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RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

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(1)

θ

15

SEMANA 7

RELACIONES

TRIGONOMÉTRICAS DE

ÁNGULOS EN POSICIÓN

NORMAL

1. Si: cos2 1 , IV C 16

θ = θ ∈

Calcule: M sec csc 1 ctg

θ − θ =

− θ

A) 15

4 B)

1

4 C) 15 4 −

D) 1 4

− E) 4

RESOLUCIÓN

1

cos 4

θ = θ ∈IV C

sec csc sec csc

M M

1 ctg 1 ctg

θ − θ θ + θ

= ⇒ =

− θ + θ

4 4

1 15

M

1 1

15 + =

+

1 4 1

5 M

 

+

 

 

=

1 1

5

 

+

 

 

M 4

=

RPTA.: E

2. De la figura mostrada, determine: M= tanα +tanβ

A) 1 3

B) 2 3

C) 1

D) 2

E) 3

RESOLUCIÓN

3 tan

2 β =

3 3

tan

2 2

− β = =

∴ tanα +tanβ =3

RPTA.: E

3. Se tiene un ángulo“θ” en posición normal que verifica las siguientes condiciones:

i)

cos

θ = −

cos

θ

ii)

tg

θ =

tg

θ

iii) sen 5

3 θ =

determine el valor de:

M

=

5.csc

θ +

9 cos

θ

A) -11 B) -10 C) -9 D) -8 E) -6

RESOLUCIÓN

i) cosθ <0 ii) tanθ >0

iii)

sen

5

sen

5

;

III

3

3

θ =

θ = −

θ∈

Luego:

y

= −

5

, r =3 ∧ x= -2

M

5

3

9

2

3 6

9

3

5

=

+ −

= − − = −

RPTA.: C

α + -

β α

(-3;2)

2 3

(-2;-3)

α

(2)

4. Si:

ctg

α =

2,4 csc

α <

0;

sabiendo además que " "α es un ángulo en posición normal halle:

1

P 2 sen cos

4

= α + α

A) -1 B) 1 C) 0 D) -2 E) 2

RESOLUCIÓN

* cscα <0

* ctgα =2, 4= 24 10

2 2

x 12 12

x y 13

y 5 5

= = ⇒ + =

* P 2 sen 1 cos ?

4

= α + α =

y 1 x

P 2

r 4 r

   

=  +  

   

5 1 12

P

13 4 13

− −

   

=  +  

   

P

= −

1

RPTA.: A

5. Halle “n” del gráfico, si ctgθ = 0,333...

A) 1

B) 2

C) -2

D) 1 2

E) 1 2 −

RESOLUCIÓN

Piden; n = ?

Dato:

ctgθ = 0,333...

x

0,3 y =

n 1 3

4n 1 − =

− 9

3(n 1)

=

4n 1

3n− =3 4n 1− ∴

n

= −

2

RPTA.: C

6. Si el punto (2m;-3m) pertenece al lado final de un ángulo “φ” en posición normal. Calcule :

(

2 2

)

13 sen cos ;m 0 ω = φ − φ >

A) -5 B) 5 C) 1 5 −

D) 1

5 E) 0

RESOLUCIÓN

Sabemos:

2 2

r = x +y → =r m 13

Piden:

θ

(-)

(+)

" "

α ∈

III C

y=-5 (x,y)

x= -12 α

o

r = 13

φ

r m

13

(3)

2 2

13 Sen Cos  ? ω = φ − φ =

2 2

y x

13

r r

     ω =   

   

 

 

3m 13 − ω =

m

2

2 m 13

 

 

  m

2

13

 

ω =

5

RPTA.: B

7. Si: tg 5 2

α = ∧ senα <0

Halle:

29

E csc cos 29 ctg

4

= α + α − α

A) 3 29 10

− B) 7 29 10

C) 29 10

− D) 11 29 10

E) 3 29 10 −

RESOLUCIÓN

5

tg 2

α = ⇒ α∈ 3er. C. 5

sen

29 α = −

2 cos

29 α = −

Se pide:

29

29

2

2

E

29

5

4

29

5

 

= −

+

 

 

11 29 E

10 − =

RPTA.: D

8. Si “b” es un ángulo de 4to

cuadrante y cosb 24 25

= , halle:

V

=

5 senb

+

6 tgb 12 sec b

+

A) 12,85 B) 12,15 C) 10,35 D) 9,35 E) 8,35

RESOLUCIÓN

24

cos b ; 25

=

b

4to C. 7

senb

25 = −

7 tgb

24 = −

Se pide:

7 7 25

V 5 6 12

25 24 24

     

= −  + − +  

     

V =9,35

RPTA.: D

9. Si

Ctg Ctg 2

2

θ−

=

2

θ

y θ ∈ III C

Halle: G = 17 sen θ −cosθ

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

RESOLUCIÓN

1 Ctg

Ctg 2 2

2

θ−

=

2

θ

→ ctg 2 1ctg 2

θ − = θ

ctgθ = 4 θ ∈ III C

E = 17 sen θ −cosθ

1 4

E 17 E 3

17 17

− −

 

= → =

 

RPTA.: B

α

5

29

2

7

b

θ

(4)

10. Si: 6 4

sen

2

θ =

4

sen

θ

cosθ

Además θ ∈ IV cuadrante.

Halle: A sec 1 tg 8

= θ + θ

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN

(

)

2

(

)

1cos

4 24

senθ = senθ θ

∴ cos 1

3

θ = θ∈IV C

1

A sec tg

2 2

= θ + θ

3 1 2 2

A

1 2 2 1

 

 

= + + − 

 

A = 3 - 1 A = 2

RPTA.: B

11. Si: sen 1 ; tg 0 2

θ = θ <

Halle:

H

=

csc

θ +

3 ctg

θ

A) 1 B) 5 C) 4 D) -1 E) 3

RESOLUCIÓN

1

sen ;

2 θ =

senθ ≥ →0 θ ∈II, I C 1

sen ;

2

θ = tgθ < 0 ∴ θ ∈II C

E

=

csc

θ +

13 ctg

θ

2 3

E 3

1 1

 

 

=  + − 

 

E = −2 3 E= -1

RPTA.: D

12. Del gráfico calcule “ cotθ”

A) 3

7 B) 4

7 C) 5 7

D) 3 7

− E) 4 7 −

RESOLUCIÓN

(

)

ctg 90º

+α = −

ctg

α

tgα = −ctgθ

4 ctg

7 θ = −

RPTA.: E

θ 53º

2 2 θ

1

θ

3

θ

θ 53º

α 4 7

; x y

− 

 

(5)

13. Del gráfico calcule:

E =25 senα +tgθ

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

RESOLUCIÓN

E

=

25

7

25

8

4

+

E = + =7 2 9

RPTA.: E

14. Siendo “α y θ” son las medidas de dos ángulos en posición normal, tal que: α − θ = 360º, 90º< θ <180º

Calcule: E cos cos sen sen α + θ =

α + θ

Dado que: tg 1 2 α = −

A) 1

2 B)

1 2

− C) 2

D) − 2 E) -1

RESOLUCIÓN

( ) ( )

fα = fθ

Si: tgα = 1 2 −

∴ ctgα = − 2

cos cos 2

E E

sen sen α + θ

= ⇒ =

α + θ

cos 2

α senα

E

=

ctg

α

E

= −

2

RPTA.: D

15. Si los puntos P (m, n + 1) y Q (n, m + 1) pertenecen al lado

final de un ángulo “θ” en posición normal:

Además: n = 2m Calcular:

2

V = ctgθ +csc θ +sen cosθ θ

A) 1

2 B) -1 C) 2 2

D) 2 2

− E) -2

RESOLUCIÓN

(

)

( )

P(m,n 1), Q n,m 1+ + ∈Lfθ

n 1

m 1

n(n 1) (m 1)m

m

n

+

=

+

+

=

+

Como:

n=2m⇒2m

(

2m 1+

) (

= m 1 m+

)

1

4m 2 m 1 m

3 + = + ⇒ = −

2 n

3 = −

⇒ P( 1 1) 3 3

− − θ ∈II C

2

V = ctgθ +csc θ +sen cosθ θ θ

α

θ α

θ α

y

x

1 θ

2

(6)

2

V = −ctgθ +csc θ −sen cosθ θ

1 1

V 1 2

2 2

= − + − ×

1

V 1

2 = −

1 V

2 =

RPTA.: A

16. Siendo “θ” y

" "

φ

dos ángulos positivos del IC y menores de una vuelta para los cuales se cumple que:

(

)

Cos 2

θ + φ =

0

Halle el valor de:

(

)

(

)

5 sen

3 cos

k

5 cos

3 sen

θ + φ +

θ

=

θ −

θ + φ

A) senθ B) 2 C) cosθ D) 4 E) 1

RESOLUCIÓN

(

)

cos 2

θ + φ =

0

2

θ + φ =

90º

(

θ

y

φ ∈

)

I C

(

)

(

)

5 sen 90º

3 cos

k

5 cos

3 sen 90º

−θ +

θ

=

θ −

−θ

5 cos 3 cos k

5 cos 3 cos

θ + θ

=

θ − θ 8 cos

k k 4

2 cos θ

= ⇒ =

θ

RPTA.: D

17. Si: ABCD es un cuadrado, del gráfico, calcule: ctgφ

(

AD =OB

)

A) 2

2 B) 1 C)

1 2

D) 2 +1 E) 2 −1

RESOLUCIÓN

ctgφ =ctgθ, 2θ + 45º 180º= 135º

2 θ =

0

135

ctg

ctg

2

φ =

0

45

ctg

tg

2

φ =

ctg

φ =

2

1

Si:

0

45

tg

2

1

2

=

RPTA.: E

18. En la figura AOB es un cuarto de circunferencia.

Halle:

" tg "

θ

A) 1 B) 7

24 C)

7 24 −

D) 24

7 E)

24 7 −

C B

A D

x o

φ

y

θ

x

φ

y

θ

θ θ

θ θ

a

a a

45º

(7)

RESOLUCIÓN

Del gráfico:

Rayado (T. de Pitágoras):

(

) ( ) ( )

2 2 2

a+3k = a + 4k

2

a

+

6ak

+

9k

2

=

a

2

+

16k

2

6ak

=

7k

2

7k a

6 =

tg

y

4k

24

7k

x

7

6

θ =

=

= −

RPTA.: E

19. Halle: Ctgθ

A) 1+ 3 B) 3 −1

C) 2 +1 D) 1

E) 1 3

RESOLUCIÓN

3 1 Ctg

1 − − θ =

Ctg

θ =

3

+

1

RPTA.: A

20. Halle: ctgθ

A) 5

4 B) 5 4

− C) 3

4

D) 7 4

− E) 1

4

RESOLUCIÓN

x Ctg

y   θ =     7 Ctg

4 θ = −

RPTA.: D 60º

θ Y

X o

θ

θ

7k

x=-a=-6

θ 3

(- 3− −1; 1)

(8)

21. Si: ABCD es un cuadrado. Halle: M=4 ctg -tgθ θ

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN

→ M= 4 ctgθ −tgθ

M

=

4

1

4

4

1

M= − +1 4 M =3

RPTA.: C

22. Determinar el menor de dos ángulos coterminales, si la suma de ellos es 1320º y el mayor está comprendido entre 900º y 1200º.

A) 100º B) 140º C) 240º D) 300º E) 420º

RESOLUCIÓN

Sean:

α ∧ θ: Coterminales:

2n ,n

α − θ = π ∈ℤ………..(1)

α > θ

360º n α − θ =

Dato:α + θ =1320º……… (2)

900º< α <1200º……….. (3)

(1) + (2):

2α =1320º 360º n+ → 660º 180ºn

α = +

En (3)

900º< 660º 180ºn+ <1200º 1, 3 < n <3 → n=2∈ℤ

Luego: α =1020º ∧ θ = 300º

RPTA.: D

23. Dos ángulos coterminales que están en relación de 2 a 7 la diferencia de ellos es mayor que 1200º pero menor que 1500º. Halle los ángulos.

A) 1400º y 576º B) 2130º y 576º C) 2016º y 576º D) 1080º y 576º E) 720º y 216º

RESOLUCIÓN

2 7 α = β

2k α =

7k

β =

5k

α − β =

1200 <5k <1500

( )(

)

5k

=

4 360

=

1440

k =288

576 α =

2016 β =

RPTA.: C

θ

θ

B

B

4

4

3

1

37º

(9)

24. Las medidas de dos ángulos coterminales son proporcionales a los número 5 y 2. Además la medida del mayor ellos está comprendida entre 1000º y 1700º; halle la suma de medidas de dichos ángulos.

A) 1880º B) 1860º C) 1680º D) 1660º E) 1200º

RESOLUCIÓN

*

Sean “α” y “ β” (α > β) las medidas de los 2 ángulos coterminales, luego:

360º n

α −β = × …...(i);

"n"

* 5

2 α = ⇒

β … (ii)

(ii) en (i):

5k - 2k = 360º x n → k = 120ºx n

”k” en (ii):⇒ ...(iii) * 1000º < α < 1700º → 1000º<600º

x n < 1700º → n= 2

”n” en (iii) :

α

+ β =

1680º

RPTA.: C

25. Dada la ecuación:

cos

α + + − −

1

1 cos

α = −

1 sen

θ

Halle “α + θ”; si cada uno de ellos es un ángulo cuadrantal, positivo y menor a una vuelta.

A) 720º B) 90º C) 180º D) 270º E) 360º

RESOLUCIÓN

* “

α

”y“θ” son ángulos cuadrantales

(

< α <

360º y 0º

< θ <

360º

)

⇒ α = 90º;180º; 270º 90º , 180º

θ = ; 270º

Probando en la condición:

cosα + + − −1 1 cosα = −1 senθ

cos

α + = →

1 0

cos

α = − → α =

1

180º

1 sen

θ = →

0

sen

θ = → θ =

1

90º

α + θ =

270

RPTA.: D

26. Si

sen

1

1

1

....

3 15 35

θ= − −

ycosθ<0

“n términos”

Calcular el valor de:

(

)

n 1

M tan (sec )

3n 1 +

= θ + θ

+

A) -1 B) 1

2 C) 1 D) 2 E) 2

RESOLUCIÓN

1 1

sen 1

2 3

θ=− − 1 3 + 1

5 − 1

5 + 1

7

− ... 1 2n 1 + +

− 1 2n 1 −

+

 

 

 

 

 

ESTE TÉRMINO NO SE ANULA

1 1

1

2 2n 1

 

= −  − +

 

→ sen 1 2n n x cos 0

2 2n 1 2n 1 r

 

θ=−  + = − + = ∧ θ<

 

→ θ ∈III C

x

= −

n

y

= −

n 1 3n 1

+

i

+

r =2n 1+

Luego: 5k

2k α = β =

600º n 240º n

α = ×

β = ×

(10)

(

2n 1

)

n 1 n 1 3n 1

M

n n

3n 1

  +

+ + +

= − +

− −

+  

i i

n 1 2n 1 n

M 1

n n n

+  + 

= −  = − = −

 

RPTA.: A

27. En la figura mostrada “ O” es el centro de la circunferencia y además:

OA

=

AB BC

=

, determine:

M

=

cot

θ +

10tg

φ

A) -1 B) 0 C) 1 2 D) 2 E) 3

RESOLUCIÓN

5r

cot 5

5r −

θ = = −

2 2r 2 tg

4r 2

φ = =

Luego:

2

M 5 10 5 5

2

= − + i = − + ∴ M =0

RPTA.: B

28. Si la expresión:

M = θ − +2 4− θ es real, Calcule: R = senθ + tgθ + cos ;θ cuando “θ” es un ángulo cuadrantal.

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

RESOLUCIÓN

Si “M” es real:

2 0

θ − ≥

∧ 4− θ ≥0⇒θ ≥ ∧ θ ≤2 4

2 ≤ θ ≤ 4

y como θ es cuadrantal: θ = π Luego: R = senπ + tanπ +cosπ

∴ R = −1

RPTA.: B

A B C

θ

φ

x y

o

θ

φ

( 5; 5r)−

2 2r

5r

(11)

29. Sea α un ángulo positivo menor que una vuelta cuyo lado final no cae en el IC, y otro ángulo

180º , 0º

θ∈ −

con el cual se verifica:

2

1

+ −

cos

θ =

tan

α

Determine el valor de:

tg sen M

2 sen α + θ =

α

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

RESOLUCIÓN

Si:

2

1

+ −

cos

θ =

tan

α

cos

θ =

0

90º

180º;0

θ = −

∈ −

⇒ tanα = → α =1 225º I C∉ Luego:

tan 225º sen( 90º)

1 1

M

0

2 sen225º

2

2

2

+

=

=

=

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