Integración
(primera parte) (antiderivadas)
Cátedra de Matemática I 2013
Introducción
Sabemos calcular la derivada de una función.
En ciertas ocasiones, conociendo una derivada, es necesario calcular la función que originó dicha derivada. Es decir, “recuperar”
la función a partir del conocimiento de su derivada.
Introducción
Sabemos calcular la derivada de una función.
En ciertas ocasiones, conociendo una derivada, es necesario calcular la función que originó dicha derivada. Es decir, “recuperar”
la función a partir del conocimiento de su derivada.
función derivada
Introducción
Sabemos calcular la derivada de una función.
En ciertas ocasiones, conociendo una derivada, es necesario calcular la función que originó dicha derivada. Es decir, “recuperar”
la función a partir del conocimiento de su derivada.
función derivada
Introducción
Sabemos calcular la derivada de una función.
En ciertas ocasiones, conociendo una derivada, es necesario calcular la función que originó dicha derivada. Es decir, “recuperar”
la función a partir del conocimiento de su derivada.
función derivada
Introducción
Sabemos calcular la derivada de una función.
En ciertas ocasiones, conociendo una derivada, es necesario calcular la función que originó dicha derivada. Es decir, “recuperar”
la función a partir del conocimiento de su derivada.
función derivada
?
Definición de antiderivada
Una función es una antiderivada de en un intervalo si para todo en .
Definición de antiderivada
Una función es una antiderivada de en un intervalo si para todo en .
Entonces, en el ejemplo anterior:
función derivada
Definición de antiderivada
Una función es una antiderivada de en un intervalo si para todo en .
Entonces, en el ejemplo anterior:
función derivada
Definición de antiderivada
Una función es una antiderivada de en un intervalo si para todo en .
Entonces, en el ejemplo anterior:
función derivada
O sea, es una antiderivada de , ya que al derivar , se obtiene
Antiderivadas - ejemplos
Ejemplos: encontrar una antiderivada para cada una de las siguientes funciones:
a) b) c)
Antiderivadas - ejemplos
Ejemplos: encontrar una antiderivada para cada una de las siguientes funciones:
a) b) c)
Solución:
a) b) c)
Antiderivadas - ejemplos
Ejemplos: encontrar una antiderivada para cada una de las siguientes funciones:
a) b) c)
Solución:
a) b) c)
(verificar a partir de la derivación de éstas)
Antiderivadas - propiedades
Como hemos comprobado, la antiderivada de la función es .
Sin embargo, la expresión también es una antiderivada de (comprobarlo).
Por lo tanto, puede afirmarse que toda expresión de la forma con constante, es una antiderivada de
Antiderivadas - propiedades
Por lo tanto, si es una antiderivada de en un intervalo la antiderivada más general de en es
donde es una constante arbitraria.
Antiderivadas - propiedades
Por lo tanto, si es una antiderivada de en un intervalo la antiderivada más general de en es
donde es una constante arbitraria.
Es decir, se trata de una “familia” de funciones cuyas gráficas son traslaciones verticales unas respecto de otras.
¿Cómo determinar una constante en particular?
Antiderivadas - propiedades
Determinación de una antiderivada en particular
ejemplo: encontrar una antiderivada de que satisfaga la condición
Antiderivadas - propiedades
Determinación de una antiderivada en particular
ejemplo: encontrar una antiderivada de que satisfaga la condición
Solución: la derivada de es (o sea, ). Por lo tanto, la antiderivada general de es
Antiderivadas - propiedades
Determinación de una antiderivada en particular
ejemplo: encontrar una antiderivada de que satisfaga la condición
Solución: la derivada de es (o sea, ). Por lo tanto, la antiderivada general de es
Para determinar el valor de la constante , debe tenerse en cuenta la condición . De ésta, se deduce que:
, o sea, . Por lo tanto, la solución buscada es::
Antiderivadas - propiedades
Algunas fórmulas importantes de antiderivadas
función antiderivada
1) racional 2) constante,
3) constante, 4)
5) 6) 7)
Antiderivadas - propiedades
Algunas fórmulas importantes de antiderivadas
función antiderivada
1) racional 2) constante,
3) constante, 4)
5) 6) 7)
Estas fórmulas pueden verificarse derivando
la antiderivada y obteniendo la función
de la izquierda
Antiderivadas - propiedades
Algunas fórmulas importantes de antiderivadas Ejemplos:
a) Observar que Por lo tanto:
Antiderivadas - propiedades
Algunas fórmulas importantes de antiderivadas Ejemplos:
a) Observar que Por lo tanto:
b)
Antiderivadas - propiedades
Reglas de linealidad para antiderivadas
función antiderivada
1) Regla del múltiplo cte.
constante
2) Regla “negativa”
3) Regla de la suma (o la resta)
Problemas de valor inicial y ecuaciones diferenciales
Encontrar una antiderivada de una función constituye el mismo problema que encontrar una función que satisfaga la ecuación:
A ésta se la denomina ecuación diferencial, ya que es una ecuación que involucra una función desconocida que está siendo derivada. Para resolverla, se necesita una función
que satisfaga la ecuación. Esta función se encuentra calculando la antiderivada de la función . ..
Problemas de valor inicial y ecuaciones diferenciales
En cuanto a la constante arbitraria , la misma surge en el proceso de antiderivación dando una condición inicial:
Esta condición significa que la función tiene el valor cuando .
La combinación de una ecuación diferencial y una condición inicial se denomina problema de valor inicial.
Este tipo de problemas son fundamentales en distintas ramas de la ciencia.
.
Problemas de valor inicial y ecuaciones diferenciales
Ejemplo de un problema de valor inicial
La derivada de la posición de un objeto es su velocidad. A su vez, la derivada de la velocidad es la aceleración. Por lo tanto, si se conoce la aceleración de un objeto, a través de su antiderivada puede obtenerse su velocidad. Y a partir de la antiderivada de la velocidad, se obtiene su posición:
posición velocidad aceleración . (derivo) (derivo)
(antiderivo) (antiderivo)
Problemas de valor inicial y ecuaciones diferenciales
Ejemplo de un problema de valor inicial
Lanzamiento de un objeto desde un globo en ascenso
(sugerencia: realizar siempre un esquema gráfico para una mejor interpretación del problema)
Un globo aerostático que está ascendiendo a razón de 4m/seg se encuentra a una altura de 24m respecto del suelo. En ese momento se suelta un paquete desde el globo. ¿Cuánto tiempo tarda el paquete en llegar al suelo?
Solución:
Sea la velocidad del objeto en el instante , y sea su altura respecto del suelo. La aceleración de la gravedad terrestre es de 9,8m/seg². Suponiendo que no actúan otras fuerzas (además de la gravitatoria) sobre el objeto, se tiene entonces que:
(nota: el signo menos se debe a que la grav. actúa en la dirección de decrecimiento de s(t))
.
Problemas de valor inicial y ecuaciones diferenciales
Ejemplo de un problema de valor inicial
Lanzamiento de un objeto desde un globo en ascenso
Este planteo representa el siguiente problema de valor inicial:
Al resolver este problema de valor inicial, lo que se está obteniendo es la velocidad del objeto en función del tiempo.
1) resolvemos la ecuación diferencial. La antiderivada de -9,8 es
.
Problemas de valor inicial y ecuaciones diferenciales
Ejemplo de un problema de valor inicial
Lanzamiento de un objeto desde un globo en ascenso
2) el valor de la constante se obtiene a partir de la condición inicial . Por lo tanto:
o sea:
De esta manera, la velocidad del objeto en función del tiempo es:
.
Problemas de valor inicial y ecuaciones diferenciales
Ejemplo de un problema de valor inicial
Lanzamiento de un objeto desde un globo en ascenso
Dado que la velocidad es la derivada de la altura (la posición), y dado que la altura del objeto es 24m al instante 0 (momento en que se suelta), entonces ahora se tiene un segundo problema de valor inicial, a saber:
Lo resolvemos: ...
.
Problemas de valor inicial y ecuaciones diferenciales
Ejemplo de un problema de valor inicial
Lanzamiento de un objeto desde un globo en ascenso
1) la antiderivada de es:
2) la condición inicial implica: . Por lo tanto:
.
Problemas de valor inicial y ecuaciones diferenciales
Ejemplo de un problema de valor inicial
Lanzamiento de un objeto desde un globo en ascenso Por lo tanto, la altura del objeto en el instante t es:
Finalmente, para encontrar cuánto tiempo tarda el objeto en llegar al suelo hacemos y se resuelve para t:
Esto implica que
.
(no tiene sentido físico) SOLUCIÓN BUSCADA
Integrales indefinidas
Para denotar al conjunto de todas las antiderivadas de una función , se utiliza un símbolo especial.
Integral Indefinida (definición)
El conjunto de todas las antiderivadas de es la integral indefinida de con respecto a , denotada de la siguiente manera:
El símbolo es un signo de integral. La función es el integrando de la integral, y es la variable de integración.
.
Integrales indefinidas
Ejemplos de integrales indefinidas:
Evaluar la siguiente integral indefinida:
La integral puede ser distribuida respecto de la suma (resta). Por lo tanto:
.
