Fco Javier Corral 2017-2018 01. Un punto describe una trayectoria circular de 1m de radio con una velocidad de 3 rad/s. Expresar la ecuación del movimiento que resulta al proyectar el punto sobre el diámetro vertical:
a) El tiempo comienza cuando la sombra está en el centro. b) El tiempo comienza cuando el punto ha recorrido 30º
Si el tiempo comienza en el centro y A sen t y 1·sen3t Si hay un desfase inicial de 30º
6
yA sen( t ) y 1·sen(3t )
02. Un objeto oscila según un movimiento armónico simple dado por x = A sen ωt. Si el valor de la amplitud de la oscilación es 6 cm y la aceleración del objeto cuando x = – 4 cm es 24 cm/s2, calcular:
a) La aceleración cuando x = 1 cm
b) la velocidad máxima que alcanza el objeto.
La ecuación de la aceleración es: a A 2sen t 2x, luego 6 rad·s1
para x=0,01 m la aceleración es a 2x 0,06ms2
la velocidad es v A cos t y el valor máximo es 1 MAX
v A 0,06 6 m·s
03. Una partícula de 50 g vibra a lo largo del eje X, alejándose como máximo 10 cm a un lado y a otro de la posición de equilibrio (x = 0). El estudio de su movimiento ha revelado que existe una relación sencilla entre la aceleración y la posición que ocupa en cada instante: a = -16 2x.
a) Escriba las expresiones de la posición y la velocidad de la partícula en función del tiempo, sabiendo que se comenzó a medir cuando la partícula pasaba por la posición x = 10 cm.
b) Calcule las energías cinética y potencial de la partícula cuando se encuentra a 5 cm de la posición de equilibrio.
a) La amplitud del movimiento es A 0,10m y la pulsación 4
luego la ecuación del movimiento sería x A sen t 0,10sen4 t si hubiera comenzado en la posición de equilibrio, pero inicialmente comienza en máximo y tiene un desfase de 90º por lo que la ecuación del
movimiento es x 0,10·sen(4 2) y la velocidad su derivada v dx 0,10·4 cos(4 t 2) dt
b) La velocidad para cualquier punto es v A2x2
en el punto medio se alcanza la velocidad máxima x 0 v 4 ·0,10 0,40 y la energía total
coincide con la energía cinética máxima 2 3 2 2
TOTAL C MAX MAX
1 1
E E mv 50·10 (0,40 ) 3,95·10 J
2 2
Cuando 2 2 2 2 1 3 2 2
C 1
x 0,05 v A x 4 0,10 0,05 1,09ms E 50·10 ·1,09 2,97·10 J
2
y la energía potencial por diferencia 2 2 3
P TOT C
E E E 3,95·10 2,97·10 9,8·10 J
04. Una partícula de 2 g oscila con movimiento armónico simple de 4 cm de amplitud y 8 Hz de frecuencia y en el instante t = 0 se encuentra en la posición de equilibrio.
a) Escriba la ecuación del movimiento y explique las variaciones de energías cinética y potencial de la partícula durante un periodo.
Fco Javier Corral 2017-2018 a) Nos dice que A0,04m 2 f 16 s 1 0 con lo que la ecuación del movimiento es
y A sen t 0,04sen16 t
y sabemos que la energía potencial es máxima en los extremos y mínima en el centro mientras que la energía cinética es máxima en el centro.
b) Igual que en el problema anterior
1 3 2 3
MAX TOT CMAX
2 2 2 2 1 3 2 3 4
1 C P
1
v A 0,04·16 2,01ms E E 2·10 2,01 4,04·10 J
2 1
v A x 16 0,04 0,01 1,95ms E 2·10 1,95 3,80·10 J E 2,40·10 J
2
05. Un objeto oscila con frecuencia angular de 8 rad/s. En el instante t=0, el objeto se encuentra en la posición x=4 cm y tiene una velocidad de -25 cm/s. Determinar la amplitud y la fase para este movimiento y escribir x en función de t.
