I E I C I GRADO 8 ALGEBRA DOC 1

INSTITUCION EDUCATIVA INTEGRADO CARRASQUILLA INDUSTRIAL AREA: MATEMATICAS ASIGNATURA: ALGEBRA

GRADO: 8 GRUPO: ____ JORNADA: ________ DOCENTES: MARIA ISABEL TRUQUE M Y RAFAEL SANABRIA TAPIAS ALUMNO: ____________________________________________________

UNIDAD N 1: NUMEROS REALES DOCUMENTO N 1. NUEMEROS ENTEROS MAPA CONCEPTUAL

Historia El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre representaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo, personas).

No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos de la India.

Encuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la cantidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba en "números rojos". Esta expresión venía del hecho que lo que hoy llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: 30 podía representar un balance positivo de 30 sueldos, mientras que 3 escrito con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de 3 sueldos.

.NUMEROS ENTEROS

Son una ampliación del conjunto de los naturales, ya que en estos no se puede hacer restas donde el minuendo es menor que el sustraendo ejemplo:

a) 17 – 26 b) 4 – 31 c) 19- 1992

Los números naturales se ampliaron introduciéndoles los números enteros negativos, los cuales nos sirven para representar situaciones como deudas, temperaturas bajo cero, metros bajo el nivel del mar y años antes de Cristo entre otros.

Los números enteros negativos se escriben anteponiéndoles un signo menos a cada número natural y se escriben de derecha a izquierda así:

Z- _{= {- ∞ ,….,-5, -4, -3, -2, -1}}

Los números enteros positivos, forman el conjunto Z+ _{que se determinan por} extensión así:

Z+ _{= {1, 2, 3, 4, 5, 6,….., ∞ } =N}

La unión de los: Z- _{, {0}, Z}+ _{es el conjunto de los números enteros.} Z = Z- _{U {0} U Z}+

Se representan con la letra Z y en forma de conjunto quedan así: Z = {- ∞ _{,….,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …..,} ∞ _}

REPRESENTACION GRAFICA.

Para representar gráficamente el conjunto de los números enteros debemos: 1. Se grafica una línea recta.

2. Se fija un punto en la recta al cual se hace corresponder el número cero. 3. Se establece una unidad de medida (Um= espacios iguales).

4. Se hacen marcas separadas unas de otras (con la Um), tanto a la derecha como a la izquierda del cero.

5. A cada marca se le asocia un numero entero en forma ordenada y consecutiva.

6. A la derecha del cero se ubican los enteros positivos.

Z

E n un diagrama de venn los números enteros se representan así:

Ejemplo: Simboliza las siguientes situaciones mediante números enteros. a) 17 grados bajo cero.

b) Posee (activo) $123.450. c) 317 años después de Cristo. d) 19 metros bajo el nivel del mar. e) 4 grados sobre cero.

f) 26 años antes de Cristo. g) Deuda (pasivo) de $350.000. h) 31 metros sobre el nivel del mar.

Solución:

a) -17º b) $123.450 c) 317 años d) -19 metros e) 4º f) -26 años g) -$350.000 h) 31 metros EJERCICIO PROPUESTO Nº 1.

1.1 Sitúa los siguientes números en la recta y ordénalos de menor a mayor: a) 10, 7 -9, 12, -8, -3, 4, 3. d) -17, 19, 4, -26, 25, 31, -4. b) -5, 2, 5, -2, -1, 0, 4, -7, -4. e) 0. 4, -3, 6, -11, 9. -7, 1. c) -8, 4, 8. -2, -6, 2, -4, 6, 0. f)1, -9, -3, 7, -5. -1, 9, 5, -7, 3, 1.2. Presenta mediante un número entero cada situación:

a) La altura de la serranía del Darién es metros sobre el nivel del mar.

b) En el año 624 a.c. nació el matemático THALES DE MILETO. c) El rio Atrato tiene una profundidad aproximada de 38 metros.

d) la lombriz Alvinella Pompejana puede sobrevivir a una temperatura de 105ºC. e) Un tesoro se encuentra a 371metros de profundidad.

