni demultiplexor, que posee dos o más puertos y que distribuye la potencia óptica entre sus puertos en una forma predeterminada, sin ninguna amplificación, conmutación ni ningún otro tipo de modulación activa (véase la Figura 1-7). También se conoce como un "divisor óptico" o un "acoplador óptico" y será de nuestro interés ya que el análisis a continuación estará basado en este dispositivo [42].

FIGURA 1-6. A) DISTRIBUCIÓN ÓPTICA CON UN SPLITTER ÓPTICO PASIVO, B) DISTRIBUCIÓN ÓPTICA CON UN MULTIPLEXOR Y DEMULTIPLEXOR DE LONGITUD DE ONDA [25].

(31)
[image:31.612.135.473.73.227.2]

15

FIGURA 1-7. TOPOLOGÍA DE UNA RED PON RAMIFICADA (1:N SPLITTER).

Los divisores ópticos para redes PON se caracterizan en la Recomendación ITU-T G.671 [42] para el término de 1 × x, donde x = 4, 8, 16 ó 32 donde x determina el número de puertos de salida. Es importante señalar que la pérdida de inserción aumenta a medida que se incrementa el número de ramas.

Un divisor óptico es un componente de ramificación que divide una señal de luz en caminos separados, pero no es un elemento electrónico y de ahí su denominación de

"pasivo". Su principio de funcionamiento se muestra en la Figura 1-8, donde se presenta la división de una señal óptica en dos puertos de salida. El principio es extensible hasta conseguir dividir la señal óptica en n salidas:

FIGURA 1-8. DIAGRAMA Y PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO DE UN SPLITTER EN FORMA DE Y O SPLITTER 1×2 [12].

[image:31.612.85.526.502.619.2]
(32)

16 descendente de 50 Mbps a 200 usuarios, por lo que estos dispositivos son ampliamente apreciados para la instalación de redes de alta capacidad [15].

El avance en la tecnología de fabricación y empaque de los splitters fue impulsado por la demanda del mercado, como respuesta a los requerimientos de aplicaciones de telecomunicaciones, CATV y FTTx, así como la de sensores o equipos de medida y monitorización de sistemas. Todos los modelos que se ofrecen comercialmente deben cumplir con las normativas de Telecordia (Bellcore) GR-1209-CORE, GR-326-CORE y GR-910-CORE [35, 36, 37], y con los principales estándares ópticos (ancho de banda, pérdida de inserción y uniformidad), ambientales (cambios de temperatura y resistencia a la humedad) y mecánicos (impacto, vibración y flexibilidad).

Otra de sus características fundamentales es la razón de acoplamiento, la cual determina qué porcentaje de la potencia entrante se dirigirá a cada uno de sus puertos de salida. Algunas de las razones de acoplamiento más usadas son: 1/99, 5/95, 10/90, 20/80, 30/70, 40/60 y 50/50.

El rendimiento de todos los divisores varía con la longitud de onda. Los divisores suelen especificarse en una longitud de onda que es la longitud de onda central de funcionamiento del splitter, mientras que la banda de paso es el intervalo de longitudes de onda sobre el que se garantizan las especificaciones. Comercialmente existen splitters que utilizan 850, 980, 1310, 1480, 1550 y 1580 nm como longitudes de onda centrales, con anchos espectrales de ±20 ó ±40 nm. Otros ocupan intervalos más amplios de longitudes de onda como: 1260-1650 ó 600-1260-1650 nm. Estos criterios de la banda de paso se especifican en GR-1209-CORE [35].

(33)
[image:33.612.77.573.142.689.2]

17 el ancho espectral y la razón de acoplamiento que los proveedores y las recomendaciones especifican.

TABLA 1-2. INFORMACIÓN DE HOJAS DE ESPECIFICACIONES DE LOS SPLITTERS QUE SE ENCUENTRAN EN EL MERCADO

MARCA ACOPLADOR

LONGITUD DE ONDA CENTRAL ANCHO DE BANDA IMAGEN GRUPO COFITEL [47] Acoplador divisor

12 50/50 con conector SM/SC/UPC.

Configuración: 1/99 5/95, 20/80, 40/60, 50/50

1310 & 1550nm ±40 nm GRUPO COFITEL [48]

Acoplador divisor de banda ancha, doble ventana (conectores no considerados)

1310 & 1550nm

± 40 nm

GRUPO COFITEL

[49]

Splitters (acopladores divisores) FTB (Fused Biconic Taper) SM

Configuración : 12 14 18 116 132

1310 & 1550nm, o

sobre demanda ±40 nm

GRUPO COFITEL

[50]

Splitters (acopladores

divisores) PLC

(Encapsulados) SM

12, 14, 18, 116, 132, 164

(34)

18 A.C.-Óptica

[51]

Acoplador óptico del divisor de fibra de un solo modo

12,13,14,18,19,22

850, 980, 1310, 1480, 1550, 1585 nm

No especificó

el fabricante

CSYHT [52]

4 divisores ópticos de fibra, acoplador de fibra óptica 12; 14; divisor 18,116,136,1×N

Ración de acoplamiento

50/50, 40/60, 30/70. 20/80.

850 nm o 1310 nm o 1550 nm

±20 nm

±40 m

Govo [53]

Divisor óptico del acoplador de fibra de banda ancha de la

Dual-ventana 1×2, 2×2; 50/50. 1310/1550 ±40

HY [54] Divisor/acoplador ópticos de fibra

1×2, 2×2.

1310/1550 ±40

jassonfiber/O EM [55]

Divisor del PLC, acoplador óptico de fibra del divisor de fibra 1×n, 12, 14, 18, 116, 132, 164 y de acoplador 232, 264

(35)

19

J-red [56] Acoplador del

PLC/divisor óptico de fibra

1310 ó

1550nm

±40 nm

Jshhdz [57] Divisor/acoplador ópticos de la fibra

1310,1490 y 1550 nm

1310±40 1490±10

1550±40

KINGTON [58]

Divisor/acoplador de la

fibra 132

1280~1250 nm 30 nm

NAVEGA-CIÓN [59]

Acoplador de fibra óptica 1260~1620 nm 360 nm

OEM [60] Acoplador caliente de fibra con conectores: SC,

UPC, SM 116

1260~1650 nm 390 nm

(36)

20

CURVAS

DE

REFLECTANCIA

Y

CAPÍTULO 2.

TRANSMITANCIA

2.1

I

NTRODUCCIÓN

Si se hace pasar luz con un espectro de frecuencias amplio por un material, fenómenos tales como las transiciones electrónicas o vibraciones del material y de impurezas, dopantes, defectos o centros de color, etcétera, actúan de distinta manera sobre las diferentes longitudes de onda que componen al haz, ya sea dejándolas pasar, reflejándolas o absorbiéndolas. Una gráfica donde se representan las distintas longitudes de onda contra los valores porcentuales de transmisión o reflexión de energía por parte de un medio o dispositivo es lo que se conoce como sus curvas de transmitancia y reflectancia. Hay varias maneras para determinar estas curvas para un dispositivo óptico. Los diversos métodos para obtenerlas se basan en diferentes principios físicos. Por ejemplo, en medios compuestos por capas delgadas puede emplearse un espectrofotómetro de reflectividad para medir la luz reflejada.

En este capítulo se citarán ejemplos de curvas de reflectancia y transmitancia ideales y se plantean los conceptos de coeficientes de reflectancia y transmitancia. También se explica una capa no homogénea descrita por un perfil de índice n(x) con características específicas en la cual se considera la propagación de la luz.

2.2

C

OEFICIENTES DE

R

EFLECTANCIA Y

T

RANSMITANCIA

(37)
[image:37.612.202.410.66.254.2]

21

FIGURA 2-1. TRANSMITANCIA Y REFLECTANCIA DE DOS SPLITTERS IDEALES 50/50, LONGITUDES DE ONDA DE 1310 Y 1550 nm Y CON UN ANCHO ESPECTRAL DE ±40 nm.

[image:37.612.200.414.310.492.2]
(38)
[image:38.612.200.413.66.253.2]

22

FIGURA 2-3. TRANSMITANCIA Y REFLECTANCIA DE UN SPLITTER IDEAL 40/60 Y UN INTERVALO DE LONGITUDES DE ONDA DE 1260-1650 nm.

Existen métodos de fabricación de divisores ópticos pasivos basados en una capa no homogénea que tienen bajo costo de fabricación y un excelente rendimiento en comparación con la técnica convencional que utiliza un acoplador fundido para la fabricación del divisor óptico [34], y es por ello que aquí se propone el uso de tales capas.

El análisis matemático de la curva de reflectancia obtenida a partir de ciertos perfiles de índice de refracción puede desarrollarse utilizando múltiples modelos (ver, por ejemplo [5] y las referencias ahí citadas), cada cual con ventajas y desventajas inherentes al método de solución empleado.