La ecuación del movimiento es x A sen(8t ) y la velocidad v A 8cos(8t )
En el instante t=0 x 0,04 A sen( ) v 0,25 A 8 cos( )
si dividimos las dos expresiones,
8·0,04
tg 0,91 rad
0,25
A=0,05 m y la ecuación del movimiento es x 0,05sen(8t 0,91 )
06. Una partícula de 5 g de masa se mueve con movimiento armónico simple de 6 cm de amplitud a lo largo del eje X. En el instante inicial su elongación es de 3 cm y el sentido del desplazamiento hacia el extremo positivo. Un segundo más tarde su elongación es de 6 cm por primera vez. Determine:
a) la fase inicial y la frecuencia del movimiento;
b) la función matemática que representa la elongación en función del tiempo: x = x(t) c) los valores máximos de la velocidad y de la aceleración, así como las posiciones. d) la fuerza que actúa sobre la partícula en t=1s y su energía mecánica.
El movimiento no comienza en el origen, vemos que hay desfase inicial. La ecuación del movimiento es del tipo x A sen( t ). Con los datos que nos da podemos escribir:
1 6
6 6 3
t 0 0,03 0,06 sen(0 ) sen 0,5
t 1 0,06 0,06 sen( ) sen( ) 1 f 0,167 s
2
y la ecuación del movimiento es x 0,06 sen( t 3 6)
c) derivando la elongación obtenemos la velocidad y la aceleración
2 1
MAX
3 3 6
dx
v 0,06 cos( t ) v 6,28·10 ms dt
que se alcanza en la posición de equilibrio
2
2 2
MAX
3 6
3
dv
a 0,06 sen( t ) a 6,58·10 ms dt
que se alcanza en los extremos
d) La aceleración para t=1s es la máxima y la fuerza ejercida es F m·a 5·10 ·6,58·10 3 23,29·10 N4
07. Al estudiar el movimiento de un muelle se obtienen los siguientes valores:
Masa g 0 2 6 10 15 20
Fco Javier Corral 2017-2018 El alargamiento del muelle es proporcional a la fuerza que tira de él F mg k x .
Al analizar los datos de alargamiento vemos que el muelle se estira 1mm por cada gramo de masa aproximadamente, excepto para el último valor, cuando la masa es de 20 g se ha superado el límite de elasticidad del muelle. Para los valores intermedios, tenemos:
1 1 1 1
2 6 10 15
k 10Nm ; k 9,84Nm ; k 10,10Nm ; k 10,07Nm
El valor de la constante será la media 1 MED
k 10,00Nm
08. Al suspender un cuerpo de 0,5 kg del extremo libre de un muelle que cuelga verticalmente, se observa un alargamiento de 5 cm. Si a continuación, se tira hacia abajo del cuerpo, hasta alargar el muelle 2 cm más, y se suelta, comienza a oscilar.
a) Haga un análisis energético del problema y escriba la ecuación del movimiento de la masa. b) Si, en lugar de estirar el muelle 2 cm, se estira 3 cm, ¿cómo se modificaría la ecuación del movimiento del cuerpo?
La constante del muelle es F k x k 100Nm 1 y el periodo de oscilación T 2 m 4,44·10 s1
k
que
corresponde con una pulsación 2 14,15s 1 T
Cuando comienza el movimiento, el cuerpo está en la posición más baja y el desfase inicial es de -90º
y la ecuación del movimiento es
2
y0,02sen(14,15t)
Si inicialmente se estira 3 cm la ecuación es
2
y0,03sen(14,15t)
09. Explique razonadamente cómo varía la energía mecánica de un oscilador armónico si: a) Se duplica la amplitud.
b) Se duplica la amplitud y se reduce la frecuencia a la mitad.