1.3. Escribir ∈ _o ∉ _{en las casillas de la tabla según corresponda.}

N Z Z- _Z+

0 7 -14 19 -31 -125 50 26 -17 -4

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO

Es el mismo número entero sin tener en cuenta el signo o sea que es la distancia que separa el cero de dicho número, se representa por: |a|, y se lee valor absoluto de a. Ejemplo: a) |5| = 5 b) |-7| = 7 c) |-23| = 23 d) |56| = 56

Gráficamente se representa:

a) |5| = 5 pues la distancia entre 0 y 5 es de 5 unidades.

- ∞ … -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Z

...

∞

b) |-7| = 7 pues la distancia entre 0 y -7 es de 7 unidades.

Z

- ∞ -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... ∞

EJERCICIO PROPUESTO Nº 2

a) |9| = b) |-12| = c) |-34| = d) |-8| = e) |53| = f) |-41| = g) |29| = h) |61| = i) |-73| = j) |86| = 2.2. Determinar el valor de X en cada expresión.

a) |x| = 3 b) |-x| = 8 c) |x| =12 d) |x| = 0 e) |95-95| = x f) |-(-7)| = x g) |x| = 13 h) |50-39| = x i) |x| = 6 j) |-19| = x

2.3. Usar la notación de valor absoluto para determinar la distancia de cada número a cero (del ejercicio 2.1.)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

2.4. Completar la tabla.

a b -a -b |a| |b|

7 9 -7 -9 7 9

-3 11

-29 21

-14 -(-32)

15 37

-4 -31

OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO.

El opuesto de un número entero es aquel que tiene el mismo valor absoluto pero distinto signo.

Ejemplo, fíjate en la posición que ocupa el +3 y el–3 en la recta

Observa que 3 y –3 se encuentran a la misma distancia de 0. Son simétricos respecto al 0.

Tienen el mismo valor absoluto, pero distinto signo, como

|3| = 3 y |-3| = 3, entonces 3 y -3 son números enteros opuestos

EJERCICIO PROPUESTO Nº3.

3.1. Escribir el opuesto de los siguientes números.

numero opuesto numero opuesto numero opuesto

4 -3 -326

9 -8 456

2 -75 -904

7 -32 2.037

1 -61 -5007

25 -97 821

34 -29 -348

47 -43 675

3.2. Completar cada afirmación.

a) El número opuesto de 17es __________ b) El número opuesto de -63 es ___________

c) 7 es le opuesto del numero ___________ d) -51 es el opuesto del numero ___________

e) El número que no tiene opuesto es_______

3.3. Escribir cada número entero sin dobles signos.

a) – (-23) = b) – (+17) = c) –(-94) = d) - (-231).

3.4. Escribir V si la afirmación es verdadera o si es falsa.

a. El opuesto de todo número entero es negativo.__________ b. El opuesto de un número positivo es negativo.___________ c. El opuesto del opuesto de 4 es -4 _____________

d. El opuesto de -19 es 19 _____________ e. El opuesto de cero es cero.

f. Existe un número entero que no tiene opuesto.__________________ g. El opuesto del opuesto de un número entero, es el mismo número.

ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS.

Dados dos numero enteros a y b, entre ellos se satisface una y solo una de las siguientes relaciones: a › b, a ‹ b, a = b.

Para determinar si un número entero es mayor, menor e igual a otro es muy sencilla si utilizamos la recta numérica.

 a › b, si en la recta numérica a esta ubicado a la derecha de b.

0 b a

 a ‹ b, si en la recta numérica a esta ubicado a la izquierda de b.

0 a b

 a = b, si en la recta numérica a y b están ubicados en el mismo punto.

b 0 0 a

EJEMPLO. Escribir los símbolos: ›, ‹ o = para relacionar las siguientes parejas de números enteros.

a) -4 ____-9 b) -8 ____ 3 Solución

a) Representamos los números dados sobre la recta numérica, obtenemos

-9 -4 0

Como -4 está ubicado a la derecha de -9 entonces -4 ›-9.

b) Sobre la recta numérica -8 está a la izquierda de 3

-8 0 3

DESPLAZAMIENTOS

Un cuerpo se desplaza cuando al moverse cambia de posición.

En la recta, un cuerpo A se encuentra en la posición “0”; se mueve 5 pasos hacia la izquierda, luego 9 pasos hacia la derecha y finalmente 6 pasos hacia la izquierda. Después de estos tres desplazamientos, en qué posición se encuentra el cuerpo? Veamos.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 7

Después de los tres

desplazamientos el cuerpo A, se encuentra en la posición – 2 EJERCICIOS

1) Imagina que partes del punto cero en la recta numérica y representa los siguientes Desplazamientos:

a) Si retrocedes 7 pasos. ¿Cuántos pasos debes avanzar para llegar al punto 15 ? b) Si avanzas 4 pasos. ¿Cuántos pasos debes retroceder para llegar al punto – 7 ? c) Avanzas 17 pasos y retrocedes 9 pasos. ¿En qué punto te encuentras?

d) Retrocedes 16 pasos, avanzas 5 pasos y finalmente retrocedes 8 pasos ¿En qué punto te encuentras?

e) Avanzas 7 pasos, retrocedes 16 pasos, avanzas 5 pasos, y finalmente retrocedes 10 pasos

¿En qué punto te encuentras?

f) Retrocedes 6 pasos, avanzas 11 pasos, retrocedes 4 pasos, avanzas 8 pasos y finalmente retrocedes 3 pasos ¿En qué punto te encuentras?

EJERCICIO PROPUESTO Nº 4.

4.1. Escribir ›o ‹ según corresponda.

7 ___ -2 -8 ____ 0 43 ____ 39 31 ___ 17

-6____ 4 -15 ____5 -56 ___ 11 -26 ___ -7

0 ____ -5 23 ____ 19 -15 ___-14 0 ___3

4.2. Escribir tres números para cada condición.

 Mayores que 7.

 Menores que -2 y mayores que -12.

4.3. Ordenar de menor a mayor los números de cada grupo.

 -7, 9, 15, -6, -11, -16, 0.  4, -17, -26, 19, 3, 31, -2.  -23, -45, -62, -97, -54, -30  45, 68, 72, 91, 10, 58, 42, 71.  48, 21, -4, -61, -8, 16, -43, -18.

4.4. En cada conjunto de números identificar cual está más alejado de cero.

 -8, 7, -4, 0, -9, 6, 5, 3.  -13, 19, 16, -17, -14, 21.  45, 61, 23, 36, 71, 54, 18.  -12, -24, -28, -37, -19, -31.  14, -15, 0, -9, 11, -17, 4, -19.

4.5. Determinar si cada afirmación es verdadera o falsa y justificar tu respuesta.

 El cero es mayor que cualquier numero negativo._____

 Todo numero positivo es mayor que cualquier numero negativo._____  De dos números positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.____  De dos números negativos, es mayor el tiene mayor valor absoluto.____

OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS

Para poder realizar las operaciones en el conjunto de los números enteros (Z) debes memorizar las siguientes reglas (son fáciles; sólo requieren de práctica).

Suma en Z (Conjunto de Números Enteros positivos y negativos): Existen únicamente tres casos:

Caso I. Suma de dos números enteros de igual signo. Caso II. Suma de dos números enteros con signo distinto.

Caso III. Suma de más de dos números enteros con signos distintos. Las reglas a memorizar son las siguientes:

Caso I. Suma de dos Números enteros de igual signo: Cuando dos números tienen igual signo se debe sumar y conservar el signo.

Ejemplos: – 3 + – 8 = – 11 (sumo y conservo el signo) 12 + 25 = 37 (sumo y conservo el signo)

Ejemplo: – 7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12 – 7 = 5 ¿con cuál signo queda? El valor absoluto de –7 es 7 y el valor absoluto de +12 es 12, por lo tanto, el número que tiene mayor valor absoluto es el 12; debido a esto el resultado es un número positivo). Ejemplo: 5 + – 51 = – 46 (es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto) – 14 + 34 = 20

Caso III. Suma de más de dos números enteros con signos distintos: Para sumar más de dos números enteros con diferentes signos, por conveniencia se escriben al principio los números enteros positivos y al final se escriben los números enteros

negativos, luego sumamos los positivos solos (Caso I.) e igualmente los negativos (Caso I.) y finalmente realizamos una resta (Caso III.) o sea restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto.

Ejemplo:

Hallar la suma de: a) -45+32+78-69-98-31+26 Solución:

=32+78+26-45-69-98 (se escriben los positivos al principio y los negativos al final) =136-213 (se suman los positivos solos y los negativos solos, caso I. dos veces ) =-77 (Del número de mayor valor absoluto restamos el número de menor valor absoluto y a la respuesta se le coloca el signo del numero de mayor valor absoluto)

b) 87+65-78-132+731-97 solución:

= 87+65+731-78-132-97 = 883-307

= 576

Resta en Z

Para hallar la diferencia o resta entre dos números enteros, se suma el minuendo con el opuesto del sustraendo. Asi,

A - b = a + (-b)

Ej: a) –3 – 10 = –3 + – 10 = –13 (signos iguales se suma y conserva el signo) b) 19 – – 16 = 19 + + _{16 = 19 + 16 = 35}

c) (-78) – (45) = -78 + -45 = -123 (signos iguales se suma y conserva el signo) d) (-97) – (-28) = -97 + 28 = -69 (Caso II. De suma en Z)

c) (-29)+ (63)+ (-47)+ (-83)+ (19)+ (17)

Solución:

= (63)+ (19)+ (17)+ (-29)+ (-47)+ (-83)

= (99)+ (-159)

=-60

EJERCICIO PROPUESTOS Nº 5 5.1. Resolver las siguientes sumas.

a) 45+87 = e) (-21) + 21 = b) (-59) + (-97) = f) (-274) + (386) = c) (-46) + (38) = g) (-568) + (394) = d) 25 +(-71) = h) (-352) + (-897) =

5.2. Representar las siguientes sumas en la recta numérica. a. (-9) + 5 f) (6) + (4)+(5)

b. 7 + (-4) g) (-2)+ (-4) + (-3) c. (-5) + (-8) h) (-7)+ (9)+ (-3) d. 6 + 3 i) (8) + (-6) + (5) e. (8) + (5) j) (-3) + (-4) + (7) 5.3. Resolver las siguientes sumas con varios sumandos.

I. (-29) + (67) +(97) + (-86) + (-147) + (53) II. (-39) + (-84) + (42) + (61) + (71) + (-19) III. (-63) + (74) + (90) + (-96) + (23) + (-819)

IV. (-45) + (-65) + (47) + (62) + (-94) + (-87) + (54) + (739 V. (62) + (75) + (89) + (-91) + (-65) + (59) + (-72) + (-83) VI. (84) + (-91) + (-17) + (-41) + (90) + (99) + (-53) + (-379) VII. (-97) + (-83) + (-79) + (23) + (31) + (43) + (-29) + (37) + (19)

5.4. Completar los cuadros mágicos de modo que la suma que la suma de cada fila, columna y diagonal sea la misma. Se pueden repetir números.

a. b. c. d.

5.5. Escribir en el cuadro el numero que hace verdadera la igualdad.

a) -19 + = - 13 b) - 10 + = 19

c) - 30 + = 54 d) - 32 + = - 68

e) - 21 + = - 15 f) - 45 + = 21

g) - 31 + = 76 h) - 38 + = - 52 PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

PROPIEDAD CLAUSURATIVA: Al sumar dos números enteros, el resultado también es un número entero. Ejemplo: 15 + 92 = 107 13 + ( 18) = 31 15 + ( 66) =

-51

9 5

3

1 -3

6 2

-4 0

-6

-6 -2

4 0

6

-9 -5

-3

PROPIEDAD CONMUTATIVA: Si se intercambian los sumandos cuando sumas dos números enteros no se altera el resultado. Ejemplo: - 5 + (- 4) = - 4 + (- 5)

- 5 - 4 = - 4 - 5 - 9 = - 9

PROPIEDAD MODULATIVA: Al sumar cualquier número entero con el cero, el resultado es el mismo número. Ejemplo: 32 + 0 = 32 - 17 + 0 = - 17 0 + 83 = 83 PROPIEDAD ASOCIATIVA: Al sumar más de dos números enteros y asociar los

sumandos de diferente forma, no se altera el resultado. Ejemplo: (- 89 + 50) + 42 = - 89 + (50 + 42)

(- 39) + 42 = - 89 + (92) 3 = 3

PROPIEDAD INVERTIVA: Cuando se suma un número entero con su opuesto, el resultado es cero. Ejemplo: 16 + (- 16) = 0 - 52 + 52 = 0

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 6

6.1. Resuelva las siguientes operaciones aplicando la propiedad asociativa.

a) 44 + ( - 8 ) + ( - 47 ) = b) 34 + ( - 38 ) + ( - 47 ) =

c) 24 + ( - 5 ) + ( - 67 ) = d) 44 + ( - 8 ) + ( - 45 ) =

6.2. Aplique la propiedad conmutativa para resolver las siguientes operaciones

- 25 + 17 = - 34 + ( - 74 ) + ( - 54 ) =

- 15 + 44 = - 45 + ( - 52 ) + ( - 41 ) =

Multiplicación y División en Z

La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir. ¿CÓMO SE HACE? Multiplico los números y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente tabla:

Ley de los signos para la división

+

₊

₌

₊

-

_-

₌

₊

+

_-

₌

--

₊

₌

-ley de los signos para la multiplicación

+



+

=

+

-



-

=

+

+



-

=

-Ejemplos: – 5 • – 10 = 50 ( 5 • 10 = 50 ; – • – = + )

12 • – 4 = – 48 ( 12 • 4 = 48;: + • – = – ) (+) X (+) = (+)

5 X 9 = 45

El resultado de multiplicar dos números positivos es un número positivo

(+) X (-) = (-) 5 X (- 9) = - 45

El resultado de multiplicar un número positivo entre otro negativo es un número negativo

(-) X (+) = (-) - 5 X 9 = - 45

El resultado de multiplicar un número negativo entre otro positivo es un número negativo

(-) X (-) = (+) - 5 X (- 9) = 45

El resultado de multiplicar dos números negativos es un número positivo

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 7 7.1. Efectuar:

– 3 x 4x (-5) x (-8) x (-7) = 8(-2). 9(-5). 2 = (– 1) ( 2) (4) (- 3) (-6) = – 2 x 5 x (-1) x (-9) x (-8) = – 3(2). 4(-5). 3 = (– 2) ( -6) (2) ( 4) (-7) =

7.2. Resuelve las siguientes proposiciones abiertas de multiplicación:

+6 x = +24 -7 x = -35 x (+8) = - 48

+5 x = - 25 -2 x = 30 x (+5) = 40

+4 x = +28 -3 x = 36 x (+6) = - 108

+3 x = - 24 -4 x = -32 x (+7) = 63

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

PROPIEDAD CLAUSURATIVA: El producto de dos números enteros es otro número entero.

Ejemplo: 5 X 9 = 45 15 X ( - 8 ) = - 120 PROPIEDAD CONMUTATIVA: Al cambiar el orden de los factores se obtiene el mismo

producto. Ejemplo: - 5 X (- 4) = - 4 X ( - 5) 20 = 20

PROPIEDAD MODULATIVA: El producto de un número entero por uno da como

PROPIEDAD ASOCIATIVA: Al asociar factores de modos distintos, se obtiene el mismo producto. Ejemplo: ( 9 X 5 ) X ( - 4 ) = 9 X ( 5 X ( - 4 ) )

( 45 ) X ( - 4 ) = 9 X ( - 20 ) - 180 = - 180

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA RESPECTO DE LA ADICIÓN: El producto de un número entero por la suma de varios números, es igual a la suma de los productos parciales del factor con cada uno de los sumandos.

Ejemplo: 4 X ( 9 + 5 ) = ( 4 X 9) + ( 4 X 5 ) 4 X (14) = 36 + 20

56 = 56

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA RESPECTO DE LA DIFERENCIA: El producto de un número entero por la diferencia entre dos números, es igual a la diferencia entre los productos parciales del factor con cada uno de los términos de la diferencia.

Ejemplo: 4 X ( 9 - 5 ) = ( 4 X 9) -( 4 X 5 ) 4 X ( 4 ) = 36 - 20

16 = 16 EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 8.

8.1. a) [ -7 X ( - 8) ] X ( - 4) = b) [ - 7 X ( - 5 )] X ( - 6) = c) [ -3 X ( -1) ] X (- 5 ) =

8.2. a) - 5 X ( - 4 ) = b) 2 X 5 X ( - 8 ) = c) - 4 X ( - 8 ) = 8.3. Resuelva las siguientes operaciones aplicando la propiedad distributiva respecto de la adición.

a) 2 x [ - 1 + ( - 4 ) ] = b) - 2 x [ 8 + ( - 3) ] = c) 4 x [ ( - 5 ) + 9 ) ] =

8.4. Resuelva las siguientes operaciones aplicando la propiedad distributiva respecto de la adición.

a) 9 x [ - 1 - ( - 5 ) ] = b) - 7 x [ 8 - ( - 3) ] = c) 5 x [ ( - 5 ) - 1 ) ] =

8.5. Resuelva las siguientes operaciones aplicando la propiedad distributiva respecto de la sustracción.

a) - 2 x [ - 1 - ( - 4 ) ] = b) - 2 x [ 8 - ( - 3) ] = c) [- 4 x ( - 5 )] - 9 ) = LEY DE LOS SIGNOS

PARA LA DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (+) ÷ (+) = (+)

45 ÷ 9 = 5

El resultado de dividir dos números positivos es un número positivo

(+) ÷ (-) = (-) 45 ÷ (- 9 ) = - 5

El resultado de dividir un número positivo entre otro negativo es un número negativo

(-) ÷ (+) = (-) - 45 ÷ 9 = - 5

El resultado de dividir un número negativo entre otro positivo es un número negativo

(-) ÷ (-) = (+) - 45 ÷ (- 9) = 5

El resultado de dividir dos números negativos es un número positivo

9.1. Efectuar:

+ 95 ÷ = - 5 - 210 ÷ = - 30 ÷ (- 8) = 40

+ 150 ÷ = 3 - 270 ÷ = 9 ÷ (- 6) = 7

9.2. Determina el valor numérico de las siguientes expresiones:

(9 + 5 –17) – (-8 –12 + 13) · (-4) (–5 + 28 –1) · (-5) + (4 + 17 –14 –9) · (-2)

{-8 –5 · [-2 + 3 · (18 –12)]} + 12 4 · [-3 · (-7 + 4 –11 + 8) – 17] –19

9.3. Determina el valor de las siguientes expresiones.

a) [ 8 ÷ (-8) ] + [ 25 · (-3) ] + 80 b) [ 144 ÷ (- 3) ] – 34

c) -8 –25 – [ - 40 + 10) ÷ 15 ] + 18 d) 12 –7 + 3 – [ ( - 4 + 20 ) ÷ (-8) ]

e) [ 48 ÷ (-24) ] + [ 2 · ( -7 + 5 ) ] –15 f) -[ 17 + ( -2 –17 + 25 –18 ) ] · (-4) + [ 70 ÷ (-14) ]

SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Estos signos nos indican que las cantidades encerradas en ellos deben considerarse como un todo, es decir como una sola cantidad y también se utilizan para señalarnos el orden en que deben efectuarse las operaciones.

Los signos de agrupación más utilizados son: a) El paréntesis ( )

b) El corchete [ ] c) La llave { }

Para dar más claridad a las expresiones es recomendable usarlos en ese mismo orden. Cuando se efectúan las operaciones y debemos proceder a eliminarlos, se recomienda

seguir ese mismo orden.

ELIMINACIÓN DE LOS SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Para la supresión o eliminación de los signos de agrupación se debe tener en cuenta la siguiente regla general:

a) Cuando los signos de agrupación están procedidos por el signo más (+), se elimina el signo y las cantidades que están dentro de él, se conservan con el mismo signo.

Ej: + (- 7 + 5) + (- 6 + 4) = - 7 + 5 - 6 + 4 = - 4

b) Cuando los signos de agrupación están precedidos por el signo menos (-), se elimina el signo y las cantidades que están dentro de él, se le cambia el signo a cada una;

c) Cuando los signos de agrupación están precedidos de un número cualquiera, no habiendo signo (+) , ni (-) entre ellos, se trata de una multiplicación entre el número y los números contenidos dentro del signo de agrupación y se resuelve multiplicando el número de afuera por cada uno de los números o términos que estén dentro del signo de agrupación, teniendo en cuenta en cada multiplicación , la multiplicación de los respectivos signos.

EJEMPLOS

g) 2 { - 3 [ 8 - (2 . 3) + (4 – 3 ) ] + ( 8 . 5 ) – ( 3 + 1 ) + 2 }

= 2 { - 3 [ 8 - 6 + 4 – 3 ] + 40 – 3 – 1 + 2 } = 2 { - 3 [ 3 ] + 40 – 3 – 1 + 2 } = 2 { - 9 + 40 – 3 – 1 + 12 } = 2 { 29 } = 58

h) { 4 – 3 [ 5 – 6 (7 – 2 ) ] } { 8 – [ 2 – (6 – 3 ) ] }

= { 4 – 3 [ 5 – 6 ( 5 ) ] } { 8 – [ 2 ( 3 ) ] } = {4 – 3 [ 5 – 30 ] } { 8 – [ -1 ] } = {4 – 3 [ - 25 ] } { 8 + 1} = { 4 +75 } { 9 } = { 79 } { 9 } = 711 i) { 4 [3 - ( 5 . 6 ) ] – ( 7 –2 ) }. [ 8 – 2 ( 6 – 3 ) ]

= { 4 [ 3 – 30 ] – ( 5 ) }. [ 8 –2 ( 3 ) ] = { 4 [ - 27 ] – 5 }. [ 8 – 6 ] = { -108 – 5 } [ 2 ] = { -113 } [ 2 ] = - 266

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 10 10.1. Primero opera dentro de los paréntesis y después calcula:

a) + (- 1 + 5 - 9 ) – ( - 2 + 10 ) b) + (- 1 + 9 + 5 ) + ( - 7 + 4 - 6 ) c) – ( 2 + 10 ) + (- 8+ 5 - 2) d) - (- 3 + 1 + 2 ) – ( - 9 + 6 - 2 ) e) + ( - 4 + 2 ) – ( - 10 + 7 - 8 ) f) + ( 5 + 3 + 4 ) + (11 + 8 - 4 ) g) – ( 6 + 4 - 3 ) + (- 1 + 9 ) h) - (- 7 + 5 + 1) + ( - 2 + 10 - 8 )