(39)

23 Distintos procedimientos se han planteado para la solución numérica para determinar la reflectancia y la transmitancia, basados principalmente en métodos canónicos bien conocidos como el método de diferencias finitas y el método de expansión en series de potencias (véanse [19, 46, 18, 8]), o en la aproximación de una capa no homogénea por una estructura que consta de muchas capas homogéneas (ver [20, 28, 10, 34]). Métodos asintóticos tales como el método de perturbación o el método WKB son también aplicados a este problema (véanse, por ejemplo, [28, 13, 39]), aunque cuando la capa no homogénea es de una longitud finita la aplicación de la técnica WKB no parece ventajosa [7]. Sólo algunos perfiles para capas no homogéneas tienen soluciones exactas [27, 46] (más adelante se detallan en la Sección 2.3), las cuales se usan comúnmente para probar otros métodos numéricos.

En trabajos anteriores [6, 5] se presentó una nueva perspectiva para el cálculo de la reflectancia y la transmitancia en capas no homogéneas finitas. Representando las soluciones de las ecuaciones de Sturm-Liouville, obtenidas en [18] y desarrolladas en [8], en forma de una serie de funcionales cuya convergencia se calcula con facilidad, la precisión resultante del método numérico propuesto resultó ser mejor que la de otras técnicas (la comparación se hizo con la rutinas estándar de Matlab para resolver problemas de valor inicial y frontera para las ecuaciones de Schrödinger y Sturm-Liouville unidimensionales).

2.3

F

ORMULACIÓN Y SOLUCIÓN ANALÍTICA DEL PROBLEMA

Considerando lo anterior, es posible representar el fenómeno anteriormente descrito mediante una ecuación de segundo grado: la ecuación de Helmholtz. Considere una onda incidente en la región I (véase la Figura 2-4) representada por la función escalar u la cual representa la componente transversal del campo eléctrico de una onda electromagnética linealmente polarizada que satisface la ecuación de Helmholtz (con incidencia normal por simplicidad)

(40)

24 donde u representa la componente transversal del campo eléctrico, y en el caso de la polarización p satisface la siguiente ecuación de Sturm-Liouville (véanse, por ejemplo, [16, 11]):

[ ] (2.2)

donde

k es el número de onda del espacio vacío

n(x) es el perfil de índice de refracción que tiene valores constantes n1 y n3 en las regiones

x < 0 y x > d y que es una función continua arbitraria en el intervalo 0 xd.

[image:40.612.137.479.362.608.2]

En la Figura 2-4 puede observarse una representación de un medio compuesto por una delgada capa no homogénea limitada por dos medios con índices de refracción constantes.

FIGURA 2-4. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DEL PERFIL DE ÍNDICE DE REFRACCIÓN.

(41)

25 La constante de propagación está relacionada con el ángulo de incidencia de la onda de la

siguiente manera: = ksen θ (véase [16]), y desaparece en el caso de incidencia normal.

Aunque las ecuaciones (2.1) y (2.2) describen el comportamiento de los diferentes componentes de una onda electromagnética, correspondientes a un campo a eléctrico y un campo magnético, respectivamente, existe una transformación simple a partir de (2.2) a (2.1) y viceversa (ver, por ejemplo, [16]). Es decir, si v es una solución de (2.2) entonces U = v / n es una solución de la ecuación

[ ]

donde ⁄ ⁄ .

Defínanse y .

Se considera en este trabajo un medio sin pérdidas. La solución u junto con su primera derivada deben ser continuas para toda x incluyendo los puntos x = 0 y x = d. Se supone que la onda incidente en la Región I es normal ( = 0) y tiene la forma , donde k1 = kn1, y junto con la onda reflejada la solución completa para x < 0 es la combinación

donde:

R= Una constante llamada coeficiente de reflexión, para la cual R  1. La solución que corresponde a la onda transmitida en la Región III tiene la forma

donde T es el coeficiente de transmisión. En el caso de los medios no absorbentes para las ondas normalmente incidentes se tiene que la relación de conservación de energía es la siguiente:

(42)
[image:42.612.129.479.86.347.2]

26

FIGURA 2-5. ONDA INCIDENTE, REFLEJADA Y TRANSMISIÓN DE LAS ONDAS.