10. Un resorte de masa despreciable se estira 0,1 m cuando se la aplica una fuerza de 2,45 N. Se fija en su extremo libre una masa de 0,085 kg y se estira 0,15 m a lo largo de una mesa horizontal desde su posición de equilibrio y se suelta dejándolo oscilar libremente sin rozamiento. Calcula:
a) la constante elástica del resorte y su periodo de oscilación;
b) la energía total asociada a la oscilación y las energías potencial y cinética cuando x = 0,075 m
La constante del muelle es k F 24,5Nm1 x
y su periodo T 2 m 2 0,085 0,37 s
k 24,5
La energía total del muelle es igual a la potencial en la posición de máximo estiramiento
2 2
MAX MAX
1 1
2 2
E k x 24,5·0,15 0,276 J
Cuando está en la posición x=0,075 m, las energías son
2 2
P TOT
C TOT P
1 1
2 2
E kx 24,5·0,075 0,069J E 0,276 J
E E E 0,276 0,069 0,207 J
Fco Javier Corral 2017-2018 a) la fuerza ejercida sobre el bloque;
b) la aceleración del bloque;
c) la energía potencial elástica del sistema, y d) la velocidad del bloque
La fuerza que ejerce el muelle es F k·x 35·0,01 0,35N m·a a 700ms 2
la energía total del sistema es 2 2 MAX
1 2
E k·x 2,8·10 J y cuando está estirado 1 cm tiene una energía
potencial de 2 3 P
1 2
E k·x 1,75·10 J y una cinética de 2
C P
E E E 2,625·10 J que corresponde con una
velocidad de 2 1
C 1 2
E mv v 1,025ms
12. Un muelle de masa despreciable tiene una longitud de 20 cm. Cuando de su extremo inferior se cuelga un cuerpo de 0,1 kg de masa la longitud del muelle es 30 cm.
a) Calcula la constante del muelle.
Partiendo de la posición de equilibrio, se desplaza M hacia arriba 10 cm, es decir, hasta que el muelle tiene su longitud natural. A continuación se suelta M con velocidad inicial nula, de forma que empieza a oscilar armónicamente en dirección vertical.
b) Calcula la longitud máxima del muelle, en el punto más bajo de la oscilación de M.
c) Calcula la amplitud y la frecuencia de la oscilación, y la velocidad de M cuando pasa por su posición de equilibrio.
La constante del muelle es k F mg 10Nm1
x x
La longitud máxima del muelle son 40 cm; se desplaza 10 cm de la posición de equilibrio.
La amplitud de la oscilación son 10 cm y la frecuencia f 1 1 k 1,59s1
T 2 m
La energía potencial máxima es 2 2 MAX
1 1
E k x 10·0,1 0,05J
2 2
que es igual a la energía cinética cuando pasa por la posición de equilibrio,
2 1
C
1 2
E 0,05 mv v 1m·s
13. Una pequeña esfera homogénea de masa 1,2 kg, que cuelga de un resorte vertical, de constante 300 N/m, oscila con una velocidad máxima de 30 cm/s. Determinar:
a) el período del movimiento;
b) el desplazamiento máximo de la esfera respecto de la posición de equilibrio;
c) las energías de la esfera cuando se encuentra en la posición de desplazamiento máximo
El periodo de oscilación es T 2 m 2 1,2 0,397 s
k 300
La energía en el centro y en los extremos es la misma:
2 2 2 2 2
C MAX P MAX MAX MAX MAX MAX
1 1
2 2
E E mv k x 1,2·0,3 300·x x 1,9·10 m
y la energía en el extremo es 2 2
P MAX MAX
1 2
E k x 5,4·10 J
14. Un cuerpo de 2 kg cae sobre un resorte elástico de constante k=4000 N·m–1, vertical y sujeto al suelo.
Fco Javier Corral 2017-2018 b) Calcular la deformación máxima del resorte.
c) Calcular la aceleración de frenado del cuerpo una vez que ha tocado el muelle. d) Representar gráficamente la velocidad y la aceleración frente al tiempo.
Suponemos que el cuerpo es puntual. La energía potencial del cuerpo al principio se convierte en potencial del cuerpo y potencial del muelle.
2 2
0 F
1 2
E E mg(L 2) mg(L x) kx 2000x 20x 40 0 20 400 4·40·2000
x 0,147 m
4000
Cuando el cuerpo toca el muelle su velocidad es:
1
v 2gh 2·10·2 6,32m·s y se para 0,147 m después, luego
2 2 2
2 2 0 F 2
F 0
v v 6,32
v v 2ae a 135,86m·s
2e 2·0,147
Variación de la velocidad:
Parte 1: Movimiento acelerado a=10 ms-2 t=0,632 s
Parte 2: Movimiento de frenado a=135,86 ms-2 t=0,047 s
15. Una masa m está suspendida de un muelle. ¿Qué masa deberíamos añadirle para que el periodo de oscilación se duplique?
