1 Fco Javier Corral 2012-2013
01. Un punto describe una trayectoria circular de 1m de radio con una velocidad de 3 rad/s. Expresar la ecuación del movimiento que resulta al proyectar el punto sobre el diámetro vertical:
a) El tiempo comienza cuando la sombra está en el centro. b) El tiempo comienza cuando el punto ha recorrido 30º
Las ecuaciones son yA A sen t sen3t , B
6
y A sen( t ) sen 3t
02. Un objeto oscila según un movimiento armónico simple dado por x = A sen ωt. Si el valor de la amplitud de la oscilación es 6 cm y la aceleración del objeto cuando x = – 4 cm es 24 cm/s2, calcular:
a) La aceleración cuando x = 1 cm
b) la velocidad máxima que alcanza el objeto.
La ecuación de la aceleración es: a A 2sen t 2x, luego 6 rad·s1
para x=0,01 m la aceleración es a 2x 0,06ms2
la velocidad es
v
A cos t
y el valor máximo es 1MAX
v A 0,06 6 m·s
03. Un objeto oscila con frecuencia angular de 8 rad/s. En el instante t=0, el objeto se encuentra en la posición x=4 cm y tiene una velocidad de -25 cm/s. Determinar la amplitud y la
fase para este movimiento y escribir x en función de t.
La ecuación del movimiento es x A sen(8t ) y la velocidad vA 8cos(8t )
En el instante t=0 x 0,04 A sen( )
v 0,25 A 8cos( )
dividiendo,
8·0,04
tg 0,91 rad
0,25
, A=0,05 m y la ecuación
del movimiento es x 0,05sen(8t 0,91 )
04. Al estudiar el movimiento de un muelle se obtienen los siguientes valores:
Masa g 0 2 6 10 15 20
Longitud mm 70,0 72,0 76,1 79,9 84,9 99,2
Calcular la constante del muelle. ¿El comportamiento es elástico para todos los valores?.
El alargamiento del muelle es proporcional a la fuerza que tira de él
F mg k x
.Al analizar los datos de alargamiento vemos que el muelle se estira 1mm por cada gramo de masa aproximadamente, excepto para el último valor, cuando la masa es de 20 g se ha superado el límite de elasticidad del muelle. Para los valores intermedios, tenemos:
1 1 1 1
2 6 10 15
k 10Nm ; k 9,84Nm ; k 10,10Nm ; k 10,07Nm
El valor de la constante será la media 1
MED
k 10,00Nm
05. Un resorte de masa despreciable se estira 0,1 m cuando se la aplica una fuerza de 2,45 N. Se fija en su extremo libre una masa de 0,085 kg y se estira 0,15 m a lo largo de una mesa horizontal desde su posición de equilibrio y se suelta dejándolo oscilar libremente sin rozamiento. Calcula:
a) la constante elástica del resorte y su periodo de oscilación;
b) la energía total asociada a la oscilación y las energías potencial y cinética cuando x = 0,075 m
La constante del muelle es k F 24,5Nm1 x
y su periodo T 2 m 2 0,085 0,37 s
k 24,5
La energía total del muelle es igual a la potencial en la posición de máximo estiramiento
2 2
MAX MAX
1 1
2 2
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Cuando está en la posición x=0,075 m, las energías son
2 2
P TOT
C TOT P
1 1
2 2
E kx 24,5·0,075 0,069J E 0,276 J
E E E 0,276 0,069 0,207 J
06. Un muelle de masa despreciable tiene una longitud de 20 cm. Cuando de su extremo inferior se cuelga un cuerpo de 0,1 kg de masa la longitud del muelle es 30 cm.
a) Calcula la constante del muelle.
Partiendo de la posición de equilibrio, se desplaza M hacia arriba 10 cm, es decir, hasta que el muelle tiene su longitud natural. A continuación se suelta M con velocidad inicial nula, de forma que empieza a oscilar armónicamente en dirección vertical.
b) Calcula la longitud máxima del muelle, en el punto más bajo de la oscilación de M.
c) Calcula la amplitud y la frecuencia de la oscilación, y la velocidad de M cuando pasa por su posición de equilibrio.
La constante del muelle es k F mg 10Nm1
x x
La longitud máxima del muelle son 40 cm; se desplaza 10 cm de la posición de equilibrio.
La amplitud de la oscilación son 10 cm y la frecuencia f 1 1 k 1,59s1 T 2 m
La energía potencial máxima es 2 2
MAX
1 1
E k x 10·0,1 0,05J
2 2
que es igual a la energía cinética
cuando pasa por la posición de equilibrio,
2 1
C
1 2
E 0,05 mv v 1m·s
07. Un cuerpo de 2 kg cae sobre un resorte elástico de constante k=4000 N·m–1, vertical y sujeto al suelo.
La altura a la que se suelta el cuerpo, medida sobre el extremo superior del resorte, es de 2 m. a) Explicar los cambios energéticos durante la caída y la compresión.
b) Calcular la deformación máxima del resorte.
c) Calcular la aceleración de frenado del cuerpo una vez que ha tocado el muelle. d) Representar gráficamente la velocidad y la aceleración frente al tiempo.
Suponemos que el cuerpo es puntual. La energía potencial del cuerpo al principio se convierte en potencial del cuerpo y potencial del muelle.
2 2
0 F
1 2
E E mg(L 2) mg(L x) kx 2000x 20x 40 0
20 400 4·40·2000
x 0,147m
4000
Cuando el cuerpo toca el muelle su velocidad es:
1
v 2gh 2·10·2 6,32m·s y se para 0,147 m después, luego
2 2 2
2 2 0 F 2
F 0
v v 6,32
v v 2ae a 135,86m·s
2e 2·0,147
Variación de la velocidad:
Parte 1: Movimiento acelerado a=10 ms-2 t=0,632 s
Parte 2: Movimiento de frenado a=135,86 ms-2 t=0,047 s
L-x L
2 m
v
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08. Una masa m está suspendida de un muelle. ¿Qué masa deberíamos añadirle para que el periodo de oscilación se duplique?
El periodo de oscilación de un cuerpo suspendido de un muelle es T 2 m k
Para que se duplique el periodo, la masa debe de cuadruplicarse. La masa a añadir es 3m.
09. Un objeto de 3 kg sujeto a un muelle oscila con una amplitud de 4 cm y un periodo de 2 s. ¿Cuál es la energía total del objeto? ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto y en que posición se alcanza? ¿En que posición la velocidad es igual a al mitad de su valor máximo, y en cuál la energía potencial es igual a la cinética?
Sabemos que el periodo es 2 2 1 2
T
2 2
4 ·3
m 4 m 1
T 2 k 30Nm E k A 0,024 J
k T 2 2
La velocidad máxima se alcanza cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio, x=0 y EP=0
2 1
C MAX MAX
1 2
E mv 0,024 J v 0,126ms
Si 1 2 3
MAX C
1 1
2 2
v v 0,063ms E mv 6·10 J
2 2
P T C
1 2
E E E 1,8·10 J k x x 0,035m
Para que se igualen las energías 1
2 2
P C T
1 0,024
E E E 0,012J k x x 0,028m
2 30
10. Dos masas m y M se cuelgan de dos muelles idénticos de constante k. Cuando se ponen en movimiento, la frecuencia de M es tres veces la de m. Calcular la relación entre las masas.
M m f
m 1 k m m
T 2 f 3 9
k 2 m f M M
11. De un hilo muy fino pendiente del techo de una sala colgamos una masa puntual de plomo. La distancia entre su centro y el suelo es de 14,2 cm. La hacemos oscilar y da 50 oscilaciones en 345 s. Si acortamos el hilo, cuando la masa está a 2,20 m del suelo, tarda 314 s. Calcular la altura de la sala y el valor de la gravedad es ese lugar.
Se trata de dos péndulos.
Péndulo 1 50 osc en 345 s T16,9s L1 h 0,142
Péndulo 2 50 osc en 314 s T2 6,28s L2 h 2,20
Si dividimos las expresiones de los periodos:
1 1
2 2
T L 6,9 h 0,142 h 12m
T L 6,28 h 2,20
la gravedad será
2 2
L 4 L
T 2 g
g T
, sustituyendo para cualquiera de los dos g 9,8ms 2
12. Un reloj de péndulo que funciona correctamente en un punto donde g = 9,80 ms-2 atrasa 10s diarios a
una altura h. Calcular h.
Supongamos que el péndulo tiene un periodo de 1 s. En la nueva posición atrasa 10 s diarios luego el nuevo
periodo es T 1 10 1,000116 s
86400
. Si dividimos el valor de los dos periodos:
2 0
X
X
0 X
g T
1,000116 g 9,7977ms
T g
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Sabemos que la gravedad varía con la altura T T
T 2
T
M GM
g G h R 10452,92m
g (R h)
13. Un péndulo simple tiene un período en la superficie terrestre. Cuando se pone a oscilar en la superficie del planeta X el período se reduce a la mitad. Calcular la velocidad con la que llega al suelo un cuerpo en el planeta X si se deja caer desde 100m de altura.
Relacionando los periodos, X T 2
X T
T X
T g 1 g 4 g 40m·s
T g 2
la velocidad de llegada al suelo es v 2gh 2·40·100 89,44m·s 1
14. Un péndulo bate segundos en Ponferrada (g=9,804 ms-2) se traslada al Ecuador. Calcular la gravedad en
el ecuador sabiendo que el péndulo da 125 oscilaciones menos por día.
Aquí da 43200 oscilaciones completas, en el Ecuador dará 43075 y el periodo allí es 2,006 s
2 2
2
PONFE ECUA PONFE
ECUA PONFE 2 2
ECUA PONFE ECUA
T g T 2
g g 9,804 9,745m·s
T g T 2,006
15*. Agujereamos la Tierra de polo a polo y dejamos caer por ese tubo un objeto de masa m. ¿Cómo es el movimiento? ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al mismo punto? ¿Cuál es la ecuación del movimiento? ¿Con qué velocidad pasará por el centro de la Tierra?
El movimiento es periódico. Acelerado desde el inicio hasta el centro de la Tierra y decelerado desde el centro de la Tierra hasta el punto final (la aceleración de frenado cada vez mayor).
La fuerza de atracción es F GMm2 G4 Rm kR
3 R
4
k G m
3
La energía en los puntos A y B es la misma
2 2 2 2 2 1
A B P C T T T
1 1 4 4
2 2 3 3
E E E E kR mv G mR mv v G R 7894,4m·s
El tiempo de una oscilación completa es el periodo T 2 m 2 3 5067 s
k 4 G
16. Una masa de 50 g se cuelga de una cinta de goma de masa despreciable que se alarga 0,1 m. Calcular: a) la constante elástica de la goma.
b) la frecuencia característica de oscilación del sistema
c) Si la masa se desplaza 5 cm por debajo de su posición de equilibrio y se suelta ¿qué velocidad lleva al pasar por la posición de equilibrio?
La constante es k F 5Nm1 x
y la frecuencia de oscilación f 1 1 k 1,59s 1
T 2 m
Para calcular la velocidad igualamos energías 1k x2 1mv2 v kx 0,5ms1
2 2 m
17. Un objeto de 2,5 kg está unido a un muelle horizontal y realiza un movimiento armónico simple sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 3,3 Hz. Determine:
a=+9,8
a=-9,8 a=0 A
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a) El período del movimiento y la constante elástica del muelle. b) La velocidad máxima y la aceleración máxima del objeto.
El periodo es inmediato, 2 2 1
2 2
4 m 4 ·2,5
1 m
T 0,30 s T 2 k 1095,5Nm
f k T 0,30
La energía total es 2 2 1
MAX MAX
1 1
2 2
k 1095,5
E k A mv v A 0,05 1,05ms
m 2,5
La aceleración siempre es
2
2 2 2
MAX 2
4 A
a x a A 21,91ms
T
18. Una masa de 0,5 kg está colgada del techo por una cuerda de 1 m de longitud y gira describiendo circunferencias horizontales de 0,1 m de radio (péndulo cónico). Dibujar las fuerzas que actúan sobre la masa y calcular:
a) La tensión de la cuerda y la frecuencia del movimiento.
b) Si la velocidad se duplica, calcular el ángulo del hilo con la vertical y la tensión.
sen 0,1 5,74º, en la figura:
2
1 CP
F mv
tg5,74º v gR tg5,74º 0,317ms
P mgR
y la tensión es T FCP mv2 0,5·0,3172 5,02N
sen R sen 0,1·0,1
en dar una vuelta, tarda 2 R 2 ·0,1 1,98s f 0,50Hz
v 0,317
Recordemos que R Lsen , si se duplica la velocidad:
2 2 2
1 CP
2
2
F mv v sen 0,634 0,04
v 0,634ms tg
P mgR gR cos 10·1·sen sen
1 cos 0,04 cos 0,04 cos 1 0 11,42º R L sen 0,198m
cos
y la nueva tensión es
2 2
CP
F mv 0,5·0,634
T 5,13N
sen R sen 0,198·0,198
04. Una partícula realiza un movimiento armónico simple. Si la frecuencia de oscilación se reduce a la mitad manteniendo constante la amplitud de oscilación, explique qué ocurre con: a) el periodo; b) la velocidad máxima; c) la aceleración máxima y d) la energía mecánica de la partícula.
El periodo se duplica (inversa de la frecuencia). La velocidad es la derivada de la elongación y su valor
máximo es vMAX A· A·2 f , por lo que la velocidad se reduce a la mitad