Se propone que las dos soluciones linealmente independientes u1 y u2 de (2.1) en el intervalo no homogéneo son conocidas, de tal manera que las siguientes condiciones iniciales se satisfacen:

(2.4)

y

(2.5)

Entonces puede obtenerse una expresión analítica para R en términos de u1 y u2 (las fórmulas indicadas a continuación también son ciertas para la ecuación (2.2), cuando uno sustituye u1 y u2 con las soluciones v1 y v2 de (2.2) que satisfacen las condiciones iniciales (2.4) y (2.5) respectivamente). La solución general de (2.1) tiene la forma

(43)

27 siendo c1 y c2 constantes arbitrarias. Si se tiene continuidad en u y u' en x = 0, se obtienen las siguientes condiciones para c1 y c2:

, (2.6)

(2.7)

Por lo tanto, la solución u tiene la forma . El requisito de la continuidad de u y en x = d lleva al siguiente par de igualdades:

, (2.8)

. (2.9)

De este sistema se obtienen las expresiones para R y T [4],

[ ] [ ]

y

[ [ ] [ ] ]

2.4

C

APAS NO HOMOGÉNEAS

(44)

28

2.5

L

A APROXIMACIÓN

WKB

Se considera la propagación de la luz en una capa no homogénea descrita por un perfil de índice n(x). La ecuación de la onda de luz que se propaga a lo largo del eje x está dada por:

(2.10)

donde ω es la frecuencia angular y c es la velocidad de la luz en el vacío.

Cuando el perfil de índice n(x) es uniforme (es decir, n(x) = constante), la solución es la bien conocida onda plana que, además de un factor constante, se puede escribir como

[ ] (2.11)

donde (x) es la fase y se puede escribir como

(2.12)

con k el número de onda. El número de onda está relacionado con el índice de refracción por

(2.13) donde recordamos que λ es la longitud de onda de la luz en el vacío.

Esta solución de (2.11) ya no es válida cuando el índice de refracción varía en el espacio. Sin embargo, en el caso cuando el perfil de índice n(x) es una "función lentamente variable" de x, la solución (2.11) puede considerarse como una primera aproximación. De la sustitución de la ecuación. (2.11) en la ecuación de onda (2.10) se obtiene

(2.14)

Si asumimos que

es pequeño, en otras palabras

(45)

29 y la primera aproximación se convierte en

∫ ∫ (2.16)

La condición de la validez de la ecuación (2.15) (que

será pequeño en relación con

(nω/c)2) es entonces

| | | | | |. (2.17) Físicamente, esta condición lentamente variable significa que el cambio fraccional en el índice de refracción en una longitud de onda debe ser pequeño en comparación con el índice de refracción.

Una segunda aproximación ahora se puede conseguir por iteración. De la ecuación. (2.16), obtenemos

. (2.18)

Sustituyendo esto para el término más pequeño de la ecuación. (2.14), obtenemos

, (2.19)

, (2.20)

∫ . (2.21)

Las dos opciones de signo en la ecuación (2.21) darán dos soluciones aproximadas que se pueden combinar para dar la solución general

(46)

30 Hay una buena razón física para la amplitud en el denominador en la ecuación (2.22) en relación con el transporte de la energía. En un medio sin pérdidas, el flujo de energía a lo largo del eje x debe ser independiente de x. El vector de Poynting S promediado en el tiempo está dado por

(2.23)

Dado que el índice de refracción n está variando en un medio no homogéneo, la amplitud también debe variar correspondientemente para mantener constante el flujo de energía.

2.6

ALGUNAS

SOLUCIONES

EXACTAS

Ahora se discuten algunas soluciones de la propagación de ondas (ecuación (2.10)) para varios perfiles de índice para los cuales se tienen soluciones de forma cerrada. Se adoptará la descripción de la falta de homogeneidad utilizando el perfil de índice n(x) en lugar de

utilizar la constante dieléctrica ε(x).

2.6.1

C

APA

L

INEAL

Consideremos en primer lugar una capa dieléctrica cuyo perfil de índice es lineal y está dado por

(47)
[image:47.612.228.388.96.227.2]

31

FIGURA 2-6. ÍNDICE DE PERFILES DE ALGUNAS CAPAS NO HOMOGÉNEAS: L = LINEAL, E = EXPONENCIAL, H = HIPERBÓLICA.

Mediante la introducción de una nueva variable

(2.24)

con

, (2.25)

la ecuación de onda (2.10) se convierte en

(2.26)

La solución de la ecuación (2.26) consiste en funciones de Bessel de orden 1/4 y se puede escribir como

(2.27)

(48)

32

2.6.2

C

APA

E

XPONENCIAL

Considere la posibilidad de una capa dieléctrica cuyo perfil de índice está dado por

(2.28)

donde, de nuevo n0, ns, y L son como se definió en la ecuación (2.24).

Sea la nueva variable

(2.29)

con dada por

. (2.30)

Con la sustitución de la ecuación (2.29) en la ecuación de onda y el uso de

(2.31)

se obtiene

(2.31)

La solución de (2.31) se compone de funciones de Bessel de orden cero y se puede escribir como

(2.32)

(49)

33

2.6.3

C

APA HIPERBÓLICA

Considere finalmente la posibilidad de una capa dieléctrica cuyo perfil de índice viene dado por

[ ] . (2.33)

La solución para este caso puede ser escrita como

√ √ (2.34)

donde A y B son constantes arbitrarias y m está dada por

(2.35)

(50)

34

MÉTODO

SPPS

CAPÍTULO 3.

3.1

I

NTRODUCCIÓN

El método que aquí se propone para calcular los coeficientes de reflectancia y transmitancia se denomina SPPS (Spectral Parameter Power Series, Series de Potencias de Parámetro Espectral) y se basa en la Teoría de Funciones Pseudoanalíticas, desarrollada por el profesor Lipman Bers en la segunda mitad del Siglo XX, y en la Teoría de Funciones Analíticas Generalizadas propuesta por el profesor Ilia Vekua. Ambas fueron desarrolladas de manera independiente, pero vieron la luz de forma casi simultánea y existe entre ellas una estrecha relación. La limitante que encontraron en la época en que se dieron a conocer, fue que requerían el uso de algoritmos recursivos, y los dispositivos de cómputo disponibles en ese entonces se encontraban en una etapa demasiado temprana para poder usarlos en pos de un análisis más profundo de estos trabajos [31].

Para poder implementar el método SPPS es preciso conocer antes algunas definiciones básicas del análisis y propiedades de las potencias formales. Éstas se presentarán a continuación.

3.2

U

NA REPRESENTACIÓN DE SOLUCIONES DE LA

E

CUACIÓN DE

S

TURM

-L

IOUVILLE

.

Considere la ecuación

(3.12)

donde se supone que p, q, r y v son funciones de valores complejos de una variable real independiente x ∈ [0, d] y es un número complejo arbitrario. Se supone que los

coeficientes p, q y r son tales que existe una solución particular v0 de la ecuación

(51)

35 de tal manera que las funciones y son continuas en [0, d]. El siguiente

resultado se obtuvo en [21] en el caso de r ≡ 1 y fue generalizado en [22] para una r

arbitraria.

La solución general de (3.12) tiene la forma

(3.14)

donde c1 y c2 son constantes complejas arbitrarias y v1 y v2 se definen a continuación:

∑ ̃ ∑ (3.15)

donde ̃ y son introducidas por las siguientes igualdades recurrentes para n = 0

̃ (3.16)

y para ,

{

̃

{

∫ ̃

∫ ̃

(52)

36 Ambas series en (3.15), que se llaman series de potencias de parámetro espectral (SPPS), convergen uniformemente en [0, d] y como se demostró en [22] es fácil obtener una estimación burda pero útil para del resto de la SPPS. Consideremos, por ejemplo, la serie correspondiente a v1 y definimos v1,N = ∑ ̃. Entonces [22],

| | | | | √ ∑ | (3.19)

donde | | | | . Esta estimación nos da una sencilla herramienta para el

cálculo del número de potencias formales N que garantizará una precisión establecida a

priori | |.

Es fácil ver que, por definición, todas las ̃ y desaparecen a excepción de

̃ y que son iguales a 1.

Así

(3.20)

. (3.21)

Es importante tener en cuenta que la solución particular v0 no desvanesciente requerida, al menos en el caso de una ecuación regular de coeficientes de valores reales, siempre existe y puede ser fácilmente construida de la siguiente manera: simplemente se toma cualquier par de soluciones linealmente independientes de (3.13) v0,1 y v0,2; luego sus ceros no coinciden (de lo contrario su wronskiano se convierte en cero y no serían linealmente independientes) y por lo tanto v0 puede ser elegido como . Por otra parte, v0 se puede

construir en una forma similar a las soluciones v1 y v2 teniendo en cuenta un caso especial del resultado ya presentado donde ahora se considera q ≡ 0 y β = 1, que era conocido en [45]. Es decir, sean 1/p y r continuas en [0, d], la solución general de la ecuación

(53)

37 Como caso especial se mencionará también otra importante situación. En la teoría electromagnética (véase, por ejemplo, [44]) con frecuencia es necesario resolver la ecuación

(3.22)

para diferentes valores de la constante compleja k2. Su solución general, se puede representar de la siguiente manera:

∑ ̃

con y ̃ definidas por

̃ 1, (3.23)

y para

̃ {∫ ̃

∫ ̃ (3.24)

{∫

(3.25)

Por lo tanto, una vez que y ̃ son calculadas hasta un cierto orden N, una solución aproximada de (3.22) es simplemente un polinomio en k con los coeficientes calculados

y ̃ .

(54)

38

3.3

M

ÉTODO NUMÉRICO PARA EL CÁLCULO DE LA REFLECTANCIA Y

TRANSMITANCIA

El método propuesto consiste en aplicar las fórmulas (3.10) y (3.11) en combinación con la solución numérica de los problemas de valor inicial (3.4) y (3.5) utilizando SPPS.

Por medio de las fórmulas (3.10) y (3.11), las soluciones de los problemas correspondientes de valor inicial (3.4) y (3.5) deben ser calculadas con una precisión mucho mayor que la que se espera para R y T.

La razón es que los errores de aproximación en u1 y u2 se multiplican en (3.10) y (3.11) empeorando la precisión de la aproximación de R y T por 2 a 3 órdenes de magnitud en comparación con la de u1 y u2. De (3.20) y (3.21) tenemos que u1 y u2 son soluciones que se obtienen de v1 y v2 definidas por (3.15) de la siguiente manera:

,

,

donde p≡ 1 en el caso de la ecuación (3.1), en el caso de la ecuación (3.2) y, para

la incidencia normal, v0 ≡ 1. Por lo tanto la exactitud de cálculo de u1 y u2 depende de la

precisión de cálculo de ∑ ̃ y ∑ , y la estimación

(55)

39 Considere el siguiente problema de valor inicial para (3.22):

en el intervalo (0, 1). Para c = 1 el error absoluto del resultado calculado por ode45 (con una cierta tolerancia óptima elegida) era del orden de 10-9 y el error relativo del orden de 10-6. Por otro lado, el error absoluto del resultado calculado con la ayuda de la representación SPPS con un número de potencias N desde 55 fue del orden de 10-16 y el error relativo fue del orden de 10-14. Tomando c = 10 en las mismas condiciones, los errores absoluto y relativo de ode45 eran del orden de 10-6 y 10-5 respectivamente, mientras que el algoritmo con SPPS dio valores del orden de 10-12 en ambos casos.

Para el problema de valor inicial en el intervalo (0, 1) en el caso en que c = 1 los errores absoluto y relativo de ode45 son del orden de 10-8, mientras que en el método SPPS el valor es del orden de 10-15 para N = 50.

Para c = 10 los errores absoluto y relativo de ode45 eran del orden de 10-3 y 10-7, respectivamente, y en el caso del método SPPS los valores fueron del orden de 10-11 y 10-14 para N = 50.

Veamos otro ejemplo [6]. Sea . En este caso, se cuenta además con la solución general (3.22), la cual tiene la forma

(56)
[image:56.612.110.493.70.294.2]

40

FIGURA 3-1. ERROR ABSOLUTO PARA U1 (CURVA CONTINUA) Y U2 (CURVA PUNTEADA) EN COMPARACIÓN CON

SOLUCIONES EXACTAS PARA UN PERFIL LINEAL CORRESPONDIENTE A LOS SIGUIENTES VALORES: n1 = 1.0,

n(0) = 1.6, n(d) = 2.7 Y n2 = 1.8.

Tomando las mismas condiciones iniciales que antes . Entonces, mientras que para c = 1 los errores absoluto y relativo de ode45 son del orden de 10-8, para

c = 30 el error absoluto fue de 0.28 y el error relativo fue del orden de 10-6. El algoritmo con SPPS (con N = 58) dio errores absoluto y relativo del orden de 10-15 para c = 1 y de orden 10-9 y 10-15, respectivamente, para c = 30. Todos los cálculos fueron realizados en una PC normal con la ayuda de Matlab 7.

Los resultados de los experimentos numéricos de [6] muestran que de hecho las representaciones de SPPS ofrecen un nuevo y poderoso método para la solución numérica de problemas de valor inicial y de frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden.

El cálculo numérico de las integrales que intervienen no presenta ninguna dificultad y se puede hacer con una precisión notable.

Se probó en [6] el método de cálculo de la reflectancia y la transmitancia de capas no homogéneas finitas con los siguientes perfiles de refracción (1) la forma exponencial

(57)

41 hiperbólica

[

]

. En todas las simulaciones, se asumió incidencia

normal. En la Figura 3-1 se muestra la precisión del cálculo de u1 y u2 para el perfil líneal como una función de d/λ obtenida por comparación con las soluciones exactas de [46] mostradas en el Capítulo 2.

Como se ha mencionado anteriormente, el número potencias formales de SPPS necesarias para una precisión requerida es calculado de forma automática con la ayuda de (3.19).

(58)

42

PROPUESTAS

DE

DIVISORES

CAPÍTULO 4.

ÓPTICOS

4.1

I

NTRODUCCIÓN

Con la ayuda de Matlab es posible calcular mediante el método SPPS las propiedades de capas no homogéneas definidas por sus perfiles de índice de refracción. Entre otros, los más comunes incluyen perfiles exponenciales, lineales, hiperbólicos y sinusoidales (ver, por ejemplo [46]). Estos últimos merecen particular atención por su utilidad para el diseño de dispositivos ópticos. Estos perfiles tienen una forma como la siguiente

donde n2 y n4 son constantes reales que representan el índice de refracción promedio del medio y la amplitud de la modulación sinusoidal del índice respectivamente.

La constante n2 es el índice de refracción promedio del medio, n4 puede ser visto como la profundidad del índice de modulación sinusoidal y al igual que k está relacionado con el periodo del índice de refracción  por K = 2/. La profundidad de modulación con frecuencia es mucho más pequeña que el índice promedio (n4 << n2). Con base en este perfil en [46] se detalla un ejemplo de cómo puede diseñarse un reflector de Bragg. Con tal información se procedió a realizar pruebas con perfiles similares al descrito para calcular curvas de reflectancia cercanas a las correspondientes a splitters ideales para algunos de los valores comerciales ya mencionados. En las Figuras 4-2 a 4-6 se muestran algunas de las curvas obtenidas utilizando el método SPPS y se mencionan los valores de los parámetros

(59)

43

4.2

M

ÉTODO DE MODOS ACOPLADOS

En este trabajo, uno de nuestros objetivos era que nuestras curvas de transmitancia y reflectancia se localizaran en una longitud de onda central preestablecida. Para lograr esto se recurrió al método de modos acoplados, el cual nos permitió obtener las longitudes de onda centrales (veáse [35]) requeridas, y junto con los índices de refracción de nuestro perfil se pudieron hacer varias pruebas para ajustar también las amplitudes de las curvas calculadas, las cuales están asociadas a la razón de acoplamiento.

Para ilustrar el uso de la capa no homogénea, se considera el diseño de una rejilla de Bragg con un ancho de banda de 40 nm, una longitud de onda central de 850 nm y una reflectancia de 99%. Se propone el uso de un material con un índice de refracción n0 = 1.52 [46]. Para dicha capa, se emplearon los siguientes datos:

nm,

nm,

,

(60)
[image:60.612.94.473.117.353.2]

44 como L en la literatura–) y los índices de refracción. Al realizar los cálculos, como se observa en la siguiente figura, se obtuvo la longitud de onda central deseada.

FIGURA 4-1. CURVAS DE REFLECTANCIA Y TRANSMITANCIA CON LONGITUD DE ONDA CENTRAL.

4.3

G

RÁFICAS RESULTANTES

Cabe mencionar que el ancho espectral de las curvas se calculó con base a un valor 10% más bajo con respecto al valor máximo, siendo el valor que se reporta para las razones de acoplamiento el correspondiente a 5% por debajo de dicho valor máximo. De esta manera, para los splitters que se obtuvieron, el valor de la potencia en cada puerto de salida, corresponderá al porcentaje señalado con un margen de  5% para el ancho de banda señalado en la longitud de onda central específica.

(61)
[image:61.612.162.452.142.381.2]

45 para la longitud completa. En el límite se encontró que los mejores resultados se obtenían al estudiar un solo periodo de oscilación del perfil de índice de refracción.

FIGURA 4-2. CURVAS DE REFLECTANCIA Y TRANSMITANCIA CON UNA LONGITUD DE ONDA CENTRAL DE 850 nm Y CON UN ANCHO ESPECTRAL DE ±10 nm. SE USÓ n2 = 2.3, n4 = 0.02, k = 6.75×106 Y d = 184 nm.

Las curvas mostradas en la Figura 4-2 podrían asumirse como cercanas a un splitter 15/85

(62)
[image:62.612.157.446.75.318.2]

46

FIGURA 4-3.CURVAS DE REFLECTANCIA Y TRANSMITANCIA CON UNA LONGITUD DE ONDA CENTRAL DE 1310 nm Y CON UN ANCHO ESPECTRAL DE ±20 nm. SE USÓ n2 = 1.25, n4 = 0.009, K = 4.52106 Y d = 524 nm.

En la Figura 4-3 se muestran las curvas que se considerarán como un splitter de 20/80 de

20 nm para uso en segunda ventana óptica.

[image:62.612.155.446.439.680.2]
(63)
[image:63.612.156.445.159.403.2]

47 La Figura 4-4 muestra las curvas correspondientes a un splitter con una razón de acoplamiento 10/90 y con un ancho espectral de 10 nm. También éste presenta un buen comportamiento en términos de la rapidez de variación de sus curvas.

FIGURA 4-5. CURVAS DE REFLECTANCIA Y TRANSMITANCIA CON UNA LONGITUD DE ONDA CENTRAL DE 1310 nm Y CON UN ANCHO ESPECTRAL DE ±20 nm. SE USÓ n2 = 1.4, n4 = 0.02, k = 3.51106 Y d = 553 nm.

(64)
[image:64.612.157.447.75.316.2]

48

FIGURA 4-6. CURVAS DE REFLECTANCIA Y TRANSMITANCIA CON UNA LONGITUD DE ONDA CENTRAL DE 1310 nm Y CON UN ANCHO ESPECTRAL DE ±20 nm. SE USÓ n2 = 2.05, n4 = 0.013, k = 3.85106 Y d = 378 nm.

[image:64.612.157.448.398.635.2]
(65)

49 Las Figuras 4-6 y 4-7 muestran las curvas correspondientes a divisores ópticos con una razón de acoplamiento 5/95 y anchos espectrales de 20 nm y 40 nm respectivamente. Dentro de las curvas obtenidas éstas son las que tienen el peor comportamiento dado que la transmitancia decrece lentamente alrededor del intervalo de longitudes de onda en el que operaría el dispositivo. Igualmente ocurre con el crecimiento de la reflectancia.

(66)

50

CONCLUSIONES

CAPÍTULO 5.

Existen muchas aplicaciones en las comunicaciones ópticas donde surgen medios conformados por capas no homogéneas y se consideró de gran utilidad para estudiarlos aplicar el método SPPS.

La notable precisión de dicho método (de la cual se vieron ejemplos en la Sección 3.2), el tiempo de cómputo (aproximadamente toma 0.26 segundos evaluar cada longitud de onda considerada) y la relativa facilidad de su implementación lo convierten en una útil herramienta para el cálculo de los coeficientes de reflectancia y transmitancia. Además SPPS tiene como principal ventaja sobre otros métodos su capacidad de lidiar con perfiles casi completamente arbitrarios, por lo que se considera un método eficaz y eficiente.

En las propuestas presentadas para la caracterización de medios compuestos por una delgada capa no homogénea que permitiera aproximar un splitter, se aprovechó la facilidad con que pueden realizarse los cambios en los parámetros considerados para evaluar múltiples perfiles y elegir los más cercanos a dispositivos comerciales. Si bien se requiere de aún más pruebas para aplanar las crestas de las curvas y ajustar las longitudes de onda de corte, creemos que es posible obtener excelentes aproximaciones de divisores usando este método. De hecho en los ejemplos mostrados al final del Capítulo 4 puede apreciarse lo cercanos que son los valores de razón de acoplamiento y de ancho de banda obtenidos a valores reales de dispositivos prácticos y además se logró tener completamente el control de la longitud de onda central deseada.

Figure

Figura 1 [25].
FIGURA 1-2. CONFIGURACIONES DE UNA RED FTTX.
FIGURA 1-3. TECNOLOGÍAS MÁS DESTACADAS A NIVEL MUNDIAL QUE OFRECEN SERVICIOS DE BANDA ANCHA [38]
TABLA 1-1. EVOLUCIÓN DE LA RED PON.
+7

Referencias

Documento similar

[r]

(58) A este respecto es muy interesante el caso de la Cañada real de las Merinas, contemplado por la sentencia de 18 de abril de 1956 (Arz. 2.233): el propietario del monte Pilar

Pliegue asimétrico mostrando una pizarrosidad de plano axial (martillo) en las pizarras del volcanismo ácido inicial del anticlinorio de Coto Vicario.. El martillo muestra la

2.- Aunque, para elaborar un comentario completo, debemos formular varias preguntas, en los ejercicios pedagógicos es preferible que reduzcamos, sobre todo al principio,

Cedulario se inicia a mediados del siglo XVIL, por sus propias cédulas puede advertirse que no estaba totalmente conquistada la Nueva Gali- cia, ya que a fines del siglo xvn y en

[r]

SVP, EXECUTIVE CREATIVE DIRECTOR JACK MORTON