θ
15
SEMANA 7
RELACIONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS EN POSICIÓN
NORMAL
1. Si: cos2 1 , IV C 16
θ = θ ∈
Calcule: M sec csc 1 ctg
θ − θ =
− θ
A) 15
4 B)
1
4 C) 15 4 −
D) 1 4
− E) 4
RESOLUCIÓN
1cos 4
θ = θ ∈IV C
sec csc sec csc
M M
1 ctg 1 ctg
−
θ − θ θ + θ
= ⇒ =
− θ + θ
4 4
1 15
M
1 1
15 + =
+
1 4 1
5 M
+
=
1 1
5
+
M 4
⇒ =
RPTA.: E
2. De la figura mostrada, determine: M= tanα +tanβ
A) 1 3
B) 2 3
C) 1
D) 2
E) 3
RESOLUCIÓN
3 tan
2 β =
3 3
tan
2 2
− β = =
−
∴ tanα +tanβ =3
RPTA.: E
3. Se tiene un ángulo“θ” en posición normal que verifica las siguientes condiciones:
i)
cos
θ = −
cos
θ
ii)
tg
θ =
tg
θ
iii) sen 5
3 θ =
determine el valor de:
M
=
5.csc
θ +
9 cos
θ
A) -11 B) -10 C) -9 D) -8 E) -6
RESOLUCIÓN
i) cosθ <0 ii) tanθ >0
iii)
sen
5
sen
5
;
III
3
3
θ =
→
θ = −
θ∈
Luego:
y
= −
5
, r =3 ∧ x= -2⇒
M
5
3
9
2
3 6
9
3
5
=
+ −
= − − = −
−
RPTA.: C
α + -
β α
(-3;2)
2 3
(-2;-3)
α
4. Si:
ctg
α =
2,4 csc
∧
α <
0;
sabiendo además que " "α es un ángulo en posición normal halle:1
P 2 sen cos
4
= α + α
A) -1 B) 1 C) 0 D) -2 E) 2
RESOLUCIÓN
* cscα <0* ctgα =2, 4= 24 10
2 2
x 12 12
x y 13
y 5 5
−
= = ⇒ + =
−
* P 2 sen 1 cos ?
4
= α + α =
y 1 x
P 2
r 4 r
= +
5 1 12
P
13 4 13
− −
= +
∴
P
= −
1
RPTA.: A
5. Halle “n” del gráfico, si ctgθ = 0,333...
A) 1
B) 2
C) -2
D) 1 2
E) 1 2 −
RESOLUCIÓN
Piden; n = ?Dato:
ctgθ = 0,333...
x
0,3 y =
⌢
n 1 3
4n 1 − =
− 9
3(n 1)
−
=
4n 1
−
3n− =3 4n 1− ∴n
= −
2
RPTA.: C
6. Si el punto (2m;-3m) pertenece al lado final de un ángulo “φ” en posición normal. Calcule :
(
2 2)
13 sen cos ;m 0 ω = φ − φ >
A) -5 B) 5 C) 1 5 −
D) 1
5 E) 0
RESOLUCIÓN
Sabemos:
2 2
r = x +y → =r m 13
Piden:
θ
(-)
(+)
" "
α ∈
III C
y=-5 (x,y)
x= -12 α
o
r = 13
φ
r m
13
2 2
13 Sen Cos ? ω = φ − φ =
2 2
y x
13
r r
ω = −
3m 13 − ω =
m
2
2 m 13
−
m
2
13
∴
ω =
5
RPTA.: B
7. Si: tg 5 2
α = ∧ senα <0
Halle:
29
E csc cos 29 ctg
4
= α + α − α
A) 3 29 10
− B) 7 29 10
−
C) 29 10
− D) 11 29 10
−
E) 3 29 10 −
RESOLUCIÓN
5tg 2
α = ⇒ α∈ 3er. C. 5
sen
29 α = −
2 cos
29 α = −
Se pide:
29
29
2
2
E
29
5
4
29
5
= −
+
−
−
11 29 E
10 − =
RPTA.: D
8. Si “b” es un ángulo de 4to
cuadrante y cosb 24 25
= , halle:
V
=
5 senb
+
6 tgb 12 sec b
+
A) 12,85 B) 12,15 C) 10,35 D) 9,35 E) 8,35
RESOLUCIÓN
24cos b ; 25
=
b
∈
4to C. 7senb
25 = −
7 tgb
24 = −
Se pide:
7 7 25
V 5 6 12
25 24 24
= − + − +
V =9,35
RPTA.: D
9. Si
Ctg Ctg 2
2
θ−=
2
θy θ ∈ III C
Halle: G = 17 sen θ −cosθ
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
RESOLUCIÓN
1 Ctg
Ctg 2 2
2
θ−=
2
θ→ ctg 2 1ctg 2
θ − = θ
ctgθ = 4 θ ∈ III C
E = 17 sen θ −cosθ
1 4
E 17 E 3
17 17
− −
= − → =
RPTA.: B
α
5
29
2
7
b
θ
10. Si: 6 4
sen
2θ =
4sen
θ
cosθAdemás θ ∈ IV cuadrante.
Halle: A sec 1 tg 8
= θ + θ
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
(
)
2(
)
1cos4 24
senθ = senθ θ
∴ cos 1
3
θ = θ∈IV C
1
A sec tg
2 2
= θ + θ
3 1 2 2
A
1 2 2 1
= + + −
A = 3 - 1 A = 2
RPTA.: B
11. Si: sen 1 ; tg 0 2
θ = θ <
Halle:
H
=
csc
θ +
3 ctg
θ
A) 1 B) 5 C) 4 D) -1 E) 3
RESOLUCIÓN
1sen ;
2 θ =
senθ ≥ →0 θ ∈II, I C 1
sen ;
2
θ = tgθ < 0 ∴ θ ∈II C
∵
E
=
csc
θ +
13 ctg
θ
2 3
E 3
1 1
= + −
E = −2 3 E= -1
RPTA.: D
12. Del gráfico calcule “ cotθ”
A) 3
7 B) 4
7 C) 5 7
D) 3 7
− E) 4 7 −
RESOLUCIÓN
(
)
ctg 90º
+α = −
ctg
α
tgα = −ctgθ4 ctg
7 θ = −
RPTA.: E
θ 53º
2 2 θ
1
θ
3
θ
θ 53º
α 4 7
; x y
−
13. Del gráfico calcule:
E =25 senα +tgθ
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9
RESOLUCIÓN
E
=
25
7
25
8
4
+
E = + =7 2 9
RPTA.: E
14. Siendo “α y θ” son las medidas de dos ángulos en posición normal, tal que: α − θ = 360º, 90º< θ <180º
Calcule: E cos cos sen sen α + θ =
α + θ
Dado que: tg 1 2 α = −
A) 1
2 B)
1 2
− C) 2
D) − 2 E) -1
RESOLUCIÓN
( ) ( )
fα = fθ
Si: tgα = 1 2 −
∴ ctgα = − 2
cos cos 2
E E
sen sen α + θ
= ⇒ =
α + θ
cos 2
α senα
E
=
ctg
α
⇒
E
= −
2
RPTA.: D
15. Si los puntos P (m, n + 1) y Q (n, m + 1) pertenecen al lado
final de un ángulo “θ” en posición normal:
Además: n = 2m Calcular:
2
V = ctgθ +csc θ +sen cosθ θ
A) 1
2 B) -1 C) 2 2
D) 2 2
− E) -2
RESOLUCIÓN
(
)
( )P(m,n 1), Q n,m 1+ + ∈Lfθ
⇒
n 1
m 1
n(n 1) (m 1)m
m
n
+
=
+
⇒
+
=
+
Como:
n=2m⇒2m
(
2m 1+) (
= m 1 m+)
1
4m 2 m 1 m
3 + = + ⇒ = −
2 n
3 = −
⇒ P( 1 1) 3 3
− − θ ∈II C
2
V = ctgθ +csc θ +sen cosθ θ θ
α
θ α
θ α
y
x
1 θ
2
2
V = −ctgθ +csc θ −sen cosθ θ
1 1
V 1 2
2 2
= − + − ×
1
V 1
2 = −
1 V
2 =
RPTA.: A
16. Siendo “θ” y
" "
φ
dos ángulos positivos del IC y menores de una vuelta para los cuales se cumple que:(
)
Cos 2
θ + φ =
0
Halle el valor de:(
)
(
)
5 sen
3 cos
k
5 cos
3 sen
θ + φ +
θ
=
θ −
θ + φ
A) senθ B) 2 C) cosθ D) 4 E) 1
RESOLUCIÓN
(
)
cos 2
θ + φ =
0
⇒
2
θ + φ =
90º
(
θ
y
φ ∈
)
I C
⇒
(
)
(
)
5 sen 90º
3 cos
k
5 cos
3 sen 90º
−θ +
θ
=
θ −
−θ
5 cos 3 cos k
5 cos 3 cos
θ + θ
=
θ − θ 8 cos
k k 4
2 cos θ
= ⇒ =
θ
RPTA.: D
17. Si: ABCD es un cuadrado, del gráfico, calcule: ctgφ
(
AD =OB)
A) 2
2 B) 1 C)
1 2
D) 2 +1 E) 2 −1
RESOLUCIÓN
ctgφ =ctgθ, 2θ + 45º 180º= 135º
2 θ =
0
135
ctg
ctg
2
φ =
0
45
ctg
tg
2
φ =
ctg
φ =
2
−
1
Si:
0
45
tg
2
1
2
=
−
RPTA.: E
18. En la figura AOB es un cuarto de circunferencia.
Halle:
" tg "
θ
A) 1 B) 7
24 C)
7 24 −
D) 24
7 E)
24 7 −
C B
A D
x o
φ
y
θ
x
φ
y
θ
θ θ
θ θ
a
a a
45º
RESOLUCIÓN
Del gráfico:
Rayado (T. de Pitágoras):
(
) ( ) ( )
2 2 2a+3k = a + 4k
2
a
+
6ak
+
9k
2=
a
2+
16k
2
6ak
=
7k
27k a
6 =
∴
tg
y
4k
24
7k
x
7
6
θ =
=
= −
−
RPTA.: E
19. Halle: Ctgθ
A) 1+ 3 B) 3 −1
C) 2 +1 D) 1
E) 1 3
RESOLUCIÓN
3 1 Ctg
1 − − θ =
−
Ctg
θ =
3
+
1
RPTA.: A
20. Halle: ctgθ
A) 5
4 B) 5 4
− C) 3
4
D) 7 4
− E) 1
4
RESOLUCIÓN
x Ctg
y θ = 7 Ctg
4 θ = −
RPTA.: D 60º
θ Y
X o
θ
θ
7k
x=-a=-6
θ 3
(- 3− −1; 1)
21. Si: ABCD es un cuadrado. Halle: M=4 ctg -tgθ θ
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
→ M= 4 ctgθ −tgθ
M
=
4
1
4
−
4
1
−
−
M= − +1 4 M =3
RPTA.: C
22. Determinar el menor de dos ángulos coterminales, si la suma de ellos es 1320º y el mayor está comprendido entre 900º y 1200º.
A) 100º B) 140º C) 240º D) 300º E) 420º
RESOLUCIÓN
Sean:α ∧ θ: Coterminales:
2n ,n
α − θ = π ∈ℤ………..(1)
α > θ
360º n α − θ =
Dato:α + θ =1320º……… (2)
900º< α <1200º……….. (3)
(1) + (2):
2α =1320º 360º n+ → 660º 180ºn
α = +
En (3)
900º< 660º 180ºn+ <1200º 1, 3 < n <3 → n=2∈ℤ
Luego: α =1020º ∧ θ = 300º
RPTA.: D
23. Dos ángulos coterminales que están en relación de 2 a 7 la diferencia de ellos es mayor que 1200º pero menor que 1500º. Halle los ángulos.
A) 1400º y 576º B) 2130º y 576º C) 2016º y 576º D) 1080º y 576º E) 720º y 216º
RESOLUCIÓN
2 7 α = β
2k α =
7k
β =
5k
α − β =
1200 <5k <1500
( )(
)
5k
=
4 360
=
1440
k =288576 α =
2016 β =
RPTA.: C
θ
θ
B
B
4
4
3
1
37º
24. Las medidas de dos ángulos coterminales son proporcionales a los número 5 y 2. Además la medida del mayor ellos está comprendida entre 1000º y 1700º; halle la suma de medidas de dichos ángulos.