El periodo de oscilación de un cuerpo suspendido de un muelle es T 2 m k
Para que se duplique el periodo, la masa debe de cuadruplicarse. La masa a añadir es 3m.
16. Un objeto de 3 kg sujeto a un muelle oscila con una amplitud de 4 cm y un periodo de 2 s. ¿Cuál es la energía total del objeto? ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto y en qué posición se alcanza? ¿En qué posición la velocidad es igual a la mitad de su valor máximo, y en cuál la energía potencial es igual a la cinética?
Sabemos que el periodo es
2 2
1 2
T
2 2
4 ·3
m 4 m 1
T 2 k 30Nm E k A 0,024 J
k T 2 2
La velocidad máxima se alcanza cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio, x=0 y EP=0
2 1
C MAX MAX
1 2
E mv 0,024 J v 0,126ms
Si 1 2 3
MAX C
1 1
2 2
v v 0,063ms E mv 6·10 J
2 2
P T C
1 2
E E E 1,8·10 J k x x0,035m
Para que se igualen las energías 1 2
2
P C T
1 0,024
E E E 0,012J k x x 0,028m
2 30
L-x L
2 m
v
t a
Fco Javier Corral 2017-2018 17. Una masa de 1 kg situada en un plano horizontal sin rozamiento está unida a un muelle, fijo por su otro extremo a la pared. Para mantener estirado el muelle una longitud de 3 cm se requiere una fuerza de 6 N. Si se deja el sistema en libertad, calcular:
a) el período de oscilación
b) el trabajo realizado por el muelle desde la posición x=3 cm, hasta x=0. c) la velocidad cuando se encuentre a 1 cm de la posición de equilibrio
d) Si el muelle se hubiese estirado inicialmente 5 cm, ¿cuál sería su frecuencia de oscilación?.
La constante del muelle es F k x k200Nm1
y el periodo con el que oscila T 2 m 2 1 0,44 s
k 200
El trabajo realizado por el muelle es la variación de energía potencial entre las dos posiciones
2 P
1 2
W E k x 0,09J
La energía total del muelle es 2
TOT P MAX MAX
1 2
E E k x 0,09J y cuando se encuentra a 1 cm del equilibrio la
energía potencial es 2 P
1 2
E k x 0,01J y la cinética 2 1
C TOT P
1 2
E E E 0,08J mv v0,4ms
Si se estira 5 cm en lugar de 3 cm, la frecuencia de oscilación y el periodo no varían. Sólo depende del valor de m y de k.
18. De un hilo muy fino pendiente del techo de una sala colgamos una masa puntual de plomo. La distancia entre su centro y el suelo es de 14,2 cm. La hacemos oscilar y da 50 oscilaciones en 345 s. Si acortamos el hilo, cuando la masa está a 2,20 m del suelo, tarda 314 s. Calcular la altura de la sala y el valor de la gravedad es ese lugar.
Se trata de dos péndulos.
Péndulo 1 50 oscilaciones en 345 s T16,9s L1 h 0,142
Péndulo 2 50 oscilaciones en 314 s T2 6,28 s L2 h 2,20
Si dividimos las expresiones de los periodos:
1 1
2 2
T L 6,9 h 0,142 h 12m T L 6,28 h 2,20
la gravedad será
2
2
L 4 L
T 2 g
g T
, sustituyendo para cualquiera de los dos g 9,8ms 2
19. Un péndulo simple tiene un período en la superficie terrestre. Cuando se pone a oscilar en la superficie del planeta X el período se reduce a la mitad. Calcular la velocidad con la que llega al suelo un cuerpo en el planeta X si se deja caer desde 100 m de altura.
Relacionando los periodos, X T 2
X T
T X
T g 1 g 4 g 40m·s
T g 2
Fco Javier Corral 2017-2018 20. Un péndulo que bate segundos en Ponferrada (g=9,804 ms-2) se traslada al Ecuador. Calcular la
gravedad en el ecuador sabiendo que el péndulo da 125 oscilaciones menos por día.
Aquí da 43200 oscilaciones completas en 24 horas, en el Ecuador dará 43075 y el periodo allí es 2,006 s
2 2
2
PONFE ECUA PONFE
ECUA PONFE 2 2
ECUA PONFE ECUA
T g g g T 9,804 2 9,745m·s
T g T 2,006
21*. Agujereamos la Tierra de polo a polo y dejamos caer por ese tubo un objeto de masa m. ¿Cómo es el movimiento? ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al mismo punto? ¿Cuál es la ecuación del movimiento? ¿Con qué velocidad pasará por el centro de la Tierra?
Opción 1: El movimiento es periódico. Acelerado desde el inicio hasta el centro de la Tierra y decelerado desde el centro de la Tierra hasta el punto final (la aceleración de frenado cada vez mayor).
La fuerza con la que la Tierra atrae al cuerpo es:
6 2
Mm 4 4
F G G Rm kR k G m 1,54·10 m
3 3
R
La energía en los puntos A y B es la misma
2 2 2 2 2 1
A B P C T T T
1 1 4 4
2 2 3 3
E E E E kR mv G mR mv v G R 7896,4m·s
El tiempo de una oscilación completa es el periodo T 2 m 2 3 5067 s
k 4 G
Opción 2: Es un movimiento periódico de amplitud A6,37·10 m6 y aceleración máxima de 9,8 ms-2
2 3 1
T 3
2
a R 9,8 1,24·10 s T 5067 s
1,24·10
La ecuación del movimiento es 6 3
T
y R sen( t ) 6,37·10 sen 1,24·10 t 2
y la velocidad en cualquier
punto es su derivada v dy 6,37·10 ·1,24·10 cos 1,24·10 t6 3 3
dt 2
que alcanza el valor máximo en el
centro de la Tierra: 6 3 1
MAX
v 6,37·10 ·1,24·10 7898,8ms
22. Una masa de 50 g se cuelga de una cinta de goma de masa despreciable que se alarga 0,1 m. Calcular: a) la constante elástica de la goma.
b) la frecuencia característica de oscilación del sistema
c) Si la masa se desplaza 5 cm por debajo de su posición de equilibrio y se suelta ¿qué velocidad lleva al pasar por la posición de equilibrio?
La constante es k F 5N·m1 x
y la frecuencia de oscilación f 1 1 k 1,59s1
T 2 m
Para calcular la velocidad igualamos energías 1k x2 1mv2 v kx 0,5ms1
2 2 m
a=-9,8
a=+9,8 a=0 A
Fco Javier Corral 2017-2018 23. Un objeto de 2,5 kg está unido a un muelle horizontal y realiza un movimiento armónico simple sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 3,3 Hz. Determine:
a) El período del movimiento y la constante elástica del muelle. b) La velocidad máxima y la aceleración máxima del objeto.
El periodo es inmediato,
2 2
1
2 2
4 m 4 ·2,5
1 m
T 0,30 s T 2 k 1095,5Nm
f k T 0,30
La energía total es 2 2 1
MAX MAX
1 1
2 2
k 1095,5
E k A mv v A 0,05 1,05ms
m 2,5
La aceleración siempre es
2
2 2 2
MAX 2
4 A
a x a A 21,91ms
T
24. Una masa de 0,5 kg está colgada del techo por una cuerda de 1 m de longitud y gira describiendo circunferencias horizontales de 0,1 m de radio (péndulo cónico). Dibujar las fuerzas que actúan sobre la masa y calcular:
a) La tensión de la cuerda y la frecuencia del movimiento.
b) Si la velocidad se duplica, calcular el ángulo del hilo con la vertical y la tensión.
sen 0,1 5,74º, en la figura:
2
CP 1
F mv
tg5,74º v gR tg5,74º 0,317ms P mgR
y la tensión es
2 2
CP
F mv 0,5·0,317
T 5,02N
sen R sen 0,1·0,1
en dar una vuelta, tarda 2 R 2 ·0,1 1,98 s f 0,50Hz v 0,317
Recordemos que R Lsen , si se duplica la velocidad:
2 2 2
CP 1
2
2
F mv v sen 0,634 0,04
v 0,634ms tg
P mgR gR cos 10·1·sen sen
1 cos 0,04 cos 0,04 cos 1 0 11,42º R L sen 0,198m cos
y la nueva tensión es FCP mv2 0,5·0,6342
T 5,13N
sen R sen 0,198·0,198