A) 1880º B) 1860º C) 1680º D) 1660º E) 1200º
RESOLUCIÓN
*
Sean “α” y “ β” (α > β) las medidas de los 2 ángulos coterminales, luego:360º n
α −β = × …...(i);
"n"
∈
ℤ
* 5
2 α = ⇒
β … (ii)
(ii) en (i):
5k - 2k = 360º x n → k = 120ºx n
”k” en (ii):⇒ ...(iii) * 1000º < α < 1700º → 1000º<600º
x n < 1700º → n= 2
”n” en (iii) :
∴
α
+ β =1680º
RPTA.: C
25. Dada la ecuación:
cos
α + + − −
1
1 cos
α = −
1 sen
θ
Halle “α + θ”; si cada uno de ellos es un ángulo cuadrantal, positivo y menor a una vuelta.A) 720º B) 90º C) 180º D) 270º E) 360º
RESOLUCIÓN
* “
α
”y“θ” son ángulos cuadrantales(
0º
< α <
360º y 0º
< θ <
360º
)
⇒ α = 90º;180º; 270º 90º , 180º
θ = ; 270º
Probando en la condición:
cosα + + − −1 1 cosα = −1 senθ
→
cos
α + = →
1 0
cos
α = − → α =
1
180º
→
1 sen
−
θ = →
0
sen
θ = → θ =
1
90º
∴
α + θ =
270
RPTA.: D
26. Si
sen
1
1
1
....
3 15 35
θ= − −
−
−
ycosθ<0“n términos”
Calcular el valor de:
(
)
n 1
M tan (sec )
3n 1 +
= θ + θ
+
A) -1 B) 1
2 C) 1 D) 2 E) 2
RESOLUCIÓN
1 1
sen 1
2 3
θ=− − 1 3 + 1
5 − 1
5 + 1
7
− ... 1 2n 1 + +
− 1 2n 1 −
+
ESTE TÉRMINO NO SE ANULA
1 1
1
2 2n 1
= − − +
→ sen 1 2n n x cos 0
2 2n 1 2n 1 r
θ=− + = − + = ∧ θ<
→ θ ∈III C
x
= −
n
→
y
= −
n 1 3n 1
+
i
+
r =2n 1+
Luego: 5k
2k α = β =
600º n 240º n
α = ×
β = ×
(
2n 1)
n 1 n 1 3n 1
M
n n
3n 1
+
+ + +
= − +
− −
+
i i
n 1 2n 1 n
M 1
n n n
+ +
= − = − = −
RPTA.: A
27. En la figura mostrada “ O” es el centro de la circunferencia y además:
OA
=
AB BC
=
, determine:M
=
cot
θ +
10tg
φ
A) -1 B) 0 C) 1 2 D) 2 E) 3
RESOLUCIÓN
5r
cot 5
5r −
θ = = −
2 2r 2 tg
4r 2
−
φ = =
−
Luego:
2
M 5 10 5 5
2
= − + i = − + ∴ M =0
RPTA.: B
28. Si la expresión:
M = θ − +2 4− θ es real, Calcule: R = senθ + tgθ + cos ;θ cuando “θ” es un ángulo cuadrantal.
A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2
RESOLUCIÓN
Si “M” es real:
2 0
θ − ≥
∧ 4− θ ≥0⇒θ ≥ ∧ θ ≤2 42 ≤ θ ≤ 4
y como θ es cuadrantal: θ = π Luego: R = senπ + tanπ +cosπ
∴ R = −1
RPTA.: B
A B C
θ
φ
x y
o
θ
φ
( 5; 5r)−
2 2r
5r
29. Sea α un ángulo positivo menor que una vuelta cuyo lado final no cae en el IC, y otro ángulo
180º , 0º
θ∈ −
con el cual se verifica:2
1
+ −
cos
θ =
tan
α
Determine el valor de:tg sen M
2 sen α + θ =
α
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
RESOLUCIÓN
Si:2
1
+ −
cos
θ =
tan
α
⇒
cos
θ =
0
90º
180º;0
⇒
θ = −
∈ −
⇒ tanα = → α =1 225º I C∉ Luego